反比例函数压轴题精选(含答案)

2009-2013年中考反比例函数
经典结论：
如图，反比例函数k 的几何意义： (I ) 1
2
AOB AOC S S k ∆∆==
； (II ) OBAC S k =矩形。

下面两个结论是上述结论的拓展.
(1) 如图①，
OPA OCD S S ∆∆=，OPC PADC S S ∆=梯形。

(2)如图②，
OAPB OBCA S S =梯形梯形，BPE ACE S S ∆∆=。

经典例题
例 1.(1)(兰州)如图，已知双曲线(0)k
y x x
=
>经过矩形OABC 边AB 的中点F 且交BC 于点E ，四边形OEBF 的面积为2，则k = 2 ；
(2)如图，点A B 、为直线y x =上的两点，过A B 、两点分别作y 轴的平行
线交双曲线1(0)y x x
=>于C D 、两点，若2BD AC =，则22
4OC OD -
例2．(2013陕西) 如果一个正比例函数的图象与一个反比例函数x y 6
=),
(),,(2211y x B y x A ，那么))((1212y y x x --值为 24 .
解析：
因为A
，B 在反比例函数x
y 6
=
上，所以611=y x ，我们知道正比例函数与反比例函数的交点坐标关于原点成中心对称，因此
),(),,(2211y x
B
y x A 中有
1
212,y y x x -=-=，所以
24644))(())((1111111212=⨯==----=--y x y y x x y y x x
例3．(2010山东威海) 如图，一次函数b kx y +=的图象与反比例函数x
m
y =的图象交于点A ﹙－2，－5﹚，C ﹙5，n ﹚，交y 轴于点B ，交x 轴于点D ．
(1) 求反比例函数x
m
y =
和一次函数b kx y +=的表达式； (2) 连接OA ，OC ．求△AOC 的面积． 解：(1)∵ 反比例函数x
m
y =
的图象经过点A ﹙－2，－5﹚， ∴ m =(－2)×( －5)＝10．
∴ 反比例函数的表达式为x
y 10
=． ∵ 点C ﹙5，n
∴ 25
10
==
n ． ∴ C 的坐标为﹙5，2﹚． ∵ 一次函数的图象经过点A ，C ，将这两个点的坐标代入b kx y +=，得 ⎩
⎨⎧+=+-=-.5225b k b k ，
解得⎩⎨⎧-==.31b k ，
∴ 所求一次函数的表达式为y ＝x －3．
(2) ∵ 一次函数y =x －3的图像交y 轴于点B ， ∴ B 点坐标为﹙0，－3﹚． ∴ OB ＝3． ∵ A 点的横坐标为－2，C 点的横坐标为5，
∴ S △AOC = S △AOB + S △BOC =()221
52215212-21=+⋅⋅=⋅⋅+⋅⋅OB OB OB ．
例4．（2007福建福州）如图，已知直线12y x =
与双曲线(0)k
y k x
=>交于A B ，两点，且点A 的横坐标为4．
（1）求k 的值；
（2）若双曲线(0)k
y k x
=
>上一点C 的纵坐标为8，求AOC △的面积； （3）过原点O 的另一条直线l 交双曲线(0)k
y k x
=>于P Q ，两点（P 点在第一象限），若由点A B P Q
，，，为顶点组成的四边形面积为24，求点P 的坐标． 解：（1）
点A 横坐标为4，∴当4x =时，2y =．
∴点A 的坐标为(42)，．
点A 是直线12y x =与双曲线(0)k
y k x
=>的交点，
428k ∴=⨯=．
（2）解法一：如图1，点C 在双曲线上，当8y =时，1x =
∴点C 的坐标为(18)，．
过点A C ，分别做x 轴，y 轴的垂线，垂足为M N ，，得矩形DMON ．
32ONDM S =矩形，4ONC S =△，9CDA S =△，4OAM S =△．
3249415AOC ONC CDA OAM ONDM S S S S S =---=---=△△△△矩形
解法二：如图2，
过点C A ，分别做x 轴的垂线，垂足为E F ，，
点C 在双曲线8
y x =上，当8y =时，1x
=．
∴点C 的坐标为(18)，．点C ，A 都在双曲线8
y x
=
上， 4COE AOF S S ∴=
=△△ COE COA AOF CEFA S S S S ∴+=+△△△梯形． COA CEFA S S ∴=△梯形．
1
(28)3152
CEFA S =⨯+⨯=梯形，15COA S ∴=△．
（3）
反比例函数图象是关于原点O 的中心对称图形，
OP OQ ∴=，OA OB =．∴四边形APBQ 是平行四边形．
11
24644
POA APBQ S S ∴=
=⨯=△平行四边形． 设点P 横坐标为(04)m m m >≠且，得8
()P m m
，．
过点P A ，分别做x 轴的垂线，垂足为E F ，， 点P A ，在双曲线上，4PQE AOF S S ∴==△△． 若04m <<，如图3，
POE POA AOF PEFA S S S S +=+△△△梯形，
6POA PEFA S S ∴==△梯形．182(4)62m m ⎛⎫
+-= ⎪⎝⎭
∴·．
解得2m =，8m =-（舍去）．∴(24)P ，
． 若4m >，如图4，
AOF AOP POE AFEP S S S S +=+△△△梯形，
6POA PEFA S S ∴==△梯形．182(4)62m m ⎛⎫
∴+-= ⎪⎝⎭
，
解得8m =，2m =-（舍去）．(81)P ∴，． ∴点P 的坐标是(24)P ，或(81)P ，．
图2
图3
图4
例5.(山东淄博) 如图，正方形AOCB的边长为4，反比例函数的图象过点E（3，4）．（1）求反比例函数的解析式；
（2）反比例函数的图象与线段BC交于点D，直线
1
y x b
2
过点D，与线段AB相交于点F，求点F的坐
标；
（3）连接OF，OE，探究∠AOF与∠EOC的数量关系，并证明．
【答案】解：（1）设反比例函数的解析式
k
y
x
，
∵反比例函数的图象过点E（3，4），∴
k
4
3
，即k=12。

∴反比例函
数的解析式
12
y
x。

（2）∵正方形AOCB的边长为4，∴点D的横坐标为4，点F的纵坐标为4。

∵点D在反比例函数的图象上，∴点D的纵坐标为3，即D（4,3）。

∵点D在直线
1
y x b
2
上，∴
1
34b
2
，解得b=5。

∴直线DF为
1
y x5
2。

将y4代入
1
y x5
2
，得
1
4x5
2
，解得x2。

∴点F的坐标为（2，4）。

（3）∠AOF＝1
2
∠EOC。

证明如下：
在CD上取CG=CF=2，连接OG，连接EG并延长交ｘ轴于点H。

∵AO=CO=4，∠OAF=∠OCG=900，AF=CG=2，
∴△OAF≌△OCG（SAS）。

∴∠AOF=∠COG。

∵∠EGB=∠HGC，∠B=∠GCH=900，BG=CG=2，
∴△EGB≌△HGC（AAS）。

∴EG=HG。

设直线EG：y mx n，
∵E（3，4），G（4，2），∴
43m n
24m n
=+
⎧
⎨
=+
⎩
，解得，
m2
n=10
=
⎧
⎨
⎩
－。

∴直线EG：y2x10。

令y2x10=0，得x5。

∴H（5，0），OH=5。

在Rｔ△AOF中，AO=4，AE=3，根据勾股定理，得OE=5。

∴OH=OE。

∴OG是等腰三角形底边EH上的中线。

∴OG是等腰三角形顶角的平分线。

∴∠EOG=∠GOH。

∴∠EOG=∠GOC=∠AOF，即∠AOF＝1
2
∠EOC。

例6.(2009山东威海) 一次函数y ax b =+的图象分别与x 轴、y 轴交于点,M N ，与反比例函数k
y x
=
的图象相交于点,A B ．过点A 分别作AC x ⊥轴，AE y ⊥轴，垂足分别为,C E ；过点B 分别作BF x ⊥轴，BD y ⊥轴，垂足分别为F D ，，AC 与BD 交于点K ，连接CD ． （1）若点A B ，在反比例函数k
y x
=的图象的同一分支上，如图1，试证明： ①AEDK CFBK S S =四边形四边形； ②AN BM =．
（2）若点A B ，分别在反比例函数k
y x
=的图象的不同分支上，如图2，则AN 与BM 还相等吗？试证明你的结论．
解：（1）①
AC x ⊥轴，AE y ⊥轴，∴四边形AEOC 为矩形．
BF x ⊥轴，BD y ⊥轴，∴四边形BDOF 为矩形．
AC x ⊥轴，BD y ⊥轴，∴四边形AEDK DOCK CFBK ，，均为矩形．
1111OC x AC y x y k ===，，， ∴11AEOC S OC AC x y k ===矩形
2222OF x FB y x y k ===，，，∴22BDOF S OF FB x y k ===矩形． ∴AEOC BDOF S S =矩形矩形．
AEDK AEOC DOCK S S S =-矩形矩形矩形，
CFBK BDOF DOCK S S S =-矩形矩形矩形， ∴AEDK CFBK S S =矩形矩形 ②由（1）知AEDK CFBK S S =矩形矩形．∴AK DK BK CK =．∴
AK BK
CK DK
=
90AKB CKD ∠=∠=°，∴AKB CKD △∽△．∴CDK ABK ∠=∠．
∴AB CD
∥AC y ∥轴，∴四边形ACDN 是平行四边形．
∴AN CD =．同理BM CD =．AN BM ∴=．
（2）AN 与BM 仍然相等．
AEDK AEOC ODKC S S S =+矩形矩形矩形，
BKCF BDOF ODKC S S S =+矩形矩形矩形，又
AEOC BDOF S S k ==矩形矩形，
)
y
y
2
y x
=
∴AEDK BKCF S S =矩形矩形 ∴AK DK BK CK =． ∴
CK DK
AK BK
=
． K K ∠=∠，
∴CDK ABK △∽△．∴CDK ABK ∠=∠． ∴AB CD ∥．
AC y ∥轴， ∴四边形ANDC 是平行四边形． ∴AN CD =．
同理BM CD =． ∴AN BM =．
第一部分练习
一、选择题
1.(2009年鄂州)如图，直线y =mx 与双曲线y =
x
k
交于A 、B 两点，过点A 作AM ⊥x 轴，垂足为M ，连结BM ,若ABM S ∆=2，则k 的值是
A .2
B .m －2
C .m
D .4
2.(2009兰州) 如图，若正方形OABC 的顶点B 和正方形ADEF 的顶点E 都在函
数
1
y x
=
（0x >）的图象上，则点E 的坐标是（ ， ）. 3.(2009泰安）如图，双曲线)0(＞k x
k
y =
经过矩形OABC 的边BC 的中点E ， 交AB 于点D 。

若梯形ODBC 的面积为3，则双曲线的解析式为
A ．
x y 1=
B ．x y 2=
C ． x y 3=
D ．x
y 6
=
4.（2009仙桃）如图，已知双曲线)0k (x
k
y ＞=
经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点
D ，与直角边AB 相交于点C ．若△OBC 的面积为3，则k ＝____________． 5.(2009年牡丹江市)如图，点A 、B 是双曲线3
y x
=
上的点，分别经过A 、B 两点向x 轴、y 轴作垂线段，若1S =阴影，则12S S += ．
6.（2009年莆田）如图，在x 轴的正半轴上依次截取112233445OA A A A A A A A A ====，过点
12345A A A A A 、、、、分别作x 轴的垂线与反比例函数()2
0y x x
=
≠的图象相交于点12345P P P P P 、、、、，
得直角三角形1112233344455OP A A P A A P A A P A A P A 2、、、、，并设其面积分别为12345S S S S S 、、、、，则5S 的值为 ．．
y
A
B E y
第4题图 第5题图 第6题图 7.（2009年包头）已知一次函数1y x =+与反比例函数k
y x
=
的图象在第一象限相交于点A ，与x 轴相交于点C AB x ，⊥轴于点B ，AOB △的面积为1，则AC 的长为
8.（2010 嵊州市）如图,直线)0(<=k kx y 与双曲线x
y 2
-
=交于),(),,(2211y x B y x A 两点,则122183y x y x -的值为 A .－5 B .－10 C .5 D .10 【答案】B
9.（2010江苏无锡）如图，已知梯形ABCO 的底边AO 在x 轴上，BC ∥AO ，AB ⊥AO ，过点C 的双曲线k y x
= 交OB 于D ，且OD ：DB=1:2，若△OBC 的面积等于3，则k 的值 A ．等于2 B ．等于
34
C ．等于5
D ．无法确定 【答案】B
第7题图 第8题图 第9题图
10.（2010江苏盐城）如图，A 、B 是双曲线 y = k
x (k >0) 上的点， A 、B 两点的横坐标分别是a 、2a ，线段AB 的延长线交x 轴于点C ，若S △AOC =6．则k= ．【答案】4 11.（2010安徽蚌埠二中）已知点（1，3）在函数)0(>=
x x
k
y 的图像上。

正方形ABCD 的边BC 在x 轴上，点E 是对角线BD 的中点，函数)0(>=x x
k
y 的图像又经过A 、E 两点，则点E 的横坐标为__________。

6
12.（2010四川内江）如图，反比例函数y ＝k
x
(x ＞0)的图象经过矩形OABC 对角线的交点M ，分别与AB 、BC 相
交于点D 、E ．若四边形ODBE 的面积为6，则k 的值为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】B
y O x
A
C B y
B
A o
O A
B
C
D
x
y
图 6
图5—2
图5—1
输出y 取相反数
4
2
取倒数
取倒数
输入非零数x
P
Q
M
第10题图 第11题图 第12题图 13.（2011山东东营）如图,直线l 和双曲线(0)k
y k x
=
>交于A 、B 亮点,P 是线段AB 上的点（不与A 、B 重合）,过点A 、B 、P 分别向x 轴作垂线,垂足分别是C 、D 、E ,连接OA 、OB 、OP ,设△AOC 面积是S 1、△BOD 面积是S 2、△POE 面积是S 3、则
A . S 1＜S 2＜S 3
B . S 1>S 2>S 3
C . S 1=S 2>S 3
D . S 1=S 2<S 3 【答案】D
14.（2011河北）根据图5—1所示的程序，得到了y 与x 的函数图象，过点M 作PQ ∥x 轴交图象于点P ,Q ，连接OP ,OQ .则以下结论 ①x ＜0时，x
2
y =
， ②△OPQ 的面积为定值， ③x ＞0时，y 随x 的增大而增大 ④MQ =2PM ⑤∠POQ 可以等于90°
其中正确的结论是 A ．①②④ B ②④⑤ C ．③④⑤ D ．②③⑤
【答案】B
15.（2011甘肃兰州，15，4分）如图，矩形ABCD 的对角线BD 经过坐标原
点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C 在反比例函数
221k k y x
++=的图象上。

若点A 的坐标为（－2，－2），则k
的值为
A ．1
B ．－3
C ．4
D ．1或－3
【答案】D
16.（2011四川乐山）如图，直线 6y x =- 交x 轴、y 轴于A 、B 两点，P 是反比例函数4
(0)y x x
=
>图象上位于直线下方的一点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为点M ，交AB 于点E ，过点P 作y 轴的垂线，垂足为点N ，
交AB 于点F 。

则AF BE ⋅=
x
y
O A
B
C
D
A ．8
B ．6
C ．4
D ．62 【答案】A
17.（2012•德州）如图，两个反比例函数
和
的图象分别是l 1和l 2．设点P 在l 1上，PC ⊥x 轴，垂足
为C ，交l 2于点A ，PD ⊥y 轴，垂足为D ，交l 2于点B ，则三角形P AB 的面积为 A ． 3 B ． 4
C ．
D ．
5 解
解：∵点P 在y =上， ∴设P 的坐标是（a ，）， ∵P A ⊥x 轴， ∴A 的横坐标是a ，
∵A 在y =﹣上， ∴A 的坐标是（a ，﹣）， ∵PB ⊥y 轴， ∴B 的纵坐标是， ∵B 在y =﹣上， ∴代入得：﹣， 解得：x =﹣2a ，∴B 的坐标是（﹣2a ，）， ∴P A =﹣（﹣）=，PB =a ﹣（﹣2a ）=3a ，
∵P A ⊥x 轴，PB ⊥y 轴，x 轴⊥y 轴， ∴P A ⊥PB ， ∴△P AB 的面积是：P A ×PB =××3a =． 故选C ．
18.（2012福州）如图，过点C (1，2)分别作x 轴、y 轴的平行线，交直线y ＝－x ＋6于A 、 B 两点，若反比例函数y ＝k
x (x ＞0)的图像与△ABC 有公共点，则k 的取值范围是
A ．2≤k ≤9
B ．2≤k ≤8
C ．2≤k ≤5
D ．5≤k ≤8
解答：解：∵ 点C (1，2)，BC ∥y 轴，AC ∥x 轴，
∴ 当x ＝1时，y ＝－1＋6＝5，
当y ＝2时，－x ＋6＝2，解得x ＝4， ∴ 点A 、B 的坐标分别为A (4，2)，B (1，5)，
根据反比例函数系数的几何意义，当反比例函数与点C 相交时，k ＝1×2＝2最小，设与线段AB 相交于点(x ，－x ＋6)时k 值最大，则k ＝x (－x ＋6)＝－x 2＋6x ＝－(x －3)2＋9， ∵ 1≤x ≤4，∴ 当x ＝3时，k 值最大，此时交点坐标为(3，3)，
A
B
C
O
x
y
因此，k 的取值范围是2≤k ≤9．故选A ．
19.（2012临沂）如图，若点M 是x 轴正半轴上任意一点，过点M 作PQ ∥y 轴，分别交函数1(0)k y x x =
>和2(0)k
y x x
=>的图象于点P 和Q ，连接OP 和OQ ．则下列结论正确的是
A ．∠POQ 不可能等于90°
B ．
1
2
k PM QM k = C ．这两个函数的图象一定关于x 轴对称； D ．△POQ 的面积是()121
2
k k + 故选：D ．
20.（2012湖北黄石）如图所示，已知11
(,)2
A y ，2(2,)
B y 为反比
例函数1
y x
=图像上的两点，动点(,0)P x 在x 正半轴上运动，当线段
AP 与线段BP 之差达到最大时，点P 的坐标是 D
A . 1(,0)2
B . (1,0)
C . 3(,0)2
D . 5(,0)2
【解答】解：∵把A （1/2 ，y 1），B （2，y 2）代入反比例函数y =1/ x 得：y 1=2，y 2=1/2 ，
∴A （1/2 ，2），B （2，1/2 ），
∵在△ABP 中，由三角形的三边关系定理得：|AP －BP |＜AB ， ∴延长AB 交x 轴于P ′，当P 在P ′点时，P A －PB =AB ， 即此时线段AP 与线段BP 之差达到最大， 设直线AB 的解析式是y =kx +b ，
把A 、B 的坐标代入得： 2=1/2k +b ,1/2 =2k +b ， 解得：k =－1，b =5/2 ，
∴直线AB 的解析式是y =－x +5/2 ，
当y =0时，x =5/2 ， 即P （5/2 ，0）， 故选D ．
21.(2012湖北随州) 如图，直线l 与反比例函数
x y 2
=
的图象在第一象限内交于A 、B 两点，交x 轴的正半轴于
C 点,若AB ：BC =(m 一l )：1(m >l )则△OAB 的面积(用m 表示)为
A .m m 212-
B .m m 12-
C . m m )1(32-
D .m
m 2)1(32-
答案：B
B A
o
x
y
l
y
x
O
A
B
P
O
x
y
B A
C 22.（2013江苏苏州）如图，菱形OABC 的顶点C 的坐标为(3，4)，顶点A 在x 轴的正半轴上．反比例函数y ＝
k
x
(x ＞0)的图象经过顶点B ，则k 的值为 A ．12 B ．20 C ．24 D ．32
【答案】D ．
解：过C 点作CD ⊥x 轴，垂足为D ． ∵点C 的坐标为（3，4），∴OD =3，CD =4．
∴OC = OD 2+CD 2=32+42=5．∴OC =BC =5．∴点B 坐标为（8，4）， ∵反比例函数y =
k
x
（x ＞0）的图象经过顶点B ，∴k =32． 23.（2013山东临沂）如图，等边三角形OAB 的一边OA 在x 轴上，双曲线y ＝
3
x
在第一象限内的
图象经过OB 边的中点C ，则点B 的坐标是 A ．（1，3）B ．（3，1） C ．（2，23） D ．（23，2）
【答案】：C ．
24.(2013湖北孝感）如图，函数y =﹣x 与函数
的图象相交于A ，B 两点，过A ，B 两点分别作y 轴的垂线，
垂足分别为点C ，D ．则四边形ACBD 的面积为 A ． 2 B ． 4
C ． 6
D ． 8
解答： 解：∵过函数
的图象上A ，B 两点分别作y 轴的垂线，垂足分别为点C ，D ，
∴S △AOC =S △ODB =|k |=2， 又∵OC =OD ，AC =BD ， ∴S △AOC =S △ODA =S △ODB =S △OBC =2， ∴四边形ABCD 的面积为：S △AOC +S △ODA +S △ODB +S △OBC =4×2=8． 故选D ．
25.（2013四川内江）如图，反比例函数
（x ＞0）的图象经过矩形OABC 对角线的交点M ，分别于AB 、BC
交于点D 、E ，若四边形ODBE 的面积为9，则k 的值为
A ． 1
B ． 2
C ． 3
D ． 4
解答：解：由题意得：E、M、D位于反比例函数图象上，则S
△OCE
=，S△OAD=，过点M作MG⊥y轴于点G，作MN⊥x轴于点N，则S□ONMG=|k|，
又∵M为矩形ABCO对角线的交点，
∴S矩形ABCO=4S□ONMG=4|k|，
由于函数图象在第一象限，k＞0，则++9=4k，
解得：k=3．故选C．
26.(2013四川乐山)如图，已知第一象限内的点A在反比例函数y = 2
x的图象上，第二象限内的点B在反比例函
数y = k
x的图象上，且OA⊥0B，cotA=
3
3，则k的值为
A．－3 B.－6 C.－ 3 D.－2 3
27.（2013贵州省黔东南州）如图，直线y=2x与双曲线y=在第一象限的交点为A，过点A作AB⊥x轴于B，将△ABO绕点O旋转90°，得到△A′B′O，则点A′的坐标为
A .()1,0
B . ()1,0或()1,0-
C . ()2,0或()0,2-
D . ()2,1-或()2,1- 解答：
解：联立直线与反比例解析式得：
，
消去y 得到：x 2=1， 解得：x =1或﹣1， ∴y =2或﹣2，
∴A （1，2），即AB =2，OB =1， 根据题意画出相
应的图形，如图所示，
可得A ′B ′=A ′′B ′′=AB =2，OB ′=OB ′′=OB =1，
根据图形得：点A ′的坐标为（﹣2，1）或（2，﹣1）． 故选D ．
28. （2013•威海）如图，在平面直角坐标系中，∠AOB =90°，∠OAB =30°，反比例函数的图象经过点A ，
反比例函数的图象经过点B ，则下列关于m ，n 的关系正确的是（ ）
A ． m =﹣3n
B ． m =﹣
n
C ． m =﹣
n
D ． m =
n
解答： 解：过点B 作BE ⊥x 轴于点E ，过点A 作AF ⊥x 轴于点F ，
设点B 坐标为（a ，），点A 的坐标为（b ，），∵∠OAB =30°， ∴OA =
OB ， 设点B 坐标为（a ，），点A 的坐标为（b ，）， 则OE =﹣a ，BE =，OF =b ，AF =， ∵∠BOE +∠OBE =90°，∠AOF +∠BOE =90°， ∴∠OBE =∠AOF ， 又∵∠BEO =∠OF A =90°， ∴△BOE ∽△OAF ， ∴
=
=
，即
==，解得：m =﹣ab ，n =，
O x
y
A B C 故可得：m =﹣3n ．故选A ． 二、填空题
1.（2010湖北武汉）如图，直线y ＝3
x b +与y 轴交于点A ，与双曲线y ＝
k
x
在第一象限交于点B ，C 两点，且AB ⋅AC ＝4，则k ＝ ．
答案：
32.（2010 福建德化）如图，直线43y x =
与双曲线k
y x
=（0x >）交于点A ．将
直
线43y x =向下平移个6单位后，与双曲线k y x =（0x >）交于点B ，与x
轴交于点C ，则C 点的坐标为___________；若2AO BC =，则k = ．
【答案】
（)0,2
9
，12 3.（2010湖南衡阳）如图，已知双曲线)0k (x
k
y ＞=
经过直角三角形OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 相交于点C ．若△OBC 的面积为3， 则k ＝____________． 【答案】2
4.（2011宁波市）如图，正方形A 1B 1P 1P 2的顶点P 1、P 2在反比例函数y ＝2
x （x ＞0）的图像上，顶点A 1、B 1分
别在x 轴和y 轴的正半轴上，再在其右侧作正方形P 2P 3A 2B 2，顶点P 3在反比例函数y ＝2
x （x ＞0）的图象上，顶
点A 3在x 轴的正半轴上，则点P 3的坐标为 【答案】（3＋1，3－1）
5.（2011安徽芜湖）如图，在平面直角坐标系中有一正方形AOBC ，
反比例函数k
y x
=
经过正方形AOBC 对角线的交点，半径为（422）的圆内切于△ABC ，
则k 的值为 ． 【答案】4
6.（2011湖北武汉市）如图，
ABCD 的顶点A ，B 的坐标分别是A （－1，
0），B （0，－2），顶点C ，D 在双曲线y =
x
k
上，边AD 交y 轴于点E ，且四边形BCDE
的面积是△ABE 面积的5倍，则k =___ __．
x
y
第16题图
B
C E
D
o
Q P
A x
y
第16题图
H
F B
C
E
D
o
Q P
A 【答案】12
7.（2011湖北孝感） 如图，点A 在双曲线1
y
x
上，点B 在双曲线3y
x
上，且AB ∥x 轴，C 、D 在x 轴上，若四边形ABCD 的面积为矩形，则它的面积
为 . 【答案】2
8.（2011湖北荆州，16，4分）如图，双曲线2
(0)y
x x
经过四边形OABC 的顶点A 、C ，∠ABC ＝90°，OC 平分OA 与x 轴正半轴的夹角，AB ∥x 轴，将△ABC 沿AC 翻折后得到△AB ＇C ，B ＇点落在OA 上，则四边形OABC 的面积
是 . 【答案】2
9.（2012浙江温州）如图，已知动点A 在函数4
=
y x
(x >o )的图象上，AB ⊥x 轴于点B ，AC ⊥y 轴于点C ，延长CA 至点D ，使AD =AB ，延长BA 至点Ｅ，使
AE =AC .直线DE 分别交x 轴，y 轴于点P ,Q .当QE ：DP =4:9时，图中的阴影
部分的面积等于____________.
如图，作EF ⊥y 轴，DH ⊥x 轴，由题意得：
△QEF ∽△DHP ，∵QE ：DP =4:9设AC = a ,则AB =4
a
，
49
EF HP ,HP =9
4a ，∵△AED ∽△DHP ，
∴424
648==,==49934EA AD a a a a a DH HP a 得到：得：得：
S 阴影=2218+2a a =413
+3=3
3）
10.（2012•聊城）如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O ，且正方形的一组对边与x 轴平行，点P （3a ，a ）是反比例函数y =（k ＞0）的图象上与正方形的一个交点．若图中阴影部分的面积等于9，则这个反比例函数的解析式为 ．
解答： 解答：
解：∵反比例函数的图象关于原点对称，
∴阴影部分的面积和正好为正方形面积的，设正方形的边长为b ，则b 2=9，解得b =6， ∵正方形的中心在原点O ， ∴直线AB 的解析式为：x =3， ∵点P （3a ，a ）在直线AB 上， ∴3a =3，解得a =1， ∴P （3，1）， ∵点P 在反比例函数y =（k ＞0）的图象上， ∴k =3， ∴此反比例函数的解析式为：y =． 故答案为：y =
11.（2012•衢州）如图，已知函数y =2x 和函数的图象交于A 、B 两点，过点A 作AE ⊥x 轴于点E ，若△AOE 的面积为4，P 是坐标平面上的点，且以点B 、O 、E 、P 为顶点的四边形是平行四边形，则满足条件的P 点坐标是 P 1（0，﹣4）P 2
（﹣4，﹣4）P 3（4，4）
解答： 解：如图∵△AOE 的面积为4，函数
的图象过一、三象限，
∴k =8，
∵函数y =2x 和函数
的图象交于A 、B 两点，
∴A 、B 两点的坐标是：（2，4）（﹣2，﹣4）， ∵以点B 、O 、E 、P 为顶点的平行四边形共有3个， ∴满足条件的P 点有3个，分别为： P 1（0，﹣4），P 2（﹣4，﹣4），P 3（4，4）．
故答案为：P 1（0，﹣4），P 2（﹣4，﹣4），P 3（4，4）． 12.(2012甘肃兰州)如图，M 为双曲线y ＝
3
x
上的一点，过点M 作x 轴、y 轴的垂线，分别交直线y ＝－x ＋m 于点D 、C 两点，若直线y ＝－x ＋m 与y 轴交于点A ，与x 轴相交于点B ，则AD •BC 的值为 ． 解答： 解：作CE ⊥x 轴于E ，DF ⊥y 轴于F ，如图，
对于y ＝－x ＋m ，
令x ＝0，则y ＝m ；令y ＝0，－x ＋m ＝0，解得x ＝m ， ∴A (0，m )，B (m ，0)， ∴△OAB 等腰直角三角形，
∴△ADF 和△CEB 都是等腰直角三角形，
设M 的坐标为(a ，b )，则ab ＝，
CE ＝b ，DF ＝a ， ∴AD ＝
DF ＝
a ，BC ＝CE ＝
b ，
∴AD •BC ＝a •
b ＝2ab ＝2
． 故答案为2
．
13.（2012.深圳）如图，双曲线k
y (k 0)x
=
>与⊙O 在第一象限内交于P 、Q 两点，分别过P 、Q 两点向x 轴和y 轴作垂线，已知点P 坐标为(1，3)，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】4。

【分析】∵⊙O 在第一象限关于y =x 对称，k
y (k 0)x
=
>也关于y =x 对称，P 点坐
标是（1，3）， ∴Q 点的坐标是（3，1）， ∴S 阴影=1×3+1×3－2×1×1=4。

14.(2012•扬州)如图，双曲线y ＝经过Rt △OMN 斜边上的点A ，与直角边MN 相交
于点B ，已知OA ＝2AN ，△OAB 的面积为5，则k 的值是 12 ． 解答： 过A 点作AC ⊥x 轴于点C ，如图，
则AC ∥NM ， ∴△OAC ∽△ONM ，∴OC ：OM ＝AC ：NM ＝OA ：ON ，
而OA ＝2AN ，即OA ：ON ＝2：3，设A 点坐标为(a ，b )，则OC ＝a ，AC ＝b ， ∴OM ＝a ，NM ＝b ， ∴N 点坐标为(a ，b )， ∴点B 的横坐标为a ，设B 点的纵坐标为y ， ∵点A 与点B 都在y ＝图象上， ∴k ＝ab ＝a •y ， ∴y ＝b ，即B 点坐标为(a ，b )，
∵OA ＝2AN ，△OAB 的面积为5，∴△NAB 的面积为， ∴△ONB 的面积＝5＋＝
， ∴NB •OM ＝
，即×(b －b )×a ＝
，
∴ab ＝12， ∴k ＝12． 故答案为12．
15.（2012武汉）如图，点A 在双曲线y =的第一象限的那一支上，AB 垂直于x 轴与点B ，点C 在x 轴正半轴上，且OC =2AB ，点E 在线段AC 上，且AE =3EC ，点D 为OB 的中点，若△ADE 的面积为3，则k 的值为 ．
C
解答：解：连DC ，如图，
∵AE =3EC ，△ADE 的面积为3，∴△CDE 的面积为1， ∴△ADC 的面积为4，
设A 点坐标为（a ，b ），则AB =a ，OC =2AB =2a ，而点D 为OB 的中点， ∴BD =OD =b ，
∵S 梯形OBAC =S △ABO +S △ADC +S △ODC ，
∴（a +2a ）×b =a ×b +4+×2a ×b ， ∴ab =，
把A （a ，b ）代入双曲线y =， ∴k =ab =
．
16.(2012成都)如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线AB 与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，
与反比例函数k
y x
=
(k 为常数，且0k >)在第一象限的图象交于点E ，F ．过点E 作EM ⊥ y 轴于M ，过点F 作FN ⊥x 轴于N ，直线EM 与FN 交于点C ．若
BE 1
BF m
=(m 为大于l 的常数)．记△CEF 的面积为1S ，△OEF 的面积为2S ，则
1
2
S S =________． (用含m 的代数式表示) 答案：
1
1
m m （k 的几何意义，线段比的转化，面积的几种求法） 17.（2013湖北黄冈）已知反比例函数y ＝
6
x
在第一象限的图象如图所示，点A 在其图象上，点B 为x 轴正半轴上一点，连接AO 、AB ，且AO ＝AB ，
则S △AOB ＝ ．
【答案】6．
【解析】如下图，过点A 作AC ⊥OB 于点C ，∵AO ＝AB ，∴OC ＝BC ．而AC ＝AC ，AO
＝
AB
，
∴△AOC ≌△ABC ．∴S △AOC ＝S △ABC ．设点A 的坐标为(x ，
＝y ，OC ＝x ，∴S △AOB ＝2S △AOC ＝2×1
2
×OC ·AC ＝xy ＝6．
y )(x ＞0，y ＞0)，则xy ＝6，AC
18.（2013四川宜宾）如图，直线x y 34=
与双曲线)0(>=x x k y 交于点A ，将直线x y 3
4
=向右平移29个单位
后，与双曲线)0(>=x x k y 交于点B ，与x 轴交于点C ，若
2=BC
AO
，则k = ．
【答案】12．
【解析】首先求出平移后直线的解析式，然后直线x y 34=
与双曲线)0(>=x x
k
y 两解析式联立方程组求出点A 的纵坐标，平移后的直线解析式x y 34=－6与双曲线)0(>=x x
k
y 两解析式联立方程组，求出点B 的纵坐
标，根据相似三角形对应边成比例的性质可得A 、B 的纵坐标的比等于AO ：BC ，然后列出方程求解即可． 19.（2013四川泸州）如图，()111P ,x y ，()222P ,x y ，
……()P ,n n n x y 在函数()1
0y x x
=>的图像上，11P OA ∆，212P A A ∆，323P A A ∆，……1P A A n n n -∆都是等腰直角三角形，斜边1OA 、12A A 、23A A ，……1A A n n -都在x 轴
上（n 是大于或等于2的正整数），则点3P 的坐标是 ；
点n P 的坐标是 （用含n 的式子表示）． y
x
P 1
P 2
P 3A 3
A 2A 1
O
【答案】
(
)32,32+-；
(
)
1,1n n n n +---
【解析】过点P 1作P 1E ⊥x 轴于点E ，过点P 2作P 2F ⊥x 轴于点F ，过点P 3作P 3G ⊥x 轴于点G ，根据△P 1OA 1，△P 2A 1A 2，△P 3A 2A 3都是等腰直角三角形，可求出P 1，P 2，P 3的坐标，从而总结出一般规律得出点P n 的坐标． 21.（2013山东日照）如右图，直线AB 交双曲线x
k
y =
于Ａ、B ，交x 轴于点C ,B 为线段AC 的中点，过点B 作BM ⊥x 轴于M ，连结OA .若OM =2MC ,S ⊿OAC =12.则k 的值为___________.
【答案】8
【解析】过点A 作AD ⊥x 轴于点D ,则△ADO 的面积为
2
1k , ∵BM ⊥x 轴,∴AD ∥BM , ∵B 为线段AC 的中点，∴BM 为△ADC 的中位线，∴DM =MC , ∵OM =2MC , ∴OD =DM =MC . ∴S ⊿OAC =3S ⊿OAD ,=12=
k 2
3
，∴k =8.
22.（2013•宁波）如图，等腰直角三角形ABC顶点A在x轴上，∠BCA=90°，AC=BC=2，反比例函数y=（x ＞0）的图象分别与AB，BC交于点D，E．连结DE，当△BDE∽△BCA时，点E的坐标为．
【答案】．（，）．
【解析】如图，∵∠BCA=90°，AC=BC=2，反比例函数y=（x＞0）的图象分别与AB，BC交于点D，E，
∴∠BAC=∠ABC=45°，且可设E（a，），D（b，），
∴C（a，0），B（a，2），A（2﹣a，0），
∴易求直线AB的解析式是：y=x+2﹣a．
又∵△BDE∽△BCA，
∴∠BDE=∠BCA=90°，
∴直线y=x与直线DE垂直，
∴点D、E关于直线y=x对称，则=，即ab=3．
又∵点D在直线AB上，
∴=b+2﹣a，即2a2﹣2a﹣3=0，
解得，a=，
∴点E的坐标是（，）．
23.（2013•自贡）如图，在函数的图象上有点P1、P2、P3…、P n、P n+1，点P1的横坐标为2，且后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是2，过点P1、P2、P3…、P n、P n+1分别作x轴、y轴的垂线段，构成若干个矩形，如图所示，将图中阴影部分的面积从左至右依次记为S1、S2、S3…、S n，则S1= 4 ，S n= ．（用含n的代数式表示）
解答：解：当x=2时，P1的纵坐标为4，
当x=4时，P2的纵坐标为2，
当x=6时，P3的纵坐标为，
当x=8时，P4的纵坐标为1，
当x=10时，P5的纵坐标为：，
则S1=2×（4﹣2）=4=2[﹣]；
S 2=2×（2﹣）=2×=2[﹣]； S 3=2×（﹣1）=2×=2[﹣
]；
Sn =2[
﹣
]=
； 故答案为：4，
．
24.（2013•遵义）如图，已知直线y =x 与双曲线y =（k ＞0）交于A 、B 两点，点B 的坐标为（﹣4，﹣2），C 为双曲线y =（k ＞0）上一点，且在第一象限内，若△AOC 的面积为6，则点C 的坐标为 （2，4） ． 解答
：
解：∵点B （﹣4，﹣2）在双曲线y =上，∴
=﹣2，∴k =8，
根据中心对称性，点A 、B 关于原点对称，所以，A （4，2）， 如图，过点A 作AE ⊥x 轴于E ，过点C 作CF ⊥x 轴于F ，设点C 的坐标为（a ，），
则S △AOC =S △COF +S 梯形ACFE ﹣S △AOE =×8+×（2+）（4﹣a ）﹣×8，
=4+﹣4，=，
∵△AOC 的面积为6， ∴=6，整理得，a 2+6a ﹣16=0，解
得a 1=2，a 2=﹣8（舍去）， ∴==4，∴点C 的坐标为（2，4）．故答案为：（2，4）．
25.(2013年武汉)如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，BC ＝2AB ，A ，B 两点的坐标分别是（－1，0），（0，2），C ，D 两点在反比例函数)0(<=
x x
k
y 的图象上，则k 的值等于 ． 答案：－12 解析：如图，过C 、D 两点作x 轴的垂线，垂足为F 、G ，CG 交AD 于M 点，过D 点
作DH ⊥CG ，垂足为H ，
∵CD ∥AB ，CD =AB ，∴△CDH ≌△ABO （AAS ），
∴DH =AO =1，CH =OB =2，设C （m ，n ），D （m －1，n －2）， 则mn ＝（m －1）（n －2）=k ，解得n =2－2m ，
设直线BC 解析式为y =ax +b ，将B 、C 两点坐标代入得
y
x
第15题图
D
C B
A
O
2
b n am b
=⎧⎨
=+⎩，又n =2－2m ， BC ＝22(2)m n +-＝25m ，AB ＝5，因为BC ＝2AB ，
解得：m ＝－2，n ＝6，所以，k ＝mn ＝－12
26.(咸宁)如图，一次函数y ax b =+的图像与x 轴、y 轴交于A B 、两点，与反
比例函数k
y x
=
的图象相交于C D 、两点，分别过C D 、两点作y 轴、x 轴
的垂线，垂足为E F 、，连接CF DE 、。

有以下四个结论：①CEF DEF S S ∆∆=；②AOB FOE ∆∆∽；③DCE CDF ∆∆≌；④AC BD =.其中正确的结论是 .
三、解答题
1.(2010兰州) 如图，P 1是反比例函数)0(＞k x k
y =
在第一象限图
像上的一点，
点A 1 的坐标为(2，0)．
（1）当点P 1的横坐标逐渐增大时，△P 1O A 1的面积 将如何变化？
（2）若△P 1O A 1与△P 2 A 1 A 2均为等边三角形，求 此反比例函数的解析式及A 2点的坐标．
2.（2010内蒙呼和浩特）在平面直角坐标系中，函数y ＝
m
x
（x ＞0，m 是常数）的图像经 过点A （1，4）、点B （a ，b ），其中a ＞1.过点A 作x 中的垂线，垂足为C ，过点B 作y 轴的垂线，垂足为D ，AC 与BD 相交于点M ，连结AD 、DC 、CB 与AB . （1）求m 的值； （2）求证：DC ∥AB ；
（3）当AD ＝BC 时，求直线AB 的函数解析式.
F
E
D C
B
A o x
y
【答案】解：（1）∵点A （1，4）在函数y ＝
m
x
的图像上， ∴4＝
1
m
，得m ＝4.……………………………2分 （2）∵点B （a ，b ）在函数y ＝
m
x
的图像上，∴ab ＝4. 又∵AC ⊥x 轴于C ，BD ⊥y 轴于D 交AC 于M ，∴AC ⊥BD 于M ∴M （1，b ），D （0，b ），C （1，0） ∴tan ∠BAC ＝
BM AM ＝14a b
--＝1a ab b --＝1b ，tan ∠DCM ＝DM MC ＝1
b ……………4分
∴tan ∠BAC ＝tan ∠DCM ，
所以锐角∠BAC ＝∠DCM ，DC ∥AB………………………………………………6分 （3）设直线AB 的解析式为y ＝kx ＋b
∵AB ∥CD ，AD ＝BC ，∴四边形ABCD 是平行四边形或等腰梯形. ① 四边形ABCD 是平行四边形时，AC 与BD 互相平分， 又∵AC ⊥BD ，∴B （2，2） ∴4
22k b k b +=⎧⎨+=⎩
，解得26k b =-⎧⎨=⎩
∴直线AB 的解析式为：y ＝－2x ＋6.………………8分 ②当四边形ABCD 是等腰梯形时， BD 与AC 相等且垂直，∵AC ＝BD ＝4， ∴B （4，1）
∴同理可求直线AB 的解析式为y ＝－x ＋5.…………………10分
3.（2010年福建省泉州）我们容易发现：反比例函数的图象是一个中心对称图形.你
可以利用这一结论解决问题.如图，在同一直角坐标系中，正比例函数的图象可以看作是：将x 轴所在的直线绕着原点O 逆时针旋转α度角后的图形.若它与反比例函数x
y 3
=的图象分别交于第一、三象限的点B 、D ，已知点)0,(m A -、)0,(m C .
（1）直接判断并填写：不论α取何值，四边形ABCD 的形状一定是 ; （2）①当点B 为)1,(p 时，四边形ABCD 是矩形，试求p 、α、和m 有值； ②观察猜想：对①中的m 值，能使四边形ABCD 为矩形的点B 共有几个？(不必说理)
（3）试探究：四边形ABCD 能不能是菱形？若能, 直接写出B 点的坐标, 若不能, 说明理由.
【答案】解：（1）平行四边形 …………（3分）
（2）①∵点)1,(p B 在x y 3=
的图象上，∴p
3
1= ∴3=p ………………………………（4分） 过B 作E x BE 轴于⊥，则13==，BE OE
在BOE Rt ∆中，33
3
1tan =
==OE BE α α=30°
∴2=OB
又∵点B 、D 是正比例函数与反比例函数图象的交点， ∴点B 、D 关于原点O 成中心对称
∴OB =OD =2
∵四边形ABCD 为矩形，且)0,(m A - )0,(m C
∴2====OD OC OB OA ∴2=m ；
②能使四边形ABCD 为矩形的点B 共有2个；
（3）四边形ABCD 不能是菱形.
法一：∵点A 、C 的坐标分别为)0,(m -、)0,(m ∴四边形ABCD 的对角线AC 在x 轴上.
又∵点B 、D 分别是正比例函数与反比例函数在第一、三象限的交点. ∴对角线AC 与BD 不可能垂直. ∴四边形ABCD 不能是菱形
法二：若四边形ABCD 为菱形，则对角线AC ⊥BD ，且AC 与BD 互相平分， 因为点A 、C 的坐标分别为（－m ，0）、（m ，0）
所以点A 、C 关于原点O 对称，且AC 在x 轴上. 所以BD 应在y 轴上，这与“点B 、D 分别在第一、三
象限”矛盾， 所以四边形ABCD 不可能为菱形.
4.（2010广西柳州）如图，过点P (－4，3)作x 轴、y 轴的垂线，分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，交双曲线x
k
y =（k ≥2）于E 、F 两点．
（1）点E 的坐标是________，点F 的坐标是________；（均用含k 的式子表示） （2）判断EF 与AB 的位置关系，并证明你的结论；
（3）记OEF PEF S S S ∆∆-=，S 是否有最小值？若有，求出其最小值；若没有，请说明理由．
解：（1）E （－4，－
4k ），F （3
k ，3） ……3分 （2）（证法一）结论：EF ∥AB
证明：∵ P （－4，3） ∴ E （－4，－4k ），F （3
k ，3）， 即得：PE =3+4k ，PF =3
k
+4 … ∵
1212433+=
+
=k k PE
PA ，
12
12
344+=
+
=k k
PF
PB
∠APB =∠EPF ∴ △P AB ∽△PEF ∴ ∠P AB =∠PEF ∴ EF ∥AB （证法二）结论：EF ∥AB
证明：∵ P （－4，3） ∴ E （－4，－4k ），F （3
k
，3）， 即得：PE =3+
4k ，PF =3
k
+4 … 在Rt △P AB 中，tan ∠P AB =
3
4
=PA PB 在Rt △PEF 中，tan ∠PEF =
34
4
34
3=+
+=k k PE
PF ∴ tan ∠P AB = tan ∠PEF ∴ ∠P AB =∠PEF ∴ EF ∥AB
（3）（方法一）S 有最小值
∵ k S S S S FBO EAO PAOB PEDF +=++=∆∆12矩形四边形 ∴ k S S S S PEF PEF PEDF EOF +-=-=∆∆∆12四边形 由（2）知，)43
)(43(2121++=⋅⋅=
∆k
k PF PE S PEF ∴ S =k S S S PEF OEF PEF --=-∆∆∆122
=3)6(12
1
1222-+=+k k k 又∵ k ≥2，此时S 的值随k 值增大而增大，
∴ 当k =2时，3
7
=最小S ∴S 的最小值是37
（方法二） S 有最小值．
分别过点E 、F 作PF 、PE 的平行线，交点为P ′．由（2）知，P ′⎪⎭⎫ ⎝⎛-43
k k
， ∵ 四边形PEP ′为矩形，∴ S △P ′EF = S △PEF
∴ S =S △PEF － S △OEF = S △P ′EF － S △OEF = S △OME +S 矩形OMP ′N + S △ONF
=21222k k k ++=22k +k =3)6(12
1
2-+k 又∵ k ≥2，此时S 的值随k 值增大而增大， ∴ 当k =2时，S 最小=
37∴ S 的最小值是3
7
． 5.（2010 四川绵阳）如图，已知正比例函数y = ax （a ≠0）的图象与反比例函致x
k
y =
（k ≠0）的图象的一个交点为A （－1，2－k 2），另—个交点为B ，且A 、B 关于原点O 对称，D 为OB 的中点，过点D 的线段OB 的垂直平分线与x 轴、y 轴分别交于C 、E ．
（1）写出反比例函数和正比例函数的解析式； （2）试计算△COE 的面积是△ODE 面积的多少倍． 【答案】（1）由图知k ＞0，a ＞0．∵ 点A （－1，2－k 2）在x
k
y =
图象上， ∴ 2－k 2 =－k ，即 k 2－k －2 = 0，解得 k = 2（k =－1舍去），得反比例函数为x
y 2
=． 此时A （－1，－2），代人y = ax ，解得a = 2，∴ 正比例函数为y = 2x ． （2）过点B 作BF ⊥x 轴于F ．∵ A （－1，－2）与B 关于原点对称， ∴ B （1，2），即OF = 1，BF = 2，得 OB =5．
由图，易知 Rt △OBF ∽Rt △OCD ，∴ OB : OC = OF : OD ，而OD = OB ∕2 =5∕2，
∴ OC = OB · OD ∕OF = 2.5．由 Rt △COE ∽Rt △ODE 得 5)5
225()(2
2=⨯==∆∆OD OC S S ODE COE ， 所以△COE 的面积是△ODE 面积的5倍．
7.（2010湖北荆州）已知：关于x 的一元二次方程()0122
2
=+-+k x k x 的
两根21,x x 满足02
221=-x x ，双曲线x
k
y 4=
(x ＞0)经过Rt △OAB 斜边OB 的中点D ，与直角边AB 交于C （如图），求OBC △S ． 【答案】解：()0122
2
=+-+k x k x 有两根
∴ ()04122
2
≥--=∆k k
即 4
1≤
k 由02
22
1=-x x 得：()()02121=+-x x x x 当021=+x x 时，()012=--k 解得 2
1
=
k ，不合题意，舍去 当021=-x x 时，21x x =，()04122
2
=--=∆k k
解得：4
1
=
k 符合题意 ∴双曲线的解析式为：x
y 1
=
过D 作DE ⊥OA 于E ， 则2
1121S S OCA ODE =⨯==∆∆ ∵DE ⊥OA ，BA ⊥OA
∴DE ∥AB ∴△ODE ∽△OBA
∴42
=⎪⎭
⎫
⎝⎛=∆∆OD OB S S ODE OBA ∴2214=⨯=∆OBA
S ∴2
3
212=-
=-=∆∆∆OCA OBA OBC S S S 8．（2010北京）已知反比例函数y = k
x
的图像经过点A （—3，1）
（1）试确定此反比例函数的解析式．
（2）点O 是坐标原点，将线段OA 绕点O 顺时针旋转30°得到线段OB ，判断点B 是否在反比例函数的图
像上，并说明理由．
（3）已知点P （m m +6）也在此反比例函数的图像上（其中m ＜0），过p 点作x 轴的的垂线，交x
轴于点M ，若线段PM 上存在一点Q ，使得△OQM 的面积是1
2
，设Q 点的纵坐标为n ，求n 2－n +q 的值．
【答案】解：（1）由题意德
解得 k =
∴ 反比例函数的解析式为y = x
-
（2）过点A 作x 轴的垂线交x 轴于点C ， 在Rt △AOC 中，OC ，AC =1
可得OA ，∠AOC =30°
由题意，∠AOC =30°，OB =OA =2， ∴∠BOC =60°
过点B 做x 轴的垂线交x 轴于点D ， 在Rt △BOD 中，可得， BD ， OD =1
∴ 点B 坐标（－1） 将x =－1代入y = y ．
∴点B （－1y = x
-
的图像上．
（3）由y = x
-
得xy =
∵ 点P （m m +6）在反比例函数的y = x
-
的图像上，m ＜0
∴ m m +6 ）= ∴2
10m ++=
∵PQ ⊥x 轴 ∴Q 点的坐标（m ，n ） ∵ △OQM 的面积为
12 ∴12OM .QM =12
∵ m ＜0 ∴ m .n =－1 ∴22220m n n ++=
∴2
1n -=- ∴2
98n ++=．
9.（2011广东广州市）已知Rt △ABC 的斜边AB 在平面直角坐标系的x 轴上，点C （1，3）在反比例函数y = k
x
的图象上，且sin ∠BAC = 3
5．
（1）求k 的值和边AC 的长； （2）求点B 的坐标．
【答案】（1）把C （1，3）代入y = k
x 得k =3
设斜边AB 上的高为CD ，则sin ∠BAC =CD AC =3
5
∵C （1，3） ∴CD =3，∴AC =5
（2）分两种情况，当点B 在点A 右侧时，如图1有： AD =52－32=4，AO =4－1=3 ∵△ACD ∽ABC
∴AC 2=AD ·AB
∴AB =AC 2AD =254 ∴OB =AB －AO =254－3=13
4
此时B 点坐标为（13
4，0）
图1 图2
当点B 在点A 左侧时，如图2 此时AO =4＋1=5 OB = AB －AO =254－5=5
4
此时B 点坐标为（－54，0） 所以点B 的坐标为（134，0）或（－5
4，0）．
10.（2011山东聊城）如图，已知一次函数y ＝kx ＋b 的图象交反比例函数
42m
y x
-=
（x >0）图象于点A 、B ，交x 轴于点C ． （1）求m 的取值范围；
（2）若点A 的坐标是（2，－4），且1
3
BC AB =，求m 的值和一次函数的解析式；
【答案】（1）因反比例函数的图象在第四象限，所以4－2m ＜0，解得m ＞2；（2）因
点A (2，－4)在反比例函数图象上，所以－4＝
2
24m
-，解得m ＝6，过点A 、B 分别作AM ⊥OC 于点M ，BN ⊥OC x y
B A C
D O O x
y
B A C
D。