采样控制系统

第八章采样控制系统
§8-1 基本概念
重点：采样系统的基本概念
难点：离散信号与连续信号的区别
连续系统：各变量均为时间t的连续函数。

离散系统：系统中某一处或几处的信号是脉冲序列或数字编码。

离散信号：仅在离散的瞬时上变化，是时间的离散函数，呈现的是脉冲信号或数码信号。

通常把系统中的离散信号是脉冲序列形成的离散系统，称为采样控制系统或脉冲控制系统；而把数字序列形成的离散系统，称为采样控制系统或计算机控制系统。

散控制系统分为：
一、采样控制系统
1．定义: 指间断地对系统中某些变量进行测量和控制的系统。

2．典型结构：
根据采样装置在系统中所处的位置不同,可以构成各种采样系统。

例如：
开环采样系统：采样器位于系统闭和回路之外，或系统本身不存在闭合回路。

闭环采样系统：采样器位于系统闭合回路之内。

常用误差采样控制的闭环采样系统。

如图，图中：
r(t),e(t),y(t)为输入误差，输出的连续信号，
S—采样开关或采样器，为实现采样的装置。

T—采样周期。

e﹡(t)—是e(t)连续误差信号经过采样开关后，获得的一系列离散的误差信号。

e*(t)作为脉冲控制器的输入,经控制器对信号进行处理，在经过保持器（或滤波器）恢复为连续信号。

即将脉冲信号e*(t)
①采样过程：把连续信号转变为脉冲序列的过程称采样过程，
简称采样。

②采样器：实现采样的装置，或采样开关。

③保持器：将采样信号转化为连续信号的装置（或元件）。

④信号复现过程：把脉冲序列--连续信号的过程。

4 .特点：
采用系统中既有离散信号，又有连续信号。

采样开关接通时刻，系统处于闭环工作状态。

而在采样开关断开时刻，系统处于开环工作状态。

二．数字控制系统
1．定义：系统中含有数字计算机或数字编码元件的系统，是一种以数字计算机为控制器去控制具有连续工作状态的被控对象的闭环控制系统。

2．组成
系统包括工作于离散状态下的数字计算机和工作于连续状态下的被控对象两大部分。

计算机作为系统的控制器，其输入和输出只能是二进制编码的数字信号，即在时间上和幅值上都是离散信号，而系统中被控对象和测量元件的输入和输出是连续信号，故需要A/D,D/A实现两种信号的转换。

A/D作用：对连续输入信号定时采样（采样）
编码：把模拟量在采样时刻的十进制变为二进制代码。

D/A作用：解码：把离散的数字信号转换成离散的模拟信号。

复现（保持）：经保持器把离散模拟信号复现为连续的模拟信号。

模拟信号：输入输出是连续信号，即时间上和幅值上都连续的信号。

通常，测量元件、执行元件和被控对象是模拟元件。

离散模拟信号：时间上离散而幅值上连续的信号。

如：控制器的脉冲元件
A/D——采样器（采样开关）
D/A——保持器（零阶保持器）
计算机——脉冲控制器
故数字计算机控制系统可在数学上等效于一个典型的采样控
采样系统研究方法可直接应用于数学控制系统。

小结：本节主要讨论了采样控制系统和数字控制系统，简单介绍了系统组成。

§8-2信号采样过程和采样定理
重点：采样定理
难点：采样过程、采样定理
离散系统的特点：系统中某一处或数处信号是脉冲序列或数字序
列。

为了把连续序列变换为脉冲信号器，另一
方面，为了控制连续式之部件，又需要使用保
持器将脉冲信号变换为连续信号。

为定量研究
离散系统，必须对信号的采样过程和保持过程
用数学方法加以描述。

采样器可用一个周期性闭合的采样开关S表示
f(t)—输入连续信号
f*(t)为定宽度等于τ的
调幅脉冲序列，在采样瞬时nT（n=0.1.2.3…）时出现
f *(t)可以认为是输入连续信号f(t)调制在找到δT （t ）上的结果。

)(t δ
理想脉冲序列)(t T δ=)(t δ+ )(T t -δ+ )2(T t -δ+…+ )(nT t -δ
=
∑
∞
-∞
=n δ（t-nT ）
f *
(t) =f(t) δT （t ）= f(t) ∑
∞
-∞
=n δ（t-nT ）
=
∑
∞
-∞
=n f(t) δ（t-nT ）
= ∑∞
=0
n f(nT) δ（t-nT ）
(由于f （t ）只在f(nT)时才被采样，他只和采样时刻的 有关。

又f(t)=0,t<0.) 2.物理意义：
采样过程是单位理想脉冲序列δT （t ）被输入信号f(t)进行幅值调节的过程 3.数学描述：
对f *(t)取拉氏变换
F *
(S)=L[f *
(t)]=L[∑∞
=0
n f(nt) δ（t-nT ）]
根据拉氏变换，位移定理
L [δ（t-nT ）]=e -nTS ∫0∞δ(t) e -St dt= e -nTS 故
F *
(S)=∑∞
=0
n f(nT) e -nTS
4.几点说明
（1）f * (t)只描述了f(t)在采样瞬时的数值，故F * (s)不能给出连续函数f(t)在采样间隔之间的信息
（2）采样拉氏变换F * (s)与连续信号f(t)的拉氏变换F （s ）类似如f(t)有理函数，
F *（S ）也总可以表示成e TS 的有理函数形式 （3）求F *（S ）过程中，初始值常规定采用f(0+)。

5.举例：
设e(t)=f(t) 试求e * (t)的拉氏变换
解: E *
(S)=∑∞
=0
n e(nt) e -nTS =1+ e -TS + e -2TS +…
= ∑L(nt) e -nTS
为无穷等比级数，公比为e -TS 求和后得闭合形式
E *（S ）=111-=-TS
TS TS e e e （|TS
e -|<1） 显然，E *(S)是e TS
的有理函数
尽管可以得到有理函数，但是一个超越方程λ变量s 的超越方程不便与分析和设计，以后讲Z 变换可以把S 的超越方程变换为变量Z 的代数方程
二、采样定理
连续信号f(t)经采样信号f * (t)只能给出采样点上的数值，不知道各采样时刻之间的数值。

因此，从时域上看采样过程损失了f(t)所含的信息。

怎样才能使采样信号f*(t)大体上正反映连续信号f(t)的变化规律呢？
1.采样函数的频谱分析
采样函数 f *
(t)=f(t)
∑
∞
∞
=-n δ（t-nT ）=f(t) δT （t ）
δT （t ）理想单位脉冲序列是一个周期函数，可以展开为傅立叶级数
δT （t ）=∑∞∞
=-n C n e jn ω
s t
ωs =
T
π
2 采样角频率 C n 付氏级数 C n =T 1 ⎰-22
)(T
T t T δe -3n ωs t dt
由于[-2T ， 2
T
]区间内，δT （t ）仅在t=0时有值（=1），
并且
e -jn ωs t |0=t =1
故C n =T 1⎰+-
=001
)(T dt t δ
则δT （t ）=∑∞
-∞
=n T 1e jn s ωt
f *
(t)=∑∞-∞
=n t f T )(1 e jn s ωt
取拉氏变换 复数位移定理
F *
（S ）=∑+∞=-∞
=+n n s jn s F T )(1ω
如果)(*s F 没有右半平面的极点，则可令 jw s = 得
∑∞
-∞
=+=n s jnw jw F T jw F )(1)(* 该式表明了采样函数频谱和连续函数频谱之间的关系。

)(jw F —连续函数)(t f 的频谱函数 )(*jw F —采样函数)(*t f 的频谱函数 上式展开
)(1
)(1)2(1)(*jw F T
jw jw F T w j jw F T jw F s s +-+-+⋅⋅⋅⋅⋅=
⋅⋅⋅⋅⋅+++++
)2(1
)(1s s jw jw F T
jw jw F T 0=n 时， )(1
)(*jw F T
jw F = 称为主分量。

（主频谱）
0≠n 时，为高频分量，称外分量。

采样周期不同，有不同的频谱周期
,1
f
T → w f π2→， ↓↑→s w T ， T w s π2=
带宽度相同，但幅值仅为连续频谱的T
1
，其余正负方向的高频段，
频谱与主频宽相同，只是每频谱中的频率相差一个采样频率s w 。

③max 2w w s =
采样后)(*t f 频谱相交，不重叠
④T 较大，max 2w
w s <
)(*t f
频谱分量彼此重叠，变成连续频谱，重叠后频谱形状与原信号|)(|jw F 不同。

⑤结论
如果max 2w w s >，离散的频谱彼此之间不会重叠，只要用一个
理想的滤波器，将w 高于||max w 的所有边带（外）频谱全部滤掉，剩下的只有主分量)(jw F ，这就能复现连续函数的原貌，但必须
使幅值提高T
1
，才能真正复现原函数。

2.香农采样定理
1）定理：对于一个有限频谱（－max w <w<max w ）的连续信号进行采样，当采样频率max 2w w s ≥时，采样信号能无失真的复现原来的连续信号。

采样周期T 满足 max
22w T π
≤
2）说明
①采样定理只给出了一个选择采样周期T 或采样频率f 的指导原则，并未给出具体计算公式。

②↑→↓→s w T 控制信号多，控制效果好
↓→T 计算量 ↑→ 复杂控制规律难以实现
↑→T 控制过程有误差↑→ 动态性能↓→甚至可能导致整个控制系统失去稳定。

采样周期选择是数字控制子系统设计中的关键因素之一。

要依据实情况综合考虑，合理选择。

三、信号保持
要复现原信号必须把采样信号的高频分量滤掉，理想滤波器是一个在 处截止的低频滤波器，但实际上得不到这种理想滤波器，只能有性能接近的滤波器，一般采用保持器。

1.保持器
保持器是一种延迟滤波器，他把采样时刻的信号不便的保持到下一采样时刻，或是将信号接线形函数。

抛物线函数或其他时间函数关系推迟到下一采样时刻。

根据所得特性不同，分为零阶保持，一阶保持，高阶保持。

保持器是具有外推功能的文件，即现在时刻的输出信号取决于过去时刻离散信号的外推。

实现外推的方法，常用幂级数开公式
⋅⋅⋅⋅⋅+-+
-+=2'''
)(2
)())(()()(nT t nT f nT t nT f nT f t f n T n t nT )1(+≤≤
()()[]{}T n f nT f T
nT f 11
)('--=
()[]{}
T n f nT f T
nT f 1)(1)(''
''--=
()[]()[]()[]{}T n f T n f T
T n f 211
1'---=-
………………...
接第一项组成的装置，为零阶外推器，也称零阶保持器 2.零阶保持器
零阶保持器是一种按常值外推的保持器，它把前一采样时刻nT 的采样值)(nT f 一直保持到下一采样时刻T n )1(+到来之前，从而使采样信号)(*t f 变成阶梯信号)(t f h 。

)()(nT f t f h =
如果阶梯信号)(t f h 的中点连续起来，可得到与连续信号)
(t f 形状一致，但在时间上落后T 的响应)()(0T
t f t f h -=
零阶保持器的脉冲响应函数
)(0t g 或)(t h 、)(t x h = 1 0<t<T 0 t≥T ①传递函数
由线性叠加性：)(1)(10T t t g --=
由拉氏变换：s
e e s s s G Ts
Ts h ---=-=111)(0
②频率特性
G 0h （jw ）=jw
e jTw
--1
利用欧拉公式e Φ-j =cos Φ-jsin Φ
e Φj =cos Φ+jsin Φ
sin Φ=j 21
(e Φj -e Φ-j )
cos Φ=2
1
(e Φj +e Φ-j )
G 0h (jw)=2
Tw T e 2Tw j -j
e e Tw
j Tw j 222--=T
222sin Tw
j e Tw Tw - =22
2sin ω
ωT j
e T T T -⋅⋅
③零阶保存的特性 1）低通特性
幅值随频率增加衰减，基本上是一个低通滤波器，截止频率有多个，除允许主频分量通过外，还允许部分主频频谱分量通过，从而造成数字控制系统的折出中存在纹波 2）从角迟后特性
随w 增大而增大，使系统稳定性变差。

3）时间迟后
折出为阶梯信号，平均响应为f[t-2
T
],表明其折出比输入在
时间上要迟后2
T ，相当于增加一个延迟时间为2t
的延迟环节，使
子系统的相角迟后增大，对子系统稳定性不利。

3.一阶保持器
传递函数 Gh(s)=T(1+TS)(ts TS e --1)2
频率特性Gh(jw)T 2)(1WT +(
2
2sin
WT WT )2e )(1WT tp WT j --- 特性：（与零阶保持相比） ①浮现能力较高
②高频分量多，纹波大
③相位滞后严重，稳定性更不利，实际很少采用
小结：本节主要介绍了采样过程及信号保持，重点内容为采样定理，介绍了将连续信号离散化的方法。

§8-3 Z 变换
重点：z 变换方法、z 变换性质、z 反变换、z 变换差分方程 难点：z 变换方法
一、定义
是拉变换的一种变形，将差分方程转化为代数方程。

离散
子系统的运动特性常用差分方程描述。

y(k+n)+a 1-n y(k+n-1)+……+a 1y(k+1)+a 0y(k)=b m x(k+m)+b 1-m x(k+m-1)+……+b 1x(k+1)+b 0x(k) x(k)—系统折入量的离散值 y(k)—子系统出量的离散值 前述，f *(t)采样函数拉代变换 L[f *
(t)]=F *
(s)=∑∞
=0
n f(nt)e nTs -
它含有e Ts
，S 的指数函数，使用很不方便,故引入一个新变量. 1．定义
令 Z= e Ts
或 s=T
1
lnZ s---laplace 算子
Z 是用复数Z 平面定义的一个复变量，T ——采样周期。

F *
（s ）=∑∞
=0
)(n Z
nT f n
-=F(Z)
2．说明
①Z 变换是对连续函数采样后的采样函数的拉代变换只在采样点上的信号起作用。

F(Z)=Z[f *(t)]
有时简写F(Z)=Z[f(t)]
②不同连续信号可能对应相同的Z 变换由于Z 变换是对连续信号的采样信号进行变换，不同的连续信号，只要它们的采样信号相同，Z 变换就相同。

③ ......
)2()()0()()(*210+++==---∞
=∑z T f z T f f z nT f z F n n
是一个对时间离散的函数，可以写成幂函数，f(nT)表示幅值，Ts n e z π--=表示时间，因此，F(Z)包含采样的量值和时间两个信息。

二、Z 变换方法
1.级数求和法
例，求单位价跃函数1（t ）的Z 变换. 解：法一
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩⎪⎨⎧--==-=--==+++++===----∞→∞→----∞
=∑q q a S Z q Z Z Z S Z Z Z Z nT t Z t Z n n n n n n n n n 1)1(11
1lim lim ......
......1)(1)](1[)](*1[111
1210
法二：......1)(21+++=--z z z F
两边同乘以z -1得：......)(321+++=---z z z z F
两式相减得： 1
,1
11)(1>-=-=-z z z
z z F , 11
<-Z
2.部分分式法
①先求出系统连续部分的函数进行展开∑
=+=n
i i
i
p s A s F 1
)(形式 ②逐项进行Z 变换
例 求11)()
()(--+-=+=
a s s a s s a
s F 原函数 at e t t f --=)(1)(
)
)(1()
1(1][)](1[)(at at at at
e z z e z e z z z z e
Z t Z z F -------=
---=-= 三、Z 变换性质
1.时域性定理
)()()]()([)]
()([),()]([21112211z bF z aF t bx t af Z z F t f Z z F t f Z +=+==若
2.延迟定理
若 )()]([z F t f Z = )()]([z F z nT t f Z n -=-
说明原函数在时域中延迟几个采样周期，相当于在象函数上乘以z -n ,算子z -n 的含义可表示时域中时滞环节，把脉冲延迟n 个周期。

3.超前定理
若 )()]([z F t f Z =
])()([)]([1
0∑-=--=+n m m n
Z mT x z F Z nT t f Z
Z -n 相当于把时间信号超前n 个周期。

4.复数位移定理
)()]([aT at Ze F t f e Z =± 5.初值定理
若 )()]([z F t f Z = 且 ⎪⎩⎪⎨⎧=<-∞
→存在时，)(lim 0
)(0z F t f l z
)(lim )0(z f f z ∞
→=
6.终值定理
)()1()()]([z F z z F t f Z -=且 在平面上以原点为圆心的单位圆上和圆外没有极点或（z-1）F(z)全部极点位于Z 平面单位圆内。

)()1(lim )(1
z F z f z t -=∞→∞
→
7.卷积定理
)()]([11z F t f Z = )()]([22z F t f Z =
)]()([)()(20
121mT hT f mT f Z z F z F m -=∑∞
=
四、Z 变换
Z 反变换是已知Z 变换表达式F （Z ），求和离散序列f （nT ）过程Z -1{F （Z ）}=f *（t ）
只能求出采样正数解中序列的表达式，而不能求出它的连续函数的时间表达式， 常用Z 反变换法
1.部分分式法（因式分解法，查表法）
步骤：①先将变换式写成Z
Z F )
(， 开展成部分分式，
Z Z F )(=∑=-n i Zi Z Ai
1
②两端乘以Z 。

F （Z ）=∑=-n
i Zi
Z AiZ
1
③查Z 变化表。

例 已知 F （Z ）=)
)(1()1(aT
aT e Z Z Z
e -----，求Z 反变换。

解。

aT
aT aT
e
Z A Z A e Z Z e Z Z F ----+-=---=211))(1(1)(
aT
aT
e Z e A _11--=-11==Z 1
112=--=-=-aT e Z aT
Z e A aT
e
Z Z
Z Z Z F ----=1)( 查表得 f （nT ） =1-e -anT
at e t f --=1)(
δδδ)1()()1(0)()1()(*aT at T at e T t e t e t f ----+--+=-=查表
(n=0,1,2….)
例 已知 F(Z)=
反变换求Z Z Z Z
,)
2)(1(--。

解 ：2
1
11)2)(1(1)(-+--=--=Z Z Z Z Z Z F 2
2)(---=Z Z
Z Z Z F
n n a t f 211)(*+-=+-= n=0,1,2… 查表得 *f (t) =at e t -+-)(1[])(t T δ 2=-aT e
693.01
21ln 1T
T a -==
)(])(1[)(693
.0*
t e t t f T T
t
δ+-=
2.幂级数法（长除法）
将Z 变化式直接用除法求出Z -n
接降幂排列的展开式 ，直接写出脉冲序列的前几个值
即 F(Z)=C 0+......2211++++---n n Z C Z C Z C
Z -n 代表时序 f(0) =C 0, 1)(C T f = 2)2(C T f = 由Z=e TS 代入上式
......)(2210*+++++=---nT n TS TS e C e C e C C S F
...)2()()()(210*+-+-+=T t C T t C t C t f δδδ
例 设
Z
Z Z Z Z Z F 5.05.11
2)(2
323+-++= 求Z 反变换。

解：整理
2
13
15.05.1121)(----+-++=Z Z Z Z Z F
1-1.5Z -1+0.5Z -2
...
375.675.45.312132131++++++-----Z Z Z Z Z 215.05.11--+-Z Z
3.5Z -1+0.5Z -2+Z -3
3.5Z -1-5.25Z -2+1.57Z -3
32
75.075.4---Z Z 432375.2125.775.4---+-Z Z Z 6.375Z -3+2.375Z -4
...375.675.45.31)(321++++=---Z Z Z Z F 则 ...)2(75.4)(5.3)()(*+-+-+=T t T t t t f δδ
可见此法计算f *(t0简单，在实际应用中，常常只需要计算有限的几项就够了。

是开放形式。

3.留数法 （反演积分法）
直接利用反演积分分式
∑==--==n
i z z n n Z Z F s dz Z Z F j nT f 1
11
1])([Re )(21)(φπ
zj z n Z Z F s →-])([Re 1 表示函数F(z)=z n-1
在极点处的函数
留数计算：若,...)2,1(=i z i 为学极点
11)()[(lim ])([Re -→→--=n zi
z zj z n Z Z F Zi Z Z Z F s
若j z 为n 阶重极点
zj
z n Z Z F s →-])([Re 1
1
11)()[(lim )!1(1
---→--=n n n i n zi z dz
z z F z z d n
例 )
5.0)(1()(2
--=
z z z z F 试用公数法求Z 反变换。

解： )
5.0)(1()(1
1
--=+-z z z z z F n n
有Z 1=1和Z 2=0.5两个极点，极点处的公数
2])
5.0)(1()1([lim ])5.0)(1([Re 1
111=---=--+→→+z z z z z z z s n z z n
n n z z n z z z z z z z s )5.0(])5.0)(1()5.0([lim ])
5.0)(1([Re 1
15.01-=---=--+→→+
故 n nT f )5.0(2)(-=
采样函数 f ＊
（t ）=∑∞
=-0
)()(n nT t nT f δ
=∑∞
=0
n [2-（0.5）n ])(nT t -δ
=)(t δ+1.5)(T t -δ+1.75)2(T t -δ+1.815)3(T t -δ+……
五、Z 变换解差分方程
步骤：1.对差分方程进行Z 变换； 2.解出折出量的Z 变换Y （Z ）；
3.求Z -1
[Y （Z ）]→y （k ）。

例：系统差分方程为
y （k+2）-0.1 y （k+1）-0.2y （k ）=x （k+1）+x （k ） 折入量为x （k ）=l （k ）
初始条件y （0）=y （1）=0，x （0）=0，求y （k ）
解：对方程进行Z 变换
利用前移（超前）定理有：Z[x （t+nT ）]=Z n
[x （z ）-∑-=1
)(n k Z kt x -k ]
此时第一项y （k+ 2）中，n=2，k 取0，1（n-1=1） Z[y （k+2）]=Z 2[y （Z ）-y （0）-y （1）] 得Z 2Y （Z ）- Z 2y （0）-Zy （1）-0.1ZY （Z ）-Z 2Y （0）-0.2Y （Z ）
代入初始条件得：
（Z 2-0.1Z-0.2）Y （Z ）=（Z+1）X （Z ）
Y （Z ）=（Z+1）X （Z ）∕（Z 2-0.1Z-0.2） 由已知x （k ）=l （k ） X （Z ）=Z ∕（Z-1）代入 Y （Z ）= Z （Z+1）X （Z ）∕（Z 2-0.1Z-0.2） = Z （Z+1）∕（Z+0.4）（Z-0.5）（Z-1）
y （k ）=Z -1 [Y （Z ）]=∑=3
1
i Res[Z （Z+1）Z k-1∕（Z+0.4）（Z-0.5）
（Z-1）]
y （k ）=0.416（-0.4）k -3.33（0.5）k
+2.875l （k ）（k=0，1，2，……）
小结：本节主要介绍了多种z 变换、反变换方法及性质，并应用于差分方程中。

§8-4 脉冲传递函数
重点：脉冲传递函数的求法
难点：采样开关对脉冲传递函数的影响
一、脉冲传递函数的概念
1.定义：线性定常系统，在零初始条件下，系统折出采样信号的Z 变换与折入采样信号的Z 变换之比。

)
()()(z x z x z G r c
=或)()(z R z C 、)()
(z x z y 所谓零初始条件，是指t<0时，折入脉冲序列各采样值r （-T ），r （-2T ），……以及折出脉冲序列各采样值c （-T ），c （-2T ），……均为0。

2.作用（目的）
如果已知系统脉冲传递函数G （Z ）和折入信号Z 变换R （Z ），则在零初始条件下，线性定常系统常数常数系统折出采样信号为C ＊（t ）=Z -1[C （Z ）]= Z -1 [G （Z ）R （Z ）]
即求解C ＊（t ）的关键是如何求G （Z ）。

3.说明
①G（Z）是在两个采样开关S1，S2之间定义的，或至少有一个是真实的采样开关，通常实际系统折出是连续信号c（t），而不是采样信号c＊（t），故在系统折出虚设一个理想采样开关（虚线），它与折入采样开关同步工作，具有相同的采样周期。

虚设的采样开关是不存在的，只是表明了脉冲传递所能描述的，得出连续函数c(t)在采样时刻上的离散值c*(t).
②G(Z)表示的是线性环节与理想开关两者组合体的传递函数，如果不存在理想开关
C(Z)=R（Z）G(Z)不存在
4．含义：
系统脉冲传递函数G（Z）等于系统加权序列g(nt)k(nt)的z 变换对于线性定常数离散系统，如果以x为单位序列
r(nT)=δ（nT）= 1 （n=0）
0 (n≠0)
则系统折合为单位脉冲响应序列，记作
c(nT)=g(nT)=k(nT)
G(Z)=∑∞
=0
) (
n
nT
g Z n-
二、脉冲传递函数求法
1.查表法直接根据Z变换表以G(s) →G(Z)
直接，表中没有可展开为部分分式
2.间接法
①先求G(s)的叠带变换得到脉冲响应函数g(t)
②再对g(t)采样函数化得g(nt) →3)对g(nt)进行Z变幻，
地G(Z)=g（nt）Z-n
即 G(S) −−−−→−=)]([)(s g l t g g(t) −−→−采样g*(t) −−→−变换
Z G(Z)
3.定义法
若已知系统的差分方程，可对 方程两端进行Z 变换， 利用G(Z)=Y(Z)/X(Z) 例
)
()
()(z x z y s G = 求 G(Z)。

法一 解1
将G(S)展开G(S)=1/s-1/s+a
查Z 变换表G(Z) =Z/(Z-1)- Z/(Z- e -at )=Z(1- e -at )/ (Z-1) (Z- e -at )
法二 见 30
例 设某环节差分方程为
C(nt)=r[（n-k ）T]，求 G(Z)
解 对差分方程取Z 变换 ，并由实数位移定理 C(Z)= Z -k R(Z) 则g(z)= Z -K 法2
g(t)= L -1[a
s s +-1
1]=1- e -at
g*(t)=∑∞
=0
k [l(kt)- e -akt ]δ(t-kt)
G(Z)=Z[g*(t)]= ∑∞
=0
k l* Z -k - e -akt Z -k
=aT e z z z z ----1 =))(1()1(aT
aT e z z e z ----- g(nT)=l(kt)- e -akt
G(Z)=Z[g(nT)]= aT e z z z z ----1 =)
)(1()1(aT
aT e z z e z -----
例3 若计算机控制系统被控对象传递函数
G 0(S)=
a
a/s+a 试求连续部分的 脉冲传递函数
解: G(S)= G h (S)G 0(S) =)()1(a s s a e Ts +--=)
()(a s s a
e a s s a s +-
+-τ G(Z)=Z [)(a s s a +]-Z[)
(a s s a
e s +-τ]
表示对连续函数g 1(t)= L -1
[)
(a s s a +]延迟一个采样周期T 的
函数g 1(t-T)的Z 变换
根据实位移定理 上式
G(Z)=Z [)(a s s a +]-Z -1Z [)
(a s s a
+]=（1- Z -1）Z
[)
(a s s a +] 可见,零阶保持器的传递函数中的(1- e -Ts )可以简单的提到Z 变换符号外
变为（1- Z -1）
G(Z)= （1- Z -1）Z[a s s +-1
1]
=（1- Z -1）[1
11
11-----z e z aT ] =aT
aT
e z e ----1
三、开环系统脉冲传递函数
系统由串联环节组成时，脉冲传递函数与采样开关的位置和数目有关
1.串联环节之间有采样开关
C 1(Z)= G 1(Z)R(Z) G 1(Z)= )
(
1z R
G 2(Z)= )
()
(1z C z C
C(Z)= G 2(Z)C 1(Z) G(Z)= )
()
(z R z C
G(Z)= G 1(Z)G 2(Z)
结论:有采样开关断开的线性环节串联时，系统其脉冲传递函数等于各环节脉冲传递函数的积
G(Z)= ∏=
n
i 1Gi(Z)
2.串联环节间无采样开关
G(s)= G 1(s) G 2(s)
G (Z)= C(Z)/ R(Z)=Z[G 1(s)G 2(s)]= G 1G 2(Z) 等于两个连续环节串联之后的Z 变换 注：G(Z)=Z[G 1(s)G 2(s)]=G 1G 2(z)
例：设G(s)=1/s ，G(s)=1/(s+1),分别求上述两种连接时的脉冲传递数。

解：(1)二环节间有采样器。

G(Z)=G 1(Z)G 2(Z)=Z[1/s]Z[1/(s+1)]
=)1)(1(1
11-----z e z T (2)无采样的
G(z)=Z[G 1(s)G 2(s)]=z[1
1
1+⋅s s ]
= z[111+-s s ]=1
111
11------z e z T =)
1)(1()1(111
--------z e z z e T T
结果不同 ，极点不同 ，零点不同。

C(s)=[
s
s G p )(- e -ST
s
s G p )(]R *(s)
C(z)= (1-z -1)Z[
s
s G p )(]
四、闭环脉冲转递函数
由于采样开关在闭环系统中可以有多种配置的可能性，故闭
在输入、输出均加采样开关。

E(z)=R(z)-B(z)
B(z)=Z[G(z)H(s)]E(z)=GH(z)E(z) C(z)= G(z) E(z) E(z)= R(z)-GH(z)
E(z)= R(z)/(1+ GH(z))
υ(z)=C(z)/R(Z)=G(z)/ (1+ GH(z))
2.数字控制系统 R(s)
)
()(1)()()()()()
()(1)()()()()()()()
()(1)()()()()()()()()()()()()()(2121*
2*1**
2*
1*
1*
1*
2**
2*
1**1*
1*
1*
2*
1*
221z HG z G z G z G z R z c z Z s HG s G s R s G s G s E s G s G s c s HG s G s R s E s E s G s HG s R s E s E s G s H s R s B s R s E +=
=
+==+=
-=-=-=φ变换
3.
)
(1)
()()
()()()()()()()()()()
()()()()
()()(*******z HG s CR z C s C s HG s GR s C s C s H s G s R s G s C s C s H s R s E s E s G s C +=
-=-=-==
求不出G(z) 但可求C(z)。

小结：本节主要讨论了开环及闭环脉冲传递函数的求法，并介绍了采样开关对脉冲传递函数的影响。

§8-5 采样系统分析
重点：采样系统的动态性能分析、稳态性能分析、极点分布对采样系统稳定性的影响
难点：稳态性能分析、极点分布对采样系统稳定性的影响
一、稳定性分析
1．Z 平面与S 平面关系 幅值Z =e T σ
相角Z ∠=wT
稳定S 平面σ<0->Z =e T σ<1 临界σ=010==→e z 不稳10>=→>T e Z σσ
即Z 平面单位圆对应S 平面虚轴 单位圆内对应左半S 平面 单位圆外对应右半S 平面。

2.
离散系统特征方程全部特征根均应位于单位圆内，或它的模值均应小于1。

Z=e sT
=e T jw )(=σ=e T σe jwT
3.稳定判据
经变换处理后仍使用劳斯判据
根据复变函数双线变换公式，引用W 变换，
令： Z=w w
-+11
或 w=
1
1
+-z z z 和w 均为复数。

z=x+jy; w=u+ju;
则
w
w
-+11<1 → z <1
w 左半平面对应z 平面单位圆内部。

w
w
-+11<1 → z <1
w 平面虚拟对应z 平面单位圆边界。

只要在特征方程中，令z=
w
w
-+11 作变量代换后，可直接应用量斯判据。

例：采样系统如图。

求实闭环系统稳定时开环增益k 的变化范围。

例：连续部分开环传递函数
)
1(/)
1()(1
1
1T s s T k s T s k
s G +=
+=
表8-1（张旺）
))(1()
1()1)(1()1(])([111aT aT aT aT e z z e z z e z z e a s s a Z ----------=
---=+ )
)(1()
1()(1
1//T T T T k e z z e kz z G -----= 特征方程 1+G K (Z)=0
Z 2+[k(1-e -T/T1)-(1+ e -T/T1)]Z+ e -T/T1=0 令w
w
z -+=
11代入，整理得 Z(1+ e -T/T1)-k(1- e -T/T1)]w 2+2(1- e -T/T1)w+k(1-e -T/T1)=0
二阶系统。

只要特征方程各位系数均不等于零。

系数稳定，应满足
2(1+e -T/T1)-k(1- e -T/T1)>0 k(1- e -T/T1)>0 K>0
得0<k<1
1//1)
1(2T T T T e e ---+
讨论：无采样时，二阶系统。

K>0总是一定稳定。

采样后，为条件稳定，即稳定性↓
1
T T
→ k ↑,T →0 →e -T/T1
1 ,k →∞, 为连续系统。

采样周期 T ↑→k ↓
采样周期与开环增益对离散系统稳定性有如下影响：
①T 一定k ↑→稳定性较差，甚至变为不稳定。

②k 一定, k ↑ →丢失信息越多，对离散系统的稳定及动态性结构不利，甚至可能使系统失去稳定。

二 、过渡过程分析 动态性能分析
应用Z 变换法分析折线性定常离散系统的动态性能，通常有时域法、根轨迹法和频域法。

其中时域法最简单。

本节主要介绍在时域中如何求取离散系统的时间响应，制定采样器和保持器对系统动态性能的影响，以及在Z 平面上定性分析离散系统闭环极点与其动态性能的关系。

1．采样系统时间响应。

（通常在典型输入下，单位阶跃） 例：若采样系统如图。

r(t)=1(t) , T=1(s) , k=1，试分析系统动态性能。

解：G k (s)=
)1()1(12
s
e s s --+ 取Z 交换，并由Z 交换实数位移定理，可得 G(Z)=(1-z -1)Z[
)
1(1
2+s s ]
查z 变换表,求出 G(Z)=)
368.0)(1(264
.0368.0--+z z z
闭环脉冲传递函数
Φ(z)=
)
(1)
(z G z G + =632.0264.0368.02+-+z z z
将R(z) =
1
-z z
代入上式，得单位阶跃序列相应的z 变换。

C(z)= Φ(z)R(z)=3
212
1632.0632.121264.0368.0------+-+z z z z z
利用长除法，将C(z)展成无穷幂
C(z)=0.368Z -1+Z -2+1.4Z -3+1.4Z -4+1.147Z -5+0.895Z -6 +0.802Z -7+0.868 Z -8+……
基于Z 变换定义,由上式求得系统在单位阶跃作用下输出序列C(nT) C(0)=0 C(5T)=1.147
C(T)=0.368 C(6T)=0.895
C(2T)=1 C(7T)=0.802 …… C(3T)=1.4 C(10T)=1.077 C(11T)=1. C(4T)=1.4 C(12T)=1.032 …… C(13T)=0.981
根据上述C(nT) (n=0,1,2,…..),可以绘出离散系统的单位阶跃响应C*(t),由图求得系统近似定能指标： 上升时间Tr=2(s)，峰值时间Tp=4(s)，调节时间、Ts=12(s)，超调量σ%=40%
2.闭环极点（根的位置）与时间响应的关系
在连续系统里，如已知函数的极点位置，你可估计出它的对应瞬态形状，离散系统中闭环脉冲传递函数的极点在z 平面上单位圆内的分布关系，对系统设计、分析由重要意义。

闭环脉冲传递函数
t
Φ(z)∏-∏-=++++++====--n j i
m
i i
n
n n m
m m p z z z k a z a z a b z b z b Z N Z M 1
1
*1
10110)()( (m ≤n ) 当r(t)=1(t),离散系统输出的z 变换 C(z)=Φ(z)R(z)=
1
)()(-⋅
z z
z N z M 将z z C )(展成部分分式，
∑-+-⋅
===n j j
j z p z z z N z M z z C 1111
)
()
()(β 假设无重极点，但不失一般性
∑
-+-=
=n j j
j p z z z Az
z C 11)(β A=)1()
1()()(1
N M z N z M z == j p z j j z p z z N z M =--⋅=1
)()()(β
反变换∑+⋅===n
j k
j j p t A t c k C 1
*
)(1)()(β
根据P j 在单位圆的位置，可以确定C *(t)的动态响应形式 (1)单极点位于Z 平面实轴上
①P j >1 闭环极点位于Z 平面单位圆外的正实轴上，折力脉冲响应单调发散。

②P j =1 单位圆上，动态响应为等幅（常值）脉冲序列。

③0<P j <1 单位圆正实轴单调递减。

④-1<P j <0 单位圆内负实轴，正负交替递减脉冲序列，振荡周期=T ，振荡频率ωd=ωj/2
⑤P j =-1 正负交替的等幅脉冲序列 ⑥P j < -1 正负交替发散脉冲序列
Re
(2) 极点（共轭复数极点）位于Z 平面复平面上
瞬态响应按振荡规律变化，振荡频率ωj =T
j
θ，即ωj 与一对共轭根
的幅角j θ有关，幅角越大，振荡频率越高；
当πθ=j 时，共轭复根为负实轴上的一对极点，此时振荡频率最大，等于2
s
j ωω=
， ①|P j |>1,振荡发散序列。

|P j |越大，发散越快； ②|P j |=1，等幅振荡脉冲序列；
③|P j |<1，收敛振荡，|P j |越小，收敛越快。

总之，极点越靠近原点，收敛越快；极点幅角越大，振荡频率越高，
极点位置越左，幅角越大。

① ② ③
收敛加快 振幅频率增加
如果极点在Z 平面原点上，即P j =0，脉冲响应时间最短，（采样系统里，最短的时间间隔为一个采样周期）
即P j =0，它对应的脉冲响应会在一个采样周期内结束。

例：图中有4对共轭复数极点，试分析它们的脉冲响应。

解：①,②对复数极点,因为幅角均为4
π
±
，故振荡频率相同，且
T
T T i
d 44ππ
θω=
==
振荡周期 T T
T d
d 8422===π
π
ωπ 点①的幅值)2,1(j P 〉1，故振荡是发散的，②对幅值j P <1, 振荡收敛，③④对极点幅角±4
3π
，
Re
I m
I m Re
T d 43πω=
，3
8T T d = ，即在8T 内振荡三次，
③是收敛。

三、稳态误差分析
连续系统误差计算方法可适用于离散系统。

采样系统中误差信号是指采样时刻的误差，其稳态误差是指系统到达稳定后误差脉冲序列。

由于离散系统没有唯一的典型结构图形式，故不能给出一般的误差脉冲传递函数)(z e Φ的计算公式,,其稳态误差需要针对不同形式的离散系统来求取.
这里仅介绍利用 函数的终值定理,求取误差采样离散系统在采样瞬时的终值误差..
1.稳态误差 单位反馈误差采样系统如图
值定理求出采样瞬时终值误差
可见,离散系统稳态误差,不但与系统本身结构和参数有关,与输入序列的形式即幅值有关,而且与采样周期T 有关( G(z)与T 有关,大多数R(z)也与T 有关) 2.采样控制系统无差度
)(s g k 中含有的积分环节个数N 表征了系统的无差度 N=1 有系统差 N=1 一阶无差系统 N=2 二阶无差系统
阶跃折入 1
(-=z z
z r ）
1)(111lim )(1)()1(lim )(11++-=+-=∞→→*z z
z g z z z g z r z z e z z
p
z k z g +=+=→11)(lim 111
)(lim 1
z G k z p →= p k 为位置误差系数
N=0, p k 0≠ 0)(≠∞*e 有差 N>=1 ∞=p k 0)(=∞*e 无差
∏+-∏+-=N
n j j n i p z z z z k z G 1)
()1()()
(
斜坡折入
2
)
1()(-=z TZ
z R KV z g z T e z 1
))(1)(1(lim
)(1=+-=∞→*
令))()1((lim 1
1
z G z T K Z v -=→ 速度误差系数
N=0 ∞
=∞=*)(0
e K V
N=1 =V K 0)(≠∞*e
N=2
)(=∞∞=*
e K V
加速度输入
a Z z K Z G z T Z Z Z T Z G Z Z e Z Z Z T Z R 1
)()1(lim 11)1()
1()(111lim )()1(2)
1()(2
1
22
213
2=-=-++-=∞-+=
→→*
)()1(lim 1
21
2Z G z T k Z a -=→
N<2 ∞≠∞*)(e N=2 有差 N>=3 无穷误差
极点的个数即分布情况，系统仍是一阶无差系统。

例2
关，现有的采样开关S 既不对输入的信号r(t)采样，也不对输出 c(t)采样，故此系统c(z)无定义，也不能定义回路脉冲传递函数 Φ(z)。

实际上，只要单回路闭环采样系统的前向道路中存在一个实
际的采样开关，它总可以等效成类似典型系统，即Φ(z)和C(z)是有意义的。

Φ(z)=变换之积
开环回路所有独立环节变换之积
的前向通道所有独立环节z z +1
例2：设采样系统如上图
G(z)=)
11.0(1
+s s
T=0.1(s) 试求r(t)分别为l(t)和t 时稳态误差 解：由表8—1
G(z)=)
)(1()1(11-----e z z e z z[)1(1+as s ]=))(1()
1(at
at e z z e z ----- 368
.0736.0)
368.0)(1()(11)(2+---=+=Φz z z z z G z e
由于闭环极点⎩⎨⎧-=+=482.0368.0482
.0368.02
1j z j z
全部位于z 平面单位圆内，系统稳定 E(z)=)()(z R z e Φ
C(t) C(s)
1) r(t)=l(t) R(z)=
1
-z z 由终值定理
ss e =e(∞)=∞
→k lim e(k)=1
lim →z (z-1)E(z)
=1lim →z (z-1)
)
1()368.0736.0()368.0)(1(2-∙+---z z
z z z z =0 2)r(t)=t R(z)=2
)
1(-z Tz
e(∞)=∞→k lim e(k)=1lim →z (z-1)22)1(368.0736.0)368.)(1(-∙
+---z Tz
z z o z z =T=0.1
由图，内外回路的前向道路中均有采样开关存在，故C(z)
是有意义的。

内环
)
(1)
()(2111z G G z G z +=Φ
外环
c(z)=)
()()(1)
()()()(1)()()(1)(312113110z G z G z G G z R z G z G z z R z z G z G f ++=
Φ+∙Φ=+ ④
有两条前向通路 )()(430z G G G z G h =
G )()()()(33142z G G G z RG z G RG z n f ∙+=
C(z)=
)
(1)
()()(4343142z G G G z G G G z RG z G RG h h ++
小结：本节主要讨论的采样系统的稳定性，及其分析方法。

习题课
在采样系统中，并不是所有的的单回路闭环采样系统的c(z) 都能计算出来，求C(Z)? 例1
解：从形式上看，似乎在 r(t) 和c(t) 之间无采样开关，但在实际上已对输出 进行了采样，
C(Z)=)(1)(0Z G Z G f +=)
(1)
(Z GH Z RG +
G 0(Z)指从任意采样开关处断开，沿信号方向走一周而构成的，与连续系统中略有不同。

系统也可表示为
W(Z)=
)()(Z RG Z C =)
(11
Z GH + G f (z)为前向通路中输出量的z 变换,如果将输入R(s)视为前向
通路中的一个环节，则G f (z)是包括R(S)在内的由输入至输出的前向通路的z 变换函数 例2
系统中也有采样开关，可称为采样，但由于前进通路中无采样开关,现有的采样开关S 既不对输入的信号r(t)采样,也不对输出C(t)采样，故此系统C(z)无定义，也不能定义回路脉冲传递函数∮(z) 。

实际上，只要单回路闭环采样系统的前向通路中存在一个实际的采样开关，他总可以等效成类似典型系统，既∮(z) 和 C(z)是有意义的。

Φ(z)=变换之积
开环贿赂所有独立环节变换之积
前向通路哦有独立环节Z Z +1
例3
解:设在系统输出端虚设2s 2), 则在两采样开关之间可以定义脉冲传递函数G(z)。

G(z) = Z[5
5.22++S
S ] = Z[5
310
2310+-+S S ]=310.))(()(5252T T T T e Z e Z e e Z ------- C(z)=G(z)R(z)=310 )
)(()
(5252T T T T e Z e Z e e Z ----
---.R(z)
闭环系统前向通路有采样开关，故C(z) 有意义.
C(z) =)
()()(1)
()()(2121z H z G z G z R z G z G +。