2020中考数学复习 最值问题-将军饮马问题 (51张PPT)

02、将军饮马模型系列 ————“一定两动”之点到点
当P'、N、M、P''共线时，得△PMN周长的最小值，即线段P'P''长，连接OP'、 OP''，可得△OP'P''为等边三角形，所以P'P''=OP'=OP=8．
02、将军饮马模型系列 ————“两定两动”之点到点
在OA、OB上分别取点M、N使得四边 形PMNQ的周长最小。
05、将军过桥
【分析】 考虑MN长度恒定，只要求AM+NB最小值即可。问题 在于AM、NB彼此分离，所以首先通过平移，使AM与 NB连在一起，将AM向下平移使得M、N重合，此时A 点落在A'位置。
问题化为求A'N+NB最小值，显 然，当共线时，值最小，并得出 桥应建的位置．
05、将军过桥
通过几何变换将若干段原本彼此分离线段组合到一起，是解决问题的关键~
此处M点为折点，作点P关于OA对称 的点P'，将折线段PM+MN转化为 P'M+MN，即过点P'作OB垂线分别 交OA、OB于点M、N，得PM+MN 最小值（点到直线的连线中，垂线段 最短）
03、几何图形中的将军饮马
寻找几何图形中 端点关于折点所在直线的对称点位置
03、几何图形中的将军饮马 ----正方形中的“将军饮马”
则PC+PD的最小值为（ ）
A．4
B．5 C．6
D．7
03、几何图形中的将军饮马 ----正方形中的“将军饮马”
【分析】作点C关于P点所在直线AB的对称点C'，当C'、P、D共线时， PC+PD最小，最小值为5，故选B．
03、几何图形中的将军饮马 ----三角形的“将军饮马”
【等边系列】
如图，在等边△ABC中，AB=6， N为AB上一点且BN=2AN， BC的高线AD交BC
如图，已知正比例函数y=kx（k>0） 的图像与x轴相交所成的锐角为70°，定点A的 坐标为（0，4），P为y轴上的一个动点，M、 N为函数y=kx（k>0）的图像上的两个动点， 则AM+MP+PN的最小值为____________．
04、特殊角的对称 ----20°角的对称
【分析】
先考虑M为折点，作点P关于
正所谓： 君若寻求路径短，选好直线定动点。 折曲变直线段短，点与直线垂线段。 若与曲折变直难，平移定长或平展。 实际问题转数学，牢记原理是关键。
将军饮马模型
1、“一定两动”之点到点
2、“两定两动”之点到点
1、将军过桥
3、“一定两动”之点到线
2、将军遛马
1、正方形中的将军饮马
2、三角形中的将军饮马
3、菱形和矩形中的将军饮马
【分析】由△APB面积是矩形面积三分之一，可作 出P点轨迹为直线MN（AM=BN=2），作点B关 于MN的对称点B'，化折线PA+PB为PA+PB'．
当A、P、B'共线时，取到最小值．
03、几何图形中的将军饮马 ----菱形和矩形中的“将军饮马”
【全等与对称】 如图，矩形ABCD中，AB=10，BC=5，点E、F、G、H分别在矩形 ABCD各边上，且AE=CG，BF=DH，则四边形EFGH周长的最小值为 ________．
【分析】此处M点为折点，作点N关于BD的对称点，恰 好在AB上，化折线CM+MN为CM+MN'．
因为M、N皆为动点，所以过点C 作AB的垂线，可得最小值．
Hale Waihona Puke 03、几何图形中的将军饮马 ----菱形和矩形中的“将军饮马”
【菱形高】
如图，在菱形ABCD中，AC为6倍根号2，BD=6，E是BC的中点，
P、M分别是AC、AB上的动点，连接PE、PM，则PE+PM的最小
【关于对角线对称】 如图，正方形ABCD的边长是4，M在DC上，且DM=1， N是AC边上的一 动点，则△DMN周长的最小值是________．
03、几何图形中的将军饮马 ----正方形中的“将军饮马”
【分析】考虑DM为定值，故求△DMN周长最小值即求DN+MN最小 值．点N为折点，作点D关于AC的对称点，即点B，连接BN交AC于点N， 此时△DMN周长最小．
于点D，M是AD上的动点，连结BM，MN，则BM+MN的最小值是___________．
03、几何图形中的将军饮马 ----三角形中的“将军饮马”
【分析】
M点为折点，作B点关于AD的对称点，即C点，连接 CN，即为所求的最小值．
过点C作AB垂线，利用勾股定理求得
． CN的长为
03、几何图形中的将军饮马 ----三角形中的“将军饮马”
【角分线系列之点到点】
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°， AC=6，AB=12，AD平分∠CAB，点F 是AC的中点，点E是AD上的动点，则 CE+EF的最小值为________．
03、几何图形中的将军饮马 ----三角形中的“将军饮马”
【分析】此处E点为折点，可作点C关于AD的对称，对称点C'在AB上且在AB中点， 化折线段CE+EF为C'E+EF，当C'、E、F共线时得最小值，C'E为CB的一半．
04、特殊角的对称 ----30°角的对称
【分析】此处点P为折点，作点M关于OA
当M'、P、N共线时，得最小值，又
的对称对称点M'如图所示，连接PM'，化
∠M'ON=60°且ON=2OM'，可得
PM+PN为PM'+PN．
∠OM'N=90°，故P点坐标可求．
04、特殊角的对称 ----20°角的对称
03、几何图形中的将军饮马 ----三角形中的“将军饮马”
【角分线系列之点到线】 如图，在锐角三角形ABC中，BC=4，∠ABC=60°， BD平分∠ABC，交AC于点D，
M、N分别是BD，BC上的动点，则CM+MN的最小值是________．
03、几何图形中的将军饮马 ----三角形中的“将军饮马”
考虑PQ是条定线段，故只需考虑 PM+MN+NQ最小值即可，分别作点 P、Q关于OA、OB对称，化折线段 PM+MN+NQ为P'M+MN+NQ'，当 P'、M、N、Q'共线时，四边形 PMNQ的周长最小。
02、将军饮马模型系列 ————“一定两动”之点到线
在OA、OB上分别取M、N使得PM+MN最小
4、60°、30°、20°角中的将军饮马
02、将军饮马模型系列 ————“一定两动”之点到点
在OA、OB上分别取点M、N，使得△PMN周长最小。
此处M、N均为折点，分别作点P关于OA（折点M所在直线）、OB（折点N所在直线） 的对称点，化折线段PM+MN+NP为P'M+MN+NP''，当P'、M、N、P''共线时，△PMN 周长最小。
01、什么是“将军饮马” ？
【问题简化】 如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小？
【问题分析】 这个问题的难点在于PA+PB是一段折线段，通过观察图形很难得出结果，关
于最小值，我们知道“两点之间，线段最短”、“点到直线的连线中，垂线段最 短”等，所以此处，需转化问题，将折线段变为直线段．
01、什么是“将军饮马” ？
03、几何图形中的将军饮马 ----菱形和矩形中的“将军饮马”
【分析】考虑到四边形EFGH是平行四边形，即求EH+EF最小值，此处E为折点，作F关 于AB对称点F'，则BF'=BF=DH=CM，∴MF'=BC=5，MH=DC=10，∴HF'为5倍根 号5，周长最小值为10 5．
04、特殊角的对称 ----60°角的对称
【问题解决】
作点A关于直线的对称点A'，连接PA'， 则PA'=PA，所以PA+PB=PA'+PB
当A'、P、B三点共线的时候， PA'+PB=A'B，此时为最小值 （两点之间线段最短）
01、什么是“将军饮马” ？
作端点（点A或点B）关于折点 （上图P点）所在直线的对称， 化折线段为直线段。
03、几何图形中的将军饮马 ----正方形中的“将军饮马”
【假装不存在的正方形】 如图，在Rt△ABO中，∠OBA=90°，A（4,4），点C在 边AB上，且AC:CB=1:3，点D为OB的中点，点P为边OA 上的动点，当点P在OA上移动时，使四边形PDBC周长最 小的点P的坐标为（ ）
A．（2，2） B．（52，52） C．（83，83） D．（3，3）
03、几何图形中的将军饮马 ----正方形中的“将军饮马”
【分析】此处点P为折点，可以作点D关于折点P 所在直线OA的对称：
也可以作点C的对称：
03、几何图形中的将军饮马 ----正方形中的“将军饮马”
【隐身的正方形】
如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点
D在BC上，BD=3，DC=1，点P是AB上的动点，
最值问题之“将军饮马”
“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李 颀《古从军行》里的一句诗。而由此却引申出一系列非常 有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”。
01、什么是“将军饮马” ？
【问题描述】 如图，将军在图中点A处，现在他要带马去河边喝水，之后返回军
营，问：将军怎么走能使得路程最短？
此处P'为折点，作点N关于OP'
OM对称点P'，化AM+MP+PN 对称点N'，化AM+MP'+P'N为
为AM+MP'+P'N
AM+MP'+P'N'
当A、M、P'、N'共线且 AN'⊥ON'时，值最小．
05、将军过桥
已知将军在图中点A处，现要过河去往B点的军营，桥必须垂 直于河岸建造，问：桥建在何处能使路程最短？
如图，∠AOB=60°，点P是∠AOB内的定点且OP 为根号3，若点M、N分别是射线OA、OB上异于 点O的动点，则△PMN周长的最小值是 _________．
04、特殊角的对称 ----60°角的对称
【分析】
此处M、N均为折点，分别作点P关于OB、OA的对 称点P'、P''，化△PMN周长为P'N+NM+MP''．
【隐身的等边三角形】 如图，在Rt△ABD中，AB=6，∠BAD=30°，∠D=90°， N为AB上一点且BN=2AN， M是AD上的动点，连结 BM，MN，则BM+MN的最小值是________．
【分析】 对称点并不一定总是在已知图形上．
03、几何图形中的将军饮马 ----三角形中的“将军饮马”
03、几何图形中的将军饮马 ----菱形和矩形中的“将军饮马”
【面积与折点】 如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=3，动点P满足△APB的面积是矩形
ABCD面积的三分之一，则点P到A、B两点距离之和PA+PB的最小值为_________．
03、几何图形中的将军饮马 ----菱形和矩形中的“将军饮马”
02、将军饮马模型系列 ————“一定两动”之点到点
【例题】如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB=30°，OP=8，点M和点N分 别是射线OA和射线OB上的动点，则△PMN周长的最小值为________．
02、将军饮马模型系列 ————“一定两动”之点到点
【分析】 △PMN周长即PM+PN+MN的最小值，此处M、N均为折点，分别作点P关于OB 、OA对称点P'、P''，化PM+PN+MN为P'N+MN+P''M．
当P‘、N、M、P’‘共线时，得最小值，利用 60°角翻倍得∠P’OP‘’=120°， OP’=OP’’=OP，可得最小值。
04、特殊角的对称 ----30°角的对称
如图，∠AOB的边OB与x轴正半轴重合，点 P是OA上的一动点，点N（3,0）是OB上的 一定点，点M是ON的中点，∠AOB=30°， 要使PM+PN最小，则点P的坐标为 _________．
【折点在边上】 如图，矩形ABOC的顶点A的坐标为（-4,5）， D是OB的中点，E是OC上的一点，当△ADE的周 长最小时，点E的坐标是__________．
03、几何图形中的将军饮马 ----菱形和矩形中的“将军饮马”
【分析】点E为折点，E是y轴上一点，作点D关于y轴的对称点D'， 连接AD，与y轴交点即为所求E点．
值是____________．
03、几何图形中的将军饮马 ----菱形和矩形中的“将军饮马”
【分析】此处P为折点，作点M关于AC的 对称点M'，恰好在AD上，化折线EP+PM 为EP+PM'．
当E、P、M'共线时，EP+PM最小， 最小值即为菱形的高，可用面积法： AC·BD=BC·EM'.
03、几何图形中的将军饮马 ----菱形和矩形中的“将军饮马”
【将军过双桥】
已知将军在图中点A处，现要过 两条河去往B点的军营，桥必须 垂直于河岸建造，问：桥建在何 处能使路程最短？
05、将军过桥
【分析】考虑PQ、MN均为定值，所以路程最短等价于 AP+QM+NB最小，对于这彼此分离的三段，可以通过平 移使其连接到一起．AP平移至A'Q，NB平移至MB'，化 AP+QM+NB为A'Q+QM+MB'．