数学物理方法之行波法与达朗贝尔公式

数学物理方法

泰山医学院

于承斌

cbyu@

第十四章行波法与达朗贝尔公式

14.1 二阶线性偏微分方程的通解

对于给定的偏微分方程，一般不能简单的确定通解，

但对简单的标准形式的方程或一个标准形式进一步化简后，

有的可以得到通解。

例14.1.1 求偏微分方程的通解为:板书讲解P280

例14.1.2 求偏微分方程的通解为:板书讲解P281

14.2 二阶线性偏微分方程的行波解

通解法中有一种特殊的解法――行波法, 即以自变量的线性组合作变量代换，进行求解的一种方法，它对波动方程

类型的求解十分有效.

1.简单的含实系数的二阶线性偏微分方程

为了方便起见，我们首先讨论如下的含实常系数的

简单二阶线性偏微分方程

xx xy yy au bu cu ++=(14.2.1)方程中的系数,,a b c 为实常数．

,,a b c (,)x y （说明：这里我们用了小写字母表示它是实常数，而不是的函数）

假设方程的行波解具有下列形式

(,)()

u x y F y x λ=+代入方程即得2()()()0a F y x b F y x cF y x λλλλλ′′′′′′+++++=需要求方程的非零解，故

20a b c λλ++=(14.2.2)

''()0

F y x λ+≠上述方程变为

(i) 2

40b ac ∆=−>12(,)()()

u x y F y x G y x λλ=+++(14.2.3)2

40b ac ∆=−=(ii) 122b a

λλ==−对应于抛物型方程，式(14.2.2)有相等的实根11(,)()()u x y F y x xG y x λλ=+++(14.2.4)

对应于双曲型方程，式(14.2.2)有两个不同的实根12,λλ

240b ac ∆=−<12i ,i λαβλαβ=+=−(iii) ，对应于椭圆型方程，式（14.2.4）

，则有两个虚根

12(,)()()[()i ][()i ]

u x y F y x G y x F y x x G y x x λλαβαβ=+++=++++−(14.2.5)

2. 更为一般的含实常系数的偏微分方程

如果方程具有更一般的形式

222220u u u u u a b c d e fu x x y y x y ∂∂∂∂∂+++++=∂∂∂∂∂∂(14.2.6)

其中,,,,,a b c d e f 均为实常数．我们可以令

(14.2.7)代入方程（14.2.6）得

(14.2.8)

(,)mx ny u x y e

+=220am bmn cn dm en f +++++=

12()()12(,)mx n m y mx n m y u x y c e

c e ++=+14.2.92(i) 40,b ac −>双曲型，上述方程有两个不同的实根

，则

1(),n m 2()n m 2(ii) 40,b ac −=抛物型，上述方程有相等的实根

，则

12()()n m n m =

(14.2.11)

2(iii) 40,b ac −<椭圆型，上述方程有两个共轭虚根，则12()(),()()n m i m n m i m αβαβ=+=−[()()][()()]12(,)mx m i m y mx m i m y

u x y c e c e αβαβ+++−=+(14.2.10)

（注明：上式中的第二项乘以x 是为了保证两根线性独立）12()()12(,)mx n m y mx n m y

u x y c e c xe ++=+例题14.2.1 14.2.2 14.2.3 14.2.4 讲解

本节以行波解法为依据，介绍求解定解问题的达朗贝尔公式.

14.3.1 达朗贝尔公式

设有一维无界弦自由振动（即无强迫力）定解问题为

14．3 达朗贝尔公式

2

,0

(14.3.1)

0(,0)()(.0)()

tt xx t x t u a u u x x u x x ϕψ−∞<<+∞>−===

容易得知偏微分方程的判别式2

40a ∆=>，该方程为双曲型．由

22

a λ−=12 , a a

λλ==−泛定方程（14.3.1）的通解为

12(,)()()

u x t F x at F x at =++−(14.3.2)

其中12,F F 是任意两个连续二次可微函数．我们使用初始条件可确定12,F F 函数．

注：本问题由于涉及无界弦问题，故没有边界条件，

只有初始条件。由初始条件得到

12(,0)()()()

u x F x F x x ϕ=+=(14.3.3a)12()()()

a x aF x x F ψ′−=′(14.3.3b)

将(14.3.3b)积分得到

121()()()d x

x F x F x c

a

ψξξ−=+∫(14.3.3c)

0,x c

x x =其中

均为常数．其中c 可以通过上式令代入确定，即为

1020()()

c F x F x =−由式(14.3.3a)和(14.3.3c)联立求解得到

001102021020111

()()()d [()()]222

111

()()()d [()()]222

x x x x F x x F x F x a F x x F x F x a ϕψξξϕψξξ=++−=−−−∫∫