重庆市万州第二高级中学2023-2024学年九年级下学期第一次月考数学试题(含解析)

2023-2024学年度重庆市万州二中
初2024届初三（下）第一次月考数学试题
（全卷共分三个大题，满分150分，考试时间120分钟）
一、选择题（共10个小题，每小题4分，共40分）
1．的绝对值是（ ）
A ．2024
B ．C
．D ．2．下列图标中，是中心对称图形的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．下列调查中，最适合采用抽样调查的是（ ）
A ．调查某种灯泡的使用寿命
B ．企业招聘中对应聘人员进行面试
C ．了解太空空间站的零部件是否正常
D ．调查某班学生的名著阅读情况
4．如图，和是以点O 为位似中心的位似图形，，的周长为8，则的周长为（ ）
A ．8
B ．16
C ．24
D ．32
5．古代数学著作《孙子算经》中有“多人共车”问题：今有五人共车，二车空；三人共车，十人步．问人与车各几何？其大意是：每车坐人，车空出来；每车坐人，多出人无车坐，问人数和车数各多少？设共有人，辆车，则可列出的方程组为（ ）
2024-2024-1
20241
2024
-ABC DEF :1:2OA AD =ABC DEF 52310x y
A ．
B ．
C ．
D ．6
的值应在（ ）A
．到之间B ．到之间C ．到之间D ．到之间7．如图，是一组有规律的图案，它们是由边长相同的小正方形组成的，其中部分小正方形涂有阴影，按照这样的规律，第个图案中涂有阴影的小正方形个数是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．8．如图，已知是的直径，弦，垂足为，，，则的长为（ ）
A ．B
C ．
D ．9．
如图，点E 为正方形的对角线上的一点，连接，过点E 作交
于点F ，交对角线于点G ，且点G 为的中点，若正方形的边长为，则的长为（ ）．
()
52310y x y x ⎧-=⎨+=⎩52310y x y x -=⎧⎨+=⎩()52310y x y x -=⎧⎨+=⎩()52310y x y x
⎧-=⎨-=⎩2⎛ ⎝2334455620248097809380964047
AB O CD AB ⊥E 22.5ACD ∠=︒1AE =CD 2+12
ABCD BD CE EF CE ⊥AB AC EF AG
A ．2
B ．3
C ．
D ．10．表示由四个互不相等的正整数组成的一个数组，表示由它生成的第一个数组，表示由它生成的
第二个数组，按此方式可以生成很多数组，记，第个数组的四个数之和为（为正整数）.
下列说法：
①可以是奇数，也可以是偶数；
②的最小值是；
③若，则.其中正确的个数（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．二、填空题（共8个小题）
11． ．
12．若正n 边形的每个内角的度数均为．则n 的值是 ．13．创“平安余姚”是我们每个余姚人的愿望，某小区在摸彩球活动中，将质地大小完全相同，上面标有“平”“安”“余”“姚”的四个彩球放入同一个袋子，某居民在袋子中随机摸出一个彩球后不放回，再摸出一个，摸出的两个彩球能拼成“平安”的概率是
．14．在反比例函数的图象上有两点，，当时，有，则k 的取值范围是 ．
15．如图，矩形中，以为圆心，的长为半径画圆，交于点，再以为圆心，的长为半径画圆，恰好经过点．已知，，则图中阴影部分的面积为 ．
4
3(),,
,a b c d (),,,a b b c c d d a ++++(),,,a b b c b c c d c d d a d a a b ++++++++++++0M a b c d =+++n n M n n M n M 200
10002000n M M <<10n =0123
()0
172tan 45π-++-︒=140︒2024k y x
-=()11,A x y ()22,B x y 120x x <<12y y <ABCD C CD AB E B BC E AB =4=AD
16．如图所示，已知锐角中，
，将绕点逆时针旋转至位置，恰好使得于，且，连接，则的长为 ．
17．关于的一元一次不等式组至少有个整数解，且关于的分式方程有整数解，那么符合条件的所有整数的和为 ．18．一个四位正整数M ，如果千位数字与十位数字之和的两倍等于百位数字与个位数字之和，则称M 为“共进退数”，并规定等于M 的前两位数所组成的数字与后两位数所组成的数字之和，等于M 的前两位数所组成的数字与后两位数所组成的数字之差，如果，那么M 各数位上的数字之和为 ；有一个四位正整数
（，且为整数）是一个“共进退数”，且是一个平方数，是一个整数，则满足条件的数N 是 ．三、解答题（共6个小题）
19．（）计算：（）化简：20．已知四边形为正方形，点在边上，连接．(1)尺规作图：过点作于点，交于点（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）；
(2)求证：．（请补全下面的证明过程）
ABC AB 6BC =ABC A ADE V CE BC ⊥C CE BC =BD BD x 32132325
x x x m -+⎧≥-⎪⎨⎪->⎩3y 3222my y y y
-+=--m ()F M ()G M ()60F M =1101100010N x y z =+++04,09,08x y z ≤≤≤≤≤≤()F N ()13
G N 1()()
2
323x y y y x ---22121121x x x x -⎛⎫-÷ ⎪--+⎝⎭ABCD E BC AE B BF AE ⊥H CD F AE BF =
证明：∵正方形，
∴，________，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴________，
在与中，（ ）里填________
∴（），
∴．
通过上面的操作，进一步探究得到这样的结论：两端点在正方形的一组对边上且______的线段长相等．
21．春节是中国重要的传统节日之一，我校组织学生参加关于中国传统文化知识的线上测试活动．为了了解七、八年级学生此次线上测试活动的成绩情况，分别随机在七、八年级各抽取了10名学生的成绩（百分制，单位：分）进行整理、描述和分析（学生成绩得分用x 表示，共分为三个等级：合格，良好，优秀），下面给出了部分信息：
七年级10名学生的成绩：83，84，84，88，89，89，89，95，95，98．
八年级10名学生的成绩中“良好”等级包含的所有数据为：86，86，86，90，94．
抽取的七、八年级学生测试成绩统计表年级
平均数中位数众数“优秀”等级所占百分比七
89.489a 八89.4b 86ABCD AB BC =ABE ∠=①90=︒90ABH CBF ∠+∠=︒BF AE ⊥90AHB EHB ∠=∠=︒90ABH BAE ∠+∠=︒②ABE BCF △()BAE CBF ABE BCF ∠=∠⎧⎪⎨⎪∠=∠⎩
③③ABE BCF △△≌ASA AE BF =④8085x ≤<8595x ≤<95100x ≤≤30%30%
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空： ， ， ；
(2)根据以上数据，你认为该学校哪个年级的学生测试成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）．
(3)如果我校七年级有学生3500人，八年级有学生2800人，估计我校七、八年级此次线上测试成绩良好的总人数．
22．去年全国粮食产量再创新高，为推进乡村振兴奠定了坚实基础，某粮食生产专业户原计划生产水稻和小麦共吨，由于水稻超产，小麦超产，实际生产了吨．
(1)该专业户去年原计划生产水稻、小麦各多少吨？
(2)据了解，该专业户去年实际水稻种植面积是小麦种植面积的倍，且水稻亩产量比小麦多千克，求去年实际水稻种植面积是多少亩？
23．已知四边形是平行四边形，，，，为延长线上一点，，动点同时从点出发，点以每秒5个单位长度的速度沿折线方向运动，点以每秒3个单位长度的速度沿折线方向运动，当点到达点时，两者都停止运动．设运动时间为秒，点的距离为．
(1)请直接写出关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象，并写出该函数的一条性质；
(3)当时，请直接写出的取值范围．
24．小明从家步行前往公园，已知点在点的正东方向，但是由于
道路施工，小=a b =m =148%5%152120ABCD 90DBC ∠=︒15AB =9BD =E CB 6BE =,M N D M D C E →→N D B E →→N E t ,M N y y t t 24t <<y A E E A AE
明先沿正北方向走了400米到达处，再从处沿北偏东方向行走400米到达处，从处沿正东方向走了300米到达处，在处休息了6分钟，最终沿方向到达处，已知点在点的南偏东方向．小明从家出发的同时，爷爷从家选择另一路线步行前往处，已知点在点的南偏东方向，且点在点的正南方向．（参考数据：）
(1)求的长度（结果精确到1米）；
(2)已知小明步行速度为80米/分钟，爷爷步行速度为70米/分钟，小明和爷爷始终保持匀速行驶，请计算说明小明和爷爷谁先到达公园？
25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图象交轴于，两点，交轴于点，连接．
(1)求抛物线的解析式．
(2)为直线上方抛物线上一动点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交轴于点，求的最大值及相应点的坐标．
(3)将抛物线沿射线
个单位长度得到新抛物线，点为新抛物线的对称轴与轴的交点，连接，点为新抛物线对称轴左侧平面内一点，当与相似时，请直接写出所有满足条件的点坐标．
26．在中，，以为边作，，，
B B 60︒
C C
D D D
E -E E D 45︒A
F E --E F A 60︒F E 1.732≈≈AE 212
y x bx c =-++x ()1,0A -()4,0B y C AC BC 、P BC P x BC M M y x N 2PM NM +P BC y 'H y 'x CH Q y 'ABC CHQ Q Rt ABC △90ABC ∠=︒AB Rt △ABD 90ADB ∠=︒30ABD ∠=︒
与交于点．
(1)如图，若，
的长度；
(2)如图，若，延长至点，连接交于点，若点为的中点，证明：；(3)如图，若，，将绕点逆时针旋转得到，连接，
取的中点，连接．在旋转过程中，当最大时，直接写出的面积．
参考答案与解析
1．A
【分析】本题考查求一个数的绝对值，根据负数的绝对值是它的相反数，即可得出结果．
【详解】
解：的绝对值是2024．
故选：A ．
2．C
【分析】本题考查了中心对称图形，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，掌握中心对称图形的定义是解题的关键，根据中心对称图形定义判断即可．
【详解】解：、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
AC BD E 130CAB ∠=︒AD =CE 245CAB ∠=︒DA F CF BD H H CF 12
DH AF =360CAB ∠=︒2AB =ADB A AMN CN CN G BG AMN 12
BG CN -ANC 2024-180︒A
、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
、中心对称图形，故本选项符合题意；
、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
故选：．
3．A
【分析】根据普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似解答．
【详解】解：A ．调查某种灯泡的使用寿命，适合抽样调查，故本选项符合题意；B ．企业招聘中对应聘人员进行面试，适合全面调查，故本选项不符合题意；
C ．了解太空空间站的零部件是否正常，适合全面调查，故本选项不符合题意；
D ．调查某班学生的名著阅读情况，适合全面调查，故本选项不符合题意．
故选：A ．
【点睛】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．4．C
【分析】
本题考查了位似图形的性质，解题关键是掌握位似图形的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比．由可得，从而和的相似比为，即可求出的周长．
【详解】解：∵，，
∴，
∵和是以点O 为位似中心的位似图形，，
∴和的相似比为，
∵的周长为8，
∴的周长为24．
故选：C
5．A
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设共有人，辆车，根据题意，列出方程组，解方程组即可求解，根据题意，找到等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键．B C D C :1:2OA AD =:1:3OA OD =ABC DEF 1:3:1:2OA AD =OD OA AD =+:1:3OA OD =ABC DEF :1:3OA OD =ABC DEF 1:3ABC DEF x y
【详解】解：设共有人，辆车，
由题意可得，，故选：．
6．B
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，无理数的估算，先利用二次根式的运算法则将原式化简，再利用夹逼法对无理数进行估算即可求解，掌握夹逼法是解题的关键．
，
∴，
∴，
即，故选：．
7．A
【分析】本题考查图案的变化规律问题，先数出三个图形中阴影小正方形的个数，再总结规律并推广至一般情形，从而求出第个图案中涂有阴影的小正方形个数，解题的关键是找到正确的变化规律即可．
【详解】第一个图案中涂有阴影的小正方形个，；
第二个图案中涂有阴影的小正方形个，第三个图案中涂有阴影的小正方形个：；
；
则第个图案中涂有阴影的小正方形：个；
故第个图案中涂有阴影的小正方形(个)，
故选：．
8．D
【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，勾股定理，连接，根x y ()52310y x y x ⎧-=⎨+=⎩
A 211⎛===- ⎝<<45<<314<-<324⎛<< ⎝
B 202455141=⨯+99241
=⨯+1313341=⨯+L n ()41n +20244202418097⨯+=A OD
据垂径定理可得，再根据垂径定理可得，，根据等角对等边可得，设的半径为，则，在 中，利用勾股定理列出关于的方程进行计算，即可解答，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
【详解】解：连接，
∵，
∴，
∵直径，
∴，，
∴，
∴，
∴ ，
设的半径为，则，
在中，，
∴，
即，
解得，(不合，舍去)，
∴，
∴，
故选：．
9．B
【分析】
如图，过点F 作于点H ，先证明是等腰直角三角形，得到，再证明得到，
，求出45AOD ∠=︒2CD DE =90OED ∠=︒DE OE =O r 1OE r =-Rt OED V x OD 22.5ACD ∠=︒245AOD ACD ∠=∠=︒AB CD ⊥2CD DE =90OED ∠=︒45ODE ∠=︒ODE EOD ∠=∠DE OE =O r 1OE OA AE r =-=-Rt OED V 222OE DE OD +=222OE OD =()2221r r -
=12r =
121r =
<211DE OE ==+=
22CD DE ==+D FH OB ⊥FHB △FH BH OB OH ==-EGO EFH △∽△12OG FH =12
EO OH EH ==
，得到，证明，得到，求出（负值舍去），则 ，，即可得到．【详解】
解：如图，过点F 作于点H ，
∵四边形是正方形，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵点G 为EF 的中点，
∴，∴∴，∵正方形的边长为
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，∴，即，∴（负值舍去），
∴ ，
∴，∴．
故选：B ．
8AC =4OB OC ==EFH CEO ∽424OH OH OH -=2OH =2FH =112OG FH =
=3AG OA OG =-=FH OB ⊥ABCD 45ABD AC BD ∠=︒⊥，FHB △FH BH OB OH ==-AC BD FH OB ⊥⊥，OG FH ∥EGO EFH △∽△2EF GE =12
OG EO EG FH EH EF ===12OG FH =
12EO OH EH ==8AC ==4OB OC ==EF CE ⊥90FEC EHF ∠=︒=∠90EFH FEH CEO ∠=︒-∠=∠EFH CEO ∽FH EH EO OC =424
OH OH OH -=2OH =2FH BH OB OH ==-=112
OG FH ==3AG OA OG =-=
【点睛】
本题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．
10．C
【分析】本题考查了新定义运算，根据新定义运算分别进行运算即可判断求解，理解新定义运算是解题的关键.
【详解】解：根据题意可知，，
，
，
，
∴，
∴是偶数，故错误；
∵，
∴的最小值是，
∴的最小值是，
又∵为正整数，
∴的最小值为20，故正确；
∵，
∴
，
0M a b c d =+++()12M a b c d =+++()24M a b c d =+++()38M a b c d =+++()2n n M a b c d =+++n M ①0M a b c d =+++0M 123410+++=n M 210n ⨯n n M ②10002000n M <<10002102000n <⨯<
∴，故正确；
故选：C.
11．【分析】本题考查了实数的运算，利用零指数幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值进行计算即可求解，掌握实数的运算法则是解题的关键．
【详解】解：，故答案为：．
12．9
【分析】
本题考查了多边形内角和公式以及正多边形的性质，根据多边形内角和公式结合“正n 边形的每个内角的度数均为”，列式计算，即可作答．
【详解】解：∵正n 边形的每个内角的度数均为∴解得故答案为：9．
13．【分析】
列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解可得．
【详解】解：列表如下：
平
安余姚平
安平余平姚平安
平安余安姚安余平余安余姚余
10n =③1
2
()0172tan45π-++-︒1112
=+-12
=12()1802n ︒⨯-140︒140︒
()1802140n n
︒⨯-=︒9
n =1
6
姚平姚安姚余姚
由表可知共有12种等可能结果，其中摸出的两个彩球能拼成“平安”的有2种结果，所以摸出的两个彩球能拼成“平安”
的概率为：，故答案为：．【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
14．【分析】
本题主要考查反比例函数的性质．首先根据当时，有则判断函数图象所在象限，再根据所在象限判断的取值范围．
【详解】
解：时，，
反比例函数图象在第一，三象限，
，
解得：．
故答案为：．
15．【分析】
矩形中，可知，，如图所示（见详解），连接，可求出以为圆心，的长为扇形的面积，三角形的面积，由此即可求解．
【详解】解：如图所示，连接，
以为圆心，的长为半径画圆，以为圆心，的长为半径画圆，
∴的半径，的半径，
21126
=16
2024
k <120x x <<12y y <2024k -120x x << 12y y <∴20240k ∴->2024k <2024k <8
ABCD AB DC =AD BC =CE C CD DEC BCE CE C CD B BC C CD CE =B BC BE =
∵矩形中，
∴，，，
∴，
∴，
，
∵∴，，
，，∴，故答案为：．
【点睛】本题主要考查圆的知识，矩形的性质，扇形的面积的综合，掌握圆的知识，矩形的性质是解题的关键．
16．685
17##61785
【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，过点作，，根据旋转的性质得出，再根据等腰三角形的性质和矩形的性质求出，再证明，利用相似比即可解答，正确作出辅助线是解题的关键．
【详解】解：过点作，，如图，则，根据旋转的性质可得，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
ABCD AB DC ==4AD BC ==90B C ∠=∠=︒45ECB CEB ∠=∠=︒45DCE ∠=︒CD CE ==4BC BE ==14
BCE B DEC S S S S =+- △阴影扇形2245143608DEC S CD πππ︒=⨯=⨯=︒ 扇形1144822
BCE S BE BC ==⨯⨯= △22()416B S BC πππ==⨯= 1116444
B S ππ=⨯= 148484
BCE B DEC S S S S ππ=+-=+-= △阴影扇形8A AG BC ⊥AF CE ⊥AE AC =BG AF ，ABD ACE ∽A AG BC ⊥AF CE ⊥90AGB AGC AFC AFE ∠=∠=∠=∠=︒AE AC =AF CE ⊥3CF EF ==CE BC ⊥90AFC FCG AGC ∠=∠=∠=︒AFCG
∴，
∴，
∴，
在中，
∵，， ∴，又∵，
∴，∴，即
∴，
17．【分析】本题考查了解不等式组和分式方程，先解不等式组，根据不等式组至少有个整数解，确定的取值范围，再解分式方程，根据分式方程有整数解确定的值，从而求出符合条件的所有整数的和，熟练掌握不等式组的解和分式方程的解的情况是解题的关键．【详解】解：解得，，
解得，，∵不等式组有解，
∴不等式组的解集为，又∵不等式组至少有个整数解，
∴，
解得，
3AG CF ==1BG ==
=615AF CG ==-=Rt ACG AC ===AB AD =AC AE =AB AD AC AE =BAD CAE ∠=∠ABD ACE ∽BD AB CE AC
=6BD =BD =2
-3m m m 32132325x x x m -+⎧≥-⎪⎨⎪->⎩①②
①7x ≤②52
m x +>572
m x +<≤355m +<5m <
由分式方程两边都乘得，，整理得，，
当时，方程的解为，且 ， ∵关于的分式方程有整数解，
∴或或或或，
∴或或或或 ∵，
∴不合，舍去，
∴符合条件的所有整数的和为，
故答案为：．
18．
15 3105【分析】
由四位正整数M 为“共进退数”推出，由推出，从而解得，，继而得解；由推出N 的各位数字，继而表示出与，由N 是一个“共进退数”推出，利用是一个平方数推出，从而得到z 的值和，从而利用是整数求出x ，从而得解．
【详解】
解：设M 的千位数字是a ，百位数字是b ，十位数字是c ，个位数字是d ，则，
∵四位正整数M 为“共进退数”，
∴，
又∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
3222my y y y
-+=--2y -()223my y y +-=()14m y -=10m -≠41y m =
-2y ≠y 11m -=11m -=-12m -=-14m -=14m -=-2m =0m =1m =-5m =3
m =-5m <5m =m 20132+--=-2-()2a c b d +=+()60F M =10()()60a c b d +++=5a c +=2()10b d a c +=+=()()1101100010100011001101N x y z x y z =+++=++⨯+++()F N ()G N 22z x y =+()F N 2x y +=2y x =-()
13G N 100010010M a b c d =+++()2a c b d +=+()60F M =(10)(10)60a b c d +++=10()()60a c b d +++=10()2()60a c a c +++=5a c +=2()10b d a c +=+=
∴，即M 各数位上的数字之和为15．
∵，
即N 的千位数字是，百位数字是1，十位数字是y ，个位数字是，
∴，
，
又∵N 是一个“共进退数”，
∴，
化简得：，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
又∵是一个平方数，，
∴，即，
∴，∵，，
∴，，
解得：，
∴，∴，又∵是整数，∴是13的倍数，
∴，，
∴．故答案为：15；3105
【点睛】本题考查整式的加减，一元一次方程的应用，解不等式组等知识，读懂题意，推导出与是解题的关键．
15a b c d +++=()()1101100010100011001101N x y z x y z =+++=++⨯+++()1x +()1z +()10(1)110(1)101012F N x y z x y z =+++++=+++()10(1)1[10(1)]101010G N x y z x y z =++-++=--+2[(1)]1(1)x y z ++=++22z x y =+()1010221212(1)F N x y x y x y =++++=++08z ≤≤22z x y =+0228x y ≤+≤04x y ≤+≤115x y ≤++≤()F N ()()2231F N x y =⨯++13x y ++=2x y +=224z x y =+=2y x
=-04x ≤≤09y ≤≤04x ≤≤029x ≤-≤02x ≤≤()1010101010(2)4102014G N x y z x x x =--+=---+=-()
201413
13
G N x -=()13G N 2014x -2x =20y x =-=()()()()1000110011011000211001100413105N x y z =++⨯+++=++⨯+⨯++=2x y +=22z x y =+
19．（）；（）．
【分析】（）利用完全平方公式、单项式乘以多项式的乘法法则展开，再合并同类项即可求解；
（）利用分式的性质和运算法则进行计算即可求解；
本题考查了整式和分式的混合运算，掌握整式和分式的运算法则是解题的关键．
【详解】解：（）原式；
（）原式
，．20．(1)作图见解析；
(2)，，，垂直．
【分析】（）利用基本作图，过点作的垂线即可；
（）先根据等角的余角相等得到 ，则可判断，所以，于是探究得到：两端点在正方形的一组对边上且垂直的线段长相等；
本题考查了过一点作线段的垂线，余角性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，掌握正方形的性质是解题的关键．
【详解】（1）解：如图，即为所求；
（2）证明：∵正方形，
∴，，1227x y +21x -1212226926x xy y y xy
=-+-+227x y =+2()2
111112
x x x x x --⎛⎫=-⨯ ⎪---⎝⎭()21212
x x x x --=⨯--1x =-C EBH BAE ∠=∠BC 1B AE 2EBH BAE ∠=∠ABE BCF △△≌AE BF =BF ABCD AB BC =90ABE C ∠=∠=︒
∴，
∵，
∴，
∴，
∴,，
在与中，
，∴（），
∴；
通过上面的操作，进一步探究得到这样的结论：两端点在正方形的一组对边上且垂直的线段长相等；
故答案为：，，，垂直．
21．(1)、、；
(2)七年级的学生测试成绩更好，理由见解析；
(3)人
【分析】
本题考查了众数和中位数的定义和意义，样本估计整体，正确理解统计表和扇形统计图是解题关键．
（1）根据众数和中位数的定义，得出、的值，再用八年级学生“合格”等级的人数除以总人数，求出的值；
（2）根据中位数或众数分析即可；
（3）用每个年级的人数乘以“良好”率，再相加即可．
【详解】（1）解：由七年级10名学生的成绩可知，众数为，
即，
由题意可知，八年级学生测试成绩“优秀”等级人数为，“良好”等级有5人，“合格”等级有人，
90ABH CBF ∠+∠=︒BF AE ⊥90AHB EHB ∠=∠=︒90ABH BAE ∠+∠=︒EBH BAE ∠=∠ABE BCF △BAE CBF AB BC
ABE BCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
ABE BCF △△≌ASA AE BF =C ∠EBH BAE ∠=∠AB BC =8988202800a b m 8989a =1030%3⨯=∴10352--=
八年级学生第五、六名的测试成绩分别是、，中位数为，即，，故答案为：、、；
（2）解：七年级的学生测试成绩更好，
理由：两个年级平均数和“优秀”率相同，而七年级的众数及中位数均高于八年级，所以，七年级的学生测试成绩更好（答案不唯一）；
（3）
解：人，答：我校七、八年级此次线上测试成绩良好的总人数大约为人．
22．(1)该专业户去年原计划生产水稻吨，小麦吨；
(2)亩．
【分析】（）设该专业户去年原计划生产水稻吨，小麦吨，根据题意，列出方程组，解方程组即可求解；
（）先求出该专业户去年实际生产水稻和生产小麦的产量，设去年实际水稻种植面积是亩，根据题意列出分式方程，解分式方程即可求解；
本题考查了二元一次方程组和分式方程的应用，根据题意，找到等量关系，列出二元一次方程组和分式方程是解题的关键．
【详解】（1）解：设该专业户去年原计划生产水稻吨，小麦吨，
由题意得，，解得，答：该专业户去年原计划生产水稻吨，小麦吨；
（2）解：该专业户去年实际生产水稻：(吨)，
生产小麦：(吨)，
设去年实际水稻种植面积是亩，则小麦种植面积为亩，
∴86902%100%20%10
m =
⨯=∴8690882+=88b =20m =898820453500280028001010
⨯+⨯=2800104201x y 2m x y 8%5%114x y x y +=⎧⎨+=⎩
104
x y =⎧⎨=⎩104()18%1010.8+⨯=()15%4 4.2+⨯=m 2m
由题意得，，解得，
经检验，是原方程的解，且符合题意，
答：去年实际水稻种植面积是亩．
23．(1)(2)图象见解析，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小
(3)【分析】（1）由勾股定理得，，点运动到点
的时间为秒，从点运动到点的时间为
秒，当时，，，如图1，连接，证明，则，即，解得，，可得当时，；当时，，可得当时，；然后作答即可；
（2）描点，连线可得函数图象，然后根据图象写性质即可；
（3）当时，；当时，；由，可得，由图象可知，，进而可求的取值范围．
【详解】（1）解：∵平行四边形，，，，
∴，
由勾股定理得，，
∴点运动到点
的时间为秒，从点运动到点的时间为秒，当时，，，如图1，连接，
10.8 4.212011000
2
m m -=20m =20m =20()403182(35)
t t y t t ⎧≤≤=⎨-<≤⎩03t <<y t 35t <<y t 812
y <≤12BC ==N B 933=B E 623=3t ≤5DM t =3DN t =MN MDN CDB ∽MN DM BC CD =51215
MN t =4MN t =03t ≤≤4y t =35t <≤182MN CB BN CM t =+-=-35t <≤182y t =-2t =8y =4t =10y =810<min 8y =max 12y =y ABCD 90DBC ∠=︒15AB =9BD =15CD AB ==12BC ==N B 933=B E 623
=3t ≤5DM t =3DN t =MN
∵，，∴，∴，即，解得，，
∴当时，；
当时，，
∴当时，；
综上所述，；（2）解：由题意，函数图象如图所示；
由图象可知：当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小；（3）解：当时，；
当时，；
∵，
∴，
由图象可知，，
∴当时，．
【点睛】
本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，一次函数解析式，一次函数图象与性质．熟练掌握平行四边形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，一次函数解析式，一次函数图象与性质，数形结合是解题的关键．
3DM t DN CD DB
==MDN CDB ∠=∠MDN CDB ∽MN DM BC CD =51215
MN t =4MN t =03t ≤≤4y t =35t <≤()()123353182MN CB BN CM t t t =+-=+---=-35t <≤182y t =-()403182(35)t t y t t ⎧≤≤=⎨-<≤⎩
03t <<y t 35t <<y t 2t =8y =4t =10y =810<min 8y =max 12y =24t <<812y <≤
24．(1)1246米
(2)小明先到达公园．
【分析】
本题主要考查了解直角三角形实际应用，勾股定理，矩形的性质与判定：
（1）延长交于点，过点作于点，先解得到，则由勾股定理可得，证明四边形为矩形，得到
，，进一步证明，则
（米），
（2）先由勾股定理求出
，可计算出，解，得到
，据此可得答案．
【详解】（1）解：延长交于点，过点作于点
由题知，在中，，，
∵，
∴，
∴四边形为矩形
，，
AB DC 、G D
DH AE ⊥H Rt
BCG 200BG =GC =AGDH 600DH AG ==300AH GD ==+600HE HD =
=1246AE AH HE =+≈DE =1100AB BC CD DE +++=+30.355t ≈小明Rt AEF 2002400EF AF AE =+==+600AF EF +=+30.84t ≈爷爷AB DC 、G D DH AE ⊥H
400,400,300AB BC CD ===60,45GBC HDE ∠∠=︒=︒
Rt BCG 1cos 2
BG GBC BC ∠==200BG ∴=GC ∴==CD AE AB AE ∥，⊥DH CD ⊥AGDH 600DH AG AB BG ∴==+=300AH GD GC CD ==+=+
在中，，
，
（米）
，答：的长度约为1246米．
（2）解：在中，，在中，
，
，
答：小明先到达公园．
25．(1)；(2)
的最大值为，此时，点的坐标为；(3)点坐标为或或．
【分析】（）利用待定系数法即可求解；
（）求出点，利用待定系数法求出直线的解析式为，，求出点的横坐标为，得到，进而得到，利用二次函数的性质即可求解；（）根据题意可求得抛物线向上移动了个单位长度，则向左移动了个单位长度，进而得到新抛物线的解析式为，即得到，又根据勾股定理可得为直角三角形，，，根据与相似可得的两直Rt DHE △45HDE ∠=︒600HE HD ∴==9001246AE AH HE ∴=+=+≈AE Rt DHE △DE ==4004003001100AB BC CD DE ∴+++=+++=+630.355t ∴=≈小明Rt AEF 60,900EFA AE ∠=+︒=tan 30AE EFA EAF EF
∴∠==∠=︒2002400EF AF AE ∴=+==+600AF EF ∴+=+30.8430.355t ∴=≈>爷爷213222
y x x =-++2PM NM +44140P 19609,10200⎛⎫ ⎪⎝⎭
Q ()3,1-()6,4-()4,6-12()0,2C BC 122
y x =-+213,222P a a a ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭
M 23a a -24PM a a =-+25192222
PM NM a a +=-++374
72y '()2139228y x =-++'()2,0H -ABC 90ACB ∠=︒12
AC BC =ABC CHQ CHQ
角边的比为2或
，分和两种情况，利用相似三角形的性质解答即可求解．【详解】（1）解：把，代入得，，解得， ∴抛物线的解析式为；（2）解：由抛物线解析式可得，点，设直线的解析式为，把，代入得，
，∴，∴直线的解析式为，设，∵轴，
∴点的纵坐标为，把代入得，，∴，
点的横坐标为，
∴，
∴，12
90CHQ ∠=︒90HCQ ∠=︒()1,0A -()4,0B 212
y x bx c =-++102840
b c b c ⎧--+=⎪⎨⎪-++=⎩322
b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩213222
y x x =-++213222
y x x =-++()0,2C BC y kx m =+()4,0B ()0,2C 402k m m +=⎧⎨=⎩
122
k m ⎧=-⎪⎨⎪=⎩BC 122
y x =-
+213,222P a a a ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭PM x ∥M 213222
a a -++213222y a a =-++122
y x =-+211322222
x a a -+=-++23x a a =-M 23a a -()2234PM a a a a a =--=-+()22213519224222222PM NM a a a a a a ⎛⎫+=-++-++=-++ ⎪⎝⎭
∴当时，取最大值，最大值为，此时，点的坐标为；（3）解：∵，，
∴，，∴，设抛物线向上移动了个单位长度，则向左移动了个单位长度，
依题意有，，解得
，∴抛物线向上移动了个单位长度，则向左移动了个单位长度，∵，∴新抛物线的解析式为，∴新抛物线的顶点坐标为，∴，
∴，
∵，，，∴，，∴为直角三角形，，
∵与相似，
∴的两直角边的比为
2或19
19251022a =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭
2PM NM +2
5191919441221021040⎛⎫-⨯+⨯+= ⎪⎝⎭P 19609,10200⎛⎫ ⎪⎝⎭
()0,2C ()4,0B 2OC =4OB =2142
OC OB ==n 2n ()2
222n n +=74
n =74
7222131325222228
y x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭y '()2
213725713922228428y x x ⎛⎫=--+++=-++ ⎪⎭'⎝y '392,8⎛⎫- ⎪⎝
⎭()2,0H -2OH =22222125AC AO CO =+=+=222224220BC BO CO =+=+=22525AB ==222AC BC AB +=12
AC BC =ABC 90ACB ∠=︒ABC CHQ CHQ 1
2
设，
当时，如图，过点作轴，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴或，当时，即，∴，，
∴；当时，，∴，，
∴；
当时，过点作轴于，
(),Q x y 90CHQ ∠=︒Q QE x ⊥90QEH HOC ∠=∠=︒90EQH EHQ ∠+∠=︒90EHQ CHO ∠+∠=︒EQH CHO ∠=∠EQH OHC ∽12QE EH QH HO CO CH ===2QE EH QH HO CO CH
===12QE EH QH HO CO CH ===21222
y x --==1y =3x =-()3,1Q -2QE EH QH HO CO CH
===2222
y x --==4y =6x =-()6,4Q -90HCQ ∠=︒Q QF y ⊥F
同理可得，，
∴或，当，即，∴，，不合，舍去；当时，即，∴，，
∴；
综上，满足条件的点坐标为或或．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数的最值，二次函数的平移，勾股定理，相似三角形的判定和性质，运用分类讨论和数形结合的思想分析问题是解题的关键．
26．(1)；
(2)证明见解析；
．QCF CHO ∽12QF CF QC CO HO CH ===2QF CF QC CO HO CH
===12QF CF CO HO ==21222
x y --==12x =->-3y =2QF CF CO HO ==2222
x y --==4x =-6y =()4,6Q -Q ()3,1-()6,4-()4,6-4
【分析】
()过点作， 垂足为，证 是等边三角形，利用特殊角三角函数求出边即可；
()过点作，交于点， 根据证明，利用等式的性质证明即可；
()如图，取中点， 连接， 由 “” 可证可得，，由三角形的三边关系可得 ，则当点在线段上时， 有最大值，由勾股定理可求的长，即可求解.【详解】（1）解：如图，过点作，垂足为，
∵，
∴，，，
设，则，
∴，
解得，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴；
（2）证明：过点作，交于点，1E EF AB ⊥F CBE △BC 2C CQ FD ∥BD Q ASA FDH CQH BAD CBQ ≌，
≌33AC O BM BG MG BO ，，，SAS ABM OBG ≌BM BG =ABM OBG ∠=∠12BG NC MG NG MN -
=-<N MG 12
BG NC -CN 1E EF AB ⊥F 30EBA EAB ∠=∠=︒AD =EA EB =AF FB =2AB AD ==BC x =2AC x =AB ==
==4x =4BC =30EBA EAB ∠=∠=︒60EBC ECB ∠=∠=︒CBE △4==CE BC C CQ FD ∥BD Q。