江苏省赣榆县厉庄高级中学高三数学专题复习：圆 教学设计

专题复习：圆（第二课时）
一：教学目标：
1. 掌握直线与圆的位置关系。

2．理解数列通项公式的概念，会根据通项公式写出数列的前几项，会根据简单数列的前几项写出数列的一个通项公式．
二：教学重点：
直线与圆位置关系的判断
三：教学难点：
直线与圆位置关系的应用
四：教学方法：
采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法，通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与数学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题．
五：教学策略分析
1．根据本节课教材内容的特点，为了更直观、形象地突出重点，突破难点，借助信息技术工具，以几何画板为平台，通过图形的动态演示，变抽象为直观，为学生的数学探究与数学思维提供支持．
2．由于我校学生基础薄弱，所以在整节课的教学中采用小组合作学习的方式，这样可以为不同认知基础的学生提供学习机会，同时有利于发挥各层次学生的作用．
3．本节课的教学设计遵循了“以学生为主”的教学模式，教师始终坚持启发式教学原则，设计一系列问题串，以引导学生的数学思维活动．教师在整个教学过程中，注意到了少讲，给学生充分活动的时间和空间，让学生互相评价，总结解题经验．教师的重点放在了对解法的归纳以及坐标法的思想是否得到落实上．
五、教学过程
（一）引入新知
问题1：
（1）根据图（一）直角坐标系中圆的图形，写出圆的标准方程；圆的一般方程．
（2）在图（一）中根据直线的方程画出直线，
并判断直线与圆的位置关系．
（3）在图（二）中根据直线的方程画出直线，并判断直线与圆的位置关系．
（4）在图（三）中根据直线的方程画出直线，
并判断直线与圆的位置关系．
师生活动：学生动手画图、思考，教师巡视指导，学生代表到前面演示，一边讲解做题过程一边与同学们核对．
【设计意图】通过问题的设置，可以锻炼学生动手画图的能力，同时达到复习巩固的目的，还体现曲线与方程的对应关系；启发学生由图形获取直线与圆的位置关系以及判断方法的直观认知，为新课的学习奠定坚实的基础．
思考1：在核对的过程中，图（三）的结果出现了分歧，有的同学的答案是直线与圆的位置关系是相离，有的同学认为是相切，思考到底哪种情况是正确的呢？
师生活动：教师制造矛盾，让学生发现通过图形判断直线与圆的位置关系会存在一定的误差，但又没有更好地理由否定对方的结果．
【设计意图】通过问题的设计，可以激发学生学习新知识的强烈欲望，体现新知学习的必要性．
思考2：怎样判断直线与圆的位置关系？
直线与圆相交、相切、相离的定义：
（1）直线和圆有两个公共点，直线与圆相交；
（2）直线和圆有唯一公共点，直线与圆相切；
（3）直线和圆没有公共点，直线与圆相离．
直线与圆相交、相切、相离的判定：设圆的半径为，圆心到直线的距离为．（1）当时，直线与圆相交；
（2）当时，直线与圆相切；
（3）当时，直线与圆相离．
两种方法：①根据定义（根据公共点的个数来定义位置关系）；
②圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系．
师生活动：教师提问，学生思考、回答，教师根据学生回答情况及时进行补充．
【设计意图】以问题为载体，帮助学生复习、整理已有的知识结构，培养学生养成良好的学习习惯．
（二）构建新知
问题2：既然画图形存在误差，思考不画图，不通过图形如何判断直线与圆的位置关系？借助问题1中（2）和（3）为背景进行思考讨论．
（2）已知直线的方程是，圆的方程是，判断直线与圆的位置关系．
（3）已知直线的方程是，圆的方程是，判断直线与圆的位置关系．
师生活动：以小组为单位进行讨论研究，教师巡视指导，讨论有结果的小组可以派代表写在黑板上．
【设计意图】由较简单的问题导出这节课的内容，让学生利用已有的知识，探究用坐标法判断直线与圆的位置关系的方法，给学生留有充分的活动时间．
思考3：如何利用坐标法的三步曲总结利用圆心到直线的距离与半径比较的方法？
师生活动：学生讲解，教师板书总结的过程，其他学生补充，教师适时点评．
【设计意图】利用几何特征解决这个问题，符合学生的认知基础，思路简单，容易获得结论.
思考4：让学生思考为什么可以通过让直线的方程与圆的方程联立，来研究直线与圆的位置关系问题？
这种方法要让学生先理解几何元素及关系如何用代数表示，充分理解曲线与方程的对应关系．
假设直线与圆有公共点，设为，教师要让学生理解下列对应关系．几何元素及关系代数表示
点
直线
圆
点在直线上
点在圆上
点的坐标是方程组直线与圆的公共点是
的解
师生活动：学生思考、讨论，教师巡视指导，让学生完成用联立方程组的方法确定直线与圆的位置关系，并完成利用坐标法的三步曲总结这种方法．
【设计意图】用坐标法解决几何问题时，先用坐标和方程表示相应的几何元素：点、直线、圆；然后对坐标和方程进行代数运算，最后再把代数运算结果“翻译”成相应的几何结论.让学生体验坐标法的思想.借助几何画板平台，让学生真正理解“数”与“形”的对应关系.
思考5：总结利用方程判断直线与圆的位置关系的两种方法．
方法一：设直线，圆
可由方程组（）的解的不同情况来判断：
当方程组有两组实数解时，直线与圆相交；
当方程组有一组实数解时，直线与圆相切；
当方程组没有实数解时，直线与圆相离．
方法二:设直线，圆
可由圆心到直线的距离与半径的大小关系来判断：（1）当时，直线与圆相交；
（2）当时，直线与圆相切；
（3）当时，直线与圆相离．
教师帮助学生梳理、归纳：
位置关系相交相切相离
几何特征
代数特征（）式有两组实数
解（）式有一组实数
解
（）式没有实数
解
公共点个
数
两个一个没有
【设计意图】让学生通过独立的思考，概括出利用直线与圆的方程来判断它们位置关系的两种方法，自己可以把课堂上所学的知识点连成知识线，从而加深了学习的印象．
（三）小结新知
问题2：利用所学知识解决有“争议”的问题
（4）已知直线的方程是，圆的方程是，判断直线与圆的位置关系．
师生活动：学生任意选择方法，进行判断，教师巡视、统计选择两种方法的人数．对比两种方法．
【设计意图】通过问题的设计，可以让学生感受到利用所学的知识可以解决一些问题，充分体现所学知识的必要性．通过两种方法的对比，可以对解法进行归纳，并体现坐标法的思想．一种方法属圆的个性范畴，不能解决公共点的坐标，也不能推广；另一种方法具有一般性，可以解决公共点的坐标，也可类比地推广到对椭圆、双曲线、抛物线同类问题的研究中.
（四）巩固新知
问题3：已知圆的方程为，直线过定点，斜率为，当直线与圆相
交；相切；相离时，分别求的取值．
师生活动：学生练习巩固，教师巡视指导，利用投影展示学生的解题过程，并提出解题的规范要求．利用几何画板的动态演示，让学生充分认识到“数”与“形”的对应关系．
【设计意图】通过问题的设计，不但可以巩固所学知识，还可以让学生真正体会由“几何问题（位置关系）”到“代数问题（坐标、方程、点到直线的距离公式、联立方程组等），再到“几何问题（分析代数结果的几何含义）”，充分体现了由“形”到“数”，再由“数”到“形”的转化过程，是转化思想的具体应用．
（五）归纳小结
问题4：（1）通过本节课的学习，你学到了哪些知识？
（2）通过本节课的学习，你掌握了哪些方法？
（3）本节课蕴含哪些数学思想？
（4）通过本节课的学习，你还存在哪些疑惑？
师生活动：教师引导学生从知识—方法—思想的角度，层层深入，梳理本节课的内容．
【设计意图】教师引导学生归纳本节课的知识要点和思想方法，使学生对本节课的学习有一个较为整体、全面认识，同时，使学生养成良好的学习习惯．。