甘肃省兰州第一中学2019届高三12月月考数学(文)试卷 Word版含解析

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2019届甘肃省兰州第一中学 高三12月月考数学（文）试题
数学
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、单选题 1．已知集合A ={x | 
2x−1x−2<1 },B ={x | y =log 2(x 2−3x +2) },则A ∩B =
A ．(−∞,−1)
B ．(1
2,1) C ．(2,+∞) D ．(−1,1) 2．设p:b <a <0，q:1
a
<1
b ，则p 是q 成立的
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 3．已知{a n }是等比数列，a 7=−4,a 11=−16，则a 9= A ．−4√2 B ．±4√2 C ．−8 D ．±8
4．已知实数x ，y 满足{x −y +1≥0
x +y −1≥0x ≤3 ，则y+3
x+1的最小值是
A ．1
4 B ．4 C ．−1
4 D ．−4
5．若将函数f(x)=sin (2x +π
3)的图象向左平移φ (φ>0)个单位，所得图象关于原点对称，则φ
最小时，tan φ=
A ．−
√33
B ．√3
3 C ．−√3 D ．√3
6．已知数列{a n }满足a n =1
4n 2−1，S n =a 1+a 2+⋯+a n ，若m >S n 恒成立，则m 的最小值为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．1
2
7．设M 是ΔABC 边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，若AN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =λAB ⃑⃑⃑⃑⃑ +μAC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，则λ+μ的值为 A ．1
2
B ．1
3
C ．1
4
D ．1
8．已知非零向量a ⃗，b ⃑⃗，满足| a ⃗ |=2| b ⃑⃗ |，若函数f(x)=13
x 3+1
2
|a ⃗|x 2+a ⃗⋅b
⃑⃗x +1在R 上存在极值，则a ⃗和b
⃑⃗夹角的取值范围为 A ．[0,π
3) B ．(π
3,π] C ．[0,π
3] D ．[π
3
,π]
9．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的表面积为
A ．6+6√2
B ．8+4√2
C ．6+4√2+2√3
D ．6+2√2+4√3 10．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知(a 5−1)3+2018(a 5−1)=1， (a 2014−1)3+2018(a 2014−1)=−1，则下列结论正确的是 A ．S 2018=−2018,a 2014>a 5 B ．S 2018=2018,a 2014>a 5 C ．S 2018=−2018,a 2014<a 5 D ．S 2018=2018,a 2014<a 5
11．已知锐角ΔABC 的一边BC 在平面α内，A ∉α，点A 在平面内的射影为点P ，则∠ABC 与∠BPC 的大小关系为
A ．∠BAC <∠BPC
B ．∠BA
C >∠BPC C ．∠BAC =∠BPC
D ．以上情况都有可能
12．已知函数f(x)={e x , x <06x 3−9x 2
+1, x ≥0 ，则函数g(x)=2[f(x)]2−3f(x)−2的零点个数为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
二、填空题
13．在ΔABC 中，AB=3，AC=4，BC=3，D 为BC 的中点，则AD=__________．
14．若曲线f(x)=4lnx −x 2在点(1,-1)处的切线与曲线y =x 2−3x +m 相切，则m 的值是_________.
此
卷只装
订
不
密
封
班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
15．已知球O 为正四面体ABCD 的内切球，E 为棱BD 的中点，AB =2，则平面ACE 截球O 所得截面圆的面积为__________．
16．已知OA ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,0), OB ⃑⃑⃑⃑⃑ =(1,1), (x,y)=λOA ⃑⃑⃑⃑⃑ +μOB ⃑⃑⃑⃑⃑ .若0≤λ≤1≤μ≤2,z =x m +y n (m >0, n >0)的最大值为2，则m+n 的最小值为____________.
三、解答题
17．已知{a n }是公差为1的等差数列，且a 1，a 2，a 4成等比数列． （Ⅰ）求{a n }的通项公式；
（Ⅱ）求数列{a n
2
n }的前n 项和．
18．某地区某农产品近几年的产量统计如表：
（Ⅰ）根据表中数据，建立关于的线性回归方程y ̂=b ̂t
+a ̂； （Ⅱ）根据线性回归方程预测2019年该地区该农产品的年产量.
附:对于一组数据(t 1，y 1)，(t 2，y 2)，...，(t n ，y n )，其回归直线y ̂=b ̂t +a ̂的斜率和截距的最小二乘估计分别为：b ̂=∑(t i −t )(y i −y ̅)n
i=1∑(t i −t )2
n
i=1，a ̂=y ̅−b ̂t .(参考数据:∑(t i −t )(y i −y ̅)6
i=1
=2.8，计算结果保留小数点后两位）
19．如图，在长方形ABCD 中，AB=π ,AD=2,E,F 为线段AB 的三等分点，G 、H 为线段DC 的三等分点．将长方形ABCD 卷成以AD 为母线的圆柱W 的半个侧面，AB 、CD 分别为圆柱W 上、下底面的直径．
（Ⅰ）证明：平面ADHF ⊥平面BCHF ；
（Ⅱ）若P 为DC 的中点，求三棱锥H —AGP 的体积．
20．已知定点F(1,0)，定直线：x=-1，动圆M 过点F ，且与直线相切. （Ⅰ）求动圆M 的圆心轨迹C 的方程；
（Ⅱ）过点D(1,2)作两条倾斜角互补的直线分别交抛物线C 于异于点D 的两点P,Q ，试证明直线PQ 的斜率为定值，并求出该定值.
21．设函数f(x)=x −2
x −a(lnx −
1x 2
) (a >0)．
（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间；
（Ⅱ）记函数f(x)的最小值为g(a)，证明：g(a)<1． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]
在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为{x =2+2cosφy =2sinφ
（φ为参数）.以原点O 为极点，x 轴
非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=4sinθ.
(I )求曲线C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；
(Ⅱ)已知曲线C 3的极坐标方程为θ=α(0<α<π)，点A 是曲线C 3与C 1的交点，点B 是曲线C 3与C 2的交点，且A ，B 均异于原点O ，AB =4√2，求α的值.
23．[选修4-5：不等式选讲]
已知函数 f(x)=|2x −1|−|x +2| （Ⅰ）求不等式f(x)>0的解集；
（Ⅱ）若关于x 的不等式|2m +1|≥f(x +3)+3|x +5|有解，求实数m 的取值范围.
2019届甘肃省兰州第一中学
高三12月月考数学（文）试题
数学答案
参考答案
1．D
【解析】
【分析】
求出A与B中不等式的解集确定出A与B，找出两个集合的交集即可. 【详解】
解：由A中不等式变形得：2x−1
x−2−1<0，即为2x−1−(x−2)
x−2
<0变形可得：(x−2)(x+1)<0，
解得−1<x<2，即A=(−1,2)，对于B中由x2﹣3x+2＞0，得x＜1或x＞2，故B={x|y=log2（x2﹣3x+2）}={x|x＜1或x＞2}，即A∩B=(−1,1).
故选:D.
【点睛】
本题考查函数的定义域及其求法及分式不等式解法，考查交集及其运算，是基础题．
2．A
【解析】
【分析】
根据条件，分析是否成立即可。

【详解】
若b<a<0，则1
a <1
b
成立，所以是充分性
若1
a <1
b
，则当0<b，a<0时成立，不满足b<a<0，所以不是必要性
所以p是q的充分不必要条件
所以选A
【点睛】
本题考查了不等式成立条件及充分必要条件，属于基础题。

3．C
【解析】
【分析】
由等比数列性质知a92=a7⋅a11，且a9=a7q2=−4q2<0由此能求出a9的值．
【详解】
解：∵数列{a n}为等比数列，且a11=−16,a7=−4,∴a92=a7⋅a11=（﹣4）•（﹣16）=64，且a9=a7q2=−4q2<0，∴a9=﹣8．
故选：C．
【点睛】
本题考查等比数列的性质，考查推理论证能力、运算求解能力，是基础题．4．A
【解析】
【分析】
作出不等式组对应的平面区域，利用直线斜率的几何意义进行求解即可．
【详解】
解：作出不等式组{
x−y+1≥0
x+y−1≥0
x≤3
对应的平面区域，
y+3
x+1
的几何意义是区域内的点到定点D（﹣1，-3）的斜率，
令：k=y+3
x+1
，由图象知：CD的斜率最小，BD的斜率最大，
{
x=3
x+y−1=0C（3，﹣2），{
x=3
x−y+1=0可得B（3，4），
此时BD的斜率k=−3−4
−1−3
=7
4
，
CD的斜率k=−3−(−2)
−1−3
=1
4
，则y+3
x+1
的最小值是1
4
.
故选：A．
【点睛】
本题主要考查线性规划的应用以及直线斜率的求解，利用数形结合是解决本题的关键．5．B
【解析】
函数向左平移后得到y=cos(2x+2φ+π
6
)，其图像关于原点对称为奇函数，故2φ+π
6
=kπ+π
2
，
即φ=kπ
2
+π
6
，φmin=π
6
,tanπ
6
=√3
3
.
6．D
【解析】
【分析】
由a n =
14n −1
=
1
2n−12n+1=12(12n−1−12n+1)进行列项相消求和得S n =n
2n+1再求出S n 的最大值即可得到的范围.
【详解】 解:∵a n =
14n −1
=
1
2n−12n+1=12(12n−1−1
2n+1) ∴S n =1
2(1−1
3+1
3−1
5+⋯+1
(2n−1)−1
(2n+1))=1
2(1−1
3+1
3−1
5+⋯+1
(2n−1)−1
(2n+1)) =1
2(1−1
(2n+1)
)=n
2n+1，又∵S n =n
2n+1=12(2n+1)−1
2
2n+1
=1
2−
1
2
2n+1
在n ∈N ∗上单调递增，故当n →
+∞时S n →12
，若m >S n 恒成立，则m ≥12
则m 的最小值为12
.
故选：D. 【点睛】
本题主要考查对数列的通项公式进行变形再利裂项相消对数列求和,解题的关键是正确求出S n 的最大值.
7．A 【解析】
分析：因为M 为边BC 上任意一点，故将AN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =λAB ⃑⃑⃑⃑⃑ +μAC ⃑⃑⃑⃑⃑ 中的AN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 化为AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ 得1
2AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =λAB ⃑⃑⃑⃑⃑ +μAC ⃑⃑⃑⃑⃑ 变形得AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =2λAB
⃑⃑⃑⃑⃑ +2μAC ⃑⃑⃑⃑⃑ 。

则2λ+2μ=1，可得λ+μ=12。

详解：因为N 为AM 的中点，AN
⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =λAB ⃑⃑⃑⃑⃑ +μAC ⃑⃑⃑⃑⃑ ， 所以1
2AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =λAB ⃑⃑⃑⃑⃑ +μAC ⃑⃑⃑⃑⃑ ， 即 AM ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =2λAB ⃑⃑⃑⃑⃑ +2μAC ⃑⃑⃑⃑⃑ 因为M 为边BC 上任意一点， 所以2λ+2μ=1， 所以λ+μ=1
2。

故选A 。

点睛：由AN ⃑⃑⃑⃑⃑⃑ =λAB ⃑⃑⃑⃑⃑ +μAC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，求λ+μ的值。

注意结论的运用：若O,A,B,C 是一平面内四点，若OA ⃑⃑⃑⃑⃑ =λOB
⃑⃑⃑⃑⃑ +μOC ⃑⃑⃑⃑⃑ ，则λ+μ=1。

反之成立。

8．B 【解析】 【分析】
先求导数f ′(
x )=x 2
+|a →|x +a →
⋅b →
,而根据f （x ）在R 上存在极值便有f′（x ）=0有两个不同实数根，从而△=|a →|2
−4a →
⋅b →
>0 这样即可得到cos <a →,b →
><1
2
这样由余弦函数的图象便可得出<
a →,
b →
>的范围，即得出结果.
【详解】
解：f ′(
x )=x 2
+|a →|x +a →
⋅b →
， ∵f （x ）在R 上存在极值； ∴f′（x ）=0有两个不同实数根；
△=|a →|2
−4a →
⋅b →
>0;即|a →|2
−4|a →
|⋅|b →
|cos <a →,b →
>>0，因为| a ⃗ |=2| b ⃑⃗ |， ∴cos <a →,b →
><
|a →
|4|b →|
=
2|b →
|4|b →
|
=1
2；<a →,b →
>∈(π
3,π]；
∴a →
与b →
夹角的取值范围为(π
3,π] . 故选：B ． 【点睛】
考查函数极值的概念，以及在极值点两边的导数符号的关系，一元二次方程的实数根的个数和判别式△取值的关系，数量积的计算公式，并要熟悉余弦函数的图象． 9．C 【解析】
所以棱锥P-ABCD 的表面积为2√2×2+√3
4
×(2√2)2+3×1
2
×2×2=6+4√2+2√3
选C.
点睛:空间几何体表面积的求法
(1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．
(2)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理． (3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用． 10．
D
【解析】
【分析】
由题意构造函数f（x）=x3+2018x，求出f′（x），判断出函数f（x）为单调递增函数且为奇函数，由已知的两等式得到f（a5﹣1）=1及f（a2014﹣1）=﹣1，由f（x）为奇函数得到f（1﹣a2014）=1，由函数的单调性得到a5﹣1与1﹣a2014相等即a5+a2014=2，然后根据等差数列的前n项和的公式表示出S2018，根据等差数列的性质化简后，将a5+a2014=2代入即可求出值，再根据单调性判断出a5＞a2014．
【详解】
解：令f（x）=x3+2018x，则f′（x）=3x2+2018＞0，
得到f（x）在R上单调递增，且f（x）为奇函数．
由条件，有f（a5﹣1）=1，f（a2014﹣1）=﹣1，即f（1﹣a2014）=1．
∴a5﹣1=1﹣a2014，从而a5+a2014=2，
则S n=2018(a1+a2018)
2=2018(a5+a2014)
2
=2018
∵f（a5﹣1）=1，f（a2014﹣1）=﹣1，f（x）在R上单调递增，
∴a5﹣1＞a2014﹣1，即a5＞a2014，
故选：D．
【点睛】
本题考查灵活运用等差数列的性质及前n项和的公式化简求值，函数的单调性与导数的关系，考查了构造函数、利用函数思想解决实际问题的能力,是一道中档题．
11．A
【解析】
【分析】
过点p作PD⊥BC于点D，连接AD.在RtΔACD和RtΔPCD中分别计算tan∠CAD和tan∠CPD就可
以比较∠CAD和∠CPD的大小，进而比较∠BAC和∠BPC大小.
【详解】
解：过点p作PD⊥BC于点D，连接AD如下图.则BD⊥面APD,
在RtΔACD中，tan∠CAD=CD
AD
，
在RtΔPCD中，tan∠CPD=CD
PD
,
在RtΔAPD中，AD>PD,所以CD
AD <CD
PD
也即tan∠CAD<tan∠CPD，由于都是锐角，故∠CAD<
∠CPD；
同理可得∠BAD<∠BPD;
所以∠CAD+∠BAD<∠CPD+∠BPD即∠BAC<∠BPC.
【点睛】
解决本题的关键作出辅助线，通过直角三角形中正切值可比出角的大小，属于中档题.
12．B
【解析】
【分析】
根据x<0，x≥0时f（x）的单调性和最值，作出y=f（x）的图象，设m=f（x），则g(x)=2[f(x)]2−
3f(x)−2变形为2m2﹣3m-2=0，解得m=2或-1
2
，再由图像f（x）=2或f（x）=-1
2
得交点个数即为零点个数.
【详解】
解：由题意，当x≥0，f(x)=6x3−9x2+1, f′(x)=18x2−18x=18x(x−1),故当x∈(0,1)时，f′(x)<0；当x∈(1,+∞)时，f′(x)>0且f(1)=−2，作出f(x)的大致图像，令g(x)=2[f(x)]2−
3f(x)−2中m=f(x)变形为2m2﹣3m-2=0，解得m=2或-1
2
，再由图像f（x）=2或f（x）=-1
2
，观察可知，函数g(x)的零点个数为3.
【点睛】
本题函数与方程的应用，函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，考查学生分析解决问题的能力，函数的性质等基础知识．
13．√41
2
.
【解析】
【分析】
首先应用余弦定理，利用三角形的边长，求得cosB 的值，之后在ΔABD 中，根据余弦定理，从而求得AD 的长.
【详解】
在ΔABC 中，根据余弦定理，可得cosB =
32+32−422×3×3
=1
9，
在ΔABD 中，根据余弦定理，可得AD 2=32+(3
2)2−2×3×3
2×1
9=41
4
， 所以AD =√412，故答案是√41
2
. 【点睛】
该题考查的是三角形中有关边长的求解问题，涉及到的知识点有余弦定理，一步是应用余弦定理求内角的余弦值，第二步是借助于所求的余弦值求边长，正确应用公式是解题的关键.
14．13
4 【解析】 【分析】
利用导数的几何意义得到切线方程，联立方程，由判别式法得到m 的值. 【详解】
因为f(x)=4lnx −x 2，所以f ′(x)=4
x −2x ，所以f ′(1)=2，
所以曲线f(x)在点(1,−1)处的切线方程为y +1=2(x −1)，即y =2x −3， 联立{
y =2x −3y =x 2−5x +m +3 得x 2−5x +m +3=0， 为直线与曲线相切，
所以Δ=25−4(m +3)=0，解得m =134.
故答案为：13
4 【点睛】
求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点P(x 0,y 0)及斜率，其求法为：设P(x 0,y 0)是曲线y =f(x)上的一点，则以P 的切点的切线方程为：y −y 0=f′(x 0)(x −x 0)．若曲线y =f(x)在点P(x 0,f(x 0))的切线平行于y 轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为x =x 0．
15．π
6 【解析】
分析: 根据正四面体的性质，可得内切球半径，根据平面ACE 截球O 所得截面经过球心，可得答案．
详解: ∵球O 为正四面体ABCD 的内切球，AB=2，
所以正四面体的体积为13×(√34×22)×2
3√6.
设正四面体的内切球半径为r,
则4×1
3×(√3
4×22)×r =1
3×(√3
4×22)×2
3√6 故内切球半径r=√6
6，
平面ACE 截球O 所得截面经过球心，
故平面ACE 截球O 所得截面圆半径与球半径相等， 故S=πr 2=π
6，
点睛：本题主要考查几何体的内切球外接球问题，考查正四面体的性质.它的关键在于找到内切球的半径，关键在于找到关于r 的方程.球心和正四面体的每一个顶点连接起来，得到四个小的三棱锥，它们的体积的和等于正四面体的体积，本题就是根据体积相等列出关于r 的方程的. 16．5
2+√6 【解析】
试题分析：OA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(1,0),OB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗=(1,1),(x,y)=λOA ⃑⃑⃑⃑⃑⃗+μOB ⃑⃑⃑⃑⃑⃗ ⇒{λ=x −y μ=y ，由0≤λ≤1≤μ≤2 ⇒
{0≤x −y ≤11≤y ≤2 ，作出此可行域如图所示，当直线z =x m +y n 经过点A(3,2)时，有最大值2，所以3m +2n =
2，则m +n =(m +n)⋅(
32m
+1n
)=52
+
3n 2m
+
m n
≥52
+√6，当且仅当
3m 2n
=m n
，即m =
3+√62
,n =1+
√6
2
时取等号，故答案填5
2+√6.
考点：1、平面向量；2、线性规划；3、基本不等式.
【思路点晴】本题是一个关于平面向量、线性规划以及基本不等式方面的综合性问题，属于难题.解决本题的基本思路及切入点是：首先根据题目条件将λ,μ的限制范围转化为x,y
限制范围，也就
是关于x,y 的可行域，然后再根据线性规划的知识得出m,n 的关系，最后再结合基本不等式，即可求出m +n 的最小值.不过在此过程中要特别注意不等式取等号的条件，即“一正、二定、三相等”，否则容易出错.
17．（1）a n =n ．（2）S n =2−n+22n
．
【解析】 【分析】
（1）根据等差数列通项公式和等比中项定义，求得首项和公差，进而求得a n 的通项公式。

（2）数列a n
2
n 可以看成等差数列与等比数列的乘积，因而前n 项和可用错位相减法求解。

【详解】
（1）由题意得a 22=a 1a 4，∴(a 1+1)2=a 1(a 1+3)，故a 1=1， 所以{a n }的通项公式为a n =n ． （2）设数列C 的前n 项和为S n ，则 S n =1
2
+
222
+
323
+⋯+
n 2n
，
1
2S n =1
22+2
23+3
24+⋯+n
2n+1，两式相减得1
2S n =1
2+(1
22+1
23+1
24+⋯+1
2n )−n
2n+1
=1−
12
n −
n 2n+1
， 所以S n =2−n+22n
．
【点睛】
本题考查了等差数列通项公式、等比中项的定义，错位相减法在求和公式中的应用，属于基础题。

18．（1）y ̂=0.16t +6.44．
（2）预测2019年该地区该农产品的年产量约为7.72万吨． 【解析】
【分析】
（1）先求得t,y ，然后利用线性回归方程的计算公式计算得到b ̂,a ̂的值，从而求得线性回归方程.（2）将t =8代入（1）求得的回归直线方程，来求2019年产量的预测值.
【详解】
（1）由题意可知：t =1+2+3+4+5+66
=3.5，
y ̅=
6.6+6.7+7+
7.1+7.2+7.4
6
=7，
∑(t i −t )2=(−2.5)2+(−1.5)2+(−0.5)2+0.52+1.52+2.52=17.56
i=1，
∴b ̂=∑(t i −t )(y i −y ̅)
n
i=1∑(
t 1−t
)2n i=1
= 2.817.5
=0.16，
又a ̂=y ̅−b ̂t =7−0.16×3.5=6.44， ∴y 关于t 的线性回归方程为y ̂=0.16t +6.44．
（2）由（1）可得，当年份为2019年时，年份代码t =8，此时y ̂=0.16×8+6.44=7.72， 所以，可预测2019年该地区该农产品的年产量约为7.72万吨． 【点睛】
本小题主要考查回归直线方程的求法，并考查了利用回归直线方程来预测的知识.求解回归直线方程，只需要将题目所给的数据，代入回归直线方程的计算公式，即可求解出来.属于基础题.主要是运算不要出错，并且，回归直线方程值y =bx +a ，不是y =ax +b ，这一点要特别注意.
19．（1）见解析（2）√3
6
【解析】 【分析】
(1)H 在下底面圆周上，且CD 为下底面半圆的直径,得到DH 垂直于HC ，DH ⊥FH 进而得到DH ⊥
平面BCFH ，最终根据面面垂直的判定定理得到面面垂直；(2) 三棱锥H −AGP 的体积V =V A−PGH =
13
×S ΔPGH ×|AD |，因为G 、H 为DC
⃑⃑⃑⃑⃑⃗的三等分点结合题干条件得到ΔPDG,ΔPGH,ΔPHC 均为边长等于1的等边三角形，进而求得结果.
【详解】
（1）因为H 在下底面圆周上，且CD 为下底面半圆的直径 所以DH ⊥HC
又因为DH ⊥FH ，且CH ∩FH =H ，所以DH ⊥平面BCHF
又因为DH ⊂平面ADHF ，所以平面ADHF ⊥平面BCHF （2）设下底面半径为r ， 由题πr =π，所以r =1， 因为下底面半圆圆心为P ， 所以PD =PG =PH =PC =r =1
又因为G 、H 为DC
⃑⃑⃑⃑⃑⃗的三等分点， ∴∠DPG =∠GPH =∠HPC =60∘
所以ΔPDG,ΔPGH,ΔPHC 均为边 长等于1的等边三角形， 所以ΔPGH 的面积S ΔPGH =
√3
4
所以三棱锥H −AGP 的体积V =V A−PGH =1
3×S ΔPGH ×|AD |=√36
【点睛】
这个题目考查了面面垂直的判定，空间几何体的体积的求法，求椎体的体积，一般直接应用公式底乘以高乘以三分之一，会涉及到点面距离的求法，点面距可以通过建立空间直角坐标系来求得点面距离，或者寻找面面垂直，再直接过点做交线的垂线即可;当点面距离不好求时，还可以等体积转化.
20．（Ⅰ）y 2
=4x （Ⅱ）−1 【解析】 【分析】
（Ⅰ）设M(x ，y)，由√(x −1)2+y 2=|x +1|化简即可得结论；
（Ⅱ）设直线DP 的斜率为k(k ≠0)，则直线DQ 的斜率为−k ，联立直线方程与抛物线方程求出P 、Q 两点坐标，继而求出斜率
【详解】
（Ⅰ）设点M 到直线l 的距离为d ，依题意|MF |=d 设M (x,y )，则有√(x −1)2+y 2=|x +1|
化简得y 2=4x
所以点M 的轨迹C 的方程为y 2=4x
（Ⅱ）设直线DP 的斜率为k(k ≠0)，则直线DQ 的斜率为−k .令t =1
k ， 联立方程组：{x −1=t(y −2)y 2
=4x
，消去x 并整理得：y 2−4ty +8t −4=0 设P(x p ，y p )，因为点D 的坐标为(1,2)，所以2y p =8t −4，故y p =4t −2，
从而点P 的坐标为(4t 2−4t +1，4t −2)，用−t 去换点P 坐标中的t 可得点Q 的坐标为(4t 2+4t +1，−4t −2)，所以直线PQ 的斜率为(−4t−2)−(4t−2)
(4t 2+4t+1)−(4t 2−4t+1)=−1
【点睛】
本题主要考查直接法求轨迹方程、点到直线的距离，求轨迹方程的常见方法很多，本题采用了直接法，设出动点的坐标(x ，y)，根据题意列出关于x ，y 的等式即可。

在求直线的斜率为定值时需要求出两点坐标，结合斜率公式求出结果。

21．（Ⅰ）f(x)在( 0 , a )上单调递减，在( a , +∞ )上单调递增．（Ⅱ）见解析
【解析】 【分析】
（Ⅰ）f (x )的定义域为（0，+∞），求出导函数，判断导函数的符号，判断函数的单调性即可；（Ⅱ）要证g(a)<1，即证a −alna −1
a <1，即证明1−lna −
1a 2
<1
a
，构造函数，判断函数的单调
性，通过函数的最小值推出结果即可．
【详解】
解：（Ⅰ）显然f(x)的定义域为( 0 , +∞ )． f ′(x)=1+
2x
2−a(1x
+
2x
3)=
x 2+2x 2
−a ⋅
x 2+2x 3
=
(x 2+2)(x−a)
x 3
．
∵x 2+2>0，x >0，
∴若x ∈( 0 , a )，x −a <0，此时f ′(x)<0，f(x)在( 0 , a )上单调递减； 若x ∈( a , +∞ )，x −a >0，此时f ′(x)>0，f(x)在( a , +∞ )上单调递增； 综上所述：f(x)在( 0 , a )上单调递减，在( a , +∞ )上单调递增．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f(x)min =f(a)=a −2
a −a(lna −1
a 2)=a −alna −1
a ， 即：g(a)=a −alna −1
a ．
要证g(a)<1，即证明a −alna −1
a <1，即证明1−lna −
1a 2
<1
a
，
令ℎ(a)=lna +1a
+
1a 2−1，则只需证明ℎ(a)=lna +1a
+
1a 2
−1>0，
∵ℎ′(a)=1a
−
1a
2−
2
a
3=
a 2−a−2a 3
=
(a−2)(a+1)
a 3
，且a >0，
∴当a ∈( 0 , 2 )，a −2<0，此时ℎ′(a)<0，ℎ(a)在( 0 , 2 )上单调递减； 当a ∈( 2 , +∞ )，a −2>0，此时ℎ′(a)>0，ℎ(a)在( 2 , +∞ )上单调递增， ∴ℎ(a)min =ℎ(2)=ln2+1
2
+1
4
−1=ln2−1
4
>0．
∴ℎ(a)=lna +1a +1
a 2−1>0． ∴g(a)<1． 【点睛】
本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力．
22．（1）(x −2)2+y 2=4,x 2+(y −2)2=4；（2）3π
4. 【解析】 【分析】
（1）由曲线C 1的参数方程消去参数能求出曲线C 1的普通方程；曲线C 2的极坐标方程化为ρ2
＝4ρsinθ，由此能求出C 2的直角坐标方程．
（2）曲线C 1化为极坐标方程为ρ＝4cosθ，设A （ρ1，α1），B （ρ2，α2），从而得到|AB |＝|ρ1
﹣ρ2|＝|4sinα﹣4cosα|＝4√2|sin （α−π
4）|＝4√2，进而sin （α−π
4）＝±1，由此能求出结果．
【详解】
解：（1）由{x =2+2cosφy =2sinφ
消去参数φ，
得C 1的普通方程为(x −2)2+y 2=4.
∵ρ=4sinθ⇒ρ2
=4ρsinθ，又{x =ρcosθy =ρsinθ
，
∴C 2的直角坐标方程为x 2+(y −2)2=4.
（2）由（1）知曲线C 1的普通方程为(x −2)2+y 2=4， ∴其极坐标方程为ρ=4cosθ，
∴|AB |=|ρA −ρB |=4|sinα−cosα|=4√2|sin(α−π
4)|=4√2. ∴sin(α−π
4)=±1⇒α−π
4=kπ+π
2⇒α=kπ+3π4(k ∈Z)
又0<α<π，∴α=3π4
.
【点睛】
本题考查曲线的普通方程、直角坐标方程的求法，考查角的求法，涉及到直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．
23．（1）(−∞,−1
3)∪(3,+∞)；（2）(−∞,−3]∪[2,+∞) 【解析】
分析：（1）利用绝对值的定义去掉绝对值符号，分类解一元一次不等式组后再合并可得解集； （2）f(x +3)+3|x +5|=|2x +5|+|2x +10|，利用绝对值的三角不等式求得|2x +5|+|2x +10|的最小值min ，然后解不等式|2m +1|≥min 即可．
详解：（1）f(x)={x −3,x ≥1
2
−3x −1,−2<x <12
−x +3,x ≤−2
，
当x −3>0时，得x >3；当−3x −1>0时，得−2<x <−1
3；当−x +3>0时，得x ≤−2， 综上可得不等式f(x)>0的解集为(−∞,−1
3)∪(3,+∞).
（2）依题意|2m +1|≥(f(x +3)+3|x +5|)min ，
令g(x)=f(x +3)+3|x +5|=|2x +5|+|2x +10| ≥|−2x −5+2x +10|=5. ∴|2m +1|≥5，解得m ≥2或m ≤−3，即实数m 的取值范围是(−∞,−3]∪[2,+∞). 点睛：本题考查不等式“能成立”问题，要注意与“恒成立”问题的区别：
（1）“能成立”：存在x 使不等式t ≥f(x)成立⇔t ≥f(x)min ，存在x 使不等式t ≤f(x)成立⇔t ≤f(x)max ；
（2）“恒成立”：对任意的x 不等式t ≥f(x)恒成立⇔t ≥f(x)max ，对任意的x 不等式t ≤f(x)恒成立⇔t ≤f(x)min ．。