大学线性代数1(1)、矩阵的乘法、n次幂

矩阵的乘法
前提：只有当第一个矩阵(左边的矩阵)的列数与第二个矩阵(右边的矩阵)的行数相等时，两个矩阵才能相乘。

即：A m×s B s×n
注意：(1)矩阵乘法不满足交换律，即一般情况下AB≠BA
(2)矩阵A与B满足AB=0，不能推出A=0或B=0的结论
(3)在不改变左右顺序的情况下，满足结合律
(4)特别的,满足：
单位矩阵乘任何另一矩阵等于此任意矩阵本身E m A m×n=A m×n E n=A m×n
零矩阵乘任何矩阵都得到零矩阵
求矩阵A的n次幂
1.方法一：数学归纳法
例题：已知A=(11
01
)求A n
解：因为A2=(11
01)
2
=(11
01
)(11
01
)=(12
01
)A3=(13
01
)
猜想A n=(1n
01
)
假设n=k时满足A k=(1k
01),只需证A k+1=(1k+1
01
)
当n=k+1时，A k+1=A k A=(1k
01)(11
01
)=(1k+1
01
)
猜想成立
2.方法二：利用二项式展开公式
将矩阵A分解成A=F+G,要求矩阵F与G的方幂容易计算,且FG=GF.一般地,F和G有一个是单位矩阵E时,计算更加容易
牛顿二项展开公式：（a+b）n
=C n0a n b0+C n1a n−1b1+…+C n n−1a1b n−1+C n n a0b n
应用二项展开公式：（B+E）n
=C n0B n E0+C n1B n−1E1+…+C n n−1B1E n−1+C n n B0E n
例题：已知A=(11
01
)求A n
解：A=(11
01)= (01
00
)+ (10
01
)=B+E
A n=(B+E)n=C n0
B n E0+
C n1B n−1E1+…+C n n−1B1E n−1+C n n B0E n
=C n0B n+C n1B n−1+…+C n n−1B1+C n n B0
=C n0B n+C n1B n−1+…+C n n−1B1+C n n B0
=C n0B n+C n1B n−1+…+nB+E
且B0=E, 又因为 B2=(01
00)
2
=(00
00
)所以B n=(00
00
)
A n=(B+E)n= nB+E
3.方法三：乘法结合律
若A=αβT，其中α和β都是n×1矩阵（列矩阵），且βTα=C（常数），利用乘法结合律，有
A n=(αβT)( αβT)…(αβT)( αβT)=α(βTα)(βTα)…(βTα)βT
= α(βTα)n−1βT
= αC n−1βT
=C n−1 αβT
=C n−1A
例题:已知α=（1,2,3），β=（1，1
2，1
3
），设A=αTβ，求A n
解：αTβ=(1
2
3
)
3×1
（1，1
2
，1
3
）
1×3
=
(
11
2
1
3
212
3
33
2
1
)
→结果是3×3矩阵
βαT=（1，1
2，1
3
）
1×3
(
1
2
3
)
3×1
=3 →结果是1×1矩阵
A n=(αTβ)( αTβ)…(αTβ)( αTβ)= αT(βαT)(βαT)…(βαT)β
= αT(βαT)n−1β
=αT3n−1β
=3n−1( 1121321
233321)。