2019-2020年北京市大兴区九年级上册期末数学试卷(有答案)-最新推荐
北京市大兴区九年级(上)期末数学试卷 (3)
北京市大兴区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共10道小题，每小题3分，共30分）在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请将所选答案前的字母按规定要求填涂在答题纸第1-10题的相应位置上．1．（3分）已知5x＝6y（y≠0），那么下列比例式中正确的是（）A．B．C．D．2．（3分）已知：如图，将∠ABC放置在正方形网格纸中，其中点A、B、C均在格点上，则tan∠ABC的值是（）A．2B．C．D．3．（3分）抛物线y＝2（x﹣1）2﹣5的顶点坐标是（）A．（1，5）B．（﹣1，﹣5）C．（1，﹣5）D．（﹣1，5）4．（3分）两个相似三角形的面积比是9：4，那么它们的周长比是（）A．9：4B．4：9C．2：3D．3：25．（3分）下列命题正确的是（）A．三角形的外心到三边距离相等B．三角形的内心不一定在三角形的内部C．等边三角形的内心、外心重合D．三角形不一定有内切圆6．（3分）某闭合电路中，电源的电压为定值，电流I（A）与电阻R（Ω）成反比例．如图所示的是该电路中电流I与电阻R之间的函数关系的图象，则用电阻R表示电流I的函数解析式为（）A．I＝B．I＝C．I＝D．I＝7．（3分）如图，C是⊙O上一点，O为圆心，若∠C＝40°，则∠AOB为（）A．20°B．40°C．80°D．160°8．（3分）将二次函数y＝5x2的图象先向右平移3个单位，再向上平移4个单位后，所得的图象的函数表达式是（）A．y＝5（x﹣3）2+4B．y＝5（x+3）2﹣4C．y＝5（x+3）2+4D．y＝5（x﹣3）2﹣49．（3分）在平面直角坐标系xOy中，如果⊙O是以原点O（0，0）为圆心，以5为半径的圆，那么点A（﹣3，﹣4）与⊙O的位置关系是（）A．在⊙O内B．在⊙O上C．在⊙O外D．不能确定10．（3分）小军每天坚持体育锻炼，一天他步行到离家较远的公园，在公园休息了一会儿后跑步回家．下面的四个函数图象中，能大致反映当天小军离家的距离y与时间x的函数关系的是（）A．B．C．D．二、填空题（本题共6道小题，每小题3分，共18分）11．（3分）抛物线y＝x2﹣2x+5的对称轴为．12．（3分）已知扇形的圆心角为120°，面积为3π，则扇形的半径是．13．（3分）抛物线y＝5x2+1与抛物线C关于x轴对称，则抛物线C的表达式为．14．（3分）已知点A（a1，b1），点B（a2，b2）在反比例函数的图象上，且a1＜＜0，那么b1与b2的大小关系是b1b2．15．（3分）“圆材埋壁”是我国古代数一学著作《九章算术》中的一个问题．“今有圆材，埋壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表达是：如图所示，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1寸，AB＝1尺，则直径CD长为寸．16．（3分）已知半径为2的⊙O，圆内接△ABC的边AB＝2，则∠C＝．三、解答题（本题共13道小题，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分，共72分）17．（5分）计算：．18．（5分）如图，点A是一次函数y＝2x与反比例函数（m≠0）的图象的交点．过点A作x轴的垂线，垂足为B，且OB＝2．求点A的坐标及m的值．19．（5分）已知：如图，在平行四边形ABCD中，F是AB上一点，连结DF并延长交CB的延长线于E．求证：AD•AB＝AF•CE．20．（5分）已知二次函数y＝ax2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：x…01234…y…52125…（1）求该二次函数的表达式；（2）当x＝6时，求y的值；（3）在所给坐标系中画出该二次函数的图象．21．（5分）已知：如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D、E都在小正方形的顶点上，求tan∠ADC的值．22．（5分）德国心理学家艾宾浩斯（H．Ebbinghaus）研究发现，遗忘在学习之后立即开始，而且遗忘的进程并不是均匀的．最初遗忘速度很快，以后逐渐缓慢．他认为“记忆保持量是时间的函数”，他用无意义音节（由若干音节字母组成、能够读出、但无内容意义即不是词的音节）作记忆材料，用节省法计算保持和遗忘的数量．他通过测试，得到了一些数据如下表，然后又根据这些数据绘出了一条曲线，即著名的艾宾浩斯记忆遗忘曲线，如下图．该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响．时间间隔记忆保持量刚记完100%20分钟后58.2%1小时后44.2%8～9小时后35.8%1天后33.7%2天后27.8%6天后25.4%观察图象及表格，回答下列问题：（1）2小时后，记忆保持量大约是多少？（2）说明图中点A的坐标表示的实际意义．（3）你从记忆遗忘曲线中还能获得什么信息？写出一条即可．23．（5分）某食品零售店为仪器厂代销一种面包，未售出的面包可退回厂家，以统计销售情况发现，当这种面包的单价定为7角时，每天卖出160个．在此基础上，这种面包的单价每提高1角时，该零售店每天就会少卖出20个．考虑了所有因素后该零售店每个面包的成本是5角．设这种面包的单价为x（角），零售店每天销售这种面包所获得的利润为y（角）．（1）用含x的代数式分别表示出每个面包的利润与卖出的面包个数；（2）求y与x之间的函数关系式；（3）当面包单价定为多少时，该零售店每天销售这种面包获得的利润最大？最大利润为多少？24．（5分）如图，小文家的小区有一人工湖，湖的北岸有一条笔直的小路，湖上原有一座小桥与小路垂直相通，现小桥有一部分已断裂，另一部分完好．小文站在完好的桥头点A处，测得北岸路边的小树所在位置D点在他的北偏西30°，向正北方向前进32米到断口B点，又测得D点在他的北偏西45°．请根据小文的测量数据，计算小桥断裂部分的长．（，结果保留整数）25．（5分）已知：如图，⊙O的半径OC垂直弦AB于点H，连接BC，过点A 作弦AE∥BC，过点C作CD∥BA交EA延长线于点D，延长CO交AE于点F．（1）求证：CD为⊙O的切线；（2）若BC＝5，AB＝8，求OF的长．26．（5分）已知：如图，在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，若2b＝a+c，∠B＝30°，△ABC的面积为，求a2+c2的值．27．（7分）抛物线y＝x2﹣4与x轴的两个交点分别为A、B（A在B左侧），与y 轴的交点为C．（1）求点A、B、C的坐标；（2）将抛物线沿x轴正方向平移t个单位（t＞0），同时将直线l：y＝3x沿y轴正方向平移t个单位．平移后的直线为l'，平移后A、B的对应点分别为A'、B'．当t为何值时，在直线l'上存在点P，使得△A'B'P是以A'B'为直角边的等腰直角三角形？28．（7分）已知：如图，AB为⊙O的直径，G为AB上一点，过G作弦CE⊥AB，在上取一点D，分别作直线CD、ED，交直线AB于点F、M，分别连结OE，CO，CM．（1）若G为OA的中点．①∠COA＝°，∠FDM＝°；②求证：FD•OM＝DM•CO．（2）如图，若G为半径OB上任意一点（不与点O、B重合），过G作弦CE⊥AB，点D在上，仍作直线CD、ED，分别交直线AB于点F、M，分别连结OE，CO，CM．①依题意补全图形；②此时仍有FD•OM＝DM•CO成立．请写出证明FD•OM＝DM•CO的思路．（不写出证明过程）29．（8分）一般地，在Rt△ABC中，∠C＝90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作“sin A”，即．类似的，我们定义：在等腰三角形中，底边与腰的比叫做顶角的正对．如图1，在△ABC中，AB ＝AC，顶角A的正对记作sadA，即sadA＝．根据上述角的正对定义，完成下列问题：（1）sad60°＝；（2）已知：如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝，试求sadA的值；（3）已知：如图3，在平面直角坐标系xOy中，A（0，2），B（，0），点C 为线段AB上一点（不与点B重合），且，以AC为底边作等腰△ACP，点P落在直线AB上方，①当sad∠APC＝时，请你判断PC与x轴的位置关系，并说明理由；②当sad∠APC＝时，请直接写出点P的横坐标x的取值范围．北京市大兴区九年级（上）期末数学试卷参考答案一、选择题（本题共10道小题，每小题3分，共30分）在每道小题给出的四个备选答案中，只有一个是符合题目要求的，请将所选答案前的字母按规定要求填涂在答题纸第1-10题的相应位置上．1．B；2．A；3．C；4．D；5．C；6．D；7．C；8．A；9．B；10．C；二、填空题（本题共6道小题，每小题3分，共18分）11．x＝1；12．3；13．y＝5x2+1；14．＜；15．26；16．60°或120°；三、解答题（本题共13道小题，第17-26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分，共72分）17．；18．；19．；20．；21．；22．；23．；24．；25．；26．；27．；28．60；120；29．1；。
2019-2020年北京市大兴区九年级上册期末考试数学试题有答案-最新推荐
大兴区上学期初三数学期末试卷一、选择题（本题共10道小题，每小题3分，共30分） 1. 已知35(0)x y y =≠,则下列比例式成立的是A ．53x y = B.53x y = C. 35x y = D. 35x y = 2．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，AB=5,则cosA 的值是A ．35B ．45 C ．34 D ．433. 将抛物线2y x =先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的表达式为A ．2(2)3y x =+-B ．2(2)3y x =++C ．2(2)3y x =-+D ．2(2)3y x =-- 4. 如图，在△ABC 中， DE ∥BC ，AD ∶AB =1∶3，若△ADE 的面积等于3，则△ABC 的面积等于A ．9B ．15C ．18D ．27 5. 当m< -1时,二次函数2(1)1y m x =+-的图象一定经过的象限是A ．一、二B ．三、四C ．一、二、三 D6.已知矩形的面积为10，它的一组邻边长分别,y,则y 与之间的函数关系用图象表示大致是7. 如图,将一把两边都带有刻度的直尺放在以AB 为直径的半圆形纸片上,使其一边经过圆心O ,另一边所在直线与半圆相交于点现度量出半径OC =5cm,弦DE =8cm,则直尺的宽度为A.1cmB. 2cmC. 3cmD. 4cm 8. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠B =30°,AB =4cm,若以点C为圆心,以2cm 为半径作⊙C ,则AB 与⊙C 的位置关系是 A.相离 B.相切 C.相交 D.相切或相交9. 如图，A,B,C 是⊙O 上三个点,∠AOB=2∠BOC,则下列说法中正确的是A. ∠OBA =∠OCAB. 四边形OABC 内接于⊙OC.. AB=2BCD. ∠OBA +∠BOC =90°10.二次函数y =a 2+b +c (a ≠0)的图象如图所示，那么一元二次 方程a 2+b +c =m (a ≠0, m 为常数且m ≤4)的两根之和为 A. 1 B. 2 C. -1 D. -2二、填空题（本题共6道小题，每小题3分，共18分）11.已知扇形的圆心角为60°，半径是2，则扇形的面积为_________. 12.二次函数22(2)1y x =+-的最小值是_________.13.请写出一个开口向上，且过点(0,1)的抛物线的表达式 _________. 14.如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，若∠BAD=110°,则∠C 的度数是_________.15.已知抛物线221y x x =--，点P 是抛物线上一动点，以点P 为圆心，2个单位长度为半径作⊙P. 当⊙P 与轴相切时，点P 的坐标为________. 16.在数学课上，老师提出如下问题：如图，AB 是⊙O 的直径，点C在⊙O 外，AC ,BC 分别与⊙O 交于点D ,E ,请你作出△ABC 中BC 边上的高.小文说：连结AE ,则线段AE 就是BC 边上的高. 老师说：“小文的作法正确.” 请回答：小文的作图依据是_________.三、解答题（本题共13道小题，第17—26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分，共72分）17. 计算：cos30tan602sin 45︒+︒-︒18.已知：如图，矩形ABCD 中，E ，F 分别是CD,AD 上的点， 且BF ⊥AE 于点M . 求证：AB ﹒DE =AE ﹒AM19.已知抛物线的顶点坐标为（3，-4），且过点（0，5），求抛物线的表达式 .20.某班开展测量教学楼高度的综合实践活动.大家完成任务的方法有很多种，其中一种方法是：如图，他们在C 点测得教学 楼AB 的顶部点A 的仰角为30°，然后向教学楼前进20米到达 点D ，在点D 测得点A 的仰角为60°，且B, C, D 三点在一条直 线上.请你根据这些数据，求出这幢教学楼AB 的高度.21．图1中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度y （m ）与旋转时间(min)之间的关系如图2所示：图1 图2（1）根据图2填表：(mi n)36812…y（m ）54 …（2）变量y 是的函数吗？为什么？（3）根据图中的信息，请写出摩天轮的直径.22.已知：如图，△ABC 内接于⊙O ，∠C = 45°，AB =2,求⊙O 的半径.23. 已知如图，在平面直角坐标系Oy 中，反比例函数1my=的图象与一次函数y 2=+b 的图象交于 点A （-4，-1）和点B （1，n ）. （1）求这两个函数的表达式；（2）观察图象，当y 1＞y 2（3）如果点C 与点A 关于y 轴对称，求△ABC 的面积．24.已知：在四边形ABCD 中,90,60,ABC C ∠=︒∠=︒AB =（1）求ABD ∠tan 的值； （2）求AD 的长.25.某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个20元，市场调查发现，该种健身球每天的销售量y （个）与销售单价（元）有如下关系：y =﹣2+80（20≤≤40）．设这种健身球每天的销售利润为w 元．（1）求w 与之间的函数关系式；（2）该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（3）如果物价部门规定这种健身球的销售单价不高于28元，该商店销售这种健身球每天要获得150元的销售利润，销售单价应定为多少元？26.已知：如图，在△ABC 中，AC=BC,以AC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，过点D 作⊙O 的切线交BC 于点E . （1）求证：DE ⊥BC ； （2）若⊙O 的半径为5，cos B =35,求AB 的长.27．阅读下面材料：小敏遇到这一个问题：已知α为锐角，且tan α=12，求tan2α小敏根据锐角三角函数及三角形有关的学习经验，先画出一个含 锐角α的直角三角形：如图，在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠B =α.过独立思考及与同学进行交流、讨论后，形成了构造2α方法1：如图1，作线段AB 的垂直平分线交BC 于点D ,连结AD.方法2：如图2，以直线BC 为对称轴，作出△AB C 的轴对称图形△A ，BC ． 方法3：如图3，以直线AB 为对称轴，作出△AB C 的轴对称图形△ABC ，．图1 图2 图3请你参考上面的想法，根据勾股定理及三角函数等知识帮助小敏求tan2α的值．（一种方法即可）28.已知：抛物线y = a 2+ 4a + 4a （a > 0）（1）求抛物线的顶点坐标；（2）若抛物线经过点A（m，y1），B（n，y2），其中– 4 <m≤– 3，0 < n≤1，则y 1_____y 2（用“<”或“>”填空）；（3）如图，矩形CDEF的顶点分别为C（1，2），D（1，4），E（– 3，4），F（– 3，2），若该抛物线与矩形的边有且只有两个公共点（包括矩形的顶点），求a的取值范围.备用图29.已知：△ABC中，AC=6，BC=8，AB=10,点D是边AB上的一点，过C，D两点的⊙O分别与边CA，CB交于点E，F.（1）若点D是AB的中点，①在图1中用尺规作出一个．．符合条件的图形（保留作图痕迹，不写作法）；②如图2,连结EF，若EF∥AB,求线段EF的长;③请写出求线段EF长度最小值的思路.（2）如图3，当点D在边AB上运动时，线段EF长度的最小值是_________.大兴区度第一学期期末检测试卷初三数学答案及评分标准一、选择题（本题共10道小题，每小题3分，共30分）二、填空题（本题共6道小题，每小题3分，共18分）三、解答题（本题共13道小题，第17—26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分，共72分）17. 计算：cos30tan602sin 45︒+︒-︒ 解：原式2⨯ ………………………3分 ……………………………5分 18.证明：如图∵ 四边形ABCD 是矩形∴∠BAD =∠D=90º， ∴∠BAE +∠EAD =90º. ∵BF ⊥AE ，∴∠AMB =90º. ∴∠BAE +∠ABM =90º∴∠EAD =∠ABM ……………………………2分 ∵∠D =∠AMB =90º，…………………………3分 ∴△ADE ∽△BMA ………………………………4分 ∴AMDEAB AE = ∴AB·DE=AE·AM …………………………………5分19. 解 设二次函数的表达式为y =a (- h )2+ (a ≠0) ……………1分 ∵抛物线的顶点坐标是(3,-4),∴y =a (-3)2-4………………………………………………2分 又∵抛物线经过点(0,5) ∴5=a (0-3)2-4 ………3分 ∴a =1………………………………………………………4分 ∴二次函数的表达式为y =(-3)2－4……………………5分 化为一般式y =2-6+520. 解：如图，由已知，可得∵∠ADB =60º，∠ACB =30º,∴∠CAD =30º. …………1分∴∠CAD =∠ACD ∴CD = AD .∵CD =20, ∴AD =20. … …………2分 ∵∠ADB =60º,∠ABD =90º∴sin ∠ADB =2AB AD =……… …………3分∴AB =…… ………4分答：教学楼的高度为.…………………………5分 21.(1)分 (2)变量y 是的函数.因为在这个变化的过程中，有两个变量 , y ，对于的每一个取值，y 都有唯一确定的值和它相对应…………………………………4分（3）65米…………………………………………………………………5分22. 解：连结OB ,OA ………………………………………1分∵ ∠BCA =45º，∴∠BOA=90º，…………………………………………2分 ∵ OB =OA ， ……………………………………………3分 ∴ ∠OBA =∠OAB = 45º，………………………………4分∵AB =2 ∴OB =OA =2……………………………………………5分 23. 解：（1）∵函数1my x=的图象过点A （-4，-1），∴m =4， ∴y 1=x4，又∵点B （1，n ）在y 1=x 4上，∴n =4， ∴B （1，4）又∵一次函数y 2=+b 过A ,B 两点，即，411k b k b -+=-⎧⎨+=⎩ 解之得13k b =⎧⎨=⎩．∴y 2=+3．综上可得y 1=x4，y 2=+3．…………………………………2分 （2）要使y 1＞y 2，即函数y 1的图象总在函数y 2的图象上方，∴＜﹣4 或0 ＜ ＜1．……………………………………4分(3)作BD ⊥AC 于点D ∵AC =8，BD =5，∴△ABC 的面积S △ABC =12AC ·BD =12×8×5=20．…………………………5分∴tan∠ABD=1. ……………3分AD=……………………5分225.解：（1）w =（﹣20）∙y=（﹣20）（﹣2+80）=﹣22+120﹣1600，w与的函数关系式为：w=﹣22+120﹣1600；………………………………1分（2）w=﹣22+120﹣1600=﹣2（﹣30）2+200，…………………………………2分∵﹣2＜0，∴当=30时，w有最大值．w最大值为200．…………………………………3分答：销售单价定为30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元．（3）当w=150时，可得方程﹣2（﹣30）2+200=150．解得1=25，2=35．……………………………………………………………4分∵35＞28，∴2=35不符合题意，应舍去．答：该商店销售这种健身球每天想要获得150元的销售利润，销售单价定为25元．………5分26.（1）如图连结OD………1分∵过点D作⊙O的切线交BC于点E∴OD⊥DE于E ∴∠ODE=90°∵OA=OD∴∠A=∠1∵AC=BC∴∠A=∠B∴∠B=∠1 ∴OD∥BC∴∠ODE=∠DEB=90°∴DE⊥BC……………2分（2）连结CD…………………3分∵AC为⊙O的直径∴∠ADC=90°∴CD⊥AB∵AC=BC∴AD=BD,∠A=∠B∴cos A =cos B =53=ACAD ………… ………4分 ∵⊙O 的半径为5∴AC=BC=10 ∴AD =6∴CD=8∴AB =12………… ………………5分 27. 解：方法1：∵线段AB 的垂直平分线BC 交于点D ，AD =BD , ……… …………1分∴∠1=∠B∵∠B =α ∴∠2=∠1+∠B =2α… ……3分 在Rt △ABC 中，∠C =90°，tan α=12 ∴12AC BC =设,,2,AC k DC x AD BD k x ====-则……………………………4分在Rt △ADC 中，∠C =90°，由勾股定理得，222(2),k x k x +=-…… ……………5分 解得：3,4kx =……… ………………6分 ∴4tan 2.334AC k k DC α===……… ………………7分 方法2：过A 作AD ⊥A ＇B 于点D . …………………………………………1分 ∵△AB C 、△A ＇BC 关于BC 对称， ∴∠1=∠ABC =α∴∠A ＇BA =∠1+∠ABC =2α…………………………………………2分 在Rt △ABC 中，∠C =90°，tan α=12∴12AC BC =设',2,',AC A C k BC k AB A B ====则…………………………3分 ∵'11''22ABA S AA BC A B AD ∆=⨯⨯=⨯⨯∴22k k AD ⋅⋅………………………………………………………4分∴5AD =……………………………………………………………5分 在Rt △ABD 中，∠ADB=90°，,AB AD∴BD 6分∴4tan 2.3AD BD α==………………………………………………7分 方法3：延长C ＇A 交BC 的延长线于点D. ………………………………………1分 ∵△AB C 、△ABC ’关于直线AB 对称， ∴∠1=∠ABC = α，BC ＇= BC∴∠C ＇BC =∠1+∠ABC =2α………………………………………………2分 ∵tan α=12∴设AC = ,则BC = 2，BC ＇= 2……………………………………………………………………3分设CD =∵∠ACB =90°,∴∠ACD =90°,∴△ACD ∽△BC ’D ………………………………………………………4分 ∴,DCDC ,BC AC = ∴D 'C xk k =2 ∴C ＇D = 2 ∴AD =2 - 在Rt △ACD 中，∠ACD =90°，由勾股定理得，222)2(k x x k -=+ ……… ………5分k x 34=………… ……………6分∴3423422tan ,,=⨯==k k BC D C α…… ………7分28. 解：（1）y = a ( 2+ 4 + 4 ) = a ( + 2 ) 2 (1)抛物线的顶点为：（– 2，0）………………………2分 （2） y 1 < y 2…………………………………………4分 （3）对于y = a ( + 2 ) 2代入点C （1，2），得a =92………………………5分 代入点F （– 3，2）得a = 2，………………………6分 ∴92< a < 2…………………………………………7分29. （1）①…………………………………2分 ②如图,连结CD ，FD ∵AC =6，BC =8，AB =10 ∴AC 2+BC 2=AB 2∴△ABC 是直角三角形，∠ACB =90°∴EF 是⊙O 的直径……………………………3分 ∵D 是AB 中点 ∴DA =DB =DC =5 ∴∠B =∠DCB ， ∵EF ∥AB ∴∠A =∠CEF ∵∠CDF =∠CEF ∴∠A =∠CDF ∵∠A +∠B =90° ∴∠CDF +∠DCB =90° ∴∠CFD =90° ∴CD 是⊙O 的直径∴EF =CD =5………………4分③由AC 2+BC 2=AB 2可得∠ACB =90° , 所以，EF 是⊙O 的直径. 由于CD 是⊙O 的弦, 所以，有EF ≥CD ，所以，当CD 是⊙O 的直径时，EF 最小…………6分 （2）524.………………………………………………8分图1图2图3。
北京大兴区度九年级上期末数学检测试卷有答案-(新课标人教版)
第一学期期末检测试卷初三数 学一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个． 1．抛物线3)2-(2+=x y 的顶点坐标是A.（-2,3）B.（2,3）C.（2,-3）D.（-3,2）2. 如图，点A ，B ，P 是⊙O 上的三点，若︒=∠40AOB ， 则APB ∠的度数为A. ︒80B. ︒140C. ︒20D. ︒50 3．已知反比例函数xm y 2-=，当x>0时，y 随x 的增大而增大，则m 的取值 范围是Ａ.m<2 Ｂ.m>2 Ｃ.m ≤2 Ｄ.m ≥24. 在半径为12cm 的圆中，长为4πcm 的弧所对的圆心角的度数为A. ︒10B. ︒60C. ︒90D. ︒1205. 将抛物线25x y =先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，可以得到新的抛物线是A.3)2(52++=x y B.3)2(52+-=x yC.3)2(52-+=x y D.3)2(52--=x y6.为测量某河的宽度，小军在河对岸选定一个目标点A ，再在他所在的这一侧选点B ，C ，D ，使得AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，然后找出AD 与BC 的交点E. 如图所示，若测得BE =90m ，EC =45m ，CD =60m ，则这条河的宽AB 等于A ．120mC ．40m7. 根据研究，人体内血乳酸浓度升高是运动后感觉疲劳的重要原因，运动员未运动时，体内血乳酸浓度水平通常在40mg/L 以下；如果血乳酸浓度降到50mg/L 以下，运动员就基本消除了疲劳，体育科研工作者根据实验数据，绘制了一副图象，它反映了运动员进行高强度运动后，体内血乳酸浓度随时间变化而变化的函数关系.下列叙述正确的是A ．运动后40min 时，采用慢跑活动方式放松时的血乳酸浓度与采用静坐方式休息时的血乳酸浓度相同B ．运动员高强度运动后最高血乳酸浓度大约为350mg/LC ．运动员进行完剧烈运动，为了更快达到消除疲劳的效果，应该采用慢跑活动方式来放松D ．采用慢跑活动方式放松时，运动员必须慢跑80min 后才能基本消除疲劳8．下图显示了用计算机模拟随机抛掷一枚硬币的某次实验的结果下面有三个推断：①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，所以“正面向上”的概率是0.47；②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5；③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率一定是0.45．其中合理的是A．① B.② C. ①② D. ①③二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC=2，则tan B的值是__________．10. 计算：2sin60°－tan 45°＋4cos30°=__________．11.若△A B C∽△D E F，且B C∶E F=2∶3，则△A B C与△D E F的面积比等于_________．12.请写出一个开口向上，并且与y轴交于点(0，2)的抛物线的表达式：_________．13. 如图，在半径为5cm 的⊙O 中，如果弦AB 的长为8cm ，OC ⊥AB ， 垂足为C ，那么OC 的长为 cm ．14．圆心角为160°的扇形的半径为9cm ，则这个扇形的面积是 cm 2．15．若函数231y ax x =++的图象与x 轴有两个交点，则a 的取值范围是．16． 下面是“作出所在的圆”的尺规作图过程．已知：． 求作：所在的圆.作法：如图，（1） 在上任取三个点D ，C ，E ；（2） 连接DC ，EC ；所以⊙O 即为所求作的所在的圆..请回答：该尺规作图的依据是 ．三、解答题（本题共68分，第17-25题每小题5分, 第26题7 分，第27题8 分，第28题8 分）17．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数2y x =-的图象与反比例函数ky x=的图象的一个交点为A （-1，n ）． 求反比例函数ky x=的表达式.18．已知二次函数y = x 2 ＋4x +3.（1）用配方法将y = x 2 ＋4x +3化成2()=-+y a x h k 的形式；（2）在平面直角坐标系xOy 中，画出这个二次函数的图象.19．已知：如图，在△ABC 中，D ，E 分别为AB 、 AC 边上的点，且AE AD 53=，连接DE . 若AC ＝4，AB ＝5. 求证：△ADE ∽△ACB.20．已知：如图，在∆A B C 中，AB =AC =8,∠A =120°,求BC 的长.21.已知：如图，⊙O的直径AB的长为5cm，C为⊙O上的一个点，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求BD的长．22. 在一次社会大课堂的数学实践活动中，王老师要求同学们测量教室窗户边框上的点C到地面的距离即CD的长，小英测量的步骤及测量的数据如下：（1）在地面上选定点A, B，使点A，B，D在同一条直线上，测量出A、B两点间的距离为9米；（2）在教室窗户边框上的点C点处，分别测得点A，B的俯角∠ECA=35°,∠ECB=45°.请你根据以上数据计算出CD的长.（可能用到的参考数据：sin35°≈0.57 cos35°≈0.82 tan35°≈0.70）23.已知：如图，ABCD是一块边长为2米的正方形铁板，在边AB上选取一点M，分别以AM和MB为边截取两块相邻的正方形板料.当AM的长为何值时，截取两块相邻的正方形板料的总面积最小?如图，AB是半圆O的直24. 已知：径，D是半圆上的∠=∠CAD B.一个动点（点D不与点A，B 重合），（1）求证：AC是半圆O的切线；（2）过点O作BD的平行线，交AC于点E，交AD于点F,且EF=4, AD=6, 求BD的长．25．如图，AB = 6cm，∠C AB = 25°，P是线段AB上一动点，过点P作PM⊥AB交射线AC于点M，连接MB，过点P作PN⊥MB于点N．设A，P两点间的距离为x cm，P，N两点间的距离为y cm．（当点P与点A或点B重合时，y的值均为0）小海根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小海的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当y =0.5时，与之对应的x 值的个数是 .26. 已知一次函数1112=-y x ，二次函数224=-+y x mx （其中m ＞4）．（1）求二次函数图象的顶点坐标（用含m 的代数式表示）； （2）利用函数图象解决下列问题：①若5=m ，求当10y >且2y ≤0时，自变量x 的取值范围； ②如果满足10y >且2y ≤0时自变量x 的取值范围内有 且只有一个整数，直接写出m 的取值范围．27．已知：如图，AB 为半圆O 的直径，C 是半圆O 上一点，过点C 作AB 的平行线交⊙O 于点E ，连接AC 、BC 、AE ，EB . 过点C 作CG ⊥AB 于点G ，交EB 于点H.（1）求证：∠BCG=∠E BG ；（2）若55sin =∠CAB ，求GB EC 的值.28. 一般地，我们把半径为1的圆叫做单位圆，在平面直角坐标系xOy 中，设单位圆的圆心与坐标原点O 重合，则单位圆与x 轴的交点分别为（1，0），（-1,0），与y 轴的交点分别为（0,1），（0，-1）.在平面直角坐标系xOy 中，设锐角α的顶点与坐标原点O 重合，α的一边与x 轴的正半轴重合，另一边与单位圆交于点P 11(,)x y ,且点P 在第一象限. （1） 1x =_ __ (用含α的式子表示);1y =____ _ (用含α的式子表示) ;（2）将射线OP 绕坐标原点O 按逆时针方向旋转90︒后与单位圆交于点22(,)Q x y . ①判断1y 2与的数量关系,并证明；x ②12y y +的取值范围是:_ ___.初三数学参考答案及评分标准一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9.12.10. . 11. 4∶9.12. 22y x =+.（答案不唯一） 13. 3.14. 36 π .15. a ＜94且a ≠0. 16. 不在同一直线上的三个点确定一个圆；圆是到定点的距离等于定长的点的集合；线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.二、解答题（本题共68分，第17-25题，每小题5分, 第26题7 分，第27题8分， 第28题8 分）17. 解：∵ 点A (1,)n -在一次函数2y x =-的图象上，∴ 2(1)2n =-⨯-=．………………………… 1分∴ 点A 的坐标为12-（，）．…………………… 2分 ∵ 点A 在反比例函数k y x=的图象上， ∴ 2k =-．…………………………………… 4分∴ 反比例函数的表达式为2y x=-． ……… 5分 18．解：（1）342++=x x y1442-++=x x 2(2)1x =+-…………………………… 2分（2）………………. 5分19．证明：∵ AC =3，AB =5，35AD AE =，∴ AC AB AD AE=．……………………………… 3分∵ ∠A =∠A ，……………………………… 4分∴ △ADE ∽△ACB ．……………………… 5分20. 解：过点A 作AD ⊥BC 于D ，∵ AB =AC ，∠BAC =120°∴ ∠B =∠C = 30°， ……………………………… 1分BC=2BD ，……………………………………… 2分在Rt △ABD 中，∠ADB =90°，∠B =30°，AB =8，cos B =BD AB，……………………………………… 3分∴ BD =AB cos30°……………… 4分∴ BC =8 (5)分21. 解：∵ AB 为直径，∴ ∠ADB =90°， ……………………………… 1分∵ CD 平分∠ACB ，∴ ∠ACD =∠BCD ，∴ AD⌒ =BD ⌒ ．………………………………… 2分 ∴ AD =BD ……………………………………… 3分在等腰直角三角形ADB 中，BD =AB sin45°=5×2 2 =52 2 ……………… 5分 ∴ BD =52 2 .22．解：由题意可知：CD ⊥AD 于D ，∠ECB=∠CBD ＝45︒，∠ECA=∠CAD ＝35︒，AB ＝9.设CD x =，∵ 在Rt CDB ∆中，∠CDB ＝90°，∠CBD ＝45°，∴ CD =BD =x . ……………………………… 2分∵ 在Rt CDA ∆中，∠CDA ＝90°，∠CAD ＝35°，∴ tan CD CAD AD ∠=， ∴ tan 35xAD =︒…………………………… 4分∵ AB =9，AD =AB +BD ，∴ 90.7xx +=.解得 21x =答：CD 的长为21米.……………………… 5分23. 解：设AM 的长为x 米 , 则MB 的长为(2)x -米，以AM 和MB 为边的两个正方形面积之和为y 平方米.根据题意，y 与x 之间的函数表达式为222(2).................................................................22(1) 2.....................................................................3y x x x =+-=-+分分因为2>0于是，当1=x 时，y 有最小值………………………..4分所以，当AM 的长为1米时截取两块相邻的正方形板料的总面积最小.……………………………………………………………..5分24.（1）证明：∵AB 是半圆直径，∴∠BDA =90°. .………………………………………………………1分∴90B DAB ∠+∠=︒又DAC B ∠=∠∴90DAC DAB ∠+∠=︒……………………………………………2分即∠CAB =90°∴AC 是半圆O 的切线.（2）解：由题意知，,90OE BD D ∠=︒∥∴∠D =∠AFO =∠AFE = 90°∴OE AD ⊥.12AF AD =……………………………………………………3分又∵AD=6∴AF =3.又B CAD ∠=∠∴△AEF ∽△BAD ...................................................4分 4369 (52)4EFAF ADBD BDBD EF ∴==∴==∴分 25. 解：（1）0.91（答案不唯一）……………1分（2）…………………………………………………………4分（3）两个. ………………………………………………………5分26．解：（1）∵224y x mx =-+，∴二次函数图象的顶点坐标为2(,4)24mm -+………………………………………………2分（2）①当5m =时，2254y x x =-+．…………………………………………………………… 4分如图, 因为10y >且2y ≤0，由图象,得2＜x ≤4． ……………………………………………… 5分 ②133≤m ＜5 …………………………………………………7分27. 证明：（1）∵AB 是直径，∴∠ACB =90°.………………………………………………..1分 ∵CG ⊥AB 于点G ，∴∠ACB=∠ CGB =90°.∴∠CAB =∠BCG . .………………………………………………..2分 ∵CE ∥AB ，∴∠CAB =∠ACE .∴∠BCG =∠ACE又∵∠ACE =∠EBG∴∠BCG =∠EBG . .………………………………………………..3分（2）解：∵sin 5CAB ∠=∴1tan 2CAB ∠=，………………………………………………..4分由（1）知，∠HBG =∠EBG =∠ACE =∠CAB∴在Rt △HGB 中，1tan 2GH HBG GB ∠==. 由（1）知，∠BCG =∠CAB在Rt △BCG 中，1tan 2GB BCG CG ∠==. 设GH=a ，则GB=2a ，CG=4a .CH =CG －HG =3a . ……………..6分 ∵EC ∥AB ，∴∠ECH =∠BGH ，∠CEH =∠GBH∴△ECH ∽△BGH ．……………………………………………..7分 ∴33ECCHaGB GH a ===．…………………………………………8分28.（1）cos α；……………………………….……………………….1分sin α;……………………..……………………………………2分（2）①12y x 与的数量关系是：1y 2=-x ；……………….…3分证明：过点P 作PF ⊥x 轴于点F ，过点Q 作QE ⊥x 轴于点E .90PFO QEO ∴∠=∠=︒90POF OPF ∴∠+∠=︒PO OQ ⊥90POF QOE ∴∠+∠=︒QOE OPF ∴∠=∠PO OQ ==1∴△QOE ≌△OPF …………………………………………5分 .PF OE ∴=11(,)P x y , Q 22(,)x y12∴=y x∵Q 在第二象限，P 在第一象限∴1y >0, 2x <0∴1y =2-x …………………………………………………6分②121+y y <≤.……………………………………………8分。
北京市大兴区届九年级上期末考试数学试题有答案
大兴区上学期初三数学期末试卷一、选择题（本题共10道小题，每小题3分，共30分） 1. 已知35(0)x y y =≠,则下列比例式成立的是 A ．53x y = B .53x y= C . 35x y = D . 35x y =2．如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，AB=5,则cosA 的值是 A ．35B ．45 C ．34 D ．433. 将抛物线2y x =先向左平移2个单位长度，再向下平移3A ．2(2)3y x =+- B ．2(2)3y x =++ C ．2(2)3y x =-+ D ．4. 如图，在△ABC 中， DE∥BC ，AD ∶AB =1∶3，若△ADE 的面积等于3，则△ABC 的面积等于 A ．9 B ．15 C ．18 D ．27 5. 当m< -1时,二次函数2(1)1y m x =+-的图象一定经过的象限是A ．一、二B ．三、四C ．一、二、三6.7. 如图,将一把两边都带有刻度的直尺放在以AB 为直径的半圆形纸 片上,使其一边经过圆心O ,另一边所在直线与半圆相交于点D , E. 现度量出半径OC =5cm,弦DE =8cm,则直尺的宽度为A.1cmB. 2cmC. 3cmD. 4cm 8. 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠B =30°,AB =4cm,若以点C 为圆心,以2cm 为半径作⊙C ,则AB 与⊙C 的位置关系是 A.相离 B.相切 C.相交 D.相切或相交9. 如图，A,B,C 是⊙O 上三个点,∠AOB=2∠BOC,则下列说法中正确的是 A. ∠OBA =∠OCA B. 四边形OABC 内接于⊙O C.. AB=2BC D. ∠OBA +∠BOC =90°10.二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)的图象如图所示，那么一元二次 方程ax 2+bx +c =m (a ≠0, m 为常数且m ≤4)的两根之和为 A. 1 B. 2 C. -1 D. -2二、填空题（本题共6道小题，每小题3分，共18分） 11.已知扇形的圆心角为60°，半径是2，则扇形的面积为_________. 12.二次函数22(2)1y x =+-的最小值是_________.13.请写出一个开口向上，且过点(0,1)的抛物线的表达式 _________. 14.如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，若∠BAD=110°,则∠C 的度数 是_________.15.已知抛物线221y x x =--，点P 是抛物线上一动点，以点P 为圆心，2个单位长度为半径作⊙P. 当⊙P 与x 轴相切时，点P 的坐标为16.在数学课上，老师提出如下问题：如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 外，AC ,BC 分别与⊙O 交于点 D ,E ,请你作出△ABC 中BC 边上的高.小文说：连结AE ,则线段AE 就是BC 边上的高. 老师说：“小文的作法正确.” 请回答：小文的作图依据是_________.三、解答题（本题共13道小题，第17—26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分，共72分）17. 计算：cos30tan 602sin 45︒+︒-︒18.已知：如图，矩形ABCD 中，E ，F 分别是CD,AD 上的点， 且BF ⊥AE 于点M .求证：AB ﹒DE =AE ﹒AM19.已知抛物线的顶点坐标为（3，-4），且过点（0，5），求抛物线的表达式 .20.某班开展测量教学楼高度的综合实践活动.大家完成任务的方 法有很多种，其中一种方法是：如图，他们在C 点测得教学 楼AB 的顶部点A 的仰角为30°，然后向教学楼前进20米到达 点D ，在点D 测得点A 的仰角为60°，且B, C, D 三点在一条直 线上.请你根据这些数据，求出这幢教学楼AB 的高度.21．图1中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度y （m ）与旋转时间x (min)之间的关系如图2所示：图1 图2（1）根据图2填表：x (m in)36812…y （m ）54…（2）变量y 是x 的函数吗？为什么？ （3）根据图中的信息，请写出摩天轮的直径.22.已知：如图，△ABC 内接于⊙O ，∠C = 45°，AB =2,求⊙O 的半径.23. 已知:如图，在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数1my=的图象与一次函数y 2=kx +b 的图象交于 点A （-4，-1）和点B （1，n ）. （1）求这两个函数的表达式；（2）观察图象，当y 1＞y 2时，直接写出自变量x （3）如果点C 与点A 关于y 轴对称，求△ABC 的面积．24.已知：在四边形ABCD 中,90,60,ABC C ∠=︒∠=︒AB =（1）求ABD ∠tan 的值； （2）求AD 的长.25.某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个20元，市场调查发现，该种健身球每天的销售量y （个）与销售单价x （元）有如下关系：y =﹣2x +80（20≤x ≤40）．设这种健身球每天的销售利润为w 元．（1）求w 与x 之间的函数关系式；（2）该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？（3）如果物价部门规定这种健身球的销售单价不高于28元，该商店销售这种健身球每天要获得150元的销售利润，销售单价应定为多少元？26.已知：如图，在△ABC 中，AC=BC,以AC 为直径的⊙O 交AB 于点D ，过点D 作⊙O 的切线交BC 于点E .（1）求证：DE ⊥BC ； （2）若⊙O 的半径为5，cos B =35,求AB 的长.27．阅读下面材料：小敏遇到这一个问题：已知α为锐角，且tan α=12，求tan2α锐角α的直角三角形：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠B =过独立思考及与同学进行交流、讨论后，形成了构造2α方法1：如图1，作线段AB 的垂直平分线交BC 于点D ,连结AD.方法2：如图2，以直线BC 为对称轴，作出△AB C 的轴对称图形△A ，BC ．方法3：如图3，以直线AB为对称轴，作出△AB C的轴对称图形△ABC，．图1图2 图3请你参考上面的想法，根据勾股定理及三角函数等知识帮助小敏求tan2α的值．（一种方法即可）28.已知：抛物线y = ax 2 + 4ax + 4a （a > 0）（1）求抛物线的顶点坐标；（2）若抛物线经过点A（m，y1），B（n，y2），其中– 4 <m≤– 3，0 < n≤1，则y 1_____y 2（用“<”或“>”填空）；（3）如图，矩形CDEF的顶点分别为C（1，2），D（1，4），E（–3，4），F（–3，2），若该抛物线与矩形的边有且只有两个公共点（包括矩形的顶点），求a的取值范围.备用图29.已知：△ABC中，AC=6，BC=8，AB=10,点D是边AB上的一点，过C，D两点的⊙O分别与边CA，CB交于点E，F.（1）若点D是AB的中点，①在图1中用尺规作出一个．．符合条件的图形（保留作图痕迹，不写作法）；②如图2,连结EF，若EF∥AB,求线段EF的长;③请写出求线段EF长度最小值的思路.（2）如图3，当点D在边AB上运动时，线段EF长度的最小值是_________.初三数学答案及评分标准一、选择题（本题共10道小题，每小题3分，共30分）三、解答题（本题共13道小题，第17—26题，每小题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分，共72分）17. 计算：cos30tan 602sin 45︒+︒-︒解：原式2⨯………………………3分= ……………………………5分18.证明：如图∵ 四边形ABCD 是矩形∴∠BAD =∠D=90º， ∴∠BAE +∠EAD =90º. ∵BF ⊥AE ，∴∠AMB =90º. ∴∠BAE +∠ABM =90º∴∠EAD =∠ABM ……………………………2分 ∵∠D =∠AMB =90º，…………………………3分 ∴△ADE ∽△BMA ………………………………4分 ∴AMDEAB AE = ∴AB·DE=AE·AM …………………………………5分19. 解: 设二次函数的表达式为y =a (x - h )2 + k (a ≠0) ……………1分∵抛物线的顶点坐标是(3,-4),∴y =a (x -3)2-4………………………………………………2分 又∵抛物线经过点(0,5) ∴5=a (0-3)2-4 ………3分 ∴a =1………………………………………………………4分 ∴二次函数的表达式为y =(x -3)2－4……………………5分 化为一般式y =x 2-6x +520. 解：如图，由已知，可得∵∠ADB =60º，∠ACB =30º,∴∠CAD =30º. …………1分∴∠CAD =∠ACD ∴CD = AD .∵CD =20, ∴AD =20. … …………2分 ∵∠ADB =60º,∠ABD =90º∴sin ∠ADB =2AB AD =……… …………3分∴AB =…… ………4分答：教学楼的高度为.…………………………5分21.(1)分 (2)变量y 是x 的函数.因为在这个变化的过程中，有两个变量x , y ，对于x 的每一个取值， y 都有唯一确定的值和它相对应…………………………………4分 （3）65米…………………………………………………………………5分 22. 解：连结OB ,OA ………………………………………1分∵ ∠BCA =45º， ∴∠BOA =90º，…………………………………………2分 ∵ OB =OA ， ……………………………………………3分 ∴ ∠OBA =∠OAB = 45º，………………………………4分∵AB =2 ∴OB =OA =2……………………………………………5分 23. 解：（1）∵函数1my x=的图象过点A （-4，-1），∴m =4， ∴y 1=x4，又∵点B （1，n ）在y 1=x4上，∴n =4， ∴B （1，4）又∵一次函数y 2=kx +b 过A ,B 两点，即，411k b k b -+=-⎧⎨+=⎩ 解之得13k b =⎧⎨=⎩．∴y 2=x +3．综上可得y 1=x4，y 2=x +3．…………………………………2分 （2）要使y 1＞y 2，即函数y 1的图象总在函数y 2的图象上方， ∴x ＜﹣4 或0 ＜ x ＜1．……………………………………4分 (3)作BD ⊥AC 于点D ∵AC =8，BD =5，∴△ABC 的面积S △ABC =12AC ·BD =12×8×5=20．…………………………5分25.解：（1）w =（x ﹣20）∙y=（x ﹣20）（﹣2x +80）=﹣2x 2+120x ﹣1600，w 与x 的函数关系式为：w =﹣2x 2+120x ﹣1600；………………………………1分 （2）w =﹣2x 2+120x ﹣1600=﹣2（x ﹣30）2+200， …………………………………2分 ∵﹣2＜0， ∴当x =30时，w 有最大值．w 最大值为200．…………………………………3分 答：销售单价定为30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元．（3）当w =150时，可得方程﹣2（x ﹣30）2+200=150．解得 x 1=25，x 2=35．……………………………………………………………4分∵35＞28， ∴x 2=35不符合题意，应舍去．答：该商店销售这种健身球每天想要获得150元的销售利润，销售单价定为25元．………5分 26.（1）如图连结OD … ……1分∵过点D 作⊙O 的切线交BC 于点E ∴OD ⊥DE 于E ∴∠ODE =90° ∵OA =OD ∴∠A =∠1 ∵AC =BC ∴∠A=∠B ∴∠B =∠1 ∴OD ∥BC∴∠ODE =∠DEB =90° ∴DE ⊥BC … …………2分 （2）连结CD ……… …………3分∵AC 为⊙O 的直径∴∠ADC =90°∴CD ⊥AB ∵AC=BC ∴AD=BD,∠A =∠B∴cos A =cos B =53=ACAD ………… ………4分 ∵⊙O 的半径为5∴AC=BC=10 ∴AD =6∴CD=8∴AB =12………… ………………5分 27. 解：方法1：∵线段AB 的垂直平分线BC 交于点D ， AD =BD , ……… …………1分∴∠1=∠B∵∠B =α ∴∠2=∠1+∠B =2α… ……3分 在Rt △ABC 中，∠C =90°，tan α=12 ∴12AC BC =设,,2,AC k DC x AD BD k x ====-则……………………………4分在Rt △ADC 中，∠C =90°，由勾股定理得，222(2),k x k x +=-…… ……………5分 解得：3,4kx =……… ………………6分 ∴4tan 2.334AC k k DC α===……… ………………7分 方法2：过A 作AD ⊥A ＇B 于点D . …………………………………………1分 ∵△AB C 、△A ＇BC 关于BC 对称，∴∠1=∠ABC =α ∴∠A ＇BA =∠1+∠ABC =2α…………………………………………2分 在Rt △ABC 中，∠C =90°，tan α=12∴12AC BC =设',2,',AC A C k BC k AB A B ====则…………………………3分 ∵'11''22ABA S AA BC A B AD ∆=⨯⨯=⨯⨯∴22k k AD ⋅⋅………………………………………………………4分∴AD =……………………………………………………………5分 在Rt △ABD 中，∠ADB =90°，,AB AD =∴BD =6分∴4tan 2.3AD BD α===………………………………………………7分 方法3：延长C ＇A 交BC 的延长线于点D. ………………………………………1分 ∵△AB C 、△ABC ’关于直线AB 对称，∴∠1=∠ABC = α，BC ＇= BC ∴∠C ＇BC =∠1+∠ABC =2α………………………………………………2分 ∵tan α=12∴设AC = k ,则BC = 2k ，BC ＇= 2k ……………………………………………………………………3分 设CD = x∵∠ACB =90°,∴∠ACD =90°,∴△ACD ∽△BC ’D ………………………………………………………4分 ∴,DCDC ,BC AC = ∴D 'C xk k =2 ∴C ＇D = 2 x ∴AD =2x -k在Rt △ACD 中，∠ACD =90°，由勾股定理得，222)2(k x x k -=+ ……… ………5分k x 34=………… ……………6分∴3423422tan ,,=⨯==k k BC D C α…… ………7分28. 解：（1）y = a ( x 2+ 4x + 4 ) = a ( x + 2 ) 2……………1分抛物线的顶点为：（– 2，0）………………………2分 （2） y 1 < y 2…………………………………………4分 （3）对于y = a ( x + 2 ) 2代入点C （1，2），得a =92………………………5分 代入点F （– 3，2）得a = 2，………………………6分∴92< a < 2…………………………………………7分29. （1）①…………………………………2分②如图,连结CD ，FD∵AC =6，BC =8，AB =10∴AC 2+BC 2=AB 2∴△ABC 是直角三角形，∠ACB =90°∴EF 是⊙O 的直径……………………………3分∵D 是AB 中点∴DA =DB =DC =5∴∠B =∠DCB ，∵EF ∥AB∴∠A =∠CEF∵∠CDF =∠CEF∴∠A =∠CDF∵∠A +∠B =90°∴∠CDF +∠DCB =90°∴∠CFD =90°∴CD 是⊙O 的直径∴EF =CD =5………………4分③由AC 2+BC 2=AB 2可得∠ACB =90° ,所以，EF 是⊙O 的直径.由于CD 是⊙O 的弦,所以，有EF ≥CD ，所以，当CD 是⊙O 的直径时，EF 最小…………6分（2）524 错误！未指定书签。
8.大兴评标：202001九上数学期末
∴
…………………………………………………………２
分
4 2b c 1.
b 5,
解得
c 5.
…………………………………………３ 分
∴ b, c 的值分别为 5, -5.
（ 2） a 1 0 5
∴当 x 时 y 有最大值 ……………………………………………………５ 分 2
初三数学参考答案第 1 页（共 7 页）
② 6. …………………………………………………………………… ..5 分
初三数学参考答案第 4 页（共 7 页）
26．（ 1）∵ y x2 (m 1) x 1的对称轴为 x 1
∴m 1 1 2
………………………………１ 分
∴ m 3，
∴函数的表达式为 y x2 2x 1 …………………２ 分
（ 2）① y
∴
．………………………… 1 分
∴ ∠ DAE=∠ EAB． ∵ ∠ C =2∠ EAB， ∴∠ C =∠ BAD．
A O
∵ AB 是⊙ O 的直径，
C
∴ ∠ ADB=∠ ADC=90°．……………… 2 分
∴ ∠ C+∠ CAD= 90°．
DF
B
E
图①
∴ ∠ BAD+∠ CAD=90°．
即 BA⊥ AC．
大兴区 2019~2020学年度第一学期期末检测试卷
初三数学答案及评分标准
一、选择题（本大题共 8 个小题，每小题 2 分，共 16 分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
C
B
北京大兴区九年级上册期末数学检测试题有答案-(新课标人教版)
大兴区第一学期期末检测试卷初三数 学考生 须 知1．本试卷共8页，共三道大题，28道小题．满分100分，考试时间120分钟．2．在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号．3．试卷答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效．在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答． 4．考试结束，将答题卡交回．一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个． 1．抛物线3)2-(2+=x y 的顶点坐标是A.（-2,3）B.（2,3）C.（2,-3）D.（-3,2）2. 如图，点A ，B ，P 是⊙O 上的三点，若︒=∠40AOB ， 则APB ∠的度数为A. ︒80B. ︒140C. ︒20D. ︒50 3．已知反比例函数xm y 2-=，当>0时，y 随的增大而增大，则m 的取值 范围是Ａ.m<2 Ｂ.m>2 Ｃ.m ≤2 Ｄ.m ≥24. 在半径为12cm 的圆中，长为4πcm 的弧所对的圆心角的度数为A. ︒10B. ︒60C. ︒90D. ︒1205. 将抛物线25x y =先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，可以得到新的抛物线是A.3)2(52++=x y B.3)2(52+-=x y C.3)2(52-+=x y D. 3)2(52--=x y6.为测量某河的宽度，小军在河对岸选定一个目标点A ，再在他所在的这一侧选点B ，C ，D ，使得AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，然后找出AD 与BC 的交点 E. 如图所示，若测得BE =90m ，EC =45m ，CD =60m ，则这条河的宽AB 等于 A ．120m B ．67.5m C ．40mD ．30m7. 根据研究，人体内血乳酸浓度升高是运动后感觉疲劳的重要原因，运动员未运动时，体内血乳酸浓度水平通常在40mg/L以下；如果血乳酸浓度降到50mg/L以下，运动员就基本消除了疲劳，体育科研工作者根据实验数据，绘制了一副图象，它反映了运动员进行高强度运动后，体内血乳酸浓度随时间变化而变化的函数关系.下列叙述正确的是A．运动后40min时，采用慢跑活动方式放松时的血乳酸浓度与采用静坐方式休息时的血乳酸浓度相同B．运动员高强度运动后最高血乳酸浓度大约为350mg/LC．运动员进行完剧烈运动，为了更快达到消除疲劳的效果，应该采用慢跑活动方式放松D．采用慢跑活动方式放松时，运动员必须慢跑80min后才能基本消除疲劳8．下图显示了用计算机模拟随机抛掷一枚硬币的某次实验的结果下面有三个推断：①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，所以“正面向上”的概率是0.47；②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5；③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率一定是0.45． 其中合理的是 A ．① B.② C. ①② D. ①③二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝4，AC =2，则tan B 的值是__________．10. 计算：2sin60°－tan 45°＋4cos30°=__________．11.若△ABC ∽△DEF ，且BC ∶EF=2∶3，则△ABC 与△DEF 的面积比等于_________．12.请写出一个开口向上，并且与y 轴交于点(0，2)的抛物线的表达式：_________．13. 如图，在半径为5cm 的⊙O 中，如果弦AB 的长为8cm ，OC ⊥AB ，垂足为C ，那么OC 的长为 cm ．14．圆心角为160°的扇形的半径为9cm ，则这个扇形的面积是 cm 2．15．若函数231y ax x =++的图象与x 轴有两个交点，则a 的取值范围是 ．16． 下面是“作出所在的圆”的尺规作图过程．已知：． 求作：所在的圆.作法：如图， （1） 在上任取三个点D ，C ，E ；（2） 连接DC ，EC ；（3） 分别作DC 和EC 的垂直平分线，两垂直平分线的交点为点O.（4） 以 O 为圆心，OC 长为半径作圆， 所以⊙O 即为所求作的所在的圆..请回答：该尺规作图的依据是 ．三、解答题（本题共68分，第17-25题每小题5分, 第26题7 分，第27题8 分，第28题8 分）17．如图，在平面直角坐标系Oy 中，一次函数2y x =-的图象 与反比例函数ky x=的图象的一个交点为A （-1，n ）． 求反比例函数ky x=的表达式.18．已知二次函数y = 2 ＋4 +3.（1）用配方法将y = 2 ＋4 +3化成2()=-+y a x h k 的形式； （2）在平面直角坐标系Oy 中，画出这个二次函数的图象.19．已知：如图，在△ABC 中，D ，E 分别为AB 、 AC 边上的点，且AE AD 53=，连接DE . 若AC ＝4，AB ＝5. 求证：△ADE ∽△ACB.20．已知：如图，在∆A B C 中，AB =AC =8,∠A =120°,求BC 的长.21.已知： 如图，⊙O 的直径AB 的长为5cm ，C 为⊙O 上的一个点，∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ，求BD 的长．22. 在一次社会大课堂的数学实践活动中，王老师要求同学们测量教室窗户边框上的点C到地面的距离即CD的长，小英测量的步骤及测量的数据如下：（1）在地面上选定点A, B，使点A，B，D在同一条直线上，测量出A、B两点间的距离为9米；（2）在教室窗户边框上的点C点处，分别测得点A，B的俯角∠ECA=35°,∠ECB=45°.请你根据以上数据计算出CD的长.（可能用到的参考数据：sin35°≈0.57 cos35°≈0.82 tan35°≈0.70）23.已知：如图，ABCD是一块边长为2米的正方形铁板，在边AB上选取一点M，分别以AM和MB为边截取两块相邻的正方形板料. 当AM的长为何值时，截取两块相邻的正方形板料的总面积最小?24. 已知：如图，AB是半圆O的直径，D是半圆上的一个动点（点D 不与点A ，B 重合）， .∠=∠CAD B （1）求证：AC 是半圆O 的切线；（2）过点O 作BD 的平行线，交AC 于点E ，交AD 于点F, 且EF=4, AD=6, 求BD 的长．25．如图，AB = 6cm ，∠C AB = 25°，P 是线段AB 上一动点，过点P 作PM ⊥AB 交射线AC 于点M ，连接MB ，过点P 作PN ⊥MB于点N ．设A ，P 两点间的距离为cm ，P ，N 两点间的距离为y cm ．（当点P 与点A 或点B 重合时，y 的值均为0）小海根据学习函数的经验，对函数y 随自变量的变化而变化的规律进行了探究．下面是小海的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了与y 的几组值，如下表：/cm 0.000.60 1.00 1.51 2.00 2.75 3.00 3.50 4.00 4.29 4.90 5.50 6.00 y /cm 0.000.290.470.701.201.271.371.361.301.000.490.00（说明：补全表格时相关数值保留两位小数）（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当y =0.5时，与之对应的x 值的个数是 .26. 已知一次函数1112=-y x ，二次函数224=-+y x mx （其中m ＞4）．（1）求二次函数图象的顶点坐标（用含m 的代数式表示）； （2）利用函数图象解决下列问题：①若5=m ，求当10y >且2y ≤0时，自变量x 的取值范围； ②如果满足10y >且2y ≤0时自变量x 的取值范围内有 且只有一个整数，直接写出m 的取值范围．27．已知：如图，AB 为半圆O 的直径，C 是半圆O 上一点，过点C 作AB 的平行线交⊙O 于点E ，连接AC 、BC 、AE ，EB . 过点C 作CG ⊥AB 于点G ，交EB 于点H. （1）求证：∠BCG=∠E BG ； （2）若55sin =∠CAB ，求GB EC的值.28. 一般地，我们把半径为1的圆叫做单位圆，在平面直角坐标系xOy 中，设单位圆的圆心与坐标原点O 重合，则单位圆与x 轴的交点分别为（1，0），（-1,0），与y 轴的交点分别为（0,1），（0，-1）.在平面直角坐标系xOy 中，设锐角α的顶点与坐标原点O 重合，α的一边与x 轴的正半轴重合，另一边与单位圆交于点P 11(,)x y ,且点P 在第一象限. （1） 1x =_ __ (用含α的式子表示);1y =____ _ (用含α的式子表示) ;（2）将射线OP 绕坐标原点O 按逆时针方向旋转90︒后与单位圆交于点22(,)Q x y . ①判断1y 2与的数量关系,并证明；x ②12y y +的取值范围是_ ___.大兴区第一学期期末检测试卷初三数学参考答案及评分标准一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案BCABDACB二、填空题（本题共16分，每小题2分） 9.12. 10. 33-1. 11. 4∶9.12. 22y x =+.（答案不唯一） 13. 3.14. 36 π . 15. a ＜94且a ≠0. 16. 不在同一直线上的三个点确定一个圆；圆是到定点的距离等于定长的点的集合；线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.二、解答题（本题共68分，第17-25题，每小题5分, 第26题7 分，第27题8 分， 第28题8 分） 17. 解：∵ 点A (1,)n -在一次函数2y x =-的图象上，∴ 2(1)2n =-⨯-=．………………………… 1分 ∴ 点A 的坐标为12-（，）．…………………… 2分∵ 点A 在反比例函数ky x=的图象上， ∴ 2k =-．…………………………………… 4分∴ 反比例函数的表达式为2y x=-． ……… 5分 18．解：（1）342++=x x y1442-++=x x2(2)1x =+-…………………………… 2分（2）………………. 5分19．证明：∵ AC =3，AB =5，35AD AE =，∴AC ABAD AE=．……………………………… 3分 ∵ ∠A =∠A ，……………………………… 4分 ∴ △ADE ∽△ACB ．……………………… 5分20. 解：过点A 作AD ⊥BC 于D ， ∵ AB =AC ，∠BAC =120°∴∠B =∠C=30°， ……………………………… 1分BC=2BD ，……………………………………… 2分 在Rt △ABD 中，∠ADB =90°，∠B =30°，AB =8， cos B =BDAB，……………………………………… 3分 ∴ BD =AB cos30°= 8×32=43，……………… 4分∴ BC =83. ……………………………………… 5分21. 解：∵ AB 为直径，∴ ∠ADB =90°， ……………………………… 1分 ∵ CD 平分∠ACB ， ∴ ∠ACD =∠BCD ，∴ AD⌒ =BD ⌒ ．………………………………… 2分 ∴ AD =BD ……………………………………… 3分 在等腰直角三角形ADB 中， BD =AB sin45°=5×2 2 =522 ……………… 5分∴ BD =522 .22．解：由题意可知：CD ⊥AD 于D ，∠ECB=∠CBD ＝45︒， ∠ECA=∠CAD ＝35︒， AB ＝9. 设CD x =，∵ 在Rt CDB ∆中，∠CDB ＝90°，∠CBD ＝45°， ∴ CD =BD =x . ……………………………… 2分 ∵ 在Rt CDA ∆中，∠CDA ＝90°，∠CAD ＝35°， ∴ tan CD CAD AD∠=，∴ tan 35x AD =︒…………………………… 4分∵ AB =9，AD =AB +BD ， ∴ 90.7x x +=.解得 21x =答：CD 的长为21米.……………………… 5分23. 解：设AM 的长为x 米 , 则MB 的长为(2)x -米，以AM 和MB 为边的两个正方形面积之和为y 平方米. 根据题意，y 与之间的函数表达式为222(2).................................................................22(1) 2.....................................................................3y x x x =+-=-+分分因为2>0于是，当1=x 时，y 有最小值………………………..4分所以，当AM 的长为1米时截取两块相邻的正方形板料的总面积最小. ……………………………………………………………..5分24.（1）证明：∵AB 是半圆直径，∴∠BDA =90°. .………………………………………………………1分∴90B DAB ∠+∠=︒又DAC B ∠=∠∴90DAC DAB ∠+∠=︒……………………………………………2分即∠CAB =90°∴AC 是半圆O 的切线.（2）解：由题意知，,90OE BD D ∠=︒∥∴∠D =∠AFO =∠AFE = 90°∴OE AD ⊥. 12AF AD =……………………………………………………3分又∵AD=6∴AF =3.又B CAD ∠=∠∴△AEF ∽△BAD ...................................................4分 4369 (52)4EFAF ADBD BDBD EF ∴==∴==∴分 25. 解：（1）0.91（答案不唯一）……………1分（2）…………………………………………………………4分（3）两个. ………………………………………………………5分26．解：（1）∵224y x mx =-+，∴二次函数图象的顶点坐标为2(,4)24m m -+………………………………………………2分（2）①当5m =时，2254y x x =-+．…………………………………………………………… 4分如图, 因为10y >且2y ≤0，由图象,得2＜≤4． ……………………………………………… 5分②133≤m ＜5 …………………………………………………7分27. 证明：（1）∵AB 是直径，∴∠ACB =90°.………………………………………………..1分∵CG ⊥AB 于点G ，∴∠ACB=∠ CGB =90°.∴∠CAB =∠BCG . .………………………………………………..2分∵CE ∥AB ，∴∠CAB =∠ACE .∴∠BCG =∠ACE又∵∠ACE =∠EBG∴∠BCG =∠EBG . .………………………………………………..3分（2）解：∵5sin 5CAB ∠=∴1tan 2CAB ∠=，………………………………………………..4分由（1）知，∠HBG =∠EBG =∠ACE =∠CAB∴在Rt △HGB 中，1tan 2GH HBG GB ∠==. 由（1）知，∠BCG =∠CAB在Rt △BCG 中，1tan 2GB BCG CG ∠==. 设GH=a ，则GB=2a ，CG=4a .CH =CG －HG =3a . ……………..6分 ∵EC ∥AB ，∴∠ECH =∠BGH ，∠CEH =∠GBH∴△ECH ∽△BGH ．……………………………………………..7分 ∴33ECCHaGB GH a ===．…………………………………………8分28.（1）cos α；……………………………….……………………….1分sin α;……………………..……………………………………2分（2）①12y x 与的数量关系是：1y 2=-x ；……………….…3分证明：过点P 作PF ⊥轴于点F ，过点Q 作QE ⊥轴于点E . 90PFO QEO ∴∠=∠=︒90POF OPF ∴∠+∠=︒PO OQ ⊥90POF QOE ∴∠+∠=︒QOE OPF ∴∠=∠PO OQ ==1∴△QOE ≌△OPF …………………………………………5分 .PF OE ∴=11(,)P x y , Q 22(,)x y12∴=y x∵Q 在第二象限，P 在第一象限∴1y >0, 2x <0∴1y =2-x …………………………………………………6分 ②121+2y y <≤.……………………………………………8分。
2019-2020学年北京市大兴区九年级上册期末数学试卷(有答案)-优质版
2019-2020学年北京市大兴区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．抛物线y=（x﹣2）2+3的顶点坐标是（）A．（﹣2，3）B．（2，3）C．（2，﹣3）D．（﹣3，2）2．如图，点A，B，P是⊙O上的三点，若∠AOB=40°，则∠APB的度数为（）A．80°B．140°C．20°D．50°3．已知反比例函数y=，当x＞0时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（）A．m＜2B．m＞2C．m≤2D．m≥24．在半径为12cm的圆中，长为4πcm的弧所对的圆心角的度数为（）A．10°B．60°C．90°D．120°5．将二次函数y=5x2的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的解析式为（）A．y=5（x+2）2+3B．y=5（x﹣2）2+3C．y=5（x+2）2﹣3D．y=5（x﹣2）2﹣36．为测量某河的宽度，小军在河对岸选定一个目标点A，再在他所在的这一侧选点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，然后找出AD与BC的交点E．如图所示，若测得BE=90m，EC=45m，CD=60m，则这条河的宽AB等于（）A．120m B．67.5m C．40m D．30m7．根据研究，人体内血乳酸浓度升高是运动后感觉疲劳的重要原因，运动员未运动时，体内血乳酸浓度水平通常在40mg/L以下；如果血乳酸浓度降到50mg/L以下，运动员就基本消除了疲劳，体育科研工作者根据实验数据，绘制了一副图象，它反映了运动员进行高强度运动后，体内血乳酸浓度随时间变化而变化的函数关系．下列叙述正确的是（）A．运动后40min时，采用慢跑活动方式放松时的血乳酸浓度与采用静坐方式休息时的血乳酸浓度相同B．运动员高强度运动后最高血乳酸浓度大约为350mg/LC．运动员进行完剧烈运动，为了更快达到消除疲劳的效果，应该采用慢跑活动方式来放松D．采用慢跑活动方式放松时，运动员必须慢跑80min后才能基本消除疲劳8．如图显示了用计算机模拟随机抛掷一枚硬币的某次实验的结果下面有三个推断：①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，所以“正面向上”的概率是0.47；②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5；③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率一定是0.45．其中合理的是（）A．①B．②C．①②D．①③二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=2，则tanB的值是．10．计算：2sin60°﹣tan 45°+4cos30°=．11．若△ABC∽△DEF，且对应边BC与EF的比为2：3，则△ABC与△DEF的面积比等于．12．请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，2）的抛物线的表达式：．13．如图，在半径为5cm的⊙O中，如果弦AB的长为8cm，OC⊥AB，垂足为C，那么OC 的长为cm．14．圆心角为160°的扇形的半径为9cm，则这个扇形的面积是cm2．15．若函数y=ax2+3x+1的图象与x轴有两个交点，则a的取值范围是．16．下面是“作出所在的圆”的尺规作图过程．已知：．求作：所在的圆．作法：如图，（1）在上任取三个点D，C，E；（2）连接DC，EC；（3）分别作DC和EC的垂直平分线，两垂直平分线的交点为点O．（4）以 O为圆心，OC长为半径作圆，所以⊙O即为所求作的所在的圆．请回答：该尺规作图的依据是．三、解答题（本题共68分）17．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=﹣2x的图象与反比例函数y=的图象的一个交点为A（﹣1，n）．求反比例函数y=的表达式．18．（5分）已知二次函数y=x2+4x+3．（1）用配方法将y=x2+4x+3化成y=a（x﹣h）2+k的形式；（2）在平面直角坐标系xOy中，画出这个二次函数的图象．19．（5分）已知：如图，在△ABC中，D，E分别为AB、AC边上的点，且AD=AE，连接DE．若AC=3，AB=5．求证：△ADE∽△ACB．20．（5分）已知：如图，在△ABC中，AB=AC=8，∠A=120°，求BC的长．21．（5分）已知：如图，⊙O的直径AB的长为5cm，C为⊙O上的一个点，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求BD的长．22．（5分）在一次社会大课堂的数学实践活动中，王老师要求同学们测量教室窗户边框上的点C到地面的距离即CD的长，小英测量的步骤及测量的数据如下：（1）在地面上选定点A，B，使点A，B，D在同一条直线上，测量出A、B两点间的距离为9米；（2）在教室窗户边框上的点C点处，分别测得点A，B的俯角∠ECA=35°，∠ECB=45°．请你根据以上数据计算出CD的长．（可能用到的参考数据：sin35°≈0.57 cos35°≈0.82 tan35°≈0.70）23．（5分）已知：如图，ABCD是一块边长为2米的正方形铁板，在边AB上选取一点M，分别以AM和MB为边截取两块相邻的正方形板料．当AM的长为何值时，截取两块相邻的正方形板料的总面积最小？24．（5分）已知：如图，AB 是半圆O 的直径，D 是半圆上的一个动点（点D 不与点A ，B 重合），∠CAD=∠B（1）求证：AC 是半圆O 的切线；（2）过点O 作BD 的平行线，交AC 于点E ，交AD 于点F ，且EF=4，AD=6，求BD 的长．25．（5分）如图，AB=6cm ，∠CAB=25°，P 是线段AB 上一动点，过点P 作PM ⊥AB 交射线AC 于点M ，连接MB ，过点P 作PN ⊥MB 于点N ．设A ，P 两点间的距离为xcm ，P ，N 两点间的距离为ycm ．（当点P 与点A 或点B 重合时，y 的值均为0）小海根据学习函数的经验，对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小海的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x 与y 的几组值，如下表：（说明：补全表格时相关数值保留两位小数）（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当y=0.5时，与之对应的x 值的个数是 ．26．（7分）已知一次函数y 1=x ﹣1，二次函数y 2=x 2﹣mx+4（其中m ＞4）．（1）求二次函数图象的顶点坐标（用含m的代数式表示）；（2）利用函数图象解决下列问题：①若m=5，求当y1＞0且y2≤0时，自变量x的取值范围；②如果满足y1＞0且y2≤0时自变量x的取值范围内有且只有一个整数，直接写出m的取值范围．27．（8分）已知：如图，AB为半圆O的直径，C是半圆O上一点，过点C作AB的平行线交⊙O于点E，连接AC、BC、AE，EB．过点C作CG⊥AB于点G，交EB于点H．（1）求证：∠BCG=∠EBG；（2）若sin∠CAB=，求的值．28．（8分）一般地，我们把半径为1的圆叫做单位圆，在平面直角坐标系xOy中，设单位圆的圆心与坐标原点O重合，则单位圆与x轴的交点分别为（1，0），（﹣1，0），与y轴的交点分别为（0，1），（0，﹣1）．在平面直角坐标系xOy中，设锐角a的顶点与坐标原点O重合，a的一边与x轴的正半轴重合，另一边与单位圆交于点P（x1，y1），且点P在第一象限．（1）x1= （用含a的式子表示）；y1= （用含a的式子表示）；（2）将射线OP绕坐标原点O按逆时针方向旋转90°后与单位圆交于点Q（x2，y2）．①判断y1与x2的数量关系，并证明；②y1+y2的取值范围是：．2019-2020学年北京市大兴区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．抛物线y=（x﹣2）2+3的顶点坐标是（）A．（﹣2，3）B．（2，3）C．（2，﹣3）D．（﹣3，2）【分析】由于抛物线y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k），由此即可求解．【解答】解：∵抛物线y=（x﹣2）2+3，∴顶点坐标为：（2，3）．故选：B．【点评】此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握抛物线的顶点坐标公式即可解决问题．2．如图，点A，B，P是⊙O上的三点，若∠AOB=40°，则∠APB的度数为（）A．80°B．140°C．20°D．50°【分析】直接利用圆周角定理求解．【解答】解：∠APB=∠AOB=×40°=20°．故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．3．已知反比例函数y=，当x＞0时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（）A．m＜2B．m＞2C．m≤2D．m≥2【分析】先根据反比例函数y=，当x＞0时y随x的增大而增大判断出1﹣2m的符号，求出m的取值范围即可．【解答】解：∵反比例函数y=，当x＞0时y随x的增大而增大，∴m﹣2＜0，∴m＜2．故选：A．【点评】本题考查的是反比例函数的性质，根据题意判断出1﹣2m的符号是解答此题的关键．4．在半径为12cm的圆中，长为4πcm的弧所对的圆心角的度数为（）A．10°B．60°C．90°D．120°【分析】根据弧长的计算公式：l=（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r），代入即可求出圆心角的度数．【解答】解：根据弧长的公式l=，得到：4π=，解得n=60°，故选：B．【点评】本题考查了弧长的计算，解答本题关键是熟练掌握弧长的计算公式，及公式字母表示的含义．5．将二次函数y=5x2的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的解析式为（）A．y=5（x+2）2+3B．y=5（x﹣2）2+3C．y=5（x+2）2﹣3D．y=5（x﹣2）2﹣3【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将二次函数y=5x2的图象先向右平移2个单位所得函数的解析式为：y=5（x﹣2）2；由“上加下减”的原则可知，将二次函数y=5（x﹣2）2的图象先向下平移3个单位所得函数的解析式为：y=5（x﹣2）2﹣3．故选：D．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象几何变换的法则是解答此题的关键．6．为测量某河的宽度，小军在河对岸选定一个目标点A，再在他所在的这一侧选点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，然后找出AD与BC的交点E．如图所示，若测得BE=90m，EC=45m，CD=60m，则这条河的宽AB等于（）A．120m B．67.5m C．40m D．30m【分析】由两角对应相等可得△BAE∽△CDE，利用对应边成比例可得两岸间的大致距离AB．【解答】解：∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴△BAE∽△CDE，∴，∵BE=90m，CE=45m，CD=60m，∴，解得：AB=120，故选：A．【点评】考查相似三角形的应用；用到的知识点为：两角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例．7．根据研究，人体内血乳酸浓度升高是运动后感觉疲劳的重要原因，运动员未运动时，体内血乳酸浓度水平通常在40mg/L以下；如果血乳酸浓度降到50mg/L以下，运动员就基本消除了疲劳，体育科研工作者根据实验数据，绘制了一副图象，它反映了运动员进行高强度运动后，体内血乳酸浓度随时间变化而变化的函数关系．下列叙述正确的是（）A．运动后40min时，采用慢跑活动方式放松时的血乳酸浓度与采用静坐方式休息时的血乳酸浓度相同B．运动员高强度运动后最高血乳酸浓度大约为350mg/LC．运动员进行完剧烈运动，为了更快达到消除疲劳的效果，应该采用慢跑活动方式来放松D．采用慢跑活动方式放松时，运动员必须慢跑80min后才能基本消除疲劳【分析】根据函数图象横纵坐标表示的意义判断即可．【解答】解：A、运动后40min时，采用慢跑活动方式放松时的血乳酸浓度与采用静坐方式休息时的血乳酸浓度不同，错误；B、运动员高强度运动后最高血乳酸浓度大约为200mg/L，错误；C、运动员进行完剧烈运动，为了更快达到消除疲劳的效果，应该采用慢跑活动方式来放松，正确；D、采用慢跑活动方式放松时，运动员必须慢跑40min后才能基本消除疲劳，错误；故选：C．【点评】本题考查了函数的图象，解答本题的关键是正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．8．如图显示了用计算机模拟随机抛掷一枚硬币的某次实验的结果下面有三个推断：①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，所以“正面向上”的概率是0.47；②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5；③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率一定是0.45．其中合理的是（）A．①B．②C．①②D．①③【分析】随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5，据此进行判断即可．【解答】解：①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，“正面向上”的概率不一定是0.47，故错误；②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5，故正确；③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率不一定是0.45，故错误．故选：B．【点评】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=2，则tanB的值是．【分析】直接利用正切的定义求解．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∴tanB===．故答案为．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义：熟练掌握正弦、余弦和正切的定义．10．计算：2sin60°﹣tan 45°+4cos30°=3﹣1 ．【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．【解答】解：原式=2×﹣1+4×=3﹣1，故答案为：3﹣1．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．11．若△ABC∽△DEF，且对应边BC与EF的比为2：3，则△ABC与△DEF的面积比等于4：9 ．【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可得出△ABC与△DEF的面积比．【解答】解：∵△ABC与△DEF的相似比是2：3，∴△ABC与△DEF的面积比等于22：32=4：9．【点评】熟悉相似三角形的性质：相似三角形的面积比是相似比的平方．12．请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，2）的抛物线的表达式：y=x2+2 ．【分析】根据二次函数的性质，所写出的函数解析式a是正数，c=2即可．【解答】解：开口向上，并且与y轴交于点（0，2）的抛物线的表达式为y=x2+2，故答案为：y=x2+2（答案不唯一）．【点评】本题主要考查二次函数，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．13．如图，在半径为5cm的⊙O中，如果弦AB的长为8cm，OC⊥AB，垂足为C，那么OC 的长为 3 cm．【分析】连接OA．根据垂径定理求得AC的长，再进一步根据勾股定理即可求得OC的长．【解答】解：连接OA∵OC⊥AB，弦AB长为8cm，∴AC=4（cm）．根据勾股定理，得OC==3（cm）．故答案为3．【点评】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线吗，构造直角三角形解决问题．14．圆心角为160°的扇形的半径为9cm，则这个扇形的面积是36πcm2．【分析】根据扇形的面积公式进行计算即可．【解答】解：这个扇形的面积==36 πcm2．故答案为：36π【点评】此题考查了扇形的面积计算，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握扇形的面积计算公式，难度一般．15．若函数y=ax2+3x+1的图象与x轴有两个交点，则a的取值范围是a＜且a≠0 ．【分析】根据函数与x轴有两个交点得出△＞0且a≠0，求出不等式的解集即可．【解答】解：∵函数y=ax2+3x+1的图象与x轴有两个交点，∴方程ax2+3x+1=0有两个实数根，即△=32﹣4a＞0且a≠0，解得：a＜且a≠0，故答案为：a＜且a≠0．【点评】本题考查了二次函数与x轴的交点问题和一元二次方程的根的判别式，能得出关于a'的不等式是解此题的关键．16．下面是“作出所在的圆”的尺规作图过程．已知：．求作：所在的圆．作法：如图，（1）在上任取三个点D，C，E；（2）连接DC，EC；（3）分别作DC和EC的垂直平分线，两垂直平分线的交点为点O．（4）以 O为圆心，OC长为半径作圆，所以⊙O即为所求作的所在的圆．请回答：该尺规作图的依据是线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；平面内，到定点的距离等于定长的点在同一个圆上．【分析】由中垂线的性质知OD=OC=OE，继而根据“平面内，到定点的距离等于定长的点在同一个圆上”可得．【解答】解：∵分别作DC和EC的垂直平分线，两垂直平分线的交点为点O．∴OD=OC=OE（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等），∴点A、B、C、D、E在以O为圆心，OC长为半径的圆上（平面内，到定点的距离等于定长的点在同一个圆上），故答案为：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；平面内，到定点的距离等于定长的点在同一个圆上．【点评】本题主要考查作图﹣尺规作图，解题的关键是熟练掌握中垂线的性质和圆的概念．三、解答题（本题共68分）17．（5分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=﹣2x的图象与反比例函数y=的图象的一个交点为A（﹣1，n）．求反比例函数y=的表达式．【分析】把A的坐标代入y=﹣2x，求出n，得出A的坐标，再把A的坐标代入反比例函数的解析式求出k即可．【解答】解：∵点A（﹣1，n）在一次函数y=﹣2x的图象上，∴n=（﹣2）×（﹣1）=2，∴点A的坐标为（﹣1，2），∵点A在反比例函数y=的图象上，∴k=（﹣1）×2=﹣2．∴反比例函数的解析式为y=﹣．【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征．用待定系数法确定函数的解析式，是常用的一种解题方法．同学们要熟练掌握这种方法．18．（5分）已知二次函数y=x2+4x+3．（1）用配方法将y=x2+4x+3化成y=a（x﹣h）2+k的形式；（2）在平面直角坐标系xOy中，画出这个二次函数的图象．【分析】（1）利用配方法易得y=（x+2）2﹣1，则抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣1），对称轴为直线x=﹣2；（2）利用描点法画二次函数图象；【解答】解：（1）y=（x2+4x）+3=（x2+4x+4﹣4）+3=（x=2）2﹣1；（2）如图：【点评】本题考查了二次函数的三种形式：一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）；顶点式：y=a（x﹣h）2+k（a，h，k是常数，a≠0），其中（h，k）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，k）；交点式：y=a（x﹣x 1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与x轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0）．也考查了二次函数图象与性质．19．（5分）已知：如图，在△ABC中，D，E分别为AB、AC边上的点，且AD=AE，连接DE．若AC=3，AB=5．求证：△ADE∽△ACB．【分析】根据已知条件得到，由于∠A=∠A，于是得到△ADE∽△ACB；【解答】证明：∵AC=3，AB=5，AD=，∴，∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，垂直的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．20．（5分）已知：如图，在△ABC中，AB=AC=8，∠A=120°，求BC的长．【分析】过点A作AD⊥BC于D．解直角三角形求出BD，利用等腰三角形的性质即可解决问题．【解答】解：过点A作AD⊥BC于D．∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，BC=2BD，在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠B=30°，AB=8，cosB=，∴BD=ABcos30°=8×=4，∴BC=8．【点评】本题考查等腰三角形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21．（5分）已知：如图，⊙O的直径AB的长为5cm，C为⊙O上的一个点，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求BD的长．【分析】根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=∠ADB=90°，再根据角平分线的定义可得∠DAC=∠BCD，然后求出AD=BD，再根据等腰直角三角形的性质其解即可；【解答】解：∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，∴=．∴AD=BD，在等腰直角三角形ADB中，BD=ABsin45°=5×=，∴BD=．【点评】本题考查了直径所对的圆周角等于直角，等腰直角三角形的判定与性质，关键是根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=∠ADB=90°．22．（5分）在一次社会大课堂的数学实践活动中，王老师要求同学们测量教室窗户边框上的点C到地面的距离即CD的长，小英测量的步骤及测量的数据如下：（1）在地面上选定点A，B，使点A，B，D在同一条直线上，测量出A、B两点间的距离为9米；（2）在教室窗户边框上的点C点处，分别测得点A，B的俯角∠ECA=35°，∠ECB=45°．请你根据以上数据计算出CD的长．（可能用到的参考数据：sin35°≈0.57 cos35°≈0.82 tan35°≈0.70）【分析】设CD=x，在Rt△CDB中，CD=BD=x，在Rt△CDA中tan∠CAD=，根据图中的线段关系可得AD=AB+BD，进而可得9+x=，再解即可．【解答】解：由题意可知：CD⊥AD于D，∠ECB=∠CBD=45°，∠ECA=∠CAD=35°，AB=9．设CD=x，∵在Rt△CDB中，∠CDB=90°，∠CBD=45°，∴CD=BD=x，∵在Rt△CDA中，∠CDA=90°，∠CAD=35°，∴tan∠CAD=，∴AD=，∵AB=9，AD=AB+BD，∴9+x=，解得 x=21，答：CD的长为21米．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，关键是读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．23．（5分）已知：如图，ABCD是一块边长为2米的正方形铁板，在边AB上选取一点M，分别以AM和MB为边截取两块相邻的正方形板料．当AM的长为何值时，截取两块相邻的正方形板料的总面积最小？【分析】设AM的长为x米，则MB的长为（2﹣x）米，由题意得出y=x2+（x﹣2）2=2（x ﹣1）2+2，利用二次函数的性质求解可得．【解答】解：设AM的长为x米，则MB的长为（2﹣x）米，以AM和MB为边的两个正方形面积之和为y平方米．根据题意，y与x之间的函数表达式为y=x2+（x﹣2）2=2（x﹣1）2+2，因为2＞0于是，当x=1时，y有最小值，所以，当AM的长为1米时截取两块相邻的正方形板料的总面积最小．【点评】本题考查了二次函数的最值，二次项系数a决定二次函数图象的开口方向．①当a＞0时，二次函数图象向上开口，函数有最小值；②a＜0时，抛物线向下开口，函数有最大值．24．（5分）已知：如图，AB是半圆O的直径，D是半圆上的一个动点（点D不与点A，B 重合），∠CAD=∠B（1）求证：AC是半圆O的切线；（2）过点O作BD的平行线，交AC于点E，交AD于点F，且EF=4，AD=6，求BD的长．【分析】（1）经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．欲证AC是半圆O的切线，只需证明∠CAB=90°即可；（2）由相似三角形的判定定理AA可以判定△AEF∽△BAD；然后根据相似三角形的对应边成比例，求得BD的长即可．【解答】解：（1）∵AB是半圆直径，∴∠BDA=90°，∴∠B+∠DAB=90°，又∵∠DAC=∠B，∴∠DAC+∠DAB=90°，即∠CAB=90°，∴AC是半圆O的切线．（2）由题意知，OE∥BD，∠D=90°，∴∠D=∠AFO=∠AFE=90°，∴OE⊥AD，∴∠AFE=∠D=∠AFO=90°，AF=AD=3，又∵AD=6∴AF=3．又∵∠B=∠DAE，∴△AEF∽△BAD，∴=，而EF=4，∴，解得BD=．【点评】本题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．25．（5分）如图，AB=6cm，∠CAB=25°，P是线段AB上一动点，过点P作PM⊥AB交射线AC于点M，连接MB，过点P作PN⊥MB于点N．设A，P两点间的距离为xcm，P，N 两点间的距离为ycm．（当点P与点A或点B重合时，y的值均为0）小海根据学习函数的经验，对函数y随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小海的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了x与y的几组值，如下表：（说明：补全表格时相关数值保留两位小数）（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当y=0.5时，与之对应的x值的个数是2个．【分析】（1）利用取点，测量的方法，即可解决问题；（2）利用描点法，画出函数图象即可；（3）作出直线y=0.5与图象的交点，交点的个数是2个．【解答】解：（1）通过取点、画图、测量可得x=2.00cm时，y=0.91cm；（2）利用描点法，图象如图所示．（3）由图可知，当y=0.5时，与之对应的x值的个数是2个．故答案为2个．【点评】本题考查了动点问题的函数图象，坐标与图形的关系等知识，解题的关键是理解题意，学会用测量法、图象法解决实际问题．26．（7分）已知一次函数y 1=x ﹣1，二次函数y 2=x 2﹣mx+4（其中m ＞4）． （1）求二次函数图象的顶点坐标（用含m 的代数式表示）； （2）利用函数图象解决下列问题：①若m=5，求当y 1＞0且y 2≤0时，自变量x 的取值范围；②如果满足y 1＞0且y 2≤0时自变量x 的取值范围内有且只有一个整数，直接写出m 的取值范围．【分析】（1）利用配方法求二次函数的顶点坐标；（2）①把m=5代入y 2，画图象，并求与x 轴交点A 、B 、C 三点的坐标，根据图象可得结论；②根据题意结合图象可知x=3，把x=3代入y 2=x 2﹣mx+4≤0，当x=4时，y 2=x 2﹣mx+4＞0即可求得m 的取值；【解答】解：（1）∵y 2=x 2﹣mx+4=（x ﹣）2﹣+4，∴二次函数图象的顶点坐标为：（，﹣+4）…（2）①当m=5时，y 1=x ﹣1，y 2=x 2﹣5x+4．…（4分）如图，当y 1=0时， x ﹣1=0，x=2，∵A（2，0），当y2=0时，x2﹣5x+4=0，解得：x=1或4，∴B（1，0），C（4，0），因为y1＞0，且y2≤0，由图象，得：2＜x≤4．…（5分）②当y1＞0时，自变量x的取值范围：x＞2，∵如果满足y1＞0且y2≤0时的自变量x的取值范围内恰有一个整数，∴x=3，当x=3时，y2=32﹣3m+4≤0，解得m≥，当x=4时，y2＞0，即16﹣4m+4＞0，m＜5，∴m的取值范围是：≤m＜5．…（7分）【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数和一次函数的性质，以及利用函数图象解不等式，体现了数形结合的思想．27．（8分）已知：如图，AB为半圆O的直径，C是半圆O上一点，过点C作AB的平行线交⊙O于点E，连接AC、BC、AE，EB．过点C作CG⊥AB于点G，交EB于点H．（1）求证：∠BCG=∠EBG；（2）若sin∠CAB=，求的值．【分析】（1）根据直径所对的圆周角等于直角和平行线的性质证明即可；（2）在Rt△HGB与Rt△BCG中，利用三角函数的性质，即可求得的值．【解答】证明：（1）∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵CG⊥AB于点G，∴∠ACB=∠CGB=90°．∴∠CAB=∠BCG，∵CE∥AB，∴∠CAB=∠ACE．∴∠BCG=∠ACE又∵∠ACE=∠EBG∴∠BCG=∠EBG，（2）∵sin∠CAB=，∴，由（1）知，∠HBG=∠EBG=∠ACE=∠CAB∴在Rt△HGB中，．由（1）知，∠BCG=∠CAB在Rt△BCG中，．设GH=a，则GB=2a，CG=4a．CH=CG﹣HG=3a，∵EC∥AB，∴∠ECH=∠BGH，∠CEH=∠GBH∴△ECH∽△BGH，∴．【点评】此题考查了与圆的同弧所对的圆周角相等，以及相似三角形的性质与判定和三角函数的性质等．此题综合性较强，属于中档题，解题时要注意数形结合思想的应用．28．（8分）一般地，我们把半径为1的圆叫做单位圆，在平面直角坐标系xOy中，设单位圆的圆心与坐标原点O重合，则单位圆与x轴的交点分别为（1，0），（﹣1，0），与y轴的交点分别为（0，1），（0，﹣1）．在平面直角坐标系xOy中，设锐角a的顶点与坐标原点O重合，a的一边与x轴的正半轴重合，另一边与单位圆交于点P（x1，y1），且点P在第一象限．（1）x1= cosα（用含a的式子表示）；y1= sinα（用含a的式子表示）；（2）将射线OP绕坐标原点O按逆时针方向旋转90°后与单位圆交于点Q（x2，y2）．①判断y1与x2的数量关系，并证明；②y1+y2的取值范围是：1＜y1+y2≤．．【分析】（1）如图作PF⊥x轴于F，QE⊥x轴于E．则OF=OP•cosα，PF=OP•sinα，由此即可解决问题；（2）①过点P作PF⊥x轴于点F，过点Q作QE⊥x轴于点E．只要证明△QOE≌△OPF即可解决问题；②当P在x轴上时，得到y1+y2的最小值为1，由y1+y2=PF+QE=OE+OF=EF，四边形QEFP是直角梯形，PQ=，EF≤PQ，即可推出当EF=PQ=时，得到y1+y2的最大值为；【解答】解：（1）如图作PF⊥x轴于F，QE⊥x轴于E．则OF=OP•co sα，PF=OP•sinα，∴x1=cosα，y1=sinα，故答案为cosα，sinα；（2）①结论：y1=﹣x2．理由：过点P作PF⊥x轴于点F，过点Q作QE⊥x轴于点E．∴∠PFO=∠QEO=∠POQ=90°，。
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北京市大兴区九年级数学上册期末试卷（含答案）（时间：120分钟满分：100分）一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个选项是符合题意的.1．如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC上点，DE∥BC，AD=2，DB=1，AE=3，则EC长（）A．B．1 C．D．62．将抛物线y=x2先向左平移2个单位再向下平移1个单位，得到新抛物线的表达式是（）A．y=（x+2）2+1 B．y=（x+2）2﹣1C．y=（x﹣2）2+1 D．y=（x﹣2）2﹣13．已知点A（1，m），B（2，n）在反比例函数y=的图象上，则（）A．m＜n＜0 B．n＜m＜0 C．m＞n＞0 D．n＞m＞0 4．在正方形网格中，∠AOB如图放置．则tan∠AOB的值为（）A．2 B．C．D．5．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3．以点A为圆心，AC 长为半径作圆．则下列结论正确的是（）A．点B在圆内B．点B在圆上C．点B在圆外D．点B和圆的位置关系不确定6．如图，△ABC内接于⊙O，∠AOB=80°，则∠ACB的大小为（）A．20°B．40°C．80°D．90°7．如图，△ABC中，∠A=70°，AB=4，AC=6，将△ABC沿图中的虚线剪开，则剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A．B．C．D．8．已知抛物线y=ax2+bx+c（x为任意实数）经过下图中两点M（1，﹣2）、N（m，0），其中M为抛物线的顶点，N为定点．下列结论：①若方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2（x1＜x2），则﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3；②当x＜m时，函数值y随自变量x的减小而减小．③a＞0，b＜0，c＞0．④垂直于y轴的直线与抛物线交于C、D两点，其C、D两点的横坐标分别为s、，则s+t=2．其中正确的是（）A．①②B．①④C．②③D．②④二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．已知x：y=1：2，则（x+y）：y= ．10．已知∠A为锐角，且tanA=，则∠A的大小为．11．抛物线y=x2﹣2x+3的对称轴是直线．12．扇形半径为3cm，弧长为πcm，则扇形圆心角的度数为．13．写出一个图象位于第一、三象限的反比例函数的表达式：．14．在物理课中，同学们曾学过小孔成像：在较暗的屋子里，把一只点燃的蜡烛放在一块半透明的塑料薄膜前面，在它们之间放一块钻有小孔的纸板，由于光沿直线传播，塑料薄膜上就出现了蜡烛火焰倒立的像，这种现象就是小孔成像（如图1）．如图2，如果火焰AB的高度是2cm，倒立的像A′B′的高度为5cm，蜡烛火焰根B到小孔O的距离为4cm，则火焰根的像B′到O的距离是cm．15．学校组织“美丽校园我设计”活动．某同学打算利用学校文化墙的墙角建一个矩形植物园．其中矩形植物园的两邻边之和为4m，设矩形的一边长为xm，矩形的面积为ym2．则函数y的表达式为，该矩形植物园的最大面积是 m2．16．下面是“经过圆外一点作圆的切线”的尺规作图的过程．已知：P为外一点．求作：经过P点的切线．作法：如图，（1）连结OP；（2）以OP为直径作圆，与交于C、D两点．（3）作直线PC、PD．则直线PC、PD就是所求作经过P点的切线．以上作图的依据是：．三、解答题（本题共68分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17．（5分）计算：3tan30°﹣cos245°+﹣2sin60°．18．（5分）用配方法求二次函数y=x2﹣10x+3的顶点坐标．19．（5分）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．若a=2，sin，求b和c．20．（5分）小红和小丁玩纸牌游戏：如图是同一副扑克中的4张牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌上，小红先从中抽出一张，小丁从剩余的3张牌中也抽出一张．比较两人抽出的牌面上的数字，数字大者获胜．（1）请用树状图或列表法表示出两人抽牌可能出现的所有结果；（2）这个游戏公平吗？请说明理由．21．（5分）如图，小明想测量山的高度．他在点B处仰望山顶A，测得仰角∠ABN=30°，再向山的方向（水平方向）行进100m至索道口点C处，在点C处仰望山顶A，测得仰角∠ACN=45°．求这座山的高度．（结果精确到0.1m，小明的身高忽略不计）（参考数据：≈1.41，≈1.73）22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x+b的图象与x 轴交于点A（2，0），与反比例函数y=的图象交于点B（3，n）．（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）若点P为x轴上的点，且△PAB的面积是2，则点P的坐标是．23．（5分）如图，四边形ABCD是平行四边形，CE⊥AD于点E，DF⊥BA交BA的延长线于点F．（1）求证：△ADF∽△DCE；（2）当AF=2，AD=6，且点E恰为AD中点时，求AB的长．24．（5分）二次函数y=x2﹣2mx+5m的图象经过点（1，﹣2）．（1）求二次函数图象的对称轴；（2）当﹣4≤x≤1时，求y的取值范围．25．（6分）如图，AC是⊙O的直径，点D是⊙O 上一点，⊙O的切线CB与AD的延长线交于点B，点F是直径AC上一点，连接DF并延长交⊙O于点E，连接AE．（1）求证：∠ABC=∠AED；（2）连接BF，若AD=，AF=6，tan∠AED=，求BF的长．26．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+mx+n经过点A （﹣1，0）和B（0，3）．（1）求抛物线的表达式；（2）抛物线与x轴的正半轴交于点C，连接BC．设抛物线的顶点P 关于直线y=t的对称点为点Q，若点Q落在△OBC的内部，求t的取值范围．27．（7分）在正方形ABCD中，点P在射线AC上，作点P关于直线CD的对称点Q，作射线BQ交射线DC于点E，连接BP．（1）当点P在线段AC上时，如图1．①依题意补全图1；②若EQ=BP，则∠PBE的度数为，并证明；（2）当点P在线段AC的延长线上时，如图2．若EQ=BP，正方形ABCD 的边长为1，请写出求BE长的思路．（可以不写出计算结果）28．（8分）在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x1，y1），点Q 的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若PQ为某个等腰三角形的腰，且该等腰三角形的底边与x轴平行，则称该等腰三角形为点P，Q的“相关等腰三角形”．下图为点P，Q的“相关等腰三角形”的示意图．（1）已知点A的坐标为（0，1），点B的坐标为，则点A，B的“相关等腰三角形”的顶角为°；（2）若点C的坐标为，点D在直线y=4上，且C，D的“相关等腰三角形”为等边三角形，求直线CD的表达式；（3）⊙O的半径为，点N在双曲线y=﹣上．若在⊙O上存在一点M，使得点M、N的“相关等腰三角形”为直角三角形，直接写出点N的横坐标x N的取值范围．答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，其中只有一个选项是符合题意的.1．如图，△ABC中，D、E分别是AB、AC上点，DE∥BC，AD=2，DB=1，AE=3，则EC长（）A．B．1 C．D．6【分析】利用平行线分线段成比例定理即可解决问题；【解答】解：∵DE∥BC，AD=2，DB=1，AE=3，∴=，∴=，∴EC=，故选：C．【点评】本题考查平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练掌握平行线分线段成比例定理，属于中考常考题型．2．将抛物线y=x2先向左平移2个单位再向下平移1个单位，得到新抛物线的表达式是（）A．y=（x+2）2+1 B．y=（x+2）2﹣1C．y=（x﹣2）2+1 D．y=（x﹣2）2﹣1【分析】先求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式抛物线解析式写出即可．【解答】解：抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），先向左平移2个单位再向下平移1个单位后的抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣1），所以，平移后的抛物线的解析式为y=（x+2）2﹣1．故选：B．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．并用根据规律利用点的变化确定函数解析式．3．已知点A（1，m），B（2，n）在反比例函数y=的图象上，则（）A．m＜n＜0 B．n＜m＜0 C．m＞n＞0 D．n＞m＞0 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征得到m=2n＜0，于是可得到m、n的大小关系．【解答】解：∵A（1，m），B（2，n）在反比例函数y=的图象上，∴k=m=2n＜0，∴m＜n＜0．故选：A．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k；双曲线是关于原点对称的，两个分支上的点也是关于原点对称．4．在正方形网格中，∠AOB如图放置．则tan∠AOB的值为（）A．2 B．C．D．【分析】根据图形找出角的两边经过的格点以及点O组成的直角三角形，然后根据锐角的正切等于对边比邻边解答．【解答】解：如图，tan∠AOB==2．故选A．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握网格结构找出直角三角形是解题的关键．5．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3．以点A为圆心，AC 长为半径作圆．则下列结论正确的是（）A．点B在圆内B．点B在圆上C．点B在圆外D．点B和圆的位置关系不确定【分析】首先利用勾股定理求得直角三角形斜边的长，从而求得点B 与圆A的位置关系．【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，∴AB=5，∵AC=4，∴点B在圆外，故选：C．【点评】本题根据点到圆心的距离和圆的半径之间的数量关系，来判断点和圆的位置关系．6．如图，△ABC内接于⊙O，∠AOB=80°，则∠ACB的大小为（）A．20°B．40°C．80°D．90°【分析】由△ABC内接于⊙O，已知∠AOB=80°，根据圆周角定理，即可求得∠ACB的度数．【解答】解：∵△ABC内接于⊙O，∠AOB=80°，∴∠ACB=∠AOB=40°．故选：B．【点评】此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．7．如图，△ABC中，∠A=70°，AB=4，AC=6，将△ABC沿图中的虚线剪开，则剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（）A．B．C．D．【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．【解答】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；C、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误．D、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确；故选：D．【点评】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．8．已知抛物线y=ax2+bx+c（x为任意实数）经过下图中两点M（1，﹣2）、N（m，0），其中M为抛物线的顶点，N为定点．下列结论：①若方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2（x1＜x2），则﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3；②当x＜m时，函数值y随自变量x的减小而减小．③a＞0，b＜0，c＞0．④垂直于y轴的直线与抛物线交于C、D两点，其C、D两点的横坐标分别为s、，则s+t=2．其中正确的是（）A．①②B．①④C．②③D．②④【分析】利用函数图象条件二次函数的性质一一判断即可．【解答】解：①若方程ax2+bx+c=0的两根为x1，x2（x1＜x2），则﹣1＜x1＜0，2＜x2＜3，故①正确；②当x＜1时，函数值y随自变量x的减小而减小，故②错误；③a＞0，b＜0，c＜0，故③错误；④垂直于y轴的直线与抛物线交于C、D两点，其C、D两点的横坐标分别为s、t，根据二次函数的对称性可知s+t=2，故④正确；故选：B．【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．已知x：y=1：2，则（x+y）：y= 3：2 ．【分析】首先根据已知条件x：y=1：2，得出y=2x，然后代入所求式子即可．【解答】解：∵x：y=1：2，∴y=2x，∴（x+y）：y=3x：2x=3：2．故答案为3：2．【点评】解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．10．已知∠A为锐角，且tanA=，则∠A的大小为60°．【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．【解答】解：∠A为锐角，且tanA=，则∠A=60°，故答案为：60°．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．11．抛物线y=x2﹣2x+3的对称轴是直线直线x=1 ．【分析】根据二次函数的对称轴公式列式计算即可得解．【解答】解：对称轴为直线x=﹣=﹣=1，即直线x=1．故答案为：直线x=1．【点评】本题考查了二次函数的性质，熟记对称轴公式是解题的关键．12．扇形半径为3cm，弧长为πcm，则扇形圆心角的度数为60°．【分析】设扇形的圆心角为n°，根据弧长公式和已知得出方程=π，求出方程的解即可．【解答】解：设扇形的圆心角为n°，∵扇形半径是3cm，弧长为πcm，∴=π，解得：n=60，故答案为：60°．【点评】本题考查了弧长的计算的应用，解此题的关键是能根据弧长公式得出关于n的方程，题目比较好，难度适中．13．写出一个图象位于第一、三象限的反比例函数的表达式：．【分析】首先设反比例函数解析式为y=，再根据图象位于第一、三象限，可得k＞0，再写一个k大于0的反比例函数解析式即可．【解答】解；设反比例函数解析式为y=，∵图象位于第一、三象限，∴k＞0，∴可写解析式为y=，故答案为：y=．【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，关键是掌握反比例函数（k≠0），（1）k＞0，反比例函数图象在一、三象限；（2）k＜0，反比例函数图象在第二、四象限内．14．在物理课中，同学们曾学过小孔成像：在较暗的屋子里，把一只点燃的蜡烛放在一块半透明的塑料薄膜前面，在它们之间放一块钻有小孔的纸板，由于光沿直线传播，塑料薄膜上就出现了蜡烛火焰倒立的像，这种现象就是小孔成像（如图1）．如图2，如果火焰AB的高度是2cm，倒立的像A′B′的高度为5cm，蜡烛火焰根B到小孔O的距离为4cm，则火焰根的像B′到O的距离是10 cm．【分析】由AB∥A′B′知△ABO∽△A′B′O，据此可得=，解之即可得出答案．【解答】解：如图，∵AB∥A′B′，∴△ABO∽△A′B′O，则=，即=，解得：OB′=10，故答案为：10．【点评】本题主要考查相似三角形的应用，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质．15．学校组织“美丽校园我设计”活动．某同学打算利用学校文化墙的墙角建一个矩形植物园．其中矩形植物园的两邻边之和为4m，设矩形的一边长为xm，矩形的面积为ym2．则函数y的表达式为y=﹣x2+4x ，该矩形植物园的最大面积是 4 m2．【分析】表示出矩形的另一边长为（4﹣x）m，根据矩形的面积公式可得函数解析式，将其配方成顶点式可得面积的最大值．【解答】解：设矩形的一边长为xm，则另一边长为（4﹣x）m，所以矩形的面积y=x（4﹣x）=﹣x2+4x=﹣（x﹣2）2+4，则当x=2时，矩形面积取得最大值4，故答案为：y=﹣x2+4x，4．【点评】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据矩形的面积公式，并熟练掌握二次函数的性质．16．下面是“经过圆外一点作圆的切线”的尺规作图的过程．已知：P为外一点．求作：经过P点的切线．作法：如图，（1）连结OP；（2）以OP为直径作圆，与交于C、D两点．（3）作直线PC、PD．则直线PC、PD就是所求作经过P点的切线．以上作图的依据是：直径所对的圆周角为直角，经过半径外端且并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．【分析】根据“直径所对的圆周角为直角”知∠OCP=∠ODP=90°，再由OC、OD为⊙O的半径，根据“经过半径外端且并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”即可判定．【解答】解：∵以OP为直径作圆，与交于C、D两点，∴∠OCP=∠ODP=90°（直径所对的圆周角为直角），∵OC、OD为⊙O的半径，∴直线PC、PD就是所求作经过P点的切线（经过半径外端且并且垂直于这条半径的直线是圆的切线），故答案为：直径所对的圆周角为直角，经过半径外端且并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．【点评】本题主要考查作图﹣复杂作图，解题的关键是熟练掌握圆周角定理和切线的判定．三、解答题（本题共68分）解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.17．（5分）计算：3tan30°﹣cos245°+﹣2sin60°．【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．【解答】解：原式=3×﹣（）2+﹣2×=﹣+2﹣=．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．18．（5分）用配方法求二次函数y=x2﹣10x+3的顶点坐标．【分析】把解析式化为顶点式即可．【解答】解：∵y=x2﹣10x+3=（x﹣5）2﹣22，∴二次函数的顶点坐标为（5，﹣22）．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x﹣h）2+k中，顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h．19．（5分）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．若a=2，sin，求b和c．【分析】先根据sinA=知c==6，再根据勾股定理求解可得．【解答】解：如图，∵a=2，sin，∴c===6，则b===4．【点评】本题主要考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握正弦函数的定义及勾股定理．20．（5分）小红和小丁玩纸牌游戏：如图是同一副扑克中的4张牌的正面，将它们正面朝下洗匀后放在桌上，小红先从中抽出一张，小丁从剩余的3张牌中也抽出一张．比较两人抽出的牌面上的数字，数字大者获胜．（1）请用树状图或列表法表示出两人抽牌可能出现的所有结果；（2）这个游戏公平吗？请说明理由．【分析】（1）根据题意画出树状图，即可解决问题；（2）根据树状图，利用概率公式即可求得小红获胜的概率，由概率相等，即可判定这个游戏公平；【解答】解：（1）树状图如右：则小红获胜的概率： =，小丁获胜的概率： =，所以这个游戏比较公平．【点评】本题考查的是用列表法与树状图法求事件的概率，解题的关键是学会正确画出树状图，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．．21．（5分）如图，小明想测量山的高度．他在点B处仰望山顶A，测得仰角∠ABN=30°，再向山的方向（水平方向）行进100m至索道口点C处，在点C处仰望山顶A，测得仰角∠ACN=45°．求这座山的高度．（结果精确到0.1m，小明的身高忽略不计）（参考数据：≈1.41，≈1.73）【分析】作AH⊥BN于H，设AH=xm，根据正切的概念表示出CH、BH，根据题意列出方程，解方程即可．【解答】解：如图，作AH⊥BN于H，设AH=xm，∵∠ACN=45°，∴CH=AH=xm，∵tanB=，∴BH=x，则BH﹣CH=BC，即x﹣x=100，解得x=50（+1）．答：这座山的高度为50（+1）m；【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，正确作出辅助线、熟记锐角三角函数的概念是解题的关键．22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=x+b的图象与x 轴交于点A（2，0），与反比例函数y=的图象交于点B（3，n）．（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）若点P为x轴上的点，且△PAB的面积是2，则点P的坐标是（﹣2，0）或（6，0）．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）利用三角形的面积公式求出PA的长即可解决问题；【解答】解：（1）∵一次函数y=x+b的图象与x轴交于点A（2，0），∴2+b=0，∴b=﹣2，∴y=x﹣2，当x=3时，y=1，∴B（3，1），代入y=中，得到k=3，∴反比例函数的解析式为y=．（2）∵△PAB的面积是2，∴•PA•1=2，∴PA=4，∴P（﹣2，0）或（6，0）．【点评】本题考查一次函数的性质、反比例函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．23．（5分）如图，四边形ABCD是平行四边形，CE⊥AD于点E，DF⊥BA交BA的延长线于点F．（1）求证：△ADF∽△DCE；（2）当AF=2，AD=6，且点E恰为AD中点时，求AB的长．【分析】（1）由平行四边形的性质知CD∥AB，即∠DAF=∠CDE，再由CE⊥AD、DF⊥BA知∠AFD=∠DEC=90°，据此可得；（2）根据△ADF∽△DCE知=，据此求得DC=9，再根据平行四边形的性质可得答案．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD∥AB，∴∠DAF=∠CDE，又∵CE⊥AD、DF⊥BA，∴∠AFD=∠DEC=90°，∴△ADF∽△DCE；（2）∵AD=6、且E为AD的中点，∴DE=3，∵△ADF∽△DCE，∴=，即=，解得：DC=9，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD=9．【点评】本题主要考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质及平行四边形的性质．24．（5分）二次函数y=x2﹣2mx+5m的图象经过点（1，﹣2）．（1）求二次函数图象的对称轴；（2）当﹣4≤x≤1时，求y的取值范围．【分析】（1）根据抛物线的对称性和待定系数法求解即可；（2）根据二次函数的性质可得．【解答】解：（1）把点（1，﹣2）代入y=x2﹣2mx+5m中，可得：1﹣2m+5m=﹣2，解得：m=﹣1，所以二次函数y=x2﹣2mx+5m的对称轴是x=﹣，（2）∵y=x2+2x﹣5=（x+1）2﹣6，∴当x=﹣1时，y取得最小值﹣6，由表可知当x=﹣4时y=3，当x=﹣1时y=﹣6，∴当﹣4≤x≤1时，﹣6≤y≤3．【点评】本题考查了二次函数图象与性质及待定系数法求函数解析式，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．25．（6分）如图，AC是⊙O的直径，点D是⊙O 上一点，⊙O的切线CB与AD的延长线交于点B，点F是直径AC上一点，连接DF并延长交⊙O于点E，连接AE．（1）求证：∠ABC=∠AED；（2）连接BF，若AD=，AF=6，tan∠AED=，求BF的长．【分析】（1）直接利用圆周角定理以及切线的性质定理得出∠ACD=∠ABC，进而得出答案；（2）首先得出DC的长，即可得出FC的长，再利用已知得出BC的长，结合勾股定理求出答案．【解答】（1）证明：连接DC，∵AC是⊙O的直径，∴∠BDC=90°，∴∠ABC+∠BCD=90°，∵⊙O的切线CB与AD的延长线交于点B，∴∠BCA=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，∴∠ACD=∠ABC，∴∠ABC=∠AED；（2）解：连接BF，∵在Rt△ADC中，AD=，tan∠AED=，∴tan∠ACD==，∴DC=AD=，∴AC==8，∵AF=6，∴CF=AC﹣AF=8﹣6=2，∵∠ABC=∠AED，∴tan∠ABC==，∴=，解得：BD=，故BC=6，则BF==2．【点评】此题主要考查了切线的性质与判定以及勾股定理等知识，正确得出∠ACD=∠ABC是解题关键．26．（7分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=﹣x2+mx+n经过点A （﹣1，0）和B（0，3）．（1）求抛物线的表达式；（2）抛物线与x轴的正半轴交于点C，连接BC．设抛物线的顶点P 关于直线y=t的对称点为点Q，若点Q落在△OBC的内部，求t的取值范围．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）分别求出点Q落在直线BC和x轴上时的t的值即可判断；【解答】解：（1）∵抛物线y=﹣x2+mx+n经过点A（﹣1，0）和B（0，3），∴，解得，∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．（2）如图，易知抛物线的顶点坐标为（1，4）．观察图象可知当点P关于直线y=t的对称点为点Q中直线BC上时，t=3，当点P关于直线y=t的对称点为点Q在x轴上时，t=2，∴满足条件的t的值为2＜t＜3．【点评】本题考查二次函数的性质、待定系数法、轴对称等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会寻找特殊点解决问题，属于中考常考题型．27．（7分）在正方形ABCD中，点P在射线AC上，作点P关于直线CD的对称点Q，作射线BQ交射线DC于点E，连接BP．（1）当点P在线段AC上时，如图1．①依题意补全图1；②若EQ=BP，则∠PBE的度数为45°，并证明；（2）当点P在线段AC的延长线上时，如图2．若EQ=BP，正方形ABCD 的边长为1，请写出求BE长的思路．（可以不写出计算结果）【分析】（1）①作点P关于直线CD的对称点Q，作射线BQ交射线DC 于点E，连接BP；②依据题意得到DP=EP，再根据四边形内角和求得∠BPE=90°，根据BP=EP，即可得到∠PBE=45°；（2）连接PD，PE，依据△CPD≌△CPB，可得DP=BP，∠1=∠2，根据DP=EP，可得∠3=∠1，进而得到∠PEB=45°，∠3=∠4=22.5°，△BCE中，已知∠4=22.5°，BC=1，可求BE长．【解答】解：（1）①作图如下：②如图，连接PD，PE，易证△CPD≌△CPB，∴DP=BP，∠CDP=∠CBP，∵P、Q关于直线CD对称，∴EQ=EP，∵EQ=BP，∴DP=EP，∴∠CDP=∠DEP，∵∠CEP+∠DEP=180°，∴∠CEP+∠CBP=180°，∵∠BCD=90°，∴∠BPE=90°，∵BP=EP，∴∠PBE=45°，故答案为：45°；（2）思路：如图，连接PD，PE，易证△CPD≌△CPB，∴DP=BP，∠1=∠2，∵P、Q关于直线CD对称，∴EQ=EP，∠3=∠4，∵EQ=BP，∴DP=EP，∴∠3=∠1，∴∠3=∠2，∴∠5=∠BCE=90°，∵BP=EP，∴∠PEB=45°，∴∠3=∠4=22.5°，在△BCE中，已知∠4=22.5°，BC=1，可求BE长．【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、轴对称的性质、全等三角形的判定与性质等知识的综合运用，解决本题的关键是熟记全等三角形的性质定理和判定定理．28．（8分）在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为（x1，y1），点Q 的坐标为（x2，y2），且x1≠x2，y1≠y2，若PQ为某个等腰三角形的腰，且该等腰三角形的底边与x轴平行，则称该等腰三角形为点P，Q的“相关等腰三角形”．下图为点P，Q的“相关等腰三角形”的示意图．（1）已知点A的坐标为（0，1），点B的坐标为，则点A，B的“相关等腰三角形”的顶角为120 °；（2）若点C的坐标为，点D在直线y=4上，且C，D的“相关等腰三角形”为等边三角形，求直线CD的表达式；（3）⊙O的半径为，点N在双曲线y=﹣上．若在⊙O上存在一点M，使得点M、N的“相关等腰三角形”为直角三角形，直接写出点N的横坐标x N的取值范围．【分析】（1）画出图形求出∠BAO的度数即可解决问题；（2）利用等边三角形的性质求出点D坐标即可解决问题；（3）因为点M、N的“相关等腰三角形”为直角三角形，推出直线MN与x轴的夹角为45°，可以假设直线MN的解析式为y=﹣x+b，当直线与⊙O相切于点M时，求出直线MN的解析式，利用方程组求出点N的坐标，观察图象即可解决问题．【解答】解：（1）如图1中，∵A的坐标为（0，1），点B的坐标为，∴点A，B的“相关等腰三角形”△ABC的当C（，0）或（﹣2，1），∵tan∠BAO==，∴∠BAO=∠CAO=60°，∴∠BAC=∠ABC′=120°，故答案为120．（2）如图2中，设直线y=4交y轴于F（0，4），∵C（0，），∴CF=3，∵且C，D的“相关等腰三角形”为等边三角形，∴∠CDF=∠CD′F=60°，∴DF=FD′=3•tan30°=3，∴D（3，4），D′（﹣3，4），∴直线CD的解析式为y=x+，或y=﹣x+．（3）如图3中，∵点M、N的“相关等腰三角形”为直角三角形，∴直线MN与x轴的夹角为45°，可以假设直线MN的解析式为y=﹣x+b，当直线与⊙O相切于点M时，易知b=±2，∴直线MN的解析式为y=﹣x+2或y=﹣x﹣2，由，解得或，∴N（﹣1，3），N′（3，1），由解得或，∴N1（﹣3，1），N2（1，﹣3），观察图象可知满足条件的点N的横坐标的取值范围为：﹣3≤x N≤﹣1或1≤x N≤3．【点评】本题考查反比例函数综合题、一次函数的应用、等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、“相关等腰三角形”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．。
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大兴区第一学期期末检测试卷初三数 学一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个． 1．抛物线3)2-(2+=x y 的顶点坐标是A.（-2,3）B.（2,3）C.（2,-3）D.（-3,2）2. 如图，点A ，B ，P 是⊙O 上的三点，若︒=∠40AOB ， 则APB ∠的度数为A. ︒80B. ︒140C. ︒20D. ︒50 3．已知反比例函数xm y 2-=，当>0时，y 随的增大而增大，则m 的取值 范围是Ａ.m<2 Ｂ.m>2 Ｃ.m ≤2 Ｄ.m ≥24. 在半径为12cm 的圆中，长为4πcm 的弧所对的圆心角的度数为A. ︒10B. ︒60C. ︒90D. ︒1205. 将抛物线25x y =先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，可以得到新的抛物线是A.3)2(52++=x y B.3)2(52+-=x y C.3)2(52-+=x y D. 3)2(52--=xy6.为测量某河的宽度，小军在河对岸选定一个目标点A ，再在他所在的这一侧选点B ，C ，D ，使得AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，然后找出AD 与BC 的交点 E. 如图所示，若测得BE =90m ，EC =45m ，CD =60m ，则这条河的宽AB 等于A．120m B．67.5mC．40m D．30m7. 根据研究，人体内血乳酸浓度升高是运动后感觉疲劳的重要原因，运动员未运动时，体内血乳酸浓度水平通常在40mg/L以下；如果血乳酸浓度降到50mg/L以下，运动员就基本消除了疲劳，体育科研工作者根据实验数据，绘制了一副图象，它反映了运动员进行高强度运动后，体内血乳酸浓度随时间变化而变化的函数关系.下列叙述正确的是A．运动后40min时，采用慢跑活动方式放松时的血乳酸浓度与采用静坐方式休息时的血乳酸浓度相同B．运动员高强度运动后最高血乳酸浓度大约为350mg/LC．运动员进行完剧烈运动，为了更快达到消除疲劳的效果，应该采用慢跑活动方式放松D．采用慢跑活动方式放松时，运动员必须慢跑80min后才能基本消除疲劳8．下图显示了用计算机模拟随机抛掷一枚硬币的某次实验的结果下面有三个推断：①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，所以“正面向上”的概率是0.47； ②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5；③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率一定是0.45． 其中合理的是 A ．① B.② C. ①② D. ①③二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝4，AC =2，则tan B 的值是__________．10. 计算：2sin60°－tan 45°＋4cos30°=__________． 11.若△ABC ∽△DEF ，且BC ∶EF=2∶3，则△ABC 与△DEF 的面积比等于_________．12.请写出一个开口向上，并且与y 轴交于点(0，2)的抛物线的表达式：_________．13. 如图，在半径为5cm 的⊙O 中，如果弦AB 的长为8cm ，OC ⊥AB ， 垂足为C ，那么OC 的长为 cm ．14．圆心角为160°的扇形的半径为9cm ，则这个扇形的面积是 cm 2．15．若函数231y ax x =++的图象与x 轴有两个交点，则a 的取值范围是．16． 下面是“作出所在的圆”的尺规作图过程．已知：． 求作：所在的圆.作法：如图， （1） 在上任取三个点D ，C ，E ；（2） 连接DC ，EC ；（3） 分别作DC 和EC 的垂直平分线，两垂直平分线的交点为点O.（4） 以 O 为圆心，OC 长为半径作圆，所以⊙O 即为所求作的所在的圆..请回答：该尺规作图的依据是 ．三、解答题（本题共68分，第17-25题每小题5分, 第26题7 分，第27题8 分，第28题8 分）17．如图，在平面直角坐标系Oy 中，一次函数2y x =-的图象与反比例函数ky x=的图象的一个交点为A （-1，n ）． 求反比例函数ky x=的表达式.18．已知二次函数y = 2 ＋4 +3.（1）用配方法将y = 2 ＋4 +3化成2()=-+y a x h k 的形式； （2）在平面直角坐标系Oy 中，画出这个二次函数的图象.19．已知：如图，在△ABC 中，D ，E 分别为AB 、 AC 边上的点，且AE AD 53=，连接DE . 若AC ＝4，AB ＝5. 求证：△ADE ∽△ACB.20．已知：如图，在∆A B C 中，AB =AC =8,∠A =120°,求BC 的长.21.已知：如图，⊙O的直径AB的长为5cm，C为⊙O上的一个点，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求BD的长．22. 在一次社会大课堂的数学实践活动中，王老师要求同学们测量教室窗户边框上的点C到地面的距离即CD的长，小英测量的步骤及测量的数据如下：（1）在地面上选定点A, B，使点A，B，D在同一条直线上，测量出A、B两点间的距离为9米；（2）在教室窗户边框上的点C点处，分别测得点A，B的俯角∠ECA=35°,∠ECB=45°.请你根据以上数据计算出CD的长.（可能用到的参考数据：sin35°≈0.57 cos35°≈0.82 tan35°≈0.70）23.已知：如图，ABCD 是一块边长为2米的正方形铁板，在边AB 上选取一点M ，分别以AM 和MB 为边截取两块相邻的正方形板料. 当AM 的长为何值时，截取两块相邻的正方形板料的总面积最小?24. 已知：如图，AB 是半圆O 的直径，D 是半圆上的一个动点（点D 不与点A ，B 重合）， .∠=∠CAD B （1）求证：AC 是半圆O 的切线；（2）过点O 作BD 的平行线，交AC 于点E ，交AD 于点F, 且EF=4, AD=6, 求BD 的长．25．如图，AB = 6cm ，∠C AB = 25°，P 是线段AB 上一动点，过点P 作PM ⊥AB 交射线AC 于点M ，连接MB ，过点P 作PN ⊥MB于点N ．设A ，P 两点间的距离为cm ，P ，N 两点间的距离为y cm ．（当点P 与点A 或点B 重合时，y 的值均为0）小海根据学习函数的经验，对函数y 随自变量的变化而变化的规律进行了探究．下面是小海的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了与y 的几组值，如下表：（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当y =0.5时，与之对应的x 值的个数是 .26. 已知一次函数1112=-y x ，二次函数224=-+y x mx （其中m ＞4）．（1）求二次函数图象的顶点坐标（用含m 的代数式表示）； （2）利用函数图象解决下列问题：①若5=m ，求当10y >且2y ≤0时，自变量x 的取值范围； ②如果满足10y >且2y ≤0时自变量x 的取值范围内有 且只有一个整数，直接写出m 的取值范围．27．已知：如图，AB 为半圆O 的直径，C 是半圆O 上一点，过点C 作AB 的平行线交⊙O 于点E ，连接AC 、BC 、AE ，EB . 过点C 作CG⊥AB 于点G ，交EB 于点H. （1）求证：∠BCG=∠E BG ； （2）若55sin =∠CAB ，求GB EC 的值.28. 一般地，我们把半径为1的圆叫做单位圆，在平面直角坐标系xOy 中，设单位圆的圆心与坐标原点O 重合，则单位圆与x 轴的交点分别为（1，0），（-1,0），与y 轴的交点分别为（0,1），（0，-1）.在平面直角坐标系xOy 中，设锐角α的顶点与坐标原点O 重合，α的一边与x 轴的正半轴重合，另一边与单位圆交于点P 11(,)x y ,且点P 在第一象限. （1） 1x =_ __ (用含α的式子表示);1y =____ _ (用含α的式子表示) ;（2）将射线OP 绕坐标原点O 按逆时针方向旋转90︒后与单位圆交于点22(,)Q x y . ①判断1y 2与的数量关系,并证明；x ②12y y +的取值范围是_ ___.大兴区第一学期期末检测试卷初三数学参考答案及评分标准一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有．．一个．9.12.10. .11. 4∶9.12. 22y x =+.（答案不唯一） 13. 3.14. 36 π . 15. a ＜94且a ≠0. 16. 不在同一直线上的三个点确定一个圆；圆是到定点的距离等于定长的点的集合；线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.二、解答题（本题共68分，第17-25题，每小题5分, 第26题7 分，第27题8 分， 第28题8 分） 17. 解：∵ 点A (1,)n -在一次函数2y x =-的图象上，∴ 2(1)2n =-⨯-=．………………………… 1分 ∴ 点A 的坐标为12-（，）．…………………… 2分 ∵ 点A 在反比例函数ky x=的图象上， ∴ 2k =-．…………………………………… 4分 ∴ 反比例函数的表达式为2y x=-． ……… 5分 18．解：（1）342++=x x y1442-++=x x2(2)1x =+-…………………………… 2分（2）………………. 5分19．证明：∵ AC =3，AB =5，35AD AE =，∴AC ABAD AE=．……………………………… 3分 ∵ ∠A =∠A ，……………………………… 4分 ∴ △ADE ∽△ACB ．……………………… 5分20. 解：过点A 作AD ⊥BC 于D ， ∵ AB =AC ，∠BAC =120°∴ ∠B =∠C = 30°， ……………………………… 1分 BC=2BD ，……………………………………… 2分 在Rt △ABD 中，∠ADB =90°，∠B =30°，AB =8， cos B =BDAB，……………………………………… 3分∴ BD =AB cos30°，……………… 4分∴ BC =8……………………………………… 5分21. 解：∵ AB 为直径，∴ ∠ADB =90°， ……………………………… 1分 ∵ CD 平分∠ACB ， ∴ ∠ACD =∠BCD ，∴ AD⌒ =BD ⌒ ．………………………………… 2分 ∴ AD =BD ……………………………………… 3分 在等腰直角三角形ADB 中， BD =AB sin45°=5×22 =522 ……………… 5分∴ BD =522 .22．解：由题意可知：CD ⊥AD 于D ，∠ECB=∠CBD ＝45︒， ∠ECA=∠CAD ＝35︒， AB ＝9. 设CD x =，∵ 在Rt CDB ∆中，∠CDB ＝90°，∠CBD ＝45°， ∴ CD =BD =x . ……………………………… 2分 ∵ 在Rt CDA ∆中，∠CDA ＝90°，∠CAD ＝35°，∴ tan CDCAD AD ∠=，∴ tan 35xAD =︒…………………………… 4分∵ AB =9，AD =AB +BD ，∴ 90.7xx +=.解得 21x =答：CD 的长为21米.……………………… 5分23. 解：设AM 的长为x 米 , 则MB 的长为(2)x -米，以AM 和MB 为边的两个正方形面积之和为y 平方米.根据题意，y 与之间的函数表达式为222(2).................................................................22(1) 2.....................................................................3y x x x =+-=-+分分因为2>0于是，当1=x 时，y 有最小值………………………..4分所以，当AM 的长为1米时截取两块相邻的正方形板料的总面积最小.……………………………………………………………..5分24.（1）证明：∵AB 是半圆直径，∴∠BDA =90°. .………………………………………………………1分∴90B DAB ∠+∠=︒又DAC B ∠=∠∴90DAC DAB ∠+∠=︒……………………………………………2分即∠CAB =90°∴AC 是半圆O 的切线.（2）解：由题意知，,90OE BD D ∠=︒∥∴∠D =∠AFO =∠AFE = 90°∴OE AD ⊥.12AF AD =……………………………………………………3分又∵AD=6∴AF =3.又B CAD ∠=∠∴△AEF ∽△BAD ...................................................4分 4369 (52)4EFAF ADBD BDBD EF ∴==∴==∴分 25. 解：（1）0.91（答案不唯一）……………1分（2）…………………………………………………………4分（3）两个. ………………………………………………………5分26．解：（1）∵224y x mx =-+，∴二次函数图象的顶点坐标为2(,4)24mm -+………………………………………………2分（2）①当5m =时，2254y x x =-+．…………………………………………………………… 4分 如图, 因为10y >且2y ≤0，由图象,得2＜≤4． ……………………………………………… 5分 ②133≤m ＜5 …………………………………………………7分27. 证明：（1）∵AB 是直径，∴∠ACB =90°.………………………………………………..1分 ∵CG ⊥AB 于点G ，∴∠ACB=∠ CGB =90°.∴∠CAB =∠BCG . .………………………………………………..2分 ∵CE ∥AB ，∴∠CAB =∠ACE .∴∠BCG =∠ACE又∵∠ACE =∠EBG∴∠BCG =∠EBG . .………………………………………………..3分（2）解：∵sin 5CAB ∠= ∴1tan 2CAB ∠=，………………………………………………..4分由（1）知，∠HBG =∠EBG =∠ACE =∠CAB∴在Rt △HGB 中，1tan 2GH HBG GB ∠==. 由（1）知，∠BCG =∠CAB在Rt △BCG 中，1tan 2GB BCG CG ∠==. 设GH=a ，则GB=2a ，CG=4a .CH =CG －HG =3a . ……………..6分 ∵EC ∥AB ，∴∠ECH =∠BGH ，∠CEH =∠GBH∴△ECH ∽△BGH ．……………………………………………..7分 ∴33ECCHaGB GH a ===．…………………………………………8分28.（1）cos α；……………………………….……………………….1分sin α;……………………..……………………………………2分（2）①12y x 与的数量关系是：1y 2=-x ；……………….…3分证明：过点P 作PF ⊥轴于点F ，过点Q 作QE ⊥轴于点E . 90PFO QEO ∴∠=∠=︒90POF OPF ∴∠+∠=︒PO OQ ⊥90POF QOE ∴∠+∠=︒QOE OPF ∴∠=∠PO OQ ==1∴△QOE ≌△OPF …………………………………………5分 .PF OE ∴=11(,)P x y , Q 22(,)x y12∴=y x∵Q 在第二象限，P 在第一象限∴1y >0, 2x <0∴1y =2-x …………………………………………………6分②121+y y <≤.……………………………………………8分。
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北京大兴区2019年初三上年末考试数学试题初三数学学校姓名准考证号 、考试结束，请将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。
【一】选择题〔此题共下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意旳、 1、二次函数()225=--+y x 图象旳顶点坐标是Ａ、()2，5- Ｂ、()2，5 Ｃ、()25，-- Ｄ、()52，- 2、在ABC ∆中，︒=∠90C ，sin =B ，那么B ∠为 A 、︒30B 、︒45C 、︒60D 、︒90 3.将抛物线23=y x 先向上平移1个单位长度后，再向左平移1个单位长度，所得抛物线旳【解析】式是Ａ、23(1)1=-+y xＢ、23(1)1=+-y x Ｃ、23(1)1=--y x Ｄ、23(1)1=++y x4、如图,AB 是⊙O 旳直径,弦AB CD ⊥,垂足为E,假如10,8AB CD ==那么线段AE 旳长为A 、4B.3C.2D.65、假设反比例函数1k y x-=旳图象在各自象限内，y 随x 旳值可能是A 、4-B 、5C 、0D 、2- 6、将抛物线224=+y x 绕原点O 旋转180°，那么旋转后旳抛物线旳【解析】式为A 、22=-y xB 、224=-+y xC 、224=--y xD 、224=-y x7、假设点B 〔a ，0〕在以点A 〔1，0〕为圆心，以3为半径旳圆内，那么a 旳取值范围为A 、42 a -B 、4 aC 、2- aD 、4 a 或2- a8.：如图，中，是BC 边上一点，过点E 作，交AC 所在直线于点D ，假设BE=x ，旳面积为y ，那么y 与x 旳函数图象大致是【二】填空题题〔此题共16分，每题4分〕9、ABC DEF △∽△，相似比为3：1，且ABC △旳周长为18，那么DEF △旳周长为.10、如图，AB 是⊙O 旳直径，CD 是⊙O 旳弦.假设∠BAD =22°，那么ACD ∠旳大小为.11、半径为4cm 旳扇形旳圆心角旳度数为270°那么12、二次函数旳【解析】式为，满足：3425a b c ++=，.那么a =,c =.【三】解答题〔此题共30分，每题5分〕1310cos 302sin 451)-︒+-︒--14.:如图，在ABC △中，D 是AB 上一点，E 是AC 上一点，且∠ADE=∠ACB.〔1〕求证：△AED ∽△ABC ；〔2〕假设DE:CB=3:5，AE=4,求AB 旳长.15.：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=10，4sin 5A =，求BC 旳长和∠B 旳正切值、17.：如图，反比例函数xy =旳图象与一次函数2y x =+ 旳图象交于点A (1，m)，求反比例函数xk y =旳【解析】式. ∴18.：如图，A 、B 、C 为⊙O 上旳三个点，⊙O 旳直径为8cm ，∠ACB=30°，求AB 旳长、【四】解答题〔此题共20分，每题5分〕19、四张大小、质地均相同旳卡片上分别标有数字1，2，3，4，现将标有数字旳一面朝下扣在桌子上，从中随机抽取一张，再从剩下旳三张中随机抽取一张.〔1〕用画树状图旳方法，列出前后两次抽得旳卡片上所标数字旳所有可能结果； 〔2〕求抽得旳两张卡片上旳数字之积为奇数旳概率.20.：如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上旳高，E 是AC 边旳中点，.〔1〕求线段CD 旳长；〔2〕求tan EDC ∠旳值.21..：如图，AB 是⊙O 旳直径，⊙O 过BC 旳中点D ，且DE ⊥AC 于点E. 〔1〕求证：DE 是⊙O 旳切线；〔2〕假设∠C=30°，CD=12，求⊙O 旳直径.22.：△ABC 中，ACB ABC ∠=∠，以AB 为直径旳⊙O 交BC 于点〔1〕如图1，当为锐角时，AC 与⊙O 交于点E ，联结BE ，那么旳数量关系是=；图1〔2〕如图2，假设AB 不动，AC 绕点A 逆时针旋转，当为钝角时，CA 旳延长线与⊙O 交于点E ，联结BE ，〔1〕中旳数量关系是否依旧成立？假设成立，请加以证明；假设不成立，请说明理由.图2【五】解答题〔此题共22分，第23题7分，第24题7分，第25题8分〕23、：如图，二次函数21212()6363y x m x m =+++〔04m 〕旳图象与x 轴交于A 、B 两点、〔1〕求A 、B 两点旳坐标〔可用含字母m 旳代数式表示〕；〔2〕第一象限内旳点C 在二次函数2121()636y x m =++旳图象上，且它旳横坐标与纵坐标之积为9，∠BAC 旳正弦值为35，求m 旳值、 24、：如图，Rt MPN ∆旳顶点P 在正方形ABCD 旳边AB 上，∠MPN=90°，PN 通过点C ，PM 与AD 交于点Q 、〔1〕在不添加字母和辅助线旳情况下，图中△APQ ∽△；〔2〕假设P 为AB 旳中点，联结CQ ，求证：AQ +BC =CQ ；〔3〕假设14=AQ AD 时，试探究线段PC 与线段PQ 旳数量关系，并加以证明25.：在平面直角坐标系xOy 中，二次函数旳图象与x 轴交于A 、B两点，与y 轴交于点C ，点A 在x 轴负半轴上，点B 在x 轴正半轴上，且3，4CO BO AO AB ===，抛物线旳顶点为D.〔1〕求那个二次函数旳【解析】式；〔2〕点E(0,n )在y 轴正半轴上，且位于点C 旳下方.当n 在什么范围内取值时＜？当n 在什么范围内取值时＞？〔3〕假设过点B 旳直线垂直于BD 且与直线CD 交于点P ，求点P 旳坐标.。
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北京大兴区2019年初三上年末考试数学试题含解析【一】选择题〔此题共10道小题，每题3分，共30分〕 1.35(0)x y y =≠,那么以下比例式成立旳是A 、53x y = B.53x y = C.35x y = D.35x y = 2、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=4，AB=5,那么cosA 旳值是 A 、35B 、45 C 、34D 、433.将抛物线2y x =先向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到旳抛物线旳表达式为 A 、2(2)3y x =+-B 、2(2)3y x =++C 、2(2)3y x =-+D 、2(2)3y x =--4.如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ∶AB =1∶3，假设△ADE 旳面积等于3，那么△ABC 旳面积等于 A 、9B 、15C 、18D 、275.当m<-1时,二次函数2(1)1y m x =+-旳图象一定通过旳象限是A 、【一】二B 、【三】四C 、【一】【二】三D 、【一】【二】【三】四6.矩形旳面积为10，它旳一组邻边长分别x,y,那么y 与x 之间旳函数关系用图象表示大致是7.如图,将一把两边都带有刻度旳直尺放在以AB 为直径旳半圆形纸 片上,使其一边通过圆心O ,另一边所在直线与半圆相交于点D,E. 现度量出半径OC =5cm,弦DE =8cm,那么直尺旳宽度为 A.1cmB.2cmC.3cmD.4cm8.如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠B =30°,AB =4cm,假设以点C 为圆心,以2cm 为半径作⊙C ,那么AB 与⊙C 旳位置关系是 A.相离B.相切C.相交D.相切或相交9.如图，A,B,C 是⊙O 上三个点,∠AOB=2∠BOC,那么以下说法中正确旳选项是 A.∠OBA =∠OCA B.四边形OABC 内接于⊙O C..AB=2BC D.∠OBA +∠BOC =90°10.二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0)旳图象如下图，那么一元二次方程ax 2+bx +c =m (a ≠0,m 为常数且m ≤4)旳两根之和为 A.1B.2 C.-1D.-2【二】填空题〔此题共6道小题，每题3分，共18分〕11.扇形旳圆心角为60°，半径是2，那么扇形旳面积为﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏.12.二次函数22(2)1y x =+-旳最小值是﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏.13.请写出一个开口向上，且过点(0,1)旳抛物线旳表达式﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏. 14.如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，假设∠BAD=110°,那么∠C 旳度数 是﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏.15.抛物线221y x x =--，点P 是抛物线上一动点，以点P 为圆心，2个单位长度为半径作⊙P.当⊙P 与x 轴相切时，点P 旳坐标为﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏. 16.在数学课上，老师提出如下问题：如图，AB 是⊙O 旳直径，点C 在⊙O 外，AC ,BC 分别与⊙O 交于点 D ,E ,请你作出△ABC 中BC 边上旳高.小文说：连结AE ,那么线段AE 确实是BC 边上旳高. 老师说：“小文旳作法正确.”请回答：小文旳作图依据是﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏.【三】解答题〔此题共13道小题，第17—26题，每题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分，共72分〕 17.计算：cos30tan602sin 45︒+︒-︒18.：如图，矩形ABCD 中，E ，F 分别是CD,AD 上旳点， 且BF ⊥AE 于点M . 求证：AB ﹒DE =AE ﹒AM19.抛物线旳顶点坐标为〔3，-4〕，且过点〔0，5〕，求抛物线旳表达式. 20.某班开展测量教学楼高度旳综合实践活动.大伙完成任务旳方 法有专门多种，其中一种方法是：如图，他们在C 点测得教学 楼AB 旳顶部点A 旳仰角为30°，然后向教学楼前进20米到达 点D ，在点D 测得点A 旳仰角为60°，且B,C,D 三点在一条直 线上.请你依照这些数据，求出这幢教学楼AB 旳高度.21、图1中旳摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面旳高度y 〔m 〕与旋转时刻x (min)之间旳关系如图2所示：图1图2〔1〕依照图2填表：x (min)0 3 6 812 … y〔m 〕54…〔2〕变量y 是x 旳函数吗？什么缘故？ 〔3〕依照图中旳信息，请写出摩天轮旳直径.22.：如图，△ABC 内接于⊙O ，∠C =45°，AB =2,求⊙O 旳半径. 23.:如图，在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数1my x=旳图象与一次函数y 2=kx +b 旳图象交于点A 〔-4，-1〕和点B 〔1，n 〕. 〔1〕求这两个函数旳表达式；〔2〕观看图象，当y 1＞y 2时，直截了当写出自变量x 旳取值范围； 〔3〕假如点C 与点A 关于y 轴对称，求△ABC 旳面积、 24.：在四边形ABCD 中,90,60,ABC C ∠=︒∠=︒3,2AB =13,BC =+2.CD =〔1〕求ABD ∠tan 旳值； 〔2〕求AD 旳长.25.某商店经销一种健身球，这种健身球旳成本价为每个20元，市场调查发觉，该种健身球每天旳销售量y 〔个〕与销售单价x 〔元〕有如下关系：y =﹣2x +80〔20≤x ≤40〕、设这种健身球每天旳销售利润为w 元、〔1〕求w 与x 之间旳函数关系式；〔2〕该种健身球销售单价定为多少元时，每天旳销售利润最大？最大利润是多少元？〔3〕假如物价部门规定这种健身球旳销售单价不高于28元，该商店销售这种健身球每天要获得150元旳销售利润，销售单价应定为多少元？26.：如图，在△ABC 中，AC=BC,以AC 为直径旳⊙O 交AB 于点D ，过点D 作⊙O 旳切线交BC 于点E . 〔1〕求证：DE ⊥BC ；〔2〕假设⊙O 旳半径为5，cos B =35,求AB 旳长. 27、阅读下面材料：小敏遇到这一个问题：α为锐角，且tan α=12，求tan2α旳值、小敏依照锐角三角函数及三角形有关旳学习经验，先画出一个含锐角α旳直角三角形：如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠B =α.她通过独立考虑及与同学进行交流、讨论后，形成了构造2α角旳几种方法：方法1：如图1，作线段AB 旳垂直平分线交BC 于点D ,连结AD.方法2：如图2，以直线BC 为对称轴，作出△AB C 旳轴对称图形△A ，BC 、方法3：如图3，以直线AB 为对称轴，作出△AB C 旳轴对称图形△ABC ，、 ……图1图2图3请你参考上面旳方法，依照勾股定理及三角函数等知识关心小敏求tan2α旳值、〔一种方法即可〕 28.：抛物线y =ax 2+4ax +4a 〔a>0〕〔1〕求抛物线旳顶点坐标； 〔2〕假设抛物线通过点A 〔m ，y 1〕，B 〔n ，y 2〕，其中–4<m ≤–3，0<n ≤1，那么y 1﹏﹏﹏﹏﹏y 2〔用“<”或“>”填空〕；〔3〕如图，矩形CDEF 旳顶点分别为C 〔1，2〕，D 〔1，4〕，E 〔–3，4〕，F 〔–3，2〕，假设该抛物线与矩形旳边有且只有两个公共点〔包括矩形旳顶点〕，求a 旳取值范围.备用图29.：△ABC中，AC=6，BC=8，AB=10,点D是边AB上旳一点，过C，D两点旳⊙O分别与边CA，CB交于点E，F.〔1〕假设点D是AB旳中点，①在图1中用尺规作出一个．．符合条件旳图形〔保留作图痕迹，不写作法〕；②如图2,连结EF，假设EF∥AB,求线段EF旳长;③请写出求线段EF长度最小值旳思路.〔2〕如图3，当点D在边AB上运动时，线段EF长度旳最小值是﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏﹏.大兴区2016~2017学年度第一学期期末检测试卷初三数学【答案】及评分标准【一】选择题〔此题共10道小题，每题3分，共30分〕题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10【答案】A B A D B B C C D D【二】填空题〔此题共6道小题，每题3分，共18分〕题号11 12 13 14 15 16【答案】23π-1 【答案】不唯一.如:y=x2+170°(1,-2),(-1,2)(3,2)直径所对旳圆周角是直角;三角形高线定义【三】解答题〔此题共13道小题，第17—26题，每题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分，共72分〕17.计算：cos30tan602sin45︒+︒-︒解：原式32=+3-222⨯………………………3分33=-22……………………………5分18.证明：如图∵四边形ABCD是矩形∴∠BAD=∠D=90º，∴∠BAE+∠EAD=90º.∵BF ⊥AE ，∴∠AMB =90º. ∴∠BAE +∠ABM =90º∴∠EAD =∠ABM ……………………………2分 ∵∠D =∠AMB =90º，…………………………3分 ∴△ADE ∽△BMA ………………………………4分 ∴AMDEAB AE = ∴AB ·DE=AE ·AM …………………………………5分19.解:设二次函数旳表达式为y =a (x -h )2+k (a ≠0)……………1分 ∵抛物线旳顶点坐标是(3,-4),∴y =a (x -3)2-4………………………………………………2分 又∵抛物线通过点(0,5)∴5=a (0-3)2-4………3分∴a =1………………………………………………………4分 ∴二次函数旳表达式为y =(x -3)2－4……………………5分 化为一般式y =x 2-6x +520.解：如图，由，可得∵∠ADB =60º，∠ACB =30º,∴∠CAD =30º.…………1分 ∴∠CAD =∠ACD ∴CD =AD .∵CD =20,∴AD =20.……………2分 ∵∠ADB =60º,∠ABD =90º∴sin ∠ADB =32AB AD =…………………3分 ∴103AB =……………4分答：教学楼旳高度为103米.…………………………5分 21.(1)x (min) 0 3 6 8 12 … y (m)5705545………………………………………………………………………………2分(2)变量y 是x 旳函数.因为在那个变化旳过程中，有两个变量x,y ，关于x 旳每一个取值， y 都有唯一确定旳值和它相对应…………………………………4分 〔3〕65米…………………………………………………………………5分22.解：连结OB ,OA ………………………………………1分∵∠BCA =45º，∴∠BOA=90º，…………………………………………2分 ∵OB =OA ，……………………………………………3分 ∴∠OBA =∠OAB =45º，………………………………4分∵AB =2∴OB =OA =2……………………………………………5分 23.解：〔1〕∵函数1my x=旳图象过点A 〔-4，-1〕，∴m =4，∴y 1=x4，又∵点B 〔1，n 〕在y 1=x 4上，∴n =4，∴B 〔1，4〕又∵一次函数y 2=kx +b 过A ,B 两点，即，411k b k b -+=-⎧⎨+=⎩解之得13k b =⎧⎨=⎩、∴y 2=x +3、综上可得y 1=x4，y 2=x +3、…………………………………2分 〔2〕要使y 1＞y 2，即函数y 1旳图象总在函数y 2旳图象上方，∴x ＜﹣4或0＜x ＜1、……………………………………4分 (3)作BD ⊥AC 于点D ∵AC =8，BD =5，∴△ABC 旳面积S △ABC =12AC ·BD =12×8×5=20、…………………………5分24.解：〔1〕如图，作DE BC ⊥于点E .∵在Rt △CDE 中，∠C =60°，CD =2，∴CE =1,3DE = ∵BC =13+，∴BE =3.…………………1分 ∴BE =DE∵∠DEB =90°∴∠EDB =∠EBD =45º. ∵AB ⊥BC ，∠ABC =90º，∴∠ABD =∠ABC -∠EBD =45º.………2分∴ tan ∠ABD =1.……………3分 〔2〕如图，作AFBD ⊥于点F .在Rt △ABF 中，∠ABF =45º,32AB =，∴64BF AF ==. ∵在Rt △BDE 中,BE =DE =3∴BD =6.∴DF =364. ∴在Rt △AFD 中，由勾股定理得：152AD =……………………5分 25.解：〔1〕w =〔x ﹣20〕∙y=〔x ﹣20〕〔﹣2x +80〕=﹣2x 2+120x ﹣1600，w 与x 旳函数关系式为：w =﹣2x 2+120x ﹣1600；………………………………1分〔2〕w =﹣2x 2+120x ﹣1600=﹣2〔x ﹣30〕2+200，…………………………………2分∵﹣2＜0，∴当x =30时，w 有最大值、w 最大值为200、…………………………………3分 答：销售单价定为30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元、〔3〕当w =150时，可得方程﹣2〔x ﹣30〕2+200=150、解得x 1=25，x 2=35、……………………………………………………………4分 ∵35＞28，∴x 2=35不符合题意，应舍去、答：该商店销售这种健身球每天想要获得150元旳销售利润，销售单价定为25元、………5分 26.〔1〕如图连结OD ………1分 ∵过点D 作⊙O 旳切线交BC 于点E ∴OD ⊥DE 于E ∴∠ODE =90° ∵OA =OD ∴∠A =∠1 ∵AC =BC ∴∠A=∠B ∴∠B =∠1∴OD ∥BC∴∠ODE =∠DEB =90°∴DE ⊥BC ……………2分 〔2〕连结CD …………………3分 ∵AC 为⊙O 旳直径∴∠ADC =90°∴CD ⊥AB ∵AC=BC ∴AD=BD,∠A =∠B ∴cos A =cos B =53=ACAD …………………4分∵⊙O 旳半径为5∴AC=BC=10 ∴AD =6∴CD=8∴AB =12…………………………5分 27.解：方法1：∵线段AB 旳垂直平分线BC 交于点D ， AD=BD ,…………………1分∵∠B =α∴∠2=∠1+∠B =2α………3分在Rt △ABC 中，∠C =90°，tan α=12∴12AC BC =设,,2,AC k DC x AD BD k x ====-则……………………………4分在Rt △ADC 中，∠C =90°，由勾股定理得，222(2),k x k x +=-…………………5分解得：3,4kx =………………………6分 ∴4tan 2.334AC k k DC α===………………………7分方法2：过A 作AD ⊥A ＇B 于点D .…………………………………………1分 ∵△AB C 、△A ＇BC 关于BC 对称， ∴∠1=∠ABC =α ∴∠A ＇BA =∠1+∠ABC =2α…………………………………………2分在Rt △ABC 中，∠C =90°，tan α=12∴12AC BC =设',2,'5,AC A C k BC k AB A B k =====则…………………………3分 ∵'11''22ABA S AA BC A B AD ∆=⨯⨯=⨯⨯∴225k k k AD ⋅=⋅………………………………………………………4分∴455kAD =……………………………………………………………5分 在Rt △ABD 中，∠ADB =90°，455,5kAB k AD ==∴355kBD =………………………………………………………………6分 ∴4545tan 2.3355k AD BD k α===………………………………………………7分 方法3：延长C ＇A 交BC 旳延长线于点D.………………………………………1分 ∵△AB C 、△ABC ’关于直线AB 对称， ∴∠1=∠ABC =α，BC ＇=BC ∴∠C ＇BC =∠1+∠ABC =2α………………………………………………2分∵tan α=12∴设AC =k ,那么BC =2k ，BC ＇=2k ……………………………………………………………………3分∵∠ACB =90°,∴∠ACD =90°,∴△ACD ∽△BC ’D ………………………………………………………4分∴,DCDC ,BC AC =∴D 'C x k k =2 ∴C ＇D =2x ∴AD =2x -k在Rt △ACD 中，∠ACD =90°，由勾股定理得，222)2(k x x k -=+………………5分k x 34=………………………6分∴3423422tan ,,=⨯==k k BCD C α……………7分 28.解：〔1〕y=a (x 2+4x +4)=a (x +2)2……………1分抛物线旳顶点为：〔–2，0〕………………………2分 〔2〕y 1<y 2…………………………………………4分〔3〕关于y =a (x +2)2代入点C 〔1，2〕，得a =92………………………5分 代入点F 〔–3，2〕得a =2，………………………6分∴92<a <2…………………………………………7分29.〔1〕①…………………………………2分 ②如图,连结CD ，FD ∵AC =6，BC =8，AB =10∴AC 2+BC 2=AB 2∴△ABC 是直角三角形，∠ACB =90°∴EF 是⊙O 旳直径……………………………3分 ∵D 是AB 中点 ∴DA =DB =DC =5 ∴∠B =∠DCB ， ∵EF ∥AB ∴∠A =∠CEF ∵∠CDF =∠CEF ∴∠A =∠CDF ∵∠A +∠B =90°∴∠CDF +∠DCB =90° ∴∠CFD =90° ∴CD 是⊙O 旳直径∴EF =CD =5………………4分③由AC 2+BC 2=AB 2可得∠ACB =90°,图1图 2yxFE D CO因此，EF 是⊙O 旳直径. 由于CD 是⊙O 旳弦, 因此，有EF ≥CD ，因此，当CD 是⊙O 旳直径时，EF 最小…………6分 〔2〕524错误！未指定书签。
2019-2020学年北京市大兴区九年级上册期末数学试卷
2019-2020学年北京市大兴区九年级上册期末数学试卷题号一二三总分得分第I卷（选择题）一、选择题（本大题共8小题，共16.0分）1.抛物线y=(x−2)2+3的顶点是()A. (2,−3)B. (2,3)C. (−2,−3)D. (−2,3)2.把抛物线y=x2+4先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为()A. y=(x+1)2+1B. y=(x−1)2+1C. y=(x−1)2+7D. y=(x+1)2+73.下列说法中，正确的是()A. “明天降雨的概率是80％”表示明天有80％的时间降雨B. “抛一枚硬币正面朝上的概率是0.5”表示每抛硬币2次就有1次出现正面朝上C. “彩票中奖的概率是1％”表示买100张彩票一定有1张会中奖D. 在同一年出生的367名学生中，至少有两人的生日是同一天4.如图，在△ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE//BC，且AD：DB=3：2，则S△ADE：S四边形DECB为()A. 3：2B. 3：5C. 9：25D. 9：165.如图，AC是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，如果∠ABD=36°，那么∠CAD等于()．A. 36°B. 48°C. 54°D. 68°6.下列尺规作图中，能确定圆心的是()①如图1，在圆上任取三个点A，B，C，分别作弦AB，BC的垂直平分线，交点O即为圆心②如图2，在圆上任取一点B，以B为圆心，小于直径长为半径画弧交圆于A，C两点连结AB，BC，作∠ABC的平分线交圆于点D，作弦BD的垂直平分线交BD于点O，点O即为圆心③如图3，在圆上截取弦AB=CD，连结AB，BC，CD，分别作∠ABC与∠DCB的平分线，交点O即为圆心A. ①②B. ①③C. ②④D. ①②③7.在圆心角为120°的扇形AOB中，半径OA=6，则扇形AOB的面积是()A. 6πB. 8πC. 12πD. 24π8.已知矩形ABCD的边AB=6，BC=8，以点B为圆心作圆，使A，C，D三点至少有一点在⊙B内，且至少有一点在⊙B外，则⊙B的半径r的取值范围是()A. r>6B. 6<r<8C. 6<r<10D. 6<r<8或8<r<10第II卷（非选择题）二、填空题（本大题共8小题，共16.0分）9.若反比例函数y=−1的图象上有两点A(1,y1)，B(2,y2)，则y1______y2(填“>”或x“=”或“<”)．10.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=7，则sinB=______ ．11.弧长为12πcm，此弧所对的圆心角为240°，则此弧所在圆的半径为______ ．12.如图，身高为1.7m的小明AB站在河的一岸，利用树的倒影去测量河对岸一棵树CD的高度，CD在水中的倒影为C′D，A、E、C′在一条线上．已知河BD的宽度为12m，BE=3m，则树CD的高为_______．13.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，若OP=3，CD=8，则AO=_______．14.若一元二次方程x2+bx+c=0的解为x1=1，x2=5，则抛物线y=x2+bx+c与x轴的交点坐标为____________．15.若点(2,−5)、(6,−5)在抛物线y=ax2+bx+c上，则它的对称轴是______．16.在反比例函数y=−2的图象上有一动点A，连接AO并延长交图象的另一支于点B，x在第一象限内有一点C，满足AC=BC，当点A运动时，点C始终在函数y=k的x 图象上运动．若tan∠CAB=2，则k的值为________．三、解答题（本大题共12小题，共68.0分）)−217.计算：√18−2sin45°+(π−3)0−(−1218.已知二次函数y=ax2+4ax+c的最大值为4，且图像经过点(−3,0)，求二次函数的表达式．(k≠0)的图象交于19.在平面直角坐标系xOy中，直线y=−x+2与反比例函数y=kx点A(−2,a)和点B．(1)求反比例函数的表达式和点B的坐标；<−x+2的解集．(2)直接写出不等式kx20.如图，AB为⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠BAC=48°，求∠ADC的度数．21.为了创建文明城市，增强学生的环保意识．随机抽取8名学生，对他们的垃圾分类投放情况进行调查，这8名学生分别标记为A，B，C，D，E，F，G，H，其中“√”表示投放正确，“×”表示投放错误，统计情况如下表．(1)求8名学生中至少有三类垃圾投放正确的概率；(2)为进一步了解垃圾分类投放情况，现从8名学生里“有害垃圾”投放错误的学生中随机抽取两人接受采访，试用标记的字母列举所有可能抽取的结果．22.如图，一条水渠的横截面是抛物线形，水渠口宽12m，水面宽8m，水面距离水渠口面2m.水面下降0.7m，水面宽度减少多少？23.如图，以线段AB为直径的⊙O交线段AC于点E，点M是AE⏜的中点，OM交AC于点D，∠BOE=60°，tanC=√3，BC=√3．(1)求∠A的度数；(2)求证：BC是⊙O的切线；(3)求MD的长度．24.在⊙O中，AO、BO是⊙O的半径，点C在劣弧AB上，OA=10，AC=12，AC//OB，连接AB．(1)如图1，求证：AB平分∠OAC；(2)点M在弦AC的延长线上，连接BM，如果△AMB是直角三角形，请你在图2中画出点M的位置并求CM的长；(3)如图3，点D在弦AC上，与点A不重合，连结OD与弦AB交于点E，设点D与点C的距离为x，△OEB的面积为y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围．25.已知二次函数y=x2+2x+m的图象C1与x轴有且只有一个公共点．(1)求C1的顶点坐标；(2)将C1向下平移若干个单位后，得抛物线C2，如果C2与x轴的一个交点为A(−3,0)，求C2的函数关系式，并求C2与x轴的另一个交点坐标；(3)若P(n,y1)，Q(2,y2)是C1上的两点，且y1>y2，求实数n的取值范围．26.已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(1,0)，B(3,0)，且过点C(0,−3)．(1)求抛物线的解析式和顶点坐标；(2)请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y=−x上，并写出平移后抛物线的解析式．27.如图，点C、D在以AB为直径的⊙O上，AD平分∠CAB(1)求证：AC//OD．(2)若AC=7，AB=25，求AD的长．28.平面直角坐标系中，A(m,n+2)，B(m+4,n)．(1)当m=2，n=2时，①如图1，连接AO、BO，求三角形ABO的面积；②如图2，在y轴上是否存在点P，使三角形PAB的面积等于8，若存在，求P点坐标；若不存在，请说明理由；(2)如图3，过A、B两点作直线AB，当直线AB过y轴上点Q(0,3)时，试求出m，n 的关系式．【温情提示：(a+b)×(c+d)=ac+ad+bc+bd】答案和解析1.【答案】B【解析】【分析】本题考查由抛物线的顶点坐标式写出抛物线顶点的坐标，比较容易.抛物线y=a(x−ℎ)2+k，顶点坐标是(ℎ,k)，直接根据抛物线y=(x−2)2+3写出顶点坐标即可．【解答】解：由于y=(x−2)2+3为抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点可知，抛物线的顶点坐标为(2,3)．故选B．2.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查的是二次函数的图象与几何变换.熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键.根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【解答】解：将抛物线y=x2+4向左平移1个单位所得直线解析式为：y=(x+1)2+4；再向下平移3个单位为：y=(x+1)2+4−3，即y=(x+1)2+1．故选A．3.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查概率的意义．本题解决的关键是理解概率只是反映事件发生机会的大小．根据概率的意义分析各个选项，找到正确选项即可．【解答】解：A.“明天降雨的概率是80%”表示明天有降雨的可能性，故A错误；B.“抛一枚硬币正面朝上的概率是0.5”表示抛一枚硬币正面朝上与反面朝上的机会是一样的，故B错误；C.“彩票中奖的概率是1%”表示在设计彩票时，有1%的机会中奖，但不一定买100张彩票一定有1张会中奖，故C错误；D.在同一年出生的367名学生，而一年中至多有366天，因而至少有两人的生日是同一天，故D正确．故选D．4.【答案】D【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟记相似三角形的面积之比等于相似比的平方是解题的关键．由已知条件可证得△ADE∽△ABC，则ADAB =DEBC，再根据已知条件，得出ADAB=35，由相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可求解．【解答】解：∵DE//BC，∴△ADE∽△ABC，∴ADAB =DEBC，∵AD：DB=3：2，∴ADAB =35，，∵S△ADE+S四边形DECB=S△ABC，．故选：D．5.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查的是圆周角定理，解答本题的关键是掌握圆周角定理中在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等.分析题意，根据直径所对的圆周角是直角，得∠ADC=90°，根据同弧或等弧所对的圆周角相等，得∠ABD=∠ACD，从而可得到∠ACD的度数，再根据直角三角形的性质就可得出答案．【解答】解：∵∠ABD=36°，∴∠ABD=∠ACD=36°，∵AC为直径，∴∠ADC=90°，∴∠CAD=90°−∠ACD=54°．故选C．6.【答案】A【解析】解：由题意①②可以判定点O是⊙的圆心．故选：A．①⊙O的圆心在线段AB，BC的垂直平分线上，故点O即为所求．②由作图可知：线段BD是⊙O的直径，故点O即为所求．③无法判断点O是圆心．本题考查作图−复杂作图，线段的垂直平分线的性质，垂径定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．7.【答案】C【解析】解：S=nπr2360=120π×62360=12π．故选C．利用扇形面积公式可知其面积．本题考查了扇形的面积公式：S=nπr2360，熟记扇形的面积公式是解题的关键．8.【答案】C【解析】解：因为AB=6，BC=8，所以根据矩形的性质和勾股定理得到：BD=√62+82=10．∵BA=6，BC=8，BD=10，而A，C，D中至少有一个点在⊙B内，且至少有一个点在⊙B外，∴点A在⊙B内，点D在⊙B外．因此：6<r<10．故选：C．先求出矩形对角线的长，然后由A，C，D与⊙B的位置，确定⊙B的半径的取值范围．本题考查的是点与圆的位置关系，根据BA，BC，BD的长以及点A，C，D的位置，确定圆的半径的取值范围．9.【答案】<【解析】解：根据反比例函数的性质，可得反比例函数y=−1x的图象在第二四象限，且在每个象限中，y随x的增大而增大；对于A(1,y1)，B(2,y2)，有两点都在第四象限，且1<2，则y1<y2．故答案为y1<y2．根据反比例函数的性质，可得该函数在每个象限的增减性，比较A、B的横坐标大小，可得答案．本题主要利用反比例函数的性质考查反比例函数图象的特点．10.【答案】713【解析】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=7，∴sinB=ACAB =713．故答案为：713．根据锐角三角函数定义直接进行解答．本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．11.【答案】9cm【解析】解：∵弧长公式l=240π×r180=12π，解得：r=9，故答案为：9cm．直接利用弧长公式求出此弧所在圆的半径即可．此题主要考查了弧长公式应用，正确记忆弧长公式是解题关键．12.【答案】5.1m【解析】【分析】本题考查了相似三角形的应用，属于基础题．根据题意，进行求解即可．【解答】解：因为AB，CD均垂直于地面，所以AB//CD，∠ABE=∠CDE，又∠AEB=∠C′ED=∠CED，则有△ABE∽△CDE，∴ABCD =BEDE，又∵AB=1.7m，BE=3m，BD=12m，∴DE=9m，∴1.7CD =39，∴CD=5.1，故答案为5.1m．13.【答案】5【解析】【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，是基础知识，比较简单，连接OC，设⊙O半径为r，根据AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，则CP=DP，由CD=8，可得CP=4，再根据勾股定理CO2=CP2+OP2，即可得出OA的长．【解答】解：连接OC，设⊙O半径为r，∵AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴CP=DP，∵CD=8，∴CP=4，∵OP=3，∴CO2=CP2+OP2，∴r2=42+32，∴r=5，∴OA=5．故答案为5．14.【答案】(1,0)、(5,0)【解析】【分析】本题考查了抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的交点：抛物线与x轴的交点的意义就是当x取交点的横坐标时，函数值y等于0，即方程ax2+bx+c=0的解为交点的横坐标.解答此题根据方程x2+bx+c=0(a≠0)的解就是当y=0时，抛物线y=x2+ bx+c与x轴的两个交点的坐标．【解答】解：当y=0时，x2+bx+c=0．∵方程x2+bx+c=0的解是x1=1，x2=5，∴抛物线y=x2+bx+c与x轴的两个交点的横坐标分别是1、5，∴抛物线y=x2+bx+c(a≠0)与x轴的两个交点的坐标分别是(1,0)、(5,0)．故答案为(1,0)、(5,0)．15.【答案】直线x=4【解析】【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的对称性以及对称轴的求法．观察出两点的纵坐标相等，然后根据二次函数的对称性列式计算即可得解．【解答】解：∵点(2,−5)，(6,−5)的纵坐标都是−5，∴该抛物线的对称轴为直线x=2+62=4．故答案为：直线x=4．16.【答案】8【解析】【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质以及相似三角形的判定及性质，解题的关键是求出CF⋅OF=8.本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，巧妙的利用了相似三角形的性质找出对应边的比例，再结合反比例函数图象上点的坐标特征找出结论．连接OC，过点A作AE⊥y轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，通过角的计算找出∠AOE=∠COF，结合“∠AEO=90°，∠CFO=90°”可得出△AOE∽△COF，根据相似三角形的性质得出AECF =EOFO=AOCO，再由tan∠CAB=AOCO=2，可得出CF⋅OF=8，由此即可得出结论．【解答】解：连接OC，过点A作AE⊥y轴于点E，过点C作CF⊥x轴于点F，如图所示：由直线AB与反比例函数y=−2x的对称性可知A、B点关于O点对称，∴AO=BO．又∵AC=BC，∴CO⊥AB．∵∠AOE+∠EOC=90°，∠EOC+∠COF=90°，∴∠AOE=∠COF，又∵∠AEO=90°，∠CFO=90°，∴△AOE∽△COF，∴AECF =EOFO=AOCO，∵tan∠CAB=OCAO=2，∴CF=2AE，OF=2OE．又∵AE⋅OE=|−2|=2，CF⋅OF=|k|，∴k=±8．∵点C在第一象限，∴k=8，故答案为：8．17.【答案】解：原式=3√2−2×√22+1−4 =2√2−3．【解析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质、负指数幂的性质分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．18.【答案】解：∵函数y =ax 2+4ax +c 的最大值为4，且图象过点(−3,0)，∴{4ac−16a 24a=40=9a −12a +c，解得：{a =−4c =−12或{a =0c =0(舍去)， 则二次函数的解析式y =−4x 2−16x −12．【解析】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．根据二次函数的最大值为4和图象过点(−3,0)，得出{4ac−16a 24a=40=9a −12a +c，求出a ，c 的值即可．19.【答案】解：(1)把A(−2,a)代入y =−x +2中，得：2+2=a ，即a =4把A(−2,4)代入y =kx 中，得k =−8， 即y =−8x ，联立方程组{y =−x +2y =−8x， 解得：{x =−2y =4或{x =4y =−2，则B(4,−2)；(2)如图：kx <−x +2的解集x <−2或0<x <4．【解析】此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题、待定系数法求函数解析式；熟练掌握待定系数法求直线解析式是解决问题的关键．(1)由点A在直线y=−x+2上，即可求出a的值，从而可得点A的坐标，根据点A在反比例函数y=k的图象上，即可求出反比例函数的解析式，然后将一次函数与反比例x函数联立方程组，解方程组即可求出点B的坐标；(2)根据一次函数y=−x+2与反比例函数y=−8的交点坐标即可得不等式的解集．x20.【答案】解：连接BC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°，∵∠BAC=48°，∴∠ABC=90°−∠BAC=42°，∴∠ADC=∠ABC=42°．【解析】【试题解析】此题主要考查圆周角定理，还考查三角形内角和定理．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．首先连接BC，由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得∠ACB=90°，则可求得∠ABC的度数，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠ADC的度数．21.【答案】解：(1)8名学生中至少有三类垃圾投放正确的概率为5；8(2)列表如下：A C F GA CA FA GAC AC FC GCF AF CF GFG AG CG FG【解析】(1)直接利用概率公式求解可得；(2)利用列表法可得所有等可能结果．此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．22.【答案】解：建立如图所示平面直角坐标系，则点A(−6,0)，点B(6,0)，C(4,−2)，设抛物线解析式为y=a(x+6)(x−6)，将点C(4,−2)代入，得：−20a=−2，解得：a=1，10(x+6)(x−6)，∴抛物线解析式为y=110(x+6)(x−6)=−2.7，当y=−2.7时，得：110解得x=3或x=−3，则此时水面宽度为6米，所以水面的宽度减少2米，答：水面下降0.7m，水面宽度减少2米．【解析】建立如图所示坐标系，利用待定系数法求得其函数解析式，求出y=−2.7时的x的值，从而得出此时水面宽度，即可得出答案．本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．23.【答案】解：(1)∵∠BOE=60°∴∠A=12∠BOE=30°；(2)∵tanC=√3，∴∠C=60°，在△ABC中，∠B=180°−∠A−∠C=180°−30°−60°=90°，又∵OB是⊙O半径，∴BC是⊙O的切线；(3)在Rt△ABC中，BC=√3，∴AB=BC⋅√3=3，∴OA=OM=32，∵点M是AE⏜的中点，∴OM⊥AE，在Rt△AOD中，∠A=30°，OA=32，∴OD=12OA=12×32=34，∴MD=OM−OD=32−34=34．【解析】(1)根据三角函数的知识即可得出∠A的度数．(2)要证BC是⊙O的切线，只要证明AB⊥BC即可．(3)根据切线的性质，运用三角函数的知识求出MD的长度．该题主要考查了切线的判定，圆周角定理，垂径定理、锐角三角函数的定义等知识点及其应用问题；解题的关键是牢固掌握垂径定理、圆周角定理等知识点，并能灵活运用、解题．24.【答案】解：(1)∵OA、OB是⊙O的半径，∴AO=BO，∴∠OAB=∠B，∵OB//AC，∴∠B=∠CAB，∴∠OAB=∠CAB，∴AB平分∠OAC；(2)由题意知，∠BAM不是直角，所以△AMB是直角三角形只有以下两种情况：∠AMB=90°和∠ABM=90°，①当∠AMB=90°，点M的位置如图1，过点O作OH⊥AC，垂足为点H，∵OH经过圆心，AC=12，∴AH=HC=12AC=6，在Rt△AHO中，∵OA=10，∴OH=√OA2−AH2=8，∵AC//OB，∠AMB=90°，∴∠OBM=180°−∠AMB=90°，∴∠OHC=∠AMB=∠OBM=90°，∴四边形OBMH是矩形，∴BM=OH=8、OB=HM=10，∴CM=HM−HC=4；②当∠ABM=90°，点M的位置如图2，由①可知，AB=√AM2+BM2=8√5、cos∠CAB=AMAB =8√5=2√55，在Rt△ABM中，cos∠CAB=ABAM =2√55，∴AM=20，则CM=AM−AC=8，综上所述，CM的长为4或8；(3)如图3，过点O作OG⊥AB于点G，由(1)知sin∠OAG=sin∠CAB，由(2)可得sin∠CAB=√55，∵OA=10，∴OG=2√5，∵AC//OB，∴BEAE =OBAD，又AE=8√5−BE、AD=12−x、OB=10，∴8√5−BE =1012−x，∴BE=80√522−x，∴y=12×BE×OG=12×80√522−x×2√5=40022−x(0≤x<12)．【解析】(1)由AO=BO知∠OAB=∠B，根据OB//AC知∠B=∠CAB，据此可得∠OAB=∠CAB，即可得证；(2)①∠AMB=90°时，作OH⊥AC可得AH=HC=12AC=6，由勾股定理求得OH= BM=8，根据矩形OBMH知HM=OB=10，由CM=HM−HC可得答案；②∠ABM=90°时，由①可知AB=8√5、cos∠CAB=AMAB =2√55，在Rt△ABM中根据cos∠CAB=ABAM=2√55可得AM=20，继而得出答案；(3)作OG⊥AB，由(1)知sin∠OAG=sin∠CAB，从而sin∠CAB=√55，结合OA=10求得OG=2√5，根据AC//OB知BEAE =OBAD，即8√5−BE=1012−x，据此求得BE=80√522−x，利用y=12×BE×OG可得答案．本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握圆的有关性质、平行线的性质、矩形的判定与性质及解直角三角形的能力．25.【答案】(1)y=x2+2x+m=(x+1)2+m−1，对称轴为直线x=−1，∵与x轴有且只有一个公共点，∴顶点的纵坐标为0，∴C1的顶点坐标为(−1,0)；(2)设C2的函数关系式为y=(x+1)2+k，把A(−3,0)代入上式得(−3+1)2+k=0，得k=−4，∴C2的函数关系式为y=(x+1)2−4．∵抛物线的对称轴为直线x=−1，与x轴的一个交点为A(−3,0)，由对称性可知，它与x轴的另一个交点坐标为(1,0)；(3)当x≥−1时，y随x的增大而增大，当n≥−1时，∵y1>y2，∴n>2．当n<−1时，P(n,y1)的对称点坐标为(−2−n,y1)，且−2−n>−1，∵y1>y2，∴−2−n>2，∴n<−4．综上所述：n>2或n<−4．【解析】(1)由于二次函数y=x2+2x+m的图象C1与x轴有且只有一个公共点，那么顶点的纵坐标为0，由此可以确定m．(2)首先设所求抛物线解析式为y=(x+1)2+k，然后把A(−3,0)代入即可求出k，也就求出了抛物线的解析式；(3)由于图象C1的对称轴为直线x=−1，所以知道当x≥−1时，y随x的增大而增大，然后讨论n≥−1和n≤−1两种情况，利用前面的结论即可得到实数n的取值范围．此题比较复杂，首先考查抛物线与x轴交点个数与其判别式的关系，接着考查抛物线平移的性质，最后考查抛物线的增减性．26.【答案】解：(1)∵抛物线与x轴交于点A(1,0)，B(3,0)，可设抛物线解析式为y=a(x−1)(x−3)，把C(0,−3)代入得：3a=−3，解得：a=−1，故抛物线解析式为y=−(x−1)(x−3)，即y=−x2+4x−3，∵y=−x2+4x−3=−(x−2)2+1，∴顶点坐标(2,1)；(2)先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到的抛物线的解析式为y=−x2，平移后抛物线的顶点为(0,0)落在直线y=−x上(答案不唯一)．【解析】(1)利用交点式得出y=a(x−1)(x−3)，进而得出a的值，再利用配方法求出顶点坐标即可；(2)根据左加右减，上加下减得出抛物线的解析式为y=−x2，进而得出答案．此题主要考查了二次函数的平移，配方法求二次函数的顶点坐标以及交点式求二次函数解析式，根据平移规律得出平移后的解析式是解题关键．27.【答案】(1)证明：连接OD，如图1所示：∵AD平分∠CAB，∠CAB，∴∠CAD=∠BAD=12∵∠BAD=1∠BOD，2∴∠CAB=∠BOD，∴AC//OD；(2)解：连接BC、BD，如图2所示：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=∠ADB=90°，OD=12AB=12.5，∴BC=√AB2−AC2=√252−72=24，∵AC//OD，OA=OB，∴OD⊥BC，BE=CE=12BC=12，∴OE是△ABC的中位线，∴OE=12AC=3.5，∴DE=OD−OE=9，∴BD=√BE2+DE2=15，∴AD=√AB2−BD2=√252−152=20．【解析】本题考查了圆周角定理、勾股定理以及三角形中位线定理；熟练掌握圆周角定理和勾股定理是解决问题的关键．(1)连接OD，由角平分线和圆周角定理得出∠BAD=12∠CAB，∠BAD=12∠BOD，证出∠CAB=∠BOD，即可得出结论；(2)由圆周角定理得出∠ACB=∠ADB=90°，由勾股定理求出BC=√AB2−AC2=24，证明OE是△ABC的中位线，BE=CE=12BC=12，由三角形中位线定理得出OE=12AC=3.5，求出DE=OD−OE=9，由勾股定理求出BD，再由勾股定理求出AD即可．28.【答案】解：(1)①当m=2，n=2时，A(2,4)，B(6,2)，∴S△AOB=4×6−12×4×2−12×6×2−12×4×2=10．②设P(0,m)．∵直线AB的解析式为y=−12x+5，设直线AB交y轴于C(0,5)，由题意：S △PBC −S △APC =S △PAB ， ∴12⋅|m −5|×6−12⋅|m −5|⋅2=8，解得m =9或1， ∴P(0,9)或(0,1)；(2)设直线AB 的解析式为y =kx +b ，则有：{mk +b =n +2(m +4)k +b =n ，解得{k =−12b =12m +n +2， ∴直线AB 的解析式为y =−12x +12m +n +2， ∵直线AB 经过点Q(0,3)， ∴12m +n +2=3，∴m =−2n +2．【解析】(1)①求出A 、B 两点坐标，利用分割法求出三角形的面积即可；②设P(0,m).直线AB 的解析式为y =−12x +5，设直线AB 交y 轴于C(0,5)，由题意：S △PBC −S △APC =S △PAB ，由此构建方程即可解决问题；(2)设直线AB 的解析式为y =kx +b ，则有：{mk +b =n +2(m +4)k +b =n ，求出直线AB 的解析式后利用待定系数法即可解决问题；本题考查三角形综合题、一次函数的应用等知识，解题的关键是学会构建一次函数解决问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考压轴题．。
8.大兴评标：202001九上数学期末
大兴区2019~2020学年度第一学期期末检测试卷初三数学答案及评分标准一、选择题（本大题共8个小题，每小题2分，共16分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）二、填空题（本大题共8个小题，每小题2分，共16分）三、解答题（本题共68分，第17-21题，每小题5分，第22-24题，每小题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17． 解： 0112sin 45(2)()3π-︒+--=-213- …………………………………………………………4分2 ．………………………………………………………………………5分18．解：（1）∵抛物线c bx x y ++-=2过点（0，-5）和（2，1），∴ ⎩⎨⎧=++--=.124,5c b c …………………………………………………………2分解得 ⎩⎨⎧-==.5,5c b …………………………………………3分∴b , c 的值分别为5, -5.（2）01<-=a ∴当25=x 时y 有最大值 ……………………………………………………5分19．解：∵ 直线4-+=x y 与反比例函数ky x=的图象的一个交点为(2)A a ， ∴ 4-2+=a ，即2=a …………………………………………………… 3分 ∴ 点A 坐标为（2，2） ∴ 22k=，即4=k ……………………………………………………… 5分 20. 证明：∵AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，………………………2分∴∠A =∠2． ………………………3分 又∵OA =OC ， ∴∠1=∠A ． ∴∠１＝∠2．即：∠ACO =∠BCD ．……………5分21. 解：（1）四类垃圾随机投入四类垃圾箱的所有结果用树状图表示如下：分由树状图可知垃圾投放正确的概率为41164=；………………..3分 （2）厨余垃圾投放正确的概率为400240010040603=+++. ….5分22. 解：如图所示，建立平面直角坐标系.设二次函数的表达式为2y ax =(0)a ≠. .…………………………1分 ∵图象经过点(2,2)-， .…………………2分 ∴24a -=，12a =-. ∴212y x =-. .……………………………3分当3y =-时，x = .…………………5分厨余垃圾答：当水面高度下降1米时，水面宽度为米. .…………………6分23. （1）证明:如图①，连接AD ．∵ E…………………………1分∴ ∠DAE =∠EAB ． ∵ ∠C =2∠EAB ，∴∠C =∠BAD ．∵ AB 是⊙O 的直径，∴ ∠ADB =∠ADC =90°．………………2分∴ ∠C +∠CAD=90°． ∴ ∠BAD +∠CAD =90°． 即 BA ⊥AC ．∴ AC 是⊙O 的切线．…………………3（2）解：如图②，过点F 做FH ⊥AB 于点H ．∵ AD ⊥BD ，∠DAE =∠EAB ， ∴ FH =FD ，且FH ∥AC ． 在Rt △ADC 中， ∵43cos =C ，8=AC ， ∴ CD =6．…………………………………………………4分 同理，在Rt △BAC 中，可求得332=BC ． ∴314=BD ． 设 DF =x ，则FH =x ，x BF -=314． ∵ FH ∥AC ， ∴ ∠BFH =∠C ． ∴43cos ==∠BF FH BFH ． 即43314=-x x ．………………………………………………5分 解得x =2． ∴38=BF ． …………………………………………………6分 图①图②② 3.1 ………………………………………………………………………………4分(3) 6.6cm 或2.8cm……………………………………………………………………6分25.解：（1）得中，令）（在,01-1412=-=y x y 1,321-==x x ……………………………………………………………..1分∴点A 的坐标为（-1，0），点B 的坐标为（3，0）………………………..2分 （2）①5；……………………………………………………………………..3分②6. ……………………………………………………………………..5分26．（1）∵11)(2+--=x m x y 的对称轴为1=x∴121=-m ………………………………1分 ∴3=m ，∴函数的表达式为122+-=x x y …………………2分 （2）①()23-=x y ………3分②29>t ………………………………………………6分27.（1） ∠CDB ………………………………………………………………………1分 （2）AC ，EC ，ED 满足的数量关系：EC 2+ED 2=2AC 2. …………………………2分证明：连接EB ，与AD 交于点F∵点B ，C 两点在⊙A 上, ∴AC=AB ， ∴∠ACP =∠ABP . ∵P A 是钝角△ABC 的高线, ∴P A 是△CAB 的垂直平分线. ∵P A 的延长线与线段CD 交于点E ，∴EC=EB . ……………………………………………………………………………3分 ∴∠ECP =∠EBP .∴∠ECP —∠ACP =∠EBP —∠ABP . 即∠ECA =∠EBA . ∵AC=AD ， ∴∠ECA =∠EDA ∴∠EBA=∠EDA∵∠AFB =∠EFD , ∠BCD =45°, ∴∠AFB+∠EBA =∠EFD+∠EDA=90°即∠BAD =∠BED =90°……………………………………………………4分 ∴EB 2+ED 2=BD 2. ……………………………………………………6分 ∵BD 2=2AB 2， ∴EB 2+ED 2=2AB 2，∴E C 2+ED 2=2AC 2…………………………………………………………7分28.（1）（3，4）…………………………………………………………………….2分 （2） ∵点D （2，1），点E （e ，4）， 点D ，E ，F 的“坐标三角形”的面积为3， ∴33221=⨯-=∆e S DEF 22=-e∴4=e 或0=e ，.……………………………4分（3）由点N ，M ， G 的“坐标轴三角形”为等腰三角形可得直线MN 为 b x y +=或b x y +-=①当直线MN 为b x y +=时，由于点M 的坐标为（m ，4）,可得m =4－b由图可知，当直线MN 平移至与⊙O 相切，且切点在第四象限时，b 取得最小值. 此时直线MN 记为M 1 N 1，其中N 1T 1为直线M 1 N 1与y 轴的交点. ∵△O N 1T 1为等腰直角三角形，O 1N ∴OT 1=22223)223(⎪⎭⎫⎝⎛+=3∴b 的最小值为-3，∴m 的最大值为m =4－b =7………………………………………………5分 当直线MN 平移至与⊙O 相切，且切点在第二象限时，b 取得最大值. 此时直线MN 记为M 2 N 2，其中N 2为切点，T 2为直线M 2 N 2与y 轴的交点. ∵△2ON 2T 为等腰直角三角形，2ON ∴2OT =22223)223(⎪⎭⎫⎝⎛+=3∴b 的最大值为3，∴m 的最小值为m =4－b =1，∴m 的取值范围是71≤≤m ，…………………………………………6分 ②当直线MN 为b x y +-=时. 同理可得，4-=b m ， 当3=b 时，1-=m 当3-=b 时，-7=m∴m 的取值范围是-17-≤≤m .………………………………………7分 综上所述，m 的取值范围是71≤≤m 或17--≤≤m .。
2019北京大兴区初三(上)期末数学
2019北京大兴区初三（上）期末数 学第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．．．．. 1. 若23(0)x y y =≠，则下列比例式一定成立的是 A ．23x y= B ．32x y= C ．23x y =D ．32x y= 2．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°, AC =3，BC =4，则sin A 的值为A ．34B ．43C ．35D ．453. 如图，在△ABC中，点D ,E 分别为边AB ,AC 上的点，且DE ∥BC ，若5AD =，10BD =，3AE =，则AC 的长为A ．3B ．6C ．9D ．12A. 1-B. 1C. 6D. 95．把抛物线22(3)y x k =-+向下平移1个单位长度后经过点（2,3），则k 的值是 A ．2B ．1C ．0D ．1-6.如图所示的网格是正方形网格，点A,B,C 都在格点上，则tan ∠BAC 的值为A ． 2B ．12C ．5D ．57．在平面直角坐标系xOy 中，点A,点B 的位置如图所示,抛物线22y ax ax =-经过A,B ，则下列说法不．正确．．的是 A ．抛物线的开口向上 B ．抛物线的对称轴是1x =C ．点B 在抛物线对称轴的左侧D ．抛物线的顶点在第四象限8.如图，点A ，B ，C 是⊙O 上的三个点，点D 在BC 的延长线上.有如下四个结论: ①在∠ABC 所对的弧上存在一点E,使得∠BCE =∠DCE ;②在∠ABC 所对的弧上存在一点E,使得∠BAE =∠AEC ; ③在∠ABC 所对的弧上存在一点E,使得EO 平分∠AEC ; ④在∠ABC 所对的弧上任意取一点E (不与点A,C 重合) , ∠DCE=∠ABO +∠AEO 均成立. 上述结论中,所有．．正确结论的序号是 A ． ①②③ B ．①③④ C ． ②④ D ．①②③④二、填空题(本题共16分，每小题2分)9. 抛物线()212y x =-+的顶点坐标是 .10.如图，在□ABCD 中，点E 在DC 上，连接BE 交对角线AC 于点F, 若 DE : EC = 1 : 3，则S △EFC ：S △BFA = .11.已知18°的圆心角所对的弧长是5πcm ，则此弧所在圆的半径是 cm ． 12．如图，⊙O 的半径OA 垂直于弦BC,垂足是D ，OA=5, AD :OD =1:4，则BC 的长为 ．13.在△ABC 中, tan A =,则sin A = . 14.已知在同一坐标系中, 抛物线21y ax =的开口向上,且它的开口比抛物线2232y x =+的开口小，请你写出一个满足条件的a 值: ．15．如图，在平面直角坐标系xOy 中,函数(0)ky x x=>的图象经过Rt △OAB 的斜边OA 的中点D ， 交AB 于点C ．若点B 在x 轴上，点A 的坐标为( 6 , 4 )，则△BOC 的面积为 .16．已知抛物线2y ax bx c =++经过A （0,2），B （4,2），对于任意a > 0,点P （m , n ）均不在抛物线上.若n > 2,则m 的取值范围是__________.三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题,每小题6分，第27,28题,每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17．计算：0sin 60cos30-4tan 45︒⨯︒︒.18. 已知：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CD ⊥AB 于D .（1）求证：△ACD ∽△ABC ； （2）若AD =1，DB =4，求AC 的长．19.下面是小松设计的“做圆的内接等腰直角三角形”的尺规作图过程. 已知：⊙O.求作：⊙O 的内接等腰直角三角形. 作法：如图， ①作直径AB ；②分别以点A, B 为圆心，以大于12AB 的同样长为半径作弧，两弧交于M , N 两点； ③作直线MN 交⊙O 于点C ，D ； ④连接AC ，BC ．所以△ABC 就是所求作的三角形. 根据小松设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） （2）完成下面的证明.证明：∵AB 是直径, C 是⊙O 上一点∴ ∠ACB = ( ) (填写推理依据) ∵AC=BC ( )(填写推理依据)∴△ABC 是等腰直角三角形.20.已知二次函数2y x bx c =++的图象经过（1，0）和（4 ，-3）两点．求这个二次函数的表达式.21.如图，△ABC 中，∠A =30°，tan B =，AC =BC 的长.22.如图，在测量“河流宽度”的综合与实践活动中，小李同学设计的方案及测量数据如下: 在河对岸边选定一个目标点A ，在近岸取点B ，C ，D (点B ，C ，D 在同一条直线上)， AB ⊥BD ，∠ACB ＝45°，CD ＝20米，且．若测得∠ADB ＝25°，请你帮助小李求河 的宽度AB.（sin25°≈0.42, cos25°≈0.91, tan25°≈0.47,结果精确到0.1米）．23.如图，在平面直角坐标系xOy 中，A (0，3)，B (1，0)，连接BA ,将线段BA 绕点B 顺时针旋转90°得到线段BC ，反比例函数()0ky x x=>的图象G 经过点C . （1）请直接写出点C 的坐标及k 的值；（2）若点P 在图象G 上，且∠POB =∠BAO ，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，若Q （0，m ）为y 轴正半轴上一点，过点Q 作x 轴的平行线与图象G 交于点M ，与直线OP交于点N ，若点M 在点N 左侧，结合图象，直接写出m 的取值范围.24.如图，点C 是⊙O 直径AB 上一点，过C 作CD ⊥AB 交⊙O 于点D ，连接DA ，延长BA 至点P ，连接DP ，使∠PDA=∠ADC .(1) 求证：PD 是⊙O 的切线；(2) 若AC =3，4tan 3PDC ∠=，求BC 的长．25.如图，R t △ABC 中，∠C = 90°， P 是CB 边上一动点，连接AP ，作PQ ⊥AP 交AB 于Q . 已知AC = 3cm ，BC = 6cm ，设PC 的长度为x cm ，BQ 的长度为y cm .小青同学根据学习函数的经验对函数y 随自变量x 的变化而变化的规律进行了探究. 下面是小青同学的探究过程，请补充完整：(1) 按照下表中自变量x 的值进行取点、画图、测量，分别得到了y 的几组对应值；(说明: m 的值约为___________cm;(2)在平面直角坐标系中，描出以补全后的表格中各组数值所对应的点(x , y )，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：①当y > 2时，对应的x 的取值范围约是_________________;②若点P 不与B,C 两点重合,是否存在点P ,使得BQ=BP ? ______(填 “存在”或 “不存在”) 26．已知抛物线256y x m x m =--+-+（）. （1）求证：该抛物线与x 轴总有交点；（2）若该抛物线与x 轴有一个交点的横坐标大于3且小于5，求m 的取值范围；（3）设抛物线256y x m x m =--+-+（）与y 轴交于点M ，若抛物线与x 轴的一个交点关 于直线y x =-的对称点恰好是点M ，求m 的值.27. 如图，在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB=BC ，点E 为线段AB 上一动点（不与点A ，B 重合），连接CE ，将∠ACE 的两边CE ，CA 分别绕点C 顺时针旋转90°，得到射线CE ，，CA ，,过点A 作AB 的垂线AD ，分别交射线CE ，，CA ，于点F ，G.（1）依题意补全图形；（2）若∠ACE=α，求∠AFC 的大小（用含α的式子表示）;（3）用等式表示线段AE ，AF 与BC 之间的数量关系，并证明．28．对于平面内任意一个角的“夹线圆”，给出如下定义：如果一个圆与这个角的两边都相切，则称这个圆为这个角的“夹线圆”.例如：在平面直角坐标系xOy 中，以点（1，1）为圆心, 1为半径的圆是x 轴与y 轴所构成的直角的“夹线圆”.(1)下列各点中，可以作为x 轴与y 轴所构成的直角的“夹线圆”的圆心的点是 ;A （2,2）,B （3,1）,C （-1,0）,D （1，-1）(2)若⊙P 为y 轴和直线 l : 3y x =所构成的锐角的“夹线圆”，且⊙P 的半径为1，求点P 的坐标.(3)若 ⊙Q 为x 轴和直线y x =+Q 的半径12r ≤≤，直接写出点Q 横坐标Q x 的取值范围.数学试题答案一、选择题（本题共16分，每小题2分）9. ( 1 , 2 ) ； 10. 9 : 16； 11. 2 ； 12. 6 ； 13.12 ； 14.答案不唯一,例如:5 ；15. 3 ； 16. 04m ≤≤. 三、解答题（本题共68分，第17-22题，每小题5分，第23-26题,每小题6分，第27,28题,每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.171+1⨯ ………………………3分 334=- 94=- …………………………………………5分18.（1）证明：∵∠ACB =90°，CD ⊥AB 于D∴∠ADC =∠ACB =90°∠A =∠A∴ △ACD ∽△ABC ……………………………3分 （2）解：∵△ACD ∽△ABC ， ∴………………………………………………4分 ∵AD =1，DB =4， ∴∴ (舍负) …………………………………………5分 19. （1）补全的图形如图所示： …………………………2分(2) 90°,直径所对的圆周角是直角，线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.…………………………5分AC ADAB AC =15AC AC=AC A20.解：把（1，0）,（4 ，-3）代入2y x bx c =++ 中，101643b c b c ++=⎧⎨++=-⎩………………………………2分解得：65b c =-⎧⎨=⎩ …………………………………… 4分所以,二次函数的表达式为265y x x =-+ ……………5分 21.解：作CD ⊥AB 于点D ……………………………………… 1分∴∠ADC =90°∵∠A =30°, AC =CD ∴=………………………………………… 2分tan 2CD B BD==∴BD ＝2 ………………………………………………… 4分 ∴在Rt △BCD 中,由勾股定理可得BC =………………………………………………5分22.解：设河宽AB 为x 米 ……………………………………1分∵AB ⊥BD ∴∠ABC =90° ∵∠ACB =45° ∴∠BAC =45° ∴AB =BC =x ∵CD ＝20∴BD ＝20+ x ……………………………………2分 ∵在Rt △ABD 中，∠ADB =25°tan2520AB x BDx ∴==+ ……………………………3分()20tan25x x ∴+= 20tan251tan25x ∴=-x ≈17.7 ………………………………4分答：河宽AB 约为17.7米 ……………………………5分B23.解：(1)点C 的坐标（ 4 , 1）, k 的值是4…………………2分 (2)过O 作OP ∥BC 交4y x=于点P ， 由△OAB ∽△OHP 可得，PH ：OH=1:3 ……………………………………………3分∵点P 在4y x=上 ∴34P P y y ⋅=P y ∴=∴P…………………………………………4分(3) m > 6分24.（1）证明：连接OD ∵OD =OA∴∠ODA=∠OAD ∵CD ⊥AB 于点C ∴∠OAD +∠ADC =90°∴∠ODA +∠ADC = 90° ……………………………1分 ∵∠PDA =∠ADC ∴∠PDA +∠ODA =90° 即∠PDO =90°∴PD ⊥OD …………………………………2分 ∵D 在⊙O 上∴PD 是⊙O 的切线 …………………………………3分 （2）解： ∵∠PDO =90° ∴∠PDC +∠CDO =90°），（33232B∵CD ⊥AB 于点C ∴∠DOC +∠CDO =90°∴∠PDC =∠DOC …………………………………4分4tan 3PDC ∠=4tan 3DOC ∴∠=设DC = 4x ,CO = 3x ,则OD =5x ∵AC =3 ∴OA =3x+3 ∴3x+3=5x ∴x =32∴OC=3x=92, OD=OB=5x =152…………………………………5分 ∴BC=12 …………………………………………6分 25. （1）m 的值约为 2.6 ；…………………………………2分 （2）函数图象……………………………4分（3）①当y > 2时，对应的x 的取值范围约是 0.8< x < 3.5 ;………………………5分② 不存在 . ………………………………………………6分 26.（1）证明：()222454670b acm m m ∆=-=(-)+(-)=-≥所以方程总有两个实数根. ……………………………………2分 （2）解：由（1）()27m ∆=-，根据求根公式可知,方程的两根为：2x =-即1216x x m =-=-+， 由题意，有 365 <-m < +13 < m ∴<…………………………………………………4分(3)解:令 x = 0, y =6m -+∴ M （0，6m -+）由（2）可知抛物线与x 轴的交点为（-1,0）和（6m -+,0）， 它们关于直线的对称点分别为（0 , 1）和（0, 6m -），由题意，可得：6166m m m -+=-+=-或56m m ∴==或 ……….……………………………6分 27.（1）补全的图形如图所示.…………………………1分(2)解:y x =-由题意可知，∠ECF=∠ACG=90°∴∠FCG=∠ACE=α∵过点A 作AB 的垂线AD ∴∠BAD=90° ∵AB=BC,∠ABC =90°, ∴∠ACB=∠CAD= 45° ∵∠ACG=90° ∴∠AGC=45°∴∠AFC =α+45° …………………………………3分（3）AE ,AF 与BC 之间的数量关系为2AE AF BC += …………4分证明：由（2）可知∠DAC=∠AGC=45°∴CA=CG ……………………………………5分 ∵∠ACE =∠GCF ，∠CAE =∠CGF∴△ACE ≌△GCF ………………………………………6分 ∴AE =FG . 在Rt △ACG 中，∴AG =∴AE AF +=∵AC =∴2AE AF BC += …………………………………………7分 28.解：（1）A , D ……………………………………………………2分 （2）如图：过P 点作PA ⊥y 轴于点A ，PB ⊥l 于B ,连PO .∵点B为直线3y x =上一点 ∴设B 点坐标为（x,3x ）设直线3y x =与x 轴夹角为αtan α=∴直线 l 与x 轴的夹角为30°……………………………3分 ∴∠AOB =60°又∵⊙P 与x 轴及直线OB 均相切， ∴OP 平分∠AOB∴∠AOP =30° 又∵AP =1∴P点坐标为(…………………………………………………4分 同理,当P 点在第三象限时，P点坐标为(1,-………………5分 （3）24810Q Q -x x ≤≤≤+7分。
北京大兴区2019年初三上学期年末考试数学试题
北京大兴区2019年初三上学期年末考试数学试题初三数学第一卷〔选择题共32分〕【一】选择题〔共8小题，每题4分，共32分〕在以下各题的四个备选答案中，只有一个是正确的、1.如下图：△ABC中，DE∥BC，AD=5，BD=10，AE=3，那么CE的值为A、4B、6C、8D、102.函数23y x=--的图象顶点是A.〔0，3〕B.〔-1，3〕C.(0,-3)D.(-1,-3)3、∠A为锐角，且sinA<21，那么∠A的取值范围是A.0°<A<30°B.30°<A＜60°C.60°<A<90°D.30°<A<90°4、如图，AB、CD是⊙O的弦，且AB∥CD，假设∠BAD=36°，那么∠AOC等于A、36°B.54°C.72°D.90°5.⊙O的半径为1，点P到圆心O的距离为d，假设抛物线22y x x d=-+与x轴有两个不同的交点，那么点PA、在⊙O的内部B、在⊙O的外部C、在⊙O上D、无法确定6.如图(1)、(2)中各有两个三角形,其边长和角的度数已在图上标注,图(2)中AB、CD交于O点,对于各图中的两个的两个三角形而言,以下说法正确的选项是A.都相似B.都不相似C.只有(1)相似D.只有(2)相似(1)(2)7、有A，B两只不透明口袋，每只口袋里装有两只相同的球，A袋中的两只球上分别写了“细”、“心”的字样，B袋中的两只球上分别写了“信”、“任”的字样，从每只口袋里各摸出一只球，能组成．．“信心”字样的概率是A、43B、32C、31D、418.函数))((bxaxy--=〔其中a b>〕的图象如下面右图所示，那么函数baxy+=的图象可能正确的选项是第二卷〔非选择题共88分〕【二】填空题〔共4小题，每题4分，共16分〕DCBAOCBA9、如图，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，那么sinA=_______.10、如图，矩形ABCD 的对角线BD 的中点经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C 在反比例函数221k k y x++=的图象上.假设点A 的坐标为〔－4，－1〕，那么k 的值为___________.11.在一个不透明的袋中，装有假设干个除颜色不同外其余都相同的球，如果袋中有3个红球且摸到红球的概率为14 ，那么袋中球的总个数为个. 12、现有直径为2的半圆O 和一块等腰直角三角板〔1〕将三角板如图1放置，锐角顶点P 在圆上，斜边经过点B ，一条直角边交圆于点Q ，那么BQ 的长为________；〔2〕将三角板如图2放置，锐角顶点P 在圆上，斜边经过点B ，一条直角边的延长线交圆于Q ，那么BQ 的长为______.图1图2【三】解答题〔此题共30分，每题5分〕 13.计算：2cos30º–tan60º–sin30º.14.二次函数的图象过坐标原点，它的顶点坐标是〔1，－2〕，求这个二次函数的关系式、15.一块直角三角形木板的一条直角边AB 长为1.5米，面积为1.5平方米，要把它加工成一个面积最大的正方形桌面、甲、乙两位同学的加工方法如下图，请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法符合要求(加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留)、16.Rt △ABC 的斜边AB 在平面直角坐标系的x 轴上，点C 〔1，3〕在反比例函数y =kx 的图象上，且sin ∠BAC =35、 〔1〕求k 的值及边AC 的长； 〔2〕求点B 的坐标、 17.二次函数2121y x x =--与反比例函数22y x=-的图像在如下图的同一坐标系中，请根据如图所提供的信息，比较1y 与的大小.18.：如图，△ABC 内接于⊙O ，∠BAC =120°，AB =AC ，BD 为⊙O 的直径，AD =6，求BC 的长. 【四】解答题〔此题共20分，每题5分〕19.某班要从演讲水平相当的甲、乙两人中选派一人参加学校的演讲大赛，为了公平，班委会设计了一个方法，其规那么如下：在一个不透明的袋子里装有形状、大小、质地等完全相同的3个小球，把它们分别标上数字1、2、3，由甲从中随机摸出一个小球，记下小球上的数字；在另一个不透明口袋中装有形状、大小、质地等完全相同的4个小球，把它们分别标上数字1、2、3、4，由乙从口袋中随机摸出一个小球，记下小球上的数字，然后计算出这两个数字的和，假设两个数字的和为奇数，那么选甲去；假设两个数字的和为偶数，那么选乙去、〔1〕请用树状图或列表的方法求甲被选去参加演讲大赛的概率；〔2〕你认为这个方法公平吗？假设公平，请说明理由；假设不公平，请设计一个公平的方法、20.二次函数y =-12x 2-x +32 .〔1〕在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象； 〔2〕根据图象，写出当y ＜0时，x 的取值范围；〔3〕假设将此图象沿x 轴向右平移3的函数关系式、21.如图，在Rt△ABC 中，∠C=90°，53sin =B ，点D 在BC 边上，DC=AC=6，求tan ∠BAD 的值、22.操作：如图①，点O 为线段MN 的中点，直线PQ 与MN 相交于点O ，请利用图①画出一对以点O 为对称中心的全等三角形。
2019-2020学年大兴区人教版九年级(上)期末数学试卷(含答案)
2019-2020学年北京市大兴区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共8个小题，每小题2分，共16分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（2019秋•大兴区期末）抛物线y＝（x﹣1）2﹣4的顶点坐标为（）A．（4，1）B．（1，4）C．（﹣1，4）D．（1，﹣4）2．（2020秋•翼城县期末）将二次函数y＝2x2的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是（）A．y＝2（x+2）2+3B．y＝2（x+2）2﹣3C．y＝2（x﹣2）2﹣3D．y＝2（x﹣2）2+33．（2019秋•大兴区期末）下列说法正确的是（）A．一颗均匀的骰子已连续抛掷了2000次，其中抛掷出5点的次数最少，则第2001次一定抛掷出5点B．抛掷一枚图钉，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等C．明天降雨的概率是80%，表示明天有80%的时间降雨D．某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票一定会中奖4．（2019秋•大兴区期末）如图，在△ABC中，D，E两点分别在边AB，AC上，DE∥BC．若DE：BC＝3：4，则SADE：S△ABC为（）△A．3：4B．4：3C．9：16D．16：95．（2019秋•大兴区期末）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦．若∠BAD＝24°，则∠C的度数为（）A．24°B．56°C．66°D．76°6．（2021•滦南县二模）已知：不在同一直线上的三点A，B，C求作：⊙O，使它经过点A，B，C作法：如图，（1）连接AB，作线段AB的垂直平分线DE；（2）连接BC，作线段BC的垂直平分线FG，交DE于点O；（3）以O为圆心，OB长为半径作⊙O．⊙O就是所求作的圆．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中正确的是（）A．连接AC，则点O是△ABC的内心B．C．连接OA，OC，则OA，OC不是⊙O的半径D．若连接AC，则点O在线段AC的垂直平分线上7．（2019秋•大兴区期末）圆心角为120°的扇形的半径是3cm，则这个扇形的面积是（）A．6πcm2B．3πcm2C．9πcm2D．πcm28．（2019秋•大兴区期末）矩形ABCD中，AB＝10，BC＝4，点P在边AB上，且BP：AP＝4：1，如果⊙P是以点P为圆心，PD长为半径的圆，那么下列结论正确的是（）A．点B、C均在⊙P外B．点B在⊙P外，点C在⊙P内C．点B在⊙P内，点C在⊙P外D．点B、C均在⊙P内二、填空题（本大题共8个小题，每小题2分，共16分）9．（2021•成都模拟）已知点A（a1，b1）与点B（a2，b2），两点都在反比例函数的图象上，且0＜a1＜a2，那么b1b2．10．（2021春•柳南区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝3，则sin A的值是．11．（2019秋•大兴区期末）在半径为3cm的圆中，长为πcm的弧所对的圆心角的度数为．12．（2019秋•大兴区期末）如图，为测量某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE＝10m，EC ＝5m，CD＝8m，则河的宽度AB长为m．13．（2019秋•永吉县期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝20，CD＝16，那么线段OE的长为．14．（2019秋•大兴区期末）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点的坐标分别是（﹣3，0），（2，0），则方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解是．15．（2019秋•大兴区期末）若点（1，5），（5，5）是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上的两个点，则此抛物线的对称轴是直线．16．（2019秋•大兴区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直角三角形的直角顶点与原点O重合，顶点A，B恰好分别落在函数y＝﹣（x＜0），y＝（x＞0）的图象上，则tan∠ABO的值为．三、解答题（本大题共12个小题，共68分.其中第17-21题，每小题5分，第22-24题，每小题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17．（2019秋•大兴区期末）计算：﹣﹣2sin45°+（2﹣π）0﹣（﹣）﹣1．18．（2019秋•大兴区期末）抛物线y＝﹣x2+bx+c过点（0，﹣5）和（2，1）．（1）求b，c的值；（2）当x为何值时，y有最大值？19．（2019秋•大兴区期末）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+4与反比例函数y＝（k≠0）图象的一个交点为A（a，2），求k的值．20．（2019秋•大兴区期末）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于E，连接AC、OC、BC．求证：∠ACO＝∠BCD．21．（2019秋•大兴区期末）北京市第十五届人大常委会第十六次会议表决通过《关于修改＜北京市生活垃圾管理条例＞的决定》，规定将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物、有害垃圾、其它垃圾四大基本品类，修改后的条例将于2020年5月1日实施．某小区决定在2020年1月到3月期间在小区内设置四种垃圾分类箱：厨余垃圾、可回收物、有害垃圾、其它垃圾，分别记为A、B、C、D，进行垃圾分类试投放，以增强居民垃圾分类意识．（1）小明家按要求将自家的生活垃圾分成了四类，小明从分好类的垃圾中随机拿了一袋，并随机投入一个垃圾箱中，请用画树状图的方法求垃圾投放正确的概率；（2）为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该小区四类垃圾箱中共1000千克生活垃圾，数据统计如下（单位：千克）：A B C D厨余垃圾4001004060可回收物251402015有害垃圾5206015其它垃圾25152040求“厨余垃圾”投放正确的概率．22．（6分）（2019秋•大兴区期末）图中是抛物线形拱桥，当水面宽为4米时，拱顶距离水面2米；当水面高度下降1米时，水面宽度为多少米？23．（6分）（2020•广陵区二模）如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，E是的中点，连接AE交BC于点F，∠ACB＝2∠EAB．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若cos C＝，AC＝8，求BF的长．24．（6分）（2019秋•大兴区期末）如图，O是所在圆的圆心，C是上一动点，连接OC交弦AB于点D．已知AB＝9.35cm，设A，D两点间的距离为xcm，O，D两点间的距离为y1cm，C，D两点间的距离为y2cm．小腾根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值：x/cm0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.007.108.009.35y1/cm 4.93 3.99m 2.28 1.70 1.59 2.04 2.88 3.67 4.93y2/cm0.000.94 1.83 2.65 3.23 3.34 2.89 2.05 1.260.00（2）①在同一平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出（1）中所确定的函数y1，y2的图象；②观察函数y1的图象，可得m＝cm（结果保留一位小数）；（3）结合函数图象，解决问题：当OD＝CD时，AD的长度约为cm（结果保留一位小数）．25．（2019秋•大兴区期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝（x﹣1）2﹣1与x轴的交点为A，B （点A在点B的左侧）．（1）求点A，B的坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫整点．①直接写出线段AB上整点的个数；②将抛物线y＝（x﹣1）2﹣1沿x翻折，得到新抛物线，直接写出新抛物线在x轴上方的部分与线段AB所围成的区域内（包括边界）整点的个数．26．（6分）（2020•朝阳区校级模拟）函数y＝x2﹣（m﹣1）x+1的图象的对称轴为直线x＝1．（1）求m的值；（2）将函数y＝x2﹣（m﹣1）x+1的图象向右平移2个单位，得到新的函数图象G．①直接写出函数图象G的表达式；②设直线y＝﹣2x+2t（t＞m）与x轴交于点A，与y轴交于点B，当线段AB与图象G只有一个公共点时，直接写出t的取值范围．27．（7分）（2019秋•大兴区期末）已知：如图，B，C，D三点在⨀A上，∠BCD＝45°，PA是钝角△ABC 的高线，PA的延长线与线段CD交于点E．（1）请在图中找出一个与∠CAP相等的角，这个角是；（2）用等式表示线段AC，EC，ED之间的数量关系，并证明．28．（7分）（2019秋•大兴区期末）在平面直角坐标系xOy中，已知P（a，b），R（c，d）两点，且a≠c，b≠d，若过点P作x轴的平行线，过点R作y轴的平行线，两平行线交于一点S，连接PR，则称△PRS 为点P，R，S的“坐标轴三角形”．若过点R作x轴的平行线，过点P作y轴的平行线，两平行线交于一点S′，连接PR，则称△RPS′为点R，P，S′的“坐标轴三角形”．右图为点P，R，S的“坐标轴三角形”的示意图．（1）已知点A（0，4），点B（3，0），若△ABC是点A，B，C的“坐标轴三角形”，则点C的坐标为；（2）已知点D（2，1），点E（e，4），若点D，E，F的“坐标轴三角形”的面积为3，求e的值．（3）若⨀O的半径为，点M（m，4）．若在⨀O上存在一点N，使得点N，M，G的“坐标轴三角形”为等腰三角形，求m的取值范围．2019-2020学年北京市大兴区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8个小题，每小题2分，共16分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（2019秋•大兴区期末）抛物线y＝（x﹣1）2﹣4的顶点坐标为（）A．（4，1）B．（1，4）C．（﹣1，4）D．（1，﹣4）【考点】二次函数的性质．【专题】二次函数图象及其性质；模型思想．【分析】根据抛物线y＝（x﹣1）2﹣4，可以直接写出该抛物线的顶点坐标，本题得以解决．【解答】解：∵抛物线y＝（x﹣1）2﹣4，∴该抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），故选：D．【点评】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．2．（2020秋•翼城县期末）将二次函数y＝2x2的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的表达式是（）A．y＝2（x+2）2+3B．y＝2（x+2）2﹣3C．y＝2（x﹣2）2﹣3D．y＝2（x﹣2）2+3【考点】二次函数图象与几何变换．【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将二次函数y＝2x2的图象先向右平移2个单位所得函数的解析式为：y＝2（x﹣2）2；由“上加下减”的原则可知，将二次函数y＝2（x﹣2）2的图象先向下平移3个单位所得函数的解析式为：y＝2（x﹣2）2﹣3．故选：C．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象几何变换的法则是解答此题的关键．3．（2019秋•大兴区期末）下列说法正确的是（）A．一颗质地均匀的骰子已连续抛掷了2000次，其中抛掷出5点的次数最少，则第2001次一定抛掷出5点B．抛掷一枚图钉，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等C．明天降雨的概率是80%，表示明天有80%的时间降雨D．某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票一定会中奖【考点】概率的意义；列表法与树状图法．【专题】概率及其应用；数据分析观念．【分析】事件发生的可能性越大，概率越接近与1，事件发生的可能性越小，概率越接近于0．依据概率的意义进行判断即可．【解答】解：A．一颗质地均匀的骰子已连续抛掷了2000次，其中抛掷出5点的次数最少，则第2001次不一定抛掷出5点，本选项错误；B．抛掷一枚图钉，钉尖触地和钉尖朝上的概率不相等，本选项正确；C．明天降雨的概率是80%，表示明天不一定有80%的时间降雨，本选项错误；D．某种彩票中奖的概率是1%，因此买100张该种彩票不一定会中奖，本选项错误；故选：B．【点评】本题主要考查了概率的意义，概率是频率（多个）的波动稳定值，是对事件发生可能性大小的量的表现．4．（2019秋•大兴区期末）如图，在△ABC中，D，E两点分别在边AB，AC上，DE∥BC．若DE：BC＝3：4，则SADE：S△ABC为（）△A．3：4B．4：3C．9：16D．16：9【考点】相似三角形的判定与性质．【专题】图形的相似；几何直观．【分析】由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC，再利用相似三角形的性质可求出SADE：S△ABC的值．△【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝．故选：C．【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．5．（2019秋•大兴区期末）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦．若∠BAD＝24°，则∠C的度数为（）A．24°B．56°C．66°D．76°【考点】圆周角定理．【专题】圆的有关概念及性质；几何直观．【分析】利用圆周角定理，由AB是⊙O的直径得到∠ADB＝90°，再根据互余得到∠B的度数，然后根据圆周角得到∠C的度数．【解答】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠B＝90°﹣∠BAD＝90°﹣24°＝66°，∴∠C＝∠B＝66°．故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．6．（2021•滦南县二模）已知：不在同一直线上的三点A，B，C求作：⊙O，使它经过点A，B，C作法：如图，（1）连接AB，作线段AB的垂直平分线DE；（2）连接BC，作线段BC的垂直平分线FG，交DE于点O；（3）以O为圆心，OB长为半径作⊙O．⊙O就是所求作的圆．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中正确的是（）A．连接AC，则点O是△ABC的内心B．C．连接OA，OC，则OA，OC不是⊙O的半径D．若连接AC，则点O在线段AC的垂直平分线上【考点】三角形的内切圆与内心；作图—复杂作图．【专题】作图题；应用意识．【分析】根据三角形的外心的定义和性质一一判断即可．【解答】解：连接AC．由作图可知，点O是△ABC的外心，∴点O在线段AC的垂直平分线上，故选：D．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．7．（2019秋•大兴区期末）圆心角为120°的扇形的半径是3cm，则这个扇形的面积是（）A．6πcm2B．3πcm2C．9πcm2D．πcm2【考点】扇形面积的计算．【专题】计算题．【分析】根据扇形的面积公式S＝计算可得答案．【解答】解：扇形的面积公式＝＝3πcm2，故选：B．【点评】本题考查扇形的面积公式．8．（2019秋•大兴区期末）矩形ABCD中，AB＝10，BC＝4，点P在边AB上，且BP：AP＝4：1，如果⊙P是以点P为圆心，PD长为半径的圆，那么下列结论正确的是（）A．点B、C均在⊙P外B．点B在⊙P外，点C在⊙P内C．点B在⊙P内，点C在⊙P外D．点B、C均在⊙P内【考点】矩形的性质；点与圆的位置关系．【专题】矩形菱形正方形；与圆有关的位置关系；推理能力．【分析】先求出AP的长，然后利用勾股定理求得圆P的半径PD的长，根据点B、C到P点的距离判断点P与圆的位置关系即可．【解答】解：如图，∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC＝4，∵AB＝10，BP：AP＝4：1，∴AP＝2，BP＝8，在Rt△ADP中，∵AP＝2，AD＝4，∴DP＝＝＝6，在Rt△PBC中，CP＝＝＝4，∵8＞6，4＞6，∴点B，点C均在⊙P外，故选：A．【点评】本题考查了矩形的性质，点与圆的位置关系的判定，根据点与圆心之间的距离和圆的半径的大小关系作出判断即可．二、填空题（本大题共8个小题，每小题2分，共16分）9．（2021•成都模拟）已知点A（a1，b1）与点B（a2，b2），两点都在反比例函数的图象上，且0＜a1＜a2，那么b1＜b2．【考点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】先判断出函数图象所在的象限，再根据其增减性解答即可．【解答】解：∵k＜0，∴函数图象在二，四象限，∵0＜a1＜a2，∴两点都在第二象限，y随x的增大而增大，∴b1＜b2．故答案为b1＜b2．【点评】本题考查在二四象限一个分支上的点的特点：y随x的增大而增大．10．（2021春•柳南区校级期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，BC＝3，则sin A的值是．【考点】锐角三角函数的定义．【专题】解直角三角形及其应用；运算能力．【分析】根据正弦的定义计算，得到答案．【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，则sin A＝＝，故答案为：．【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A的对边a与斜边c的比叫做∠A的正弦是解题的关键．11．（2019秋•大兴区期末）在半径为3cm的圆中，长为πcm的弧所对的圆心角的度数为60°．【考点】弧长的计算．【专题】与圆有关的计算；应用意识．【分析】利用弧长公式计算即可．【解答】解：设圆心角为n°．由题意：＝π，解得n＝60，故答案为60°．【点评】本题考查弧长公式，解题的关键是记住弧长公L＝．12．（2019秋•大兴区期末）如图，为测量某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE＝10m，EC ＝5m，CD＝8m，则河的宽度AB长为16m．【考点】相似三角形的应用．【专题】二次函数图象及其性质；应用意识．【分析】判断出△ABE和△DCE相似，再根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．【解答】解：∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴∠ABE＝∠DCE＝90°，又∵∠AEB＝∠DEC（对顶角相等），∴△ABE∽△DCE，∴＝，即＝，解得AB＝16m．故答案为：16．【点评】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质，熟记性质并求出三角形相似是解题的关键．13．（2019秋•永吉县期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB＝20，CD＝16，那么线段OE的长为6．【考点】勾股定理；垂径定理．【分析】连接OD，由直径AB与弦CD垂直，根据垂径定理得到E为CD的中点，由CD的长求出DE 的长，又由直径的长求出半径OD的长，在直角三角形ODE中，由DE及OD的长，利用勾股定理即可求出OE的长．【解答】解：如图所示，连接OD．∵弦CD⊥AB，AB为圆O的直径，∴E为CD的中点，又∵CD＝16，∴CE＝DE＝CD＝8，又∵OD＝AB＝10，∵CD⊥AB，∴∠OED＝90°，在Rt△ODE中，DE＝8，OD＝10，根据勾股定理得：OE2+DE2＝OD2，∴OE＝＝6，则OE的长度为6．【点评】此题考查了垂径定理，勾股定理，解答此类题常常利用垂径定理由垂直得中点，进而由弦长的一半，弦心距及圆的半径构造直角三角形，利用勾股定理来解决问题．14．（2019秋•大兴区期末）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点的坐标分别是（﹣3，0），（2，0），则方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的解是x1＝﹣3，x2＝2．【考点】抛物线与x轴的交点．【专题】计算题．【分析】根据抛物线与x轴的交点的意义得到当x＝﹣3或x＝2时，y＝0，即可得到方程ax2+bx+c＝0的解．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的两个交点的坐标分别是（﹣3，0），（2，0），∴当x＝﹣3或x＝2时，y＝0，即方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣3，x2＝2．故答案为x1＝﹣3，x2＝2．【点评】本题考查了抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴的交点：抛物线与x轴的交点的意义就是当x 取交点的横坐标时，函数值y等于0，即方程ax2+bx+c＝0的解为交点的横坐标．15．（2019秋•大兴区期末）若点（1，5），（5，5）是抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上的两个点，则此抛物线的对称轴是直线x＝3．【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．【专题】二次函数图象及其性质；推理能力．【分析】根据抛物线的对称性即可确定抛物线对称轴．【解答】解：∵点（1，5），（5，5）是抛物线y＝ax2+bx+c上的两个点，且纵坐标相等．∴根据抛物线的对称性知道抛物线对称轴是直线x＝＝3．故答案为：x＝3．【点评】本题考查了抛物线的对称性，是比较灵活的题目．16．（2019秋•大兴区期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，直角三角形的直角顶点与原点O重合，顶点A，B恰好分别落在函数y＝﹣（x＜0），y＝（x＞0）的图象上，则tan∠ABO的值为．【考点】反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；解直角三角形．【专题】反比例函数及其应用；运算能力．【分析】点A，B落在函数y＝﹣（x＜0），y＝（x＞0）的图象上，根据反比例函数的几何意义，可得直角三角形的面积；根据题意又可知这两个直角三角形相似，而相似比恰好是直角三角形AOB的两条直角边的比，从而得出答案．【解答】解：过点A、B分别作AD⊥x轴，BE⊥x轴，垂足为D、E，∵点A在反比例函数y＝﹣（x＜0）上，点B在y＝（x＞0）上，∴SAOD＝，S△BOE＝2，△又∵∠AOB＝90°∴∠AOD＝∠OBE，∴△AOD∽△OBE，∴（）2＝，∴＝，在RtAOB中，tan∠ABO＝＝，故答案为．【点评】考查反比例函数的几何意义、相似三角形的性质，将面积比转化为相似比，求出tan∠ABO的值．三、解答题（本大题共12个小题，共68分.其中第17-21题，每小题5分，第22-24题，每小题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每小题7分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 17．（2019秋•大兴区期末）计算：﹣﹣2sin45°+（2﹣π）0﹣（﹣）﹣1．【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【专题】实数；符号意识．【分析】直接利用特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质和负整数指数幂的性质分别化简得出答案．【解答】解：原式＝﹣2﹣2×+1+3＝﹣2﹣+1+3＝﹣3+4．【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．18．（2019秋•大兴区期末）抛物线y＝﹣x2+bx+c过点（0，﹣5）和（2，1）．（1）求b，c的值；（2）当x为何值时，y有最大值？【考点】二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值．【专题】二次函数图象及其性质；运算能力．【分析】（1）把（0，﹣5）和（2，1）代入抛物线，得出方程组，求出方程组的解，即可得出抛物线的解析式；（2）根据二次函数的性质，对称轴方程即可求得结论．【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+bx+c过点（0，﹣5）和（2，1）．∴，解得，∴b，c的值分别为5，﹣5．（2）∵抛物线y＝﹣x2+5x﹣5中，a＝﹣1＜0，∴当x＝﹣＝时y有最大值．【点评】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练掌握对称轴方程是解题的关键，难度适中．19．（2019秋•大兴区期末）在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+4与反比例函数y＝（k≠0）图象的一个交点为A（a，2），求k的值．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【专题】一次函数及其应用；反比例函数及其应用；运算能力．【分析】把A的坐标代入y＝﹣x+4，即可求得a的值，再代入y＝就可求得k的值．【解答】解：∵直线y＝﹣x+4与反比例函数y＝（k≠0）图象的一个交点为A（a，2），∴2＝﹣a+4，即a＝2，∴点A坐标为（2，2）∴2＝，即k＝4．【点评】此题考查的是一次函数与反比例函数的交点，待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点．20．（2019秋•大兴区期末）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的一条弦，且CD⊥AB于E，连接AC、OC、BC．求证：∠ACO＝∠BCD．【考点】圆周角定理．【专题】圆的有关概念及性质；几何直观．【分析】先根据垂径定理得到，再根据圆周角定理得到∠A＝∠BCD，加上∠ACO＝∠A．然后利用等量代换得到结论．【解答】证明：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴，∴∠A＝∠BCD，又∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A．∴∠ACO＝∠BCD．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．21．（2019秋•大兴区期末）北京市第十五届人大常委会第十六次会议表决通过《关于修改＜北京市生活垃圾管理条例＞的决定》，规定将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物、有害垃圾、其它垃圾四大基本品类，修改后的条例将于2020年5月1日实施．某小区决定在2020年1月到3月期间在小区内设置四种垃圾分类箱：厨余垃圾、可回收物、有害垃圾、其它垃圾，分别记为A、B、C、D，进行垃圾分类试投放，以增强居民垃圾分类意识．（1）小明家按要求将自家的生活垃圾分成了四类，小明从分好类的垃圾中随机拿了一袋，并随机投入一个垃圾箱中，请用画树状图的方法求垃圾投放正确的概率；（2）为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该小区四类垃圾箱中共1000千克生活垃圾，数据统计如下（单位：千克）：A B C D厨余垃圾4001004060可回收物251402015有害垃圾5206015其它垃圾25152040求“厨余垃圾”投放正确的概率．【考点】统计表；概率公式；列表法与树状图法．【专题】概率及其应用；运算能力．【分析】（1）根据题意画出树状图得出所有情况数，再求出垃圾投放正确的情况数，最后根据概率公式计算即可．（2）用厨余垃圾数量除以总的数量即可．【解答】解：（1）四类垃圾随机投入四类垃圾箱的所有结果用树状图表示如下：由树状图可知垃圾投放正确的概率为＝；（2）根据题意得：＝，答：厨余垃圾投放正确的概率为．【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．22．（6分）（2019秋•大兴区期末）图中是抛物线形拱桥，当水面宽为4米时，拱顶距离水面2米；当水面高度下降1米时，水面宽度为多少米？【考点】二次函数的应用．【专题】应用题．【分析】根据已知得出直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再根据通过把y＝﹣1代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．【解答】解：建立平面直角坐标系如图：则抛物线顶点C坐标为（0，2），设抛物线解析式y＝ax2+2，将A点坐标（﹣2，0）代入，可得：0＝4a+2，解得：a＝﹣0.5，故抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2，当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y＝﹣1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y＝﹣1与抛物线相交的两点之间的距离，将y＝﹣1代入抛物线解析式得出：﹣1＝﹣0.5x2+2，解得：x＝±，所以水面宽度为2米．【点评】此题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键，难度一般．23．（6分）（2020•广陵区二模）如图，AB是⊙O的直径，BC交⊙O于点D，E是的中点，连接AE交BC于点F，∠ACB＝2∠EAB．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若cos C＝，AC＝8，求BF的长．【考点】垂径定理；圆周角定理；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形．【专题】综合题；数形结合；与圆有关的位置关系；与圆有关的计算；图形的相似；解直角三角形及其应用；运算能力；推理能力．【分析】（1）如图①，连接AD．根据直径所对的圆周角为直角及同圆中等弧所对的圆周角相等，及∠ACB＝2∠EAB．求得∠BAD+∠CAD＝90°，则BA⊥AC，根据切线的判定定理可得证；（2）如图②，过点F做FH⊥AB于点H，先在Rt△ADC和Rt△BAC中，分别求得CD、BC、BD．再在Rt△BFH中，由三角函数可求得FH及DF，则可用BD的值减去DF的值，求得BF．【解答】（1）证明：如图①，连接AD．图①∵E是的中点，∴∴∠DAE＝∠EAB．∵∠C＝2∠EAB，∴∠C＝∠BAD．∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝∠ADC＝90°∴∠C+∠CAD＝90°∴∠BAD+∠CAD＝90°即BA⊥AC．∴AC是⊙O的切线．（2）解：如图②，过点F做FH⊥AB于点H．图②∵AD⊥BD，∠DAE＝∠EAB，∴FH＝FD，且FH∥AC．在Rt△ADC中，∵cos C＝，AC＝8，∴CD＝6．同理，在Rt△BAC中，可求得BC＝∴BD＝设DF＝x，则FH＝x，BF＝﹣x∵FH∥AC，∴∠BFH＝∠C．∴cos∠BFH＝＝即＝解得x＝2．∴BF＝．【点评】本题考查了圆的切线的判定定理及三角函数在线段求值中的应用，熟练掌握相关定理及相似或三角函数的计算技巧，是解题的关键．24．（6分）（2019秋•大兴区期末）如图，O是所在圆的圆心，C是上一动点，连接OC交弦AB于点D．已知AB＝9.35cm，设A，D两点间的距离为xcm，O，D两点间的距离为y1cm，C，D两点间的距离为y2cm．小腾根据学习函数的经验，分别对函数y1，y2随自变量x的变化而变化的规律进行了探究．下面是小腾的探究过程，请补充完整：（1）按照下表中自变量x的值进行取点、画图、测量，分别得到了y1，y2与x的几组对应值：x/cm0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.007.108.009.35y1/cm 4.93 3.99m 2.28 1.70 1.59 2.04 2.88 3.67 4.93y2/cm0.000.94 1.83 2.65 3.23 3.34 2.89 2.05 1.260.00（2）①在同一平面直角坐标系xOy中，描出表中各组数值所对应的点（x，y1），（x，y2），并画出（1）中所确定的函数y1，y2的图象；②观察函数y1的图象，可得m＝ 3.1cm（结果保留一位小数）；（3）结合函数图象，解决问题：当OD＝CD时，AD的长度约为 6.6或2.8cm（结果保留一位小数）．【考点】圆的综合题．【专题】综合题；圆的有关概念及性质；运算能力；模型思想；应用意识．【分析】（2）①利用描点法画出图形即可解决问题；②根据题意利用图象法即可解决问题；（3）利用函数图象，当y1＝y2时，x＝6.6cm或2.8cm即可解决问题．【解答】解：（2）①如下图：②观察图象可得：x＝2时，y1＝3.1cm，∴m＝3.1，故答案为：3.1cm．（3）观察图象可知：当OD＝CD时，即当y1＝y2时，x＝6.6或2.8，故答案为：6.6或2.8．【点评】本题考查圆综合题，动点问题，圆的有关知识，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题．25．（2019秋•大兴区期末）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝（x﹣1）2﹣1与x轴的交点为A，B （点A在点B的左侧）．（1）求点A，B的坐标；（2）横、纵坐标都是整数的点叫整点．。
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北京市大兴区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．抛物线y=（﹣2）2+3的顶点坐标是（）A．（﹣2，3）B．（2，3）C．（2，﹣3）D．（﹣3，2）2．如图，点A，B，P是⊙O上的三点，若∠AOB=40°，则∠APB的度数为（）A．80°B．140°C．20°D．50°3．已知反比例函数y=，当＞0时，y随的增大而增大，则m的取值范围是（）A．m＜2B．m＞2C．m≤2D．m≥24．在半径为12cm的圆中，长为4πcm的弧所对的圆心角的度数为（）A．10°B．60°C．90°D．120°5．将二次函数y=52的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的解析式为（）A．y=5（+2）2+3B．y=5（﹣2）2+3C．y=5（+2）2﹣3D．y=5（﹣2）2﹣36．为测量某河的宽度，小军在河对岸选定一个目标点A，再在他所在的这一侧选点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，然后找出AD与BC的交点E．如图所示，若测得BE=90m，EC=45m，CD=60m，则这条河的宽AB等于（）A．120m B．67.5m C．40m D．30m7．根据研究，人体内血乳酸浓度升高是运动后感觉疲劳的重要原因，运动员未运动时，体内血乳酸浓度水平通常在40mg/L以下；如果血乳酸浓度降到50mg/L以下，运动员就基本消除了疲劳，体育科研工作者根据实验数据，绘制了一副图象，它反映了运动员进行高强度运动后，体内血乳酸浓度随时间变化而变化的函数关系．下列叙述正确的是（）A．运动后40min时，采用慢跑活动方式放松时的血乳酸浓度与采用静坐方式休息时的血乳酸浓度相同B．运动员高强度运动后最高血乳酸浓度大约为350mg/LC．运动员进行完剧烈运动，为了更快达到消除疲劳的效果，应该采用慢跑活动方式放松D．采用慢跑活动方式放松时，运动员必须慢跑80min后才能基本消除疲劳8．如图显示了用计算机模拟随机抛掷一枚硬币的某次实验的结果下面有三个推断：①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，所以“正面向上”的概率是0.47；②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5；③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率一定是0.45．其中合理的是（）A．①B．②C．①②D．①③二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=2，则tanB的值是．10．计算：2sin60°﹣tan 45°+4cos30°=．11．若△ABC∽△DEF，且对应边BC与EF的比为2：3，则△ABC与△DEF的面积比等于．12．请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，2）的抛物线的表达式：．13．如图，在半径为5cm的⊙O中，如果弦AB的长为8cm，OC⊥AB，垂足为C，那么OC的长为cm．14．圆心角为160°的扇形的半径为9cm，则这个扇形的面积是cm2．15．若函数y=a2+3+1的图象与轴有两个交点，则a的取值范围是．16．下面是“作出所在的圆”的尺规作图过程．已知：．求作：所在的圆．作法：如图，（1）在上任取三个点D，C，E；（2）连接DC，EC；（3）分别作DC和EC的垂直平分线，两垂直平分线的交点为点O．（4）以 O为圆心，OC长为半径作圆，所以⊙O即为所求作的所在的圆．请回答：该尺规作图的依据是．三、解答题（本题共68分）17．（5分）如图，在平面直角坐标系Oy中，一次函数y=﹣2的图象与反比例函数y=的图象的一个交点为A（﹣1，n）．求反比例函数y=的表达式．18．（5分）已知二次函数y=2+4+3．（1）用配方法将y=2+4+3化成y=a（﹣h）2+的形式；（2）在平面直角坐标系Oy中，画出这个二次函数的图象．19．（5分）已知：如图，在△ABC中，D，E分别为AB、AC边上的点，且AD=AE，连接DE．若AC=3，AB=5．求证：△ADE∽△ACB．20．（5分）已知：如图，在△ABC中，AB=AC=8，∠A=120°，求BC的长．21．（5分）已知：如图，⊙O的直径AB的长为5cm，C为⊙O上的一个点，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求BD的长．22．（5分）在一次社会大课堂的数学实践活动中，王老师要求同学们测量教室窗户边框上的点C到地面的距离即CD的长，小英测量的步骤及测量的数据如下：（1）在地面上选定点A，B，使点A，B，D在同一条直线上，测量出A、B两点间的距离为9米；（2）在教室窗户边框上的点C点处，分别测得点A，B的俯角∠ECA=35°，∠ECB=45°．请你根据以上数据计算出CD的长．（可能用到的参考数据：sin35°≈0.57 cos35°≈0.82 tan35°≈0.70）23．（5分）已知：如图，ABCD是一块边长为2米的正方形铁板，在边AB上选取一点M，分别以AM和MB为边截取两块相邻的正方形板料．当AM的长为何值时，截取两块相邻的正方形板料的总面积最小？24．（5分）已知：如图，AB是半圆O的直径，D是半圆上的一个动点（点D不与点A，B 重合），∠CAD=∠B（1）求证：AC是半圆O的切线；（2）过点O作BD的平行线，交AC于点E，交AD于点F，且EF=4，AD=6，求BD的长．25．（5分）如图，AB=6cm ，∠CAB=25°，P 是线段AB 上一动点，过点P 作PM ⊥AB 交射线AC 于点M ，连接MB ，过点P 作PN ⊥MB 于点N ．设A ，P 两点间的距离为cm ，P ，N 两点间的距离为ycm ．（当点P 与点A 或点B 重合时，y 的值均为0）小海根据学习函数的经验，对函数y 随自变量的变化而变化的规律进行了探究． 下面是小海的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了与y 的几组值，如下表：（说明：补全表格时相关数值保留两位小数）（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当y=0.5时，与之对应的值的个数是 ．26．（7分）已知一次函数y 1=﹣1，二次函数y 2=2﹣m+4（其中m ＞4）． （1）求二次函数图象的顶点坐标（用含m 的代数式表示）； （2）利用函数图象解决下列问题：①若m=5，求当y 1＞0且y 2≤0时，自变量的取值范围；②如果满足y 1＞0且y 2≤0时自变量的取值范围内有且只有一个整数，直接写出m 的取值范围．27．（8分）已知：如图，AB 为半圆O 的直径，C 是半圆O 上一点，过点C 作AB 的平行线交⊙O 于点E ，连接AC 、BC 、AE ，EB ．过点C 作CG ⊥AB 于点G ，交EB 于点H ．（1）求证：∠BCG=∠EBG；（2）若sin∠CAB=，求的值．28．（8分）一般地，我们把半径为1的圆叫做单位圆，在平面直角坐标系Oy中，设单位圆的圆心与坐标原点O重合，则单位圆与轴的交点分别为（1，0），（﹣1，0），与y轴的交点分别为（0，1），（0，﹣1）．在平面直角坐标系Oy中，设锐角a的顶点与坐标原点O重合，a的一边与轴的正半轴重合，另一边与单位圆交于点P（1，y1），且点P在第一象限．（1）1= （用含a的式子表示）；y1= （用含a的式子表示）；（2）将射线OP绕坐标原点O按逆时针方向旋转90°后与单位圆交于点Q（2，y2）．①判断y1与2的数量关系，并证明；②y1+y2的取值范围是：．北京市大兴区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共16分，每小题2分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1．抛物线y=（﹣2）2+3的顶点坐标是（）A．（﹣2，3）B．（2，3）C．（2，﹣3）D．（﹣3，2）【分析】由于抛物线y=a（﹣h）2+的顶点坐标为（h，），由此即可求解．【解答】解：∵抛物线y=（﹣2）2+3，∴顶点坐标为：（2，3）．故选：B．【点评】此题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握抛物线的顶点坐标公式即可解决问题．2．如图，点A，B，P是⊙O上的三点，若∠AOB=40°，则∠APB的度数为（）A．80°B．140°C．20°D．50°【分析】直接利用圆周角定理求解．【解答】解：∠APB=∠AOB=×40°=20°．故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．3．已知反比例函数y=，当＞0时，y随的增大而增大，则m的取值范围是（）A．m＜2B．m＞2C．m≤2D．m≥2【分析】先根据反比例函数y=，当＞0时y随的增大而增大判断出1﹣2m的符号，求出m 的取值范围即可．【解答】解：∵反比例函数y=，当＞0时y随的增大而增大，∴m﹣2＜0，∴m＜2．故选：A．【点评】本题考查的是反比例函数的性质，根据题意判断出1﹣2m的符号是解答此题的关键．4．在半径为12cm的圆中，长为4πcm的弧所对的圆心角的度数为（）A．10°B．60°C．90°D．120°【分析】根据弧长的计算公式：l=（弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为r），代入即可求出圆心角的度数．【解答】解：根据弧长的公式l=，得到：4π=，解得n=60°，故选：B．【点评】本题考查了弧长的计算，解答本题关键是熟练掌握弧长的计算公式，及公式字母表示的含义．5．将二次函数y=52的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，得到的函数图象的解析式为（）A．y=5（+2）2+3B．y=5（﹣2）2+3C．y=5（+2）2﹣3D．y=5（﹣2）2﹣3【分析】直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．【解答】解：由“左加右减”的原则可知，将二次函数y=52的图象先向右平移2个单位所得函数的解析式为：y=5（﹣2）2；由“上加下减”的原则可知，将二次函数y=5（﹣2）2的图象先向下平移3个单位所得函数的解析式为：y=5（﹣2）2﹣3．故选：D．【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象几何变换的法则是解答此题的关键．6．为测量某河的宽度，小军在河对岸选定一个目标点A，再在他所在的这一侧选点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，然后找出AD与BC的交点E．如图所示，若测得BE=90m，EC=45m，CD=60m，则这条河的宽AB等于（）A．120m B．67.5m C．40m D．30m【分析】由两角对应相等可得△BAE∽△CDE，利用对应边成比例可得两岸间的大致距离AB．【解答】解：∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴△BAE∽△CDE，∴，∵BE=90m，CE=45m，CD=60m，∴，解得：AB=120，故选：A．【点评】考查相似三角形的应用；用到的知识点为：两角对应相等的两三角形相似；相似三角形的对应边成比例．7．根据研究，人体内血乳酸浓度升高是运动后感觉疲劳的重要原因，运动员未运动时，体内血乳酸浓度水平通常在40mg/L以下；如果血乳酸浓度降到50mg/L以下，运动员就基本消除了疲劳，体育科研工作者根据实验数据，绘制了一副图象，它反映了运动员进行高强度运动后，体内血乳酸浓度随时间变化而变化的函数关系．下列叙述正确的是（）A．运动后40min时，采用慢跑活动方式放松时的血乳酸浓度与采用静坐方式休息时的血乳酸浓度相同B．运动员高强度运动后最高血乳酸浓度大约为350mg/LC．运动员进行完剧烈运动，为了更快达到消除疲劳的效果，应该采用慢跑活动方式放松D．采用慢跑活动方式放松时，运动员必须慢跑80min后才能基本消除疲劳【分析】根据函数图象横纵坐标表示的意义判断即可．【解答】解：A、运动后40min时，采用慢跑活动方式放松时的血乳酸浓度与采用静坐方式休息时的血乳酸浓度不同，错误；B、运动员高强度运动后最高血乳酸浓度大约为200mg/L，错误；C、运动员进行完剧烈运动，为了更快达到消除疲劳的效果，应该采用慢跑活动方式放松，正确；D、采用慢跑活动方式放松时，运动员必须慢跑40min后才能基本消除疲劳，错误；故选：C．【点评】本题考查了函数的图象，解答本题的关键是正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．8．如图显示了用计算机模拟随机抛掷一枚硬币的某次实验的结果下面有三个推断：①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，所以“正面向上”的概率是0.47；②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5；③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率一定是0.45．其中合理的是（）A．①B．②C．①②D．①③【分析】随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5，据此进行判断即可．【解答】解：①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，“正面向上”的概率不一定是0.47，故错误；②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5，故正确；③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率不一定是0.45，故错误．故选：B．【点评】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确概率的定义，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．二、填空题（本题共16分，每小题2分）9．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=2，则tanB的值是．【分析】直接利用正切的定义求解．【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∴tanB===．故答案为．【点评】本题考查了锐角三角函数的定义：熟练掌握正弦、余弦和正切的定义．10．计算：2sin60°﹣tan 45°+4cos30°=3﹣1 ．【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．【解答】解：原式=2×﹣1+4×=3﹣1，故答案为：3﹣1．【点评】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．11．若△ABC∽△DEF，且对应边BC与EF的比为2：3，则△ABC与△DEF的面积比等于4：9 ．【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可得出△ABC与△DEF的面积比．【解答】解：∵△ABC与△DEF的相似比是2：3，∴△ABC与△DEF的面积比等于22：32=4：9．【点评】熟悉相似三角形的性质：相似三角形的面积比是相似比的平方．12．请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，2）的抛物线的表达式：y=2+2 ．【分析】根据二次函数的性质，所写出的函数解析式a是正数，c=2即可．【解答】解：开口向上，并且与y轴交于点（0，2）的抛物线的表达式为y=2+2，故答案为：y=2+2（答案不唯一）．【点评】本题主要考查二次函数，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．13．如图，在半径为5cm的⊙O中，如果弦AB的长为8cm，OC⊥AB，垂足为C，那么OC的长为 3 cm．【分析】连接OA．根据垂径定理求得AC的长，再进一步根据勾股定理即可求得OC的长．【解答】解：连接OA∵OC⊥AB，弦AB长为8cm，∴AC=4（cm）．根据勾股定理，得OC==3（cm）．故答案为3．【点评】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线吗，构造直角三角形解决问题．14．圆心角为160°的扇形的半径为9cm，则这个扇形的面积是36πcm2．【分析】根据扇形的面积公式进行计算即可．【解答】解：这个扇形的面积==36 πcm2．故答案为：36π【点评】此题考查了扇形的面积计算，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握扇形的面积计算公式，难度一般．15．若函数y=a2+3+1的图象与轴有两个交点，则a的取值范围是a＜且a≠0 ．【分析】根据函数与轴有两个交点得出△＞0且a≠0，求出不等式的解集即可．【解答】解：∵函数y=a2+3+1的图象与轴有两个交点，∴方程a2+3+1=0有两个实数根，即△=32﹣4a＞0且a≠0，解得：a＜且a≠0，故答案为：a＜且a≠0．【点评】本题考查了二次函数与轴的交点问题和一元二次方程的根的判别式，能得出关于a'的不等式是解此题的关键．16．下面是“作出所在的圆”的尺规作图过程．已知：．求作：所在的圆．作法：如图，（1）在上任取三个点D，C，E；（2）连接DC，EC；（3）分别作DC和EC的垂直平分线，两垂直平分线的交点为点O．（4）以 O为圆心，OC长为半径作圆，所以⊙O即为所求作的所在的圆．请回答：该尺规作图的依据是线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；平面内，到定点的距离等于定长的点在同一个圆上．【分析】由中垂线的性质知OD=OC=OE，继而根据“平面内，到定点的距离等于定长的点在同一个圆上”可得．【解答】解：∵分别作DC和EC的垂直平分线，两垂直平分线的交点为点O．∴OD=OC=OE（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等），∴点A、B、C、D、E在以O为圆心，OC长为半径的圆上（平面内，到定点的距离等于定长的点在同一个圆上），故答案为：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；平面内，到定点的距离等于定长的点在同一个圆上．【点评】本题主要考查作图﹣尺规作图，解题的关键是熟练掌握中垂线的性质和圆的概念．三、解答题（本题共68分）17．（5分）如图，在平面直角坐标系Oy中，一次函数y=﹣2的图象与反比例函数y=的图象的一个交点为A（﹣1，n）．求反比例函数y=的表达式．【分析】把A的坐标代入y=﹣2，求出n，得出A的坐标，再把A的坐标代入反比例函数的解析式求出即可．【解答】解：∵点A（﹣1，n）在一次函数y=﹣2的图象上，∴n=（﹣2）×（﹣1）=2，∴点A的坐标为（﹣1，2），∵点A在反比例函数y=的图象上，∴=（﹣1）×2=﹣2．∴反比例函数的解析式为y=﹣．【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征．用待定系数法确定函数的解析式，是常用的一种解题方法．同学们要熟练掌握这种方法．18．（5分）已知二次函数y=2+4+3．（1）用配方法将y=2+4+3化成y=a（﹣h）2+的形式；（2）在平面直角坐标系Oy中，画出这个二次函数的图象．【分析】（1）利用配方法易得y=（+2）2﹣1，则抛物线的顶点坐标为（﹣2，﹣1），对称轴为直线=﹣2；（2）利用描点法画二次函数图象；【解答】解：（1）y=（2+4）+3=（2+4+4﹣4）+3=（=2）2﹣1；（2）如图：【点评】本题考查了二次函数的三种形式：一般式：y=a2+b+c（a，b，c是常数，a≠0）；顶点式：y=a（﹣h）2+（a，h，是常数，a≠0），其中（h，）为顶点坐标，该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线的顶点坐标为（h，）；交点式：y=a（﹣1）（﹣2）（a，b，c是常数，a≠0），该形式的优势是能直接根据解析式得到抛物线与轴的两个交点坐标（1，0），（2，0）．也考查了二次函数图象与性质．19．（5分）已知：如图，在△ABC中，D，E分别为AB、AC边上的点，且AD=AE，连接DE．若AC=3，AB=5．求证：△ADE∽△ACB．【分析】根据已知条件得到，由于∠A=∠A，于是得到△ADE∽△ACB；【解答】证明：∵AC=3，AB=5，AD=，∴，∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，垂直的定义，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．20．（5分）已知：如图，在△ABC中，AB=AC=8，∠A=120°，求BC的长．【分析】过点A作AD⊥BC于D．解直角三角形求出BD，利用等腰三角形的性质即可解决问题．【解答】解：过点A作AD⊥BC于D．∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，BC=2BD，在Rt△ABD中，∠ADB=90°，∠B=30°，AB=8，cosB=，∴BD=ABcos30°=8×=4，∴BC=8．【点评】本题考查等腰三角形的性质、解直角三角形等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21．（5分）已知：如图，⊙O的直径AB的长为5cm，C为⊙O上的一个点，∠ACB的平分线交⊙O于点D，求BD的长．【分析】根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=∠ADB=90°，再根据角平分线的定义可得∠DAC=∠BCD，然后求出AD=BD，再根据等腰直角三角形的性质其解即可；【解答】解：∵AB为直径，∴∠ADB=90°，∵CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠BCD，∴=．∴AD=BD，在等腰直角三角形ADB中，BD=ABsin45°=5×=，∴BD=．【点评】本题考查了直径所对的圆周角等于直角，等腰直角三角形的判定与性质，关键是根据直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=∠ADB=90°．22．（5分）在一次社会大课堂的数学实践活动中，王老师要求同学们测量教室窗户边框上的点C到地面的距离即CD的长，小英测量的步骤及测量的数据如下：（1）在地面上选定点A，B，使点A，B，D在同一条直线上，测量出A、B两点间的距离为9米；（2）在教室窗户边框上的点C点处，分别测得点A，B的俯角∠ECA=35°，∠ECB=45°．请你根据以上数据计算出CD的长．（可能用到的参考数据：sin35°≈0.57 cos35°≈0.82 tan35°≈0.70）【分析】设CD=，在Rt△CDB中，CD=BD=，在Rt△CDA中tan∠CAD=，根据图中的线段关系可得AD=AB+BD，进而可得9+=，再解即可．【解答】解：由题意可知：CD⊥AD于D，∠ECB=∠CBD=45°，∠ECA=∠CAD=35°，AB=9．设CD=，∵在Rt△CDB中，∠CDB=90°，∠CBD=45°，∴CD=BD=，∵在Rt△CDA中，∠CDA=90°，∠CAD=35°，∴tan∠CAD=，∴AD=，∵AB=9，AD=AB+BD，∴9+=，解得 =21，答：CD的长为21米．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，关键是读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．23．（5分）已知：如图，ABCD是一块边长为2米的正方形铁板，在边AB上选取一点M，分别以AM和MB为边截取两块相邻的正方形板料．当AM的长为何值时，截取两块相邻的正方形板料的总面积最小？【分析】设AM的长为米，则MB的长为（2﹣）米，由题意得出y=2+（﹣2）2=2（﹣1）2+2，利用二次函数的性质求解可得．【解答】解：设AM的长为米，则MB的长为（2﹣）米，以AM和MB为边的两个正方形面积之和为y平方米．根据题意，y与之间的函数表达式为y=2+（﹣2）2=2（﹣1）2+2，因为2＞0于是，当=1时，y有最小值，所以，当AM的长为1米时截取两块相邻的正方形板料的总面积最小．【点评】本题考查了二次函数的最值，二次项系数a决定二次函数图象的开口方向．①当a ＞0时，二次函数图象向上开口，函数有最小值；②a＜0时，抛物线向下开口，函数有最大值．24．（5分）已知：如图，AB是半圆O的直径，D是半圆上的一个动点（点D不与点A，B 重合），∠CAD=∠B（1）求证：AC是半圆O的切线；（2）过点O作BD的平行线，交AC于点E，交AD于点F，且EF=4，AD=6，求BD的长．【分析】（1）经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．欲证AC是半圆O的切线，只需证明∠CAB=90°即可；（2）由相似三角形的判定定理AA可以判定△AEF∽△BAD；然后根据相似三角形的对应边成比例，求得BD的长即可．【解答】解：（1）∵AB是半圆直径，∴∠BDA=90°，∴∠B+∠DAB=90°，又∵∠DAC=∠B，∴∠DAC+∠DAB=90°，即∠CAB=90°，∴AC是半圆O的切线．（2）由题意知，OE∥BD，∠D=90°，∴∠D=∠AFO=∠AFE=90°，∴OE⊥AD，∴∠AFE=∠D=∠AFO=90°，AF=AD=3，又∵AD=6∴AF=3．又∵∠B=∠DAE，∴△AEF∽△BAD，∴=，而EF=4，∴，解得BD=．【点评】本题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．25．（5分）如图，AB=6cm，∠CAB=25°，P是线段AB上一动点，过点P作PM⊥AB交射线AC 于点M，连接MB，过点P作PN⊥MB于点N．设A，P两点间的距离为cm，P，N两点间的距离为ycm．（当点P与点A或点B重合时，y的值均为0）小海根据学习函数的经验，对函数y随自变量的变化而变化的规律进行了探究．下面是小海的探究过程，请补充完整：（1）通过取点、画图、测量，得到了与y的几组值，如下表：（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；（3）结合画出的函数图象，解决问题：当y=0.5时，与之对应的值的个数是2个．【分析】（1）利用取点，测量的方法，即可解决问题；（2）利用描点法，画出函数图象即可；（3）作出直线y=0.5与图象的交点，交点的个数是2个．【解答】解：（1）通过取点、画图、测量可得=2.00cm时，y=0.91cm；（2）利用描点法，图象如图所示．（3）由图可知，当y=0.5时，与之对应的值的个数是2个．故答案为2个．【点评】本题考查了动点问题的函数图象，坐标与图形的关系等知识，解题的关键是理解题意，学会用测量法、图象法解决实际问题．26．（7分）已知一次函数y 1=﹣1，二次函数y 2=2﹣m+4（其中m ＞4）． （1）求二次函数图象的顶点坐标（用含m 的代数式表示）； （2）利用函数图象解决下列问题：①若m=5，求当y 1＞0且y 2≤0时，自变量的取值范围；②如果满足y 1＞0且y 2≤0时自变量的取值范围内有且只有一个整数，直接写出m 的取值范围．【分析】（1）利用配方法求二次函数的顶点坐标；（2）①把m=5代入y 2，画图象，并求与轴交点A 、B 、C 三点的坐标，根据图象可得结论； ②根据题意结合图象可知=3，把=3代入y 2=2﹣m+4≤0，当=4时，y 2=2﹣m+4＞0即可求得m 的取值；【解答】解：（1）∵y 2=2﹣m+4=（﹣）2﹣+4，∴二次函数图象的顶点坐标为：（，﹣+4）…（2）①当m=5时，y 1=﹣1，y 2=2﹣5+4．…（4分）如图，当y 1=0时， ﹣1=0，=2， ∵A （2，0），当y 2=0时，2﹣5+4=0， 解得：=1或4，∴B （1，0），C （4，0），因为y 1＞0，且y 2≤0，由图象，得：2＜≤4． …（5分） ②当y 1＞0时，自变量的取值范围：＞2，∵如果满足y 1＞0且y 2≤0时的自变量的取值范围内恰有一个整数， ∴=3，当=3时，y 2=32﹣3m+4≤0，解得m ≥，当=4时，y 2＞0，即16﹣4m+4＞0，m ＜5，∴m的取值范围是：≤m＜5．…（7分）【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数和一次函数的性质，以及利用函数图象解不等式，体现了数形结合的思想．27．（8分）已知：如图，AB为半圆O的直径，C是半圆O上一点，过点C作AB的平行线交⊙O于点E，连接AC、BC、AE，EB．过点C作CG⊥AB于点G，交EB于点H．（1）求证：∠BCG=∠EBG；（2）若sin∠CAB=，求的值．【分析】（1）根据直径所对的圆周角等于直角和平行线的性质证明即可；（2）在Rt△HGB与Rt△BCG中，利用三角函数的性质，即可求得的值．【解答】证明：（1）∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∵CG⊥AB于点G，∴∠ACB=∠CGB=90°．∴∠CAB=∠BCG，∵CE∥AB，∴∠CAB=∠ACE．∴∠BCG=∠ACE又∵∠ACE=∠EBG∴∠BCG=∠EBG，（2）∵sin∠CAB=，∴，由（1）知，∠HBG=∠EBG=∠ACE=∠CAB∴在Rt△HGB中，．由（1）知，∠BCG=∠CAB在Rt△BCG中，．设GH=a，则GB=2a，CG=4a．CH=CG﹣HG=3a，∵EC∥AB，∴∠ECH=∠BGH，∠CEH=∠GBH∴△ECH∽△BGH，∴．【点评】此题考查了与圆的同弧所对的圆周角相等，以及相似三角形的性质与判定和三角函数的性质等．此题综合性较强，属于中档题，解题时要注意数形结合思想的应用．28．（8分）一般地，我们把半径为1的圆叫做单位圆，在平面直角坐标系Oy中，设单位圆的圆心与坐标原点O重合，则单位圆与轴的交点分别为（1，0），（﹣1，0），与y轴的交点分别为（0，1），（0，﹣1）．在平面直角坐标系Oy中，设锐角a的顶点与坐标原点O重合，a的一边与轴的正半轴重合，另一边与单位圆交于点P（1，y1），且点P在第一象限．（1）1= cosα（用含a的式子表示）；y1= sinα（用含a的式子表示）；（2）将射线OP绕坐标原点O按逆时针方向旋转90°后与单位圆交于点Q（2，y2）．①判断y1与2的数量关系，并证明；②y1+y2的取值范围是：1＜y1+y2≤．．【分析】（1）如图作PF ⊥轴于F ，QE ⊥轴于E ．则OF=OP•cosα，PF=OP•sinα，由此即可解决问题；（2）①过点P 作PF ⊥轴于点F ，过点Q 作QE ⊥轴于点E ．只要证明△QOE ≌△OPF 即可解决问题；②当P 在轴上时，得到y 1+y 2的最小值为1，由y 1+y 2=PF+QE=OE+OF=EF ，四边形QEFP 是直角梯形，PQ=，EF ≤PQ ，即可推出当EF=PQ=时，得到y 1+y 2的最大值为；【解答】解：（1）如图作PF ⊥轴于F ，QE ⊥轴于E ．则OF=OP•cosα，PF=OP•sinα， ∴1=cosα，y 1=sinα， 故答案为cosα，sinα； （2）①结论：y 1=﹣2．理由：过点P 作PF ⊥轴于点F ，过点Q 作QE ⊥轴于点E ． ∴∠PFO=∠QEO=∠POQ=90°，∴∠POF+∠OPF=90°，∠POF+∠QOE=90°， ∴∠QOE=∠OPF ， ∵OQ=OP ， ∴△QOE ≌△OPF ， ∴PF=OE ，∵P （1，y 1），Q （2，y 2）， ∴PF=y 1，OE=﹣2， ∴y 1=﹣2②当P 在轴上时，得到y 1+y 2的最小值为1， ∵y 1+y 2=PF+QE=OE+OF=EF ，∵四边形QEFP 是直角梯形，PQ=，EF ≤PQ ，∴当EF=PQ=时，得到y 1+y 2的最大值为，∴1＜y 1+y 2≤．。