2021版高考数学(人教A版理科)一轮复习攻略核心素养测评+三十九 等比数列及其前n项和

核心素养测评三十九

等比数列及其前n项和

(30分钟60分)

一、选择题(每小题5分,共25分)

1.已知数列a,a(1-a),a(1-a)2,…是等比数列,则实数a满足的条件是( )

A.{a|a≠1}

B.{a|a≠0或a≠1}

C.{a|a≠0}

D.{a|a≠0且a≠1}

【解析】选D.由等比数列定义可知a≠0且1-a≠0,

即a≠0且a≠1.

【变式备选】

数列{a n}满足:a n+1=λa n-1(n∈N*,λ∈R且λ≠0),若数列{a n-1}是等比数列,则λ的值等于( )

A.1

B.-1

C.

D.2

【解析】选D.由a n+1=λa n-1,得a n+1-1=λa n-2=λ(a n-).由于数列{a n-1}是等比数列,所以=1,得λ=2.

2.公元前5世纪,古希腊哲学家芝诺发表了著名的阿基里斯悖论.他提出让乌龟在阿基里斯前面1 000米处开始,和阿基里斯赛跑,并且假定阿基里斯的速度是乌龟的10倍.当比赛开始后,若阿基里斯跑了1000米,此时乌龟便领先他100米;当阿基里斯跑完下一个100米时,乌龟仍然领先他10米;当阿基里斯跑完下一个10米时,乌龟仍然领先

他1米……所以阿基里斯永远追不上乌龟.按照这样的规律,若阿基里斯和乌龟的距离恰好为10-2米时,乌龟爬行的总距离(单位:米)为( )

A. B.

C. D.

【解析】选B.由题意知,乌龟每次爬行的距离(单位:米)构成等比数列,且首项a1=100,公比q=,易知a5=10-2,则乌龟爬行的总距离(单位:米)为S5=

==.

3.已知各项不为0的等差数列{a n}满足a6-+a8=0,数列{b n}是等比数列,且b7=a7,则b2·b8·b11= ( )

A.1

B.2

C.4

D.8

【解析】选D.由等差数列的性质得a 6+a8=2a7.由a6-+a8=0可得a7=2,所以b 7=a7=2.由等比数列的性质得b2b8b11=b2b7b12==23=8.

【变式备选】

已知方程(x2-mx+2)(x2-nx+2)=0的四个根组成以为首项的等比数列,则等于( )

A. B.或

C. D.以上都不对

【解析】选B.设a,b,c,d是方程(x2-mx+2)(x2-nx+2)=0的四个根,不妨设a<c<d<b,则a·b=c·d=2,a=,故b=4,根据等比数列的性质,得到:c=1,d=2,则m=a+b=,n=c+d=3或m=c+d=3,n=a+b=,

则=或=.

4.已知等比数列{a n}的前n项和S n=a·3n-1+b,则= ( )

A.-3

B.-1

C.1

D.3

【解析】选A.因为等比数列{a n}的前n项和S n=a·3n-1+b,

所以a1=S1=a+b,a2=S2-S1=3a+b-a-b=2a,a3=S3-S2=9a+b-3a-b=6a, 因为等比数列{a n}中,=a1a3,

所以(2a)2=(a+b)×6a,解得=-3.

【变式备选】

已知数列{a n}的前n项和S n=Aq n+B(q≠0),则“A=-B”是“数列{a n}是等比数列”的( )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

【解析】选B.若A=B=0,则S n=0,故数列{a n}不是等比数列;若数列{a n}是等比数列,则a1=Aq+B,a2=Aq2-Aq,a3=Aq3-Aq2,由=,得A=-B.

5.已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为q,则q的一个可能值为

( ) A. B. C. D.

【解析】选C.设三角形的三边分别为a,aq,aq2,

其中q>0.则由三角形三边不等关系知:

当q>1时.a+aq>a·q2,即q2-q-1<0

所以<q<,所以1<q<.

当0<q<1时.a为最大边.

aq+a·q2>a,则q2+q-1>0,

所以q>或q<-,

所以<q<1.

当q=1时,满足题意,

综上知,C满足题意.

【变式备选】

在递增的等比数列{a n}中,已知a1+a n=34,a3·a n-2=64,且前n项和

S n=42,则n等于( )

A.3

B.4

C.5

D.6

【解析】选A.因为{a n}为等比数列,

所以a3·a n-2=a1·a n=64.又a1+a n=34,

所以a1,a n是方程x2-34x+64=0的两根,

解得或

又因为{a n}是递增数列,所以

由S n===42,

解得q=4.由a n=a1q n-1=2×4n-1=32,

解得n=3.

二、填空题(每小题5分,共15分)

6.在等比数列{a n}中,若a7a12=5,则a8a9a10a11=________.

【解析】由等比数列的性质知a8a11=a9a10=a7a12=5,

所以a8a9a10a11=25.

答案:25

【变式备选】

在等比数列{a n}中,已知a1=-1,a4=64,则q=________,S4=________.

【解析】因为a4=a1·q3,

所以q3=-64,q=-4,