控制系统的结构分解

x1 xcox2,
x7
xco xx53,
xcoxx84,
xco x6
• 按此顺序重新排列系数矩阵A，B，C的行和列，
有
3 1 0
0
3
0
00
1 3
00
5 7
xco xco
xco
0
xco
05
0
4 0 1
0 1 0
4
1 0 0 0
0 1
xco xco xco xco
• 研究系统的结构分解可以更深刻地了解系统的结构 特性，也有助于更加深入地揭示系统的状态空间描 述和输入－输出描述之间的本质区别。
能控性、能观性在线性非奇异变换下的性质 • 对于线性定常系统(A, B,，C)经过线性非奇异变
换为 ( A，, B即, C )两者之间具有如下的关系
A P A P 1 , B P B , C C P 1
rank Qc n1 n rank Qo n2 n
• 通过线性非奇异变换可实现系统结构的规范分解，其规范 分解的表达式为
xco xco xco
Aco A21 0
xco 0
0 Aco 0 0
A1 3 A23 Aco A43
0 A24 0 Aco
逆的。
3. 按下列方式组成变换矩阵，P q 1 , ,q k,q k 1 , q n
4. 计算 A P 1A P ,BP 1B ,C C P
• 定理1：对不完全能控的系统，利用上述算法求
取系统在线性非奇异变换 x P1x下的代数等价
系统 ( A, B , C ) ，具有如下的能控性分解的规范表
达形式，即
xc xc
Ac 0
A12 Ac
xc xc
Bc 0
u
式中，
y Cc
Cc
xc xc
xck维 能 控 状 态 分 量 ， 即 A c,B c能 控 ；
xc(nk)维 不 能 控 状 态 分 量 ， k=rankQc
对系统的能控性的结构分解做几点说明
（1）在系统的能控性分解中，系统被分解为完全能 控和完全不能控的两个子系统。
3. 按下列方式构成非奇异变换矩阵
Fh 1, ,h l,h l 1, h nT
4. 计算 Aˆ FAF1, B ˆFB, C ˆCF1
• 定理2：对不完全能观的系统，利用上述算法求
取系统在线性非奇异变换 x Fx 下的代数等价 系统 ( Aˆ , Bˆ , Cˆ ) ，具有如下的能观性分解的规范表
• 算法（能控性结构分解的求取） 1. 列写系统的能控性矩阵 r a n kQ c [B A BA n 1 B ]
并求出 rankQc k 。 2. 在能控矩阵中任意取k个线性无关的列向量：
q1, q2 ,qk，再在 R n 中任意选取(n-k)个列向量：
qk1, qk2 ,qn，使得矩阵 q 1, ,q k,q k 1, q n是可
其中，P为非奇异矩阵，从而必有
r a n k Q c r a n k Q c , r a n k Q o r a n k Q o
表明了线性非奇异变换不改变系统的能控性和 能观性。
线性定常系统能控性结构分解
考虑不完全能控线性定常系统
x Ax Bu
y
Cx
进行系统的能控性分解，首先要选取非奇异 矩阵。下面给出具体的算法。
能控且能观的那个子系统的动态特性，即
G ( s ) C ( s I A ) 1 B C c o ( s I A c o ) 1 B c o
（3）从系统能观性分解的框图中可以看出：对上述不完全能 控、不完全能观系统，其传递函数矩阵的描述只是对系统 结构的不完全描述。若在系统中添加或删除不能控或不能 观子系统，并不影响系统的传递函数矩阵。所以说系统的 输入输出描述，只有对完全能控且完全能观的系统，才是 完全的描述。
3
x1 1 3
x2
5
7
x3 x4 x5
x6
4 1 0 4
1 1 0 1
x3 x4 x5
4 0 1
3
0 6
u
x6 0 0
x7
5
1
x7
9
2
x8
0 5 x8 0 0
y1 y2
3 1
1 4
0 0
5 2
1 0 0
1 0
xc xc
1
0
2 0
1 0
xc xc
0
0
1 u
0
y 0
2
1
xc xc
线性定常系统能观性结构分解
• 系统按能观性的结构分解的所有结论，都对偶于 系统按能控性的结构分解的结果。
• 对给定不完全能观的线性定常系统
x Ax Bu
y
Cx
按如下算法求取系统的能观性结构分解。
• 线性定常系统由Jordan标准型的结构分解
若已将系统化为Jordan标准型，然后按能控判别 法和能观判别法各状态变量的能控性和能观性， 最后按能控能观、能控不能观、不能控能观和不 能控不能观四种类型分别排列，也可进行系统的 规范分解。
例：给定系统的Jordan标准型为
x1 3 1
x2
0
（3）从系统能观性分解的框图中可以看出：系统的 输出只与能观子系统的状态有关，而不能观子系 统的状态无法影响能观子系统的状态，因此，输 出信号不能反映不能观子系统的状态信息。
• 按能控性和能观性分解 对n维线性定常系统
x Ax Bu
y
Cx
一般情况下，系统可能既不完全能控，也不完全能观。设 系统能控性判别矩阵的秩和能观判别矩阵的秩分别为
9 4 1 0
2
3 6
u
0
0 5
0
0
1
0 0
xco
y1 y2
3 1
1 4
3 7
0 0
0 0
5 2
6 1
0 0
xco xco xco
• 相当于对原系统矩阵进行行操作、列操作， 即进行代数等价变换。上述分解仅仅适用 于特征值几何重数都为1的情形。
0 0
0 0
3 7
6
x
1
• 根据Jordan标准型的能控能观性的判别准则，可 以判定：
1. 能控状态变量为：x1,x2,x3,x5,x7 2. 不能控状态变量为：x4, x6, x8 3. 能观测状态变量为：x1,x2,x4,x7,x8 4. 不能观状态变量为：x3, x5 , x6 • 写成分状态的形式为
xco xco xco xco
Bco Bco 0 0
u
xco
y C co
0
C co
0
xco xco xco
• 对系统的能控和能观性结构分解做几点说明 （1）在系统的规范型分解中，系统被分解为完全能控能观、
能控但不能观、不能控但能观和不能控不能观四个子系统。 （2）反映系统输入输出特性的传递函数矩阵只能反映系统中
控制系统的结构分解
• 系统结构的分解也称为卡尔曼标准分解。它 是讨论不完全能控和不完全能观的系统状态 的分解。系统通过代数等价变换，可以将状 态变量分解成四个部分：能控能观部分 x c o 。 能控不能观部分 x c o ，不能控能观部分 x c o 和不 能控不能观部分 x c o 。这样系统可以分解为相 应的四个子系统，称为系统的结构分解。
• 算法（能观性结构分解的求取） 1. 列写系统的能观性判别矩阵
C
Q
o
CA
C
A
n 1
并计算 rank Q。o l
2. 在 Q o 中任意选取 l 个线性无关的行向量 h1,h2, hl， 再任取 (n l ) 个行向量 hl1, ,hn ，使得 h 1, hl,hl 1, ,hn 线性无关。
达形式，即
xˆ
o
xˆ o
Aˆ o Aˆ 2 1
0 Aˆ o
xˆ o xˆ o
பைடு நூலகம்
Bˆ o Bˆ o
u
y Cˆo
0
xˆo xˆo
对系统的能观性的结构分解做几点说明
（1）在系统的能观性分解中，系统被分解为完全能 观和完全不能观的两个子系统。
（2）能观子系统的传递函数等于整个系统的传递函 数，即 C ˆ o (sIA ˆo) 1B ˆoC (sIA ) 1B
例1 给定线性定常系统，进行能控性分解。
1 1 1 0 1
x 0
1
0
x
1
0 u
1 1 1 0 1
解：r a n kQ c r a n k [B A B ] 2 3
在 Q中c 取线性无关的列向量 q1[010]T,，q2再[1 任01]T
取
q，3 从[1而00构]T 成矩阵
P 1
• 通过求逆，可得矩阵P。 • 于是可计算 A P A P 1,B P B ,C C P 1
（2）能控子系统的传递函数等于整个系统的传递函 数，即 C c(s I A c) 1 B c C (s I A ) 1 B
（3）从系统能控性分解的框图中可以看出：系统的 不能控部分既不受输入u的直接影响，也没有通过 能控状态而受到u的间接影响。因此，系统的不能 控部分不能由输入u和输出y之间的传递关系来反映。 换言之，系统的传递函数（矩阵）没有完全反映系 统的内部不能控状态分量的动态品质。