8.4提公因式法-沪科版数学课件七年级下册
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因式分解
x2-1
整式乘法
(x+1)(x-1)
判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解? (1) x2－4y2=(x+2y)(x－2y)； 因式分解 (2) 2x(x－3y)=2x2－6xy 整式乘法 (3) (5a－1)2=25a2－10a+1 ； 整式乘法 (4) x2+4x+4=(x+2)2 ； 因式分解 (5) (a－3)(a+3)=a2－9 整式乘法 (6) m2－4=(m+2)(m－2) ； 因式分解 (7) 2πR+ 2πr= 2π(R+r). 因式分解
义
am+bm+mc=m(a+b+c)
确定公因式的方法：三定，即
提公因式法 因 分 式 解 方 法 公 式 法
定系数；定字母；定指数
分两步： 第一步找公因式；第二步提公因式 （下节课学习）
注
意
1.分解因式是一种恒等变形； 2.公因式：要提尽； 3.不要漏项； 4.提负号，要注意变号
课后作业
课本P１１５练习
(2)12xyz-9x2y2；
(4) -x3y3-x2y2-xy. 2.分解因式：(x-y)2+y(y-x). 解法1：(x-y)2+y(y-x) =（x-y)2-y(x-y) =(x-y)(x-y-y) =(x-y)(x-2y).
(3)p(a2 + b2 )- q(a2 + b2 )； (a2+b2)(p-q)；
解法2：(x-y)2+y(y-x) =（y-x)2+y(y-x) =(y-x)(y-x+y) =(y-x)(2y-x).
练习:
变式练习
1.先分解因式,再求值: 4a2(x+7)-3(x+7),其中a=-5,x=3.
2.计算5×34+24×33+63×32. 3、计算: 992＋99.
课堂小结
定
2(m+n) 3mn
-2xy
公因式可以是单项式，也可以是多项式
提公因式法
pa+ pb +pc
( a+b+c ) p =
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公 因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积
的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
分析：提公因式法步骤（分两步） 第一步:找出公因式； 第二步:提取公因式 ，即将多项式化为两个因式的乘积.
辨一辨：
在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有 不是的，请说明为什么？ ① am+bm+c=m(a+b)+c 8xy ② 24x2y=3x · 最后不是积的运算
③ ⑥ ，
因式分解的对象是多项式，而不是单项式
③
④ ⑤ ⑥
x2-1=(x+1)(x-1) 是整式乘法 (2x+1)2=4x2+4x+1 1 x2+x=x2(1+ ) 每个因式必须是整式 x 2x+4y+6z=2(x+2y+3z)
二 因式分解之基本方法—提公因式法
这个多项式有什么特点？
pa+pb+pc
相同因式p
多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的 公因式.
例
找 3x 2 – 6 xy 的公因式.
3
x
1
指数：相同字 母的最低次幂
系数：最大 字母：相 同的字母 公约数 所以公因式是3x 正确找出多项式各项公因式的关键是： 1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数.
典例精析
例1 把下列各式分解因式 (1) 8a3b2 + 12ab3c； (2) 2a(b+c) - 3(b+c).
解：（1） 8a3b2 + 12ab3c =4ab2 · 2a2+4ab2 · 3bc =4ab2(2a2+3bc)；
（2） 2a(b+c)-3(b+c)
=(b+c)(2a-3).
小明的解法有误吗？ 把12x2y+18xy2分解因式. 解：原式 =3xy(4x + 6y).
整式的乘法与因式分解
8.4 提公因式法
导入新课
复习引入
运用前面所学的知识填空： ma+mb+mc ； 2 -1 x (2) (x+1)(x-1)= ； (1) m(a+b+c)=
2 2 (3) (a+b)2 = a +2ab+b
.
一 因式分解
把下列多项式写成乘积的形式的形式
(1) ma+mb+mc=( m)( a+b+c ) (2) x2 -1 =( x+1)( x-1 )
2.定字母： 字母取多项式各项中都含有的相同的字母或因式.
3.定指数：相同字母或因式的指数取各项中最小的一个，即字母或因 式的最低次幂.
找一找: (1) 3x+6y
下列各多项式的公因式是什么？ 3 a a2
(2)ab-2ac
(3) a 2 - a 3 (4)4 (m+n) 2 +2(m+n) (5)9 m 2n-6mn (6)-6 x 2 y-8 xy 2
错误
注意：公因式要提尽.
公因式没有提尽，还可以 提出公因式2
正确解：原式=6xy(2x+3y).
小亮的解法有误吗？ 把3x2 - 6xy+x分解因式. 解：原式 =x(3x-6y).
错误
当多项式的某一项和公因式相 同时，提公因式后剩余的项是1.
正确解：原式=3x· x-6y· x+1· x =x(3x-6y+1)
注意：某项提出莫漏1.
小华的解法有误吗？ 把 - x2+xy-xz分解因式. 解：原式= - x(x+y-z).
错误
提出负号时括号里的 项没变号
正确解：原式= - (x2-xy+xz) =- x(x-y+z)
注意：首项有负常提负.
当堂练习
1.把下列各式分解因式： (1)8 m2n+2mn； 2mn(4m+1)； 3xy(4z-3xy)； -xy(x2y2+xy+1).
说出下列多项式各项的公因式： (1)ma + mb ； m (2)4kx－ 8ky ； 4k (3)5y3+20y2 ； 5y2 (4)a2b－2ab2+ab . ab
注意：各项系数都是整数时，因式的系数应取各项系数的最大 公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低 的.
4.计算（-2）101+（-2）100 解：原式=（-2）100 ×（-2+1） =2100 ×（-1）
(3) a2 +2ab+b2 =( a+b )2
定义：
把一个多项式化为几个整式的乘积的形式,像这样的式子变 形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
x2-1 = (x+1)(x-1)
等式的特征：左边是多项式，右边 是几个整式的乘积
想一想：整式乘法与因式分解有什么关系？
是互为相反的变形，即
因式分解
x2-1
整式乘法
(x+1)(x-1)
判断下列各式哪些是整式乘法?哪些是因式分解? (1) x2－4y2=(x+2y)(x－2y)； 因式分解 (2) 2x(x－3y)=2x2－6xy 整式乘法 (3) (5a－1)2=25a2－10a+1 ； 整式乘法 (4) x2+4x+4=(x+2)2 ； 因式分解 (5) (a－3)(a+3)=a2－9 整式乘法 (6) m2－4=(m+2)(m－2) ； 因式分解 (7) 2πR+ 2πr= 2π(R+r). 因式分解
义
am+bm+mc=m(a+b+c)
确定公因式的方法：三定，即
提公因式法 因 分 式 解 方 法 公 式 法
定系数；定字母；定指数
分两步： 第一步找公因式；第二步提公因式 （下节课学习）
注
意
1.分解因式是一种恒等变形； 2.公因式：要提尽； 3.不要漏项； 4.提负号，要注意变号
课后作业
课本P１１５练习
(2)12xyz-9x2y2；
(4) -x3y3-x2y2-xy. 2.分解因式：(x-y)2+y(y-x). 解法1：(x-y)2+y(y-x) =（x-y)2-y(x-y) =(x-y)(x-y-y) =(x-y)(x-2y).
(3)p(a2 + b2 )- q(a2 + b2 )； (a2+b2)(p-q)；
解法2：(x-y)2+y(y-x) =（y-x)2+y(y-x) =(y-x)(y-x+y) =(y-x)(2y-x).
练习:
变式练习
1.先分解因式,再求值: 4a2(x+7)-3(x+7),其中a=-5,x=3.
2.计算5×34+24×33+63×32. 3、计算: 992＋99.
课堂小结
定
2(m+n) 3mn
-2xy
公因式可以是单项式，也可以是多项式
提公因式法
pa+ pb +pc
( a+b+c ) p =
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公 因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积
的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
分析：提公因式法步骤（分两步） 第一步:找出公因式； 第二步:提取公因式 ，即将多项式化为两个因式的乘积.
辨一辨：
在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的有 不是的，请说明为什么？ ① am+bm+c=m(a+b)+c 8xy ② 24x2y=3x · 最后不是积的运算
③ ⑥ ，
因式分解的对象是多项式，而不是单项式
③
④ ⑤ ⑥
x2-1=(x+1)(x-1) 是整式乘法 (2x+1)2=4x2+4x+1 1 x2+x=x2(1+ ) 每个因式必须是整式 x 2x+4y+6z=2(x+2y+3z)
二 因式分解之基本方法—提公因式法
这个多项式有什么特点？
pa+pb+pc
相同因式p
多项式中各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的 公因式.
例
找 3x 2 – 6 xy 的公因式.
3
x
1
指数：相同字 母的最低次幂
系数：最大 字母：相 同的字母 公约数 所以公因式是3x 正确找出多项式各项公因式的关键是： 1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数.
典例精析
例1 把下列各式分解因式 (1) 8a3b2 + 12ab3c； (2) 2a(b+c) - 3(b+c).
解：（1） 8a3b2 + 12ab3c =4ab2 · 2a2+4ab2 · 3bc =4ab2(2a2+3bc)；
（2） 2a(b+c)-3(b+c)
=(b+c)(2a-3).
小明的解法有误吗？ 把12x2y+18xy2分解因式. 解：原式 =3xy(4x + 6y).
整式的乘法与因式分解
8.4 提公因式法
导入新课
复习引入
运用前面所学的知识填空： ma+mb+mc ； 2 -1 x (2) (x+1)(x-1)= ； (1) m(a+b+c)=
2 2 (3) (a+b)2 = a +2ab+b
.
一 因式分解
把下列多项式写成乘积的形式的形式
(1) ma+mb+mc=( m)( a+b+c ) (2) x2 -1 =( x+1)( x-1 )
2.定字母： 字母取多项式各项中都含有的相同的字母或因式.
3.定指数：相同字母或因式的指数取各项中最小的一个，即字母或因 式的最低次幂.
找一找: (1) 3x+6y
下列各多项式的公因式是什么？ 3 a a2
(2)ab-2ac
(3) a 2 - a 3 (4)4 (m+n) 2 +2(m+n) (5)9 m 2n-6mn (6)-6 x 2 y-8 xy 2
错误
注意：公因式要提尽.
公因式没有提尽，还可以 提出公因式2
正确解：原式=6xy(2x+3y).
小亮的解法有误吗？ 把3x2 - 6xy+x分解因式. 解：原式 =x(3x-6y).
错误
当多项式的某一项和公因式相 同时，提公因式后剩余的项是1.
正确解：原式=3x· x-6y· x+1· x =x(3x-6y+1)
注意：某项提出莫漏1.
小华的解法有误吗？ 把 - x2+xy-xz分解因式. 解：原式= - x(x+y-z).
错误
提出负号时括号里的 项没变号
正确解：原式= - (x2-xy+xz) =- x(x-y+z)
注意：首项有负常提负.
当堂练习
1.把下列各式分解因式： (1)8 m2n+2mn； 2mn(4m+1)； 3xy(4z-3xy)； -xy(x2y2+xy+1).
说出下列多项式各项的公因式： (1)ma + mb ； m (2)4kx－ 8ky ； 4k (3)5y3+20y2 ； 5y2 (4)a2b－2ab2+ab . ab
注意：各项系数都是整数时，因式的系数应取各项系数的最大 公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低 的.
4.计算（-2）101+（-2）100 解：原式=（-2）100 ×（-2+1） =2100 ×（-1）
(3) a2 +2ab+b2 =( a+b )2
定义：
把一个多项式化为几个整式的乘积的形式,像这样的式子变 形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
x2-1 = (x+1)(x-1)
等式的特征：左边是多项式，右边 是几个整式的乘积
想一想：整式乘法与因式分解有什么关系？
是互为相反的变形，即