概率论与数理统计期末考试试卷答案

《概率论与数理统计》
试卷A
一、单项选择题(本大题共２０小题，每小题２分,共４0分) １、A ，Ｂ为二事件，则A
B =
()
A 、A
B Ｂ、A B
C 、A B Ｄ、A B
２、设A,Ｂ,C 表示三个事件，则A B C 表示(
)
A 、A ，Ｂ,C 中有一个发生
B 、A,B ，
C 中恰有两个发生
Ｃ、A,B,C 中不多于一个发生 D 、A ，Ｂ，C 都不发生 3、A 、Ｂ为两事件，若()0.8P A
B =,()0.2P A =,()0.4P B =,则()成立
A 、()0.32P A
B = B 、()0.2P A B =
C 、()0.4P B A -=
D 、()0.48P B A = ４、设Ａ,B 为任二事件,则(
)
A 、()()()P A
B P A P B -=- B 、()()()P A
B P A P B =+
C 、()()()P AB P A P B =
D 、()()()P A P AB P AB =+ 5、设事件A 与B 相互独立，则下列说法错误的是(
)
A 、A 与
B 独立 B 、A 与B 独立Ｃ、()()()P AB P A P B = D 、A 与B 一定互斥 6、设离散型随机变量X 的分布列为
其分布函数为()F x ，则(3)F =()
Ａ、０ Ｂ、０。

3 Ｃ、0。

8 D 、1
7、设离散型随机变量X 的密度函数为4,[0,1]()0,
cx x f x ⎧∈=⎨⎩其它,则常数c =
()
A 、
15 B 、1
4
C 、4
D 、５ ８、设X ～)1,0(N
，密度函数2
2
()x x ϕ-=,则()x ϕ的最大值是(
)
Ａ、0 B 、1 C
D
、
9、设随机变量X 可取无穷多个值0，1，2,…，其概率分布为3
3(;3),0,1,2,!
k p k e k k -==,则下式成立的是
()
A 、3EX DX ==
B 、13
EX DX == C 、13,3EX DX == D 、1
,93
EX DX ==
10、设X 服从二项分布Ｂ(n,p)，则有(
)
A 、(21)2E X np -=
B 、(21)4(1)1D X np p +=-+
C 、(21)41E X np +=+
D 、(21)4(1)D X np p -=-
11、独立随机变量,X Y ，若X~N(1,４)，Y ～N （3，1６），下式中不成立的是(
)
Ａ、()4E X Y += Ｂ、()3E XY = C 、()12D X Y -= D 、()216E Y += 12、设随机变量X 的分布列为:
则常数c ＝(
)
A 、０
B 、1
C 、
1
4 Ｄ、14
-
1３、设X ～)1,0(N ,又常数c 满足{}{}P X c P X c ≥=<,则c 等于()
A 、1 Ｂ、0 C 、
1
2 D 、—1 1４、已知1,3EX DX =-=,则(
)2
32E X ⎡⎤-⎣
⎦
=(
)
A 、9
B 、6 Ｃ、３0 D 、36 1５、当X 服从（ ）分布时,EX DX =。

A 、指数
B 、泊松
C 、正态
D 、均匀 1６、下列结论中,(
)不是随机变量X 与Y 不相关的充要条件。

A 、()()()E XY E X E Y =
B 、()D X Y DX DY +=+
C 、(),0Cov X Y =
D 、X 与Y 相互独立
17、设X ~),(p n b 且6 3.6EX DX ==，
，则有()
A 、100.6n p ==，
Ｂ、200.3n p ==， C 、150.4n p ==，
Ｄ、120.5n p ==， 18、设()()(),,,p x y p x p y ξη分别是二维随机变量(),ξη的联合密度函数及边缘密度函数，则(
)是ξ与
η独立的充要条件。

A 、()E E E ξηξη+=+
B 、()D D D ξηξη+=+
C 、ξ与η不相关
D 、对,,x y ∀有()()(),p x y p x p y ξη= １９、设是二维离散型随机变量,则X 与Y 独立的充要条件是(
)
A 、()E XY EXEy =
B 、()D X Y DX DY +=+ Ｃ、X 与Y 不相关 D 、对(),X Y 的任何可能取值()
,i j x y i j i j P P P = ２0、设(),X Y 的联合密度为40()xy x p x y ≤≤⎧=⎨
⎩，，
y 1，0，
其它,
若()F x y ，为分布函数，则(0.52)F =，()
A 、0 Ｂ、
14 C 、1
2
D 、1
二、计算题(本大题共6小题,每小题7分,共42分）
1、 若事件 A 与B 相互独立，()0.8P A =()0.6P B =．求：()P A B +和{()}P A A B +
2、 设随机变量(24)X N ，,且(1.65)0.95Φ=.求( 5.3)P X ≥
3、 已知连续型随机变量ξ的分布函数为0,0
()04414
x x F x x x ≤⎧
⎪⎪
=<≤⎨
⎪>⎪⎩
，，
，求ξE 和ξD 。

4、 设连续型随机变量X 的分布函数为()F x A Barctgx x =+-∞<<+∞
求:(1)常数Ａ和Ｂ；
(２)X 落入(—1,1）的概率;
(3)X 的密度函数()f x
5、某射手有3发子弹，射一次命中的概率为
2
3
,如果命中了就停止射击, 否则一直独立射到子弹用尽。

求：（1）耗用子弹数X 的分布列;（2)EX ;(３）DX
6、设(),ξη的联合密度为40()xy x p x y ≤≤⎧=⎨⎩
，，
y 1，0，其它,
求:（1)边际密度函数(),()p x p y ξη;(2）,E E ξη；(３）ξ与η是否独立
三、解答题（本大题共２小题，每小题9分，共18分)
2、设10~(,)(0)0x
e
x f x θξθθθ
-⎧>⎪=>⎨⎪⎩
其它
12,,...,n x x x 。

为 ξ的一组观察值，求θ的极大似然估计。

概率论与数理统计试卷答案及评分标准
一、单项选择题（本大题共20小题,每小题２分，共4０分)
二、计算题（本大题共6小题,每小题7分,共42分)
1、 解:∵A 与B 相互独立
∴()()()()P A B P A P B P AB +=+-………（１分)
()()()()P A P B P A P B =+-0.80.60.8?0.6=+-0.92=
又[()]
()()
P A A B P A A B P A B ++=
+………(１分)
()()()
()()
P AB P A P B P A B P A B =
=++………（2分)
0.13=………(1分)
2、 解：( 5.3)1P X ⎛⎫
≥=- ⎪⎝⎭
5.3-2Φ2………(5分)1(1.65)10.950.05=-=-=Φ 3、解:由已知有()0,4U ξ
………(3分）则:22
a b
E ξ+=
= ()2
4
12
3
b a D ξ-=
=
4、解:（1)由()0F -∞=,()1F +∞=
有：0212
A B A B ππ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩解之有：12A =，1B π=………(3分）
(2）1
(11)(1)(1)2
P X F F -<<=--=………（2分) (3)21
()()(1)
f x F x x π'==
+………(2分）
５、解:（1)
………（3分)
（２)3
1
22113
1233999i i
i EX x p ==
=⨯+⨯+⨯=∑………（２分）
（3） ∵3
2
222
21
221231233999i i
i EX x p ==
=⨯+⨯+⨯=∑ ∴22
2231338
()()9981
DX EX EX =-=
-=………(2分) 6、解:（1）∵10
()()42p x p x y dy xydy x ξ+∞-∞
=
==⎰
⎰，
∴20()x x p x ξ≤≤⎧=⎨⎩
，1
0，其它
同理：20()y y p x η≤≤⎧=⎨⎩，1
0，其它
………(3分)
(2）120
2
()23
E xp x dx x dx ξξ+∞-∞
=
==
⎰
⎰同理:23E η=
(3)∵()()()p x y p x p y ξη=，
∴ξ与η独立 三、应用题(本大题共2小题,每小题9分,共１8分) 1、 解:12,,...,n x x x 的似然函数为：
1
1
1211
1
(,,...,)n
i
i
i x n
x n n
i L x x x e
e
θ
θ
θθθ
=-
-
=∑==
∏，………(3分）
1
1
()ln n
i i Ln L n x θθ
==--
∑ 2
1
()1
0n
i
i dLn L n x
d θθθ
==-+=∑
解之有:1
1n
i i x X n θ===∑………(６分)
4、设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且已知1)]2)(1[(=--X X E 求λ。

解:λ==)()(X D X E , (2)
12)(3)]([)( )
23()]2)(1[(2
2=+-+=+-=--X E X E X D X X E X X E ……。

２分
所以0122=+-λλ，得1=λ。

…….1分
三、(共18分,每题6分)
1、设总体),6,52(~2N X 现随机抽取容量为3６的一个样本，求样本均值X 落入(5０。

8，５３。

８）之间的概率.
解:)1,52(~N X , (2)
}8.538.50{<<X P =)528.50()528.53(-Φ--Φ
)2.1()8.1(-Φ-Φ=＝8849.019641.0+-….3分
849.0= (1)
2、设随机变量X 的分布函数为 ⎪⎩
⎪
⎨⎧>-≤<≤=--.1 ,1,10 ,,0 ,)()1(x Ae x B x Ae x F x x
求:(1)A , B 的值;（2）}3
1
{>X P 。

解:(１)由连续型随机变量分布函数的连续性,得
)0()(lim 0
F x F x =-→，)1()(lim 1
F x F x =-→,
即⎩⎨⎧-==A
B B A 1 解得5.0==B A ………。

3分 (２)5.05.01)3
1
(1}31{=-=-=>F X P (3)
概率论与数理统计B 试题 班级 姓名 学号第 3 页
3、箱子中有一号袋1个，二号袋2个.一号袋中装1个红球，2个黄球,二号袋中装2个红球,1个黄球，今从箱子中任取一袋，从中任取一球,结果为红球,求这个红球是从一号袋中取得的概率。

解:设i A ={从箱子中取到i 号袋｝，2,1=i
Ｂ=｛抽出的是红球}
)|()()|()()(2211A B P A P A B P A P B P +=………。

２分
9
5
32323131=⨯+⨯=
………．1分 )
|()()
|()()|(2
1111i i i A B P A P A B P A P B A P ∑==
5
1
=……….3分 四、(8分） 设随机变量X 具有密度函数 ⎩⎨⎧<<=.
,010 , )(其它，
x Ax x f
求（1)常数A ;（２）X 的分布函数。

（１）因为 1)(⎰+∞
∞-=dx x f (2)
所以 11
0=⎰xdx A 得 2=A ……….2分
(2）⎪
⎩⎪⎨⎧≥<≤<=⎰.
1 ,1,10 ,2,0 ,0)(0x x xdx x x F x
=⎪⎩
⎪⎨⎧≥<≤<.1 ,1,10 ,,0 ,02
x x x x (4)
五、(8分）某箱装有100件产品,其中一、二、三等品分别为 6０、30、10件，现从中随机抽取一件,记
. ,0 ,1⎩⎨⎧=等品没有抽到等品若抽到i i X i ，求21X X ，的联合分布律.
解:设321,,A A A 分别表示抽到一、二、三等品，
1.0)()0,0(321====A P X X P ，6.0)()0,1(121====A P X X P 3.0)()1,0(221====A P X X P ,0)1,1(21===X X P 21X X ，的联合分布律为
………。

8分(每个2分）
六、(10分）设随机变量X 和Y 的联合概率密度为
⎩⎨
⎧<<<=.
,0,
10 ,15),(2其它y x y x y x f （1） 求边缘概率密度；（2)判断随机变量X 和Y 是否独立．
7、已知随机向量（X ,Y )的联合密度函数
⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=其他
,
010,20,
2
3
),(2y x xy y x f ,则
E （X ）=3
4.
８、随机变量X 的数学期望μ=EX ,方差2σ=DX ，k 、b 为常数,则有)(b kX E +＝,k b μ+;)(b kX D +=22k σ。

9、若随机变量X ~N （-２，4)，Ｙ ~Ｎ (３，９),且Ｘ与Y 相互独立。

设Z =2X －Y +5，则Z ~N(—2， 25)。

10、θθθ是常数21ˆ ,ˆ的两个 无偏 估计量,若)ˆ()ˆ(21θθD D <,则称1ˆθ比2
ˆθ有效. １、设A 、B 为随机事件,且P （A ）=０.4,P (Ｂ）=０.3， P （A ∪Ｂ)=0。

6，则P (B A ）=＿0.３_＿。

2、设X ~Ｂ（2，ｐ），Y ~B （3，p ）,且P {Ｘ ≥ 1｝=9
5,则P {Y ≥ 1｝=27
19。

3、设随机变量X 服从参数为２的泊松分布,且Y =3X —２, 则E （Y ）=4 .
4、设随机变量X 服从［0，２]上的均匀分布,Y =２X +1,则D (Y ）=４/3 。

5、设随机变量Ｘ的概率密度是：
⎩⎨
⎧<<=其他
103)(2
x x x f ,且{}784
.0=≥αX P ,则α=0。

6 。

6、利用正态分布的结论,有
⎰
∞
+∞
---=+-dx e x x x 2
)2(22
)44(21
π
1 .
7、已知随机向量(X ,Y )的联合密度函数
⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=其他
,
010,20,
2
3
),(2y x xy y x f ,则
E (Y )=３/4 。

8、设(X ,Y ）为二维随机向量，D （X ）、D (Ｙ)均不为零。

若有常数a ＞0与ｂ使
{}1=+-=b aX Y P ,则Ｘ与Y 的相关系数=XY ρ—1。

９、若随机变量X ~N （1,4)，Y ~N (2,9),且Ｘ与Y 相互独立.设Z ＝Ｘ-Ｙ＋3,则Z ～N （２， 13)。

10、设随机变量X ~N (1/２,２)，以Ｙ表示对Ｘ的三次独立重复观察中“2/1≤X ”出现的次数,则}2{=Y P =３/8 。

1、设Ａ，B 为随机事件,且P (Ａ)=０。

7，P （A-B)＝0.３,则=⋃)(B A P 0.6 .
2、四个人独立地破译一份密码,已知各人能译出的概率分别为6
1,31,41,51,则密码能被译出的概率是１１/２4。

5、设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且{}{}
423===X P X
P ,则λ＝6 。

6、设随机变量Ｘ ～ N （1, 4)，已知Φ（0.5）＝0。

6９1５，Φ（1。

5)=0.9３３２，则{}
=<2X P 0。

６247。

７、随机变量X 的概率密度函数1
22
1
)(-+-=
x x
e x
f π
,则E (X ）=1 。

8、已知总体Ｘ ~ N (0， 1),设X １,Ｘ2,…,X ｎ是来自总体X 的简单随机样本，则
∑=n
i i
X
1
2~)(2
n x .
9、设T 服从自由度为n 的ｔ分布,若{}
αλ=>T P ，则{
}=-<λT P 2
a 。

10、已知随机向量（X ，Ｙ）的联合密度函数⎩⎨
⎧≤≤≤≤=其他
,
010,20,),(y x xy y x f ，则E （X )=4/3。

１、设A,B 为随机事件，且P (Ａ)＝0。

6, P (AB ）= P (B A ), 则Ｐ(B ）＝0.4 。

2、设随机变量X 与Ｙ相互独立,且
5.05
.01
1P
X -,
5
.05.01
1P
Y -，则P （Ｘ＝Y )＝＿ 0。

５＿。

３、设随机变量X 服从以n , p 为参数的二项分布,且EX ＝１5,DX =10,则n =45 .
4、设随机变量),(~2
σμN X ,其密度函数
6
4
4261)(+--
=
x x e
x f π
,则μ＝２ .
5、设随机变量X 的数学期望EX 和方差D Ｘ〉0都存在，令DX
EX X Y
/)(-=,则D Ｙ=1 。

6、设随机变量Ｘ服从区间［０，5］上的均匀分布,Y 服从5=λ的指数分布，且X ,Y 相互独立,则(X , Y )的联合密度函数f (ｘ，
y )= ⎩⎨
⎧≥≤≤-其它
,505y x e y。

7、随机变量X 与Ｙ相互独立,且D (X ）=4,D （Y ）=２,则D (３Ｘ -2Y )= ４４。

8、设n X X X ,,,21 是来自总体X ～ N （0, 1)的简单随机样本，则
∑=-n
i i
X X
1
2)(服从的分布为)1(2-n x 。

9、三个人独立地向某一目标进行射击，已知各人能击中的概率分别为3
1
,41,
51,则目标能被击中的概率是3/5。

10、已知随机向量(X , Ｙ)的联合概率密度⎩
⎨⎧>≤≤=-其它00
,10,4),(2y x xe y x f y ，
则E Ｙ =1/2。

１、设Ａ，B 为两个随机事件，且P （A)=0。

7, P(A-B)=０。

3,则P(AB )=__0。

6 __。

２、设随机变量X 的分布律为
2
12
11
p
X ,且Ｘ与Y 独立同分布，则随机变量Z ＝max ｛X ,Ｙ }
3、设随机变量X ～N （2,2
σ）,且Ｐ{2 ＜ X 〈4}=０.3,则P {X < 0｝＝0.２ 。

4、设随机变量X 服从2=λ泊松分布，则{}1≥X P =2
1--e .
5、已知随机变量X 的概率密度为)(x f X ，令X Y 2-=,则Y 的概率密度)(y f Y 为
)2
(21y
f X -。

6、设Ｘ是10次独立重复试验成功的次数，若每次试验成功的概率为0。

4，则=)(X D 2。

4.
7、X １，Ｘ2，…,Ｘn 是取自总体(
)2
,σ
μN 的样本，则
2
1
2
)(σ∑=-n
i i
X X
~)1(2
-n x 。

8、已知随机向量(X ， Y ）的联合概率密度⎩⎨⎧>≤≤=-其它0
,10,4),(2y x xe y x f y ，则ＥＸ =２／３。

9、称统计量θθ为参数ˆ的 无偏 估计量，如果)(θ E =θ.
１0、概率很小的事件在一次试验中几乎是不可能发生的，这个原理称为 小概率事件原理。

1、设A 、Ｂ为两个随机事件，若P (A)＝0.４,Ｐ(Ｂ）=０.3,6.0)(=⋃B A P ，则=)(B A P 0。

3. ２、设X 是1０次独立重复试验成功的次数,若每次试验成功的概率为０。

４，则=)(2
X E 18.4 。

3、设随机变量Ｘ～N （1/4,9),以Y 表示对X 的5次独立重复观察中“4/1≤X ＂出现的次数,则}2{=Y P = ５/16.
4、已知随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,且P(Ｘ=2）=Ｐ(X =4）,则λ=32。

5、称统计量θθ
为参数ˆ的无偏估计量,如果)(θ
E =θ。

6、设)(~),1,0(~2
n x Y N X ，且X ，Y 相互独立,则
~n Y
X
t （n).
7、若随机变量X ~N (３，9)，Ｙ~N （-1，５）,且Ｘ与Ｙ相互独立.设Z =X －2Y +2,则Z ～ Ｎ （7，29) 。

8、已知随机向量(X , Ｙ)的联合概率密度⎩
⎨
⎧>≤≤=-其它
0,10,
6),(3y x xe
y x f y
,则ＥY =1/３。

9、已知总体n X X X N X ,,,),,(~212 σμ是来自总体Ｘ的样本,要检验20
2
σσ
=：o H ，则采用的统计量是
20
2
)1(σ
S n -.
10、设随机变量Ｔ服从自由度为n 的t 分布，若{}
αλ=>T P ,则{
}=<λT P 2
1a
-。

1、设A 、Ｂ为两个随机事件，P (Ａ)=0。

4， Ｐ（Ｂ)＝0。

5,7.0)(=B A P ，则=)(B A P 0。

55 。

2、设随机变量X ~ B （5， ０.1）,则D (1－２X )＝1。

8 。

３、在三次独立重复射击中,若至少有一次击中目标的概率为
64
37
，则每次射击击中目标的概率为1/４。

4、设随机变量X 的概率分布为5.0)3(,3.0)2(,2.0)1(======X P X P X P ,则X 的期望E Ｘ=２。

3. 5、将一枚硬币重复掷ｎ次,以X 和Ｙ分别表示正面向上和反面向上的次数,则X 和Y 的相关系数等于-1. ６、设(X ， Y ）的联合概率分布列为
若X 、Y 相互独立，则a ＝1/6,b ＝１/9。

７、设随机变量Ｘ服从［1,5]上的均匀分布，则{}=≤≤42X P 1/2。

8、三个人独立地破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为3
1
,41,
51,则密码能被译出的概率是3/5. 9、若n X X X N X ,,,),,(~212
1 σμ是来自总体X 的样本,2,S X 分别为样本均值和样本方差，则
S
n
X )(μ-~t (ｎ—１).
1０、θθθ是常数21ˆ,ˆ的两个无偏估计量,若)ˆ()ˆ(21θθD D <，则称1ˆθ比2
ˆθ 有效 。

1、已知P （A ）=0.８,P （A －B)=0。

5，且A 与B 独立,则P (B) ＝ 3/8。

2、设随机变量X ~N （1,４）,且P ｛ X ≥a }= Ｐ｛ Ｘ≤a ｝,则ａ ＝1. 3、随机变量X 与Ｙ相互独立且同分布，21)1()1(=
-==-=Y P X P ，2
1
)1()1(====Y P X P ，则()0.5P X Y ==。

4、已知随机向量（X ， Y ）的联合分布密度⎩⎨
⎧≤≤≤≤=其它0
1
0,104),(y x xy y x f ，则EY =2／３。

5、设随机变量X ～N (１,４),则{}
2>X P ＝0。

3753。

(已知Φ（０.5)＝０。

6915，Φ(１。

５)=０.933２) 6、若随机变量X ～N （0,4），Y ~N (-1,5），且X 与Y 相互独立。

设Z =X +Y －３,则Z ～ Ｎ (-４，９） 。

7、设总体X ～Ｎ(1,9），n X X X , , ,21 是来自总体X 的简单随机样本，2
,S X 分别为样本均值与样本方差,则
∑=-n i i X X 12
~)(912(8)χ；;∑=-n i i X 1
2~)1(9129χ（）。

8、设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,且{}{}423===X P X P ,则λ=6。

9、袋中有大小相同的红球4只，黑球３只,从中随机一次抽取2只,则此两球颜色不同的概率为4/7.
１0、在假设检验中，把符合Ｈ0的总体判为不合格H ０加以拒绝，这类错误称为 一错误；把不符合H 0的总体当作符合H ０而接受。

这类错误称为 二 错误。

1、设A 、B 为两个随机事件,Ｐ(Ａ)=0．８,P （AB)=０.４,则Ｐ（A-Ｂ)=0．4。

2、设Ｘ是１0次独立重复试验成功的次数,若每次试验成功的概率为0。

4，则=)(X D 2。

４. ３、设随机变量X 的概率分布为
则{
}
12
≥X P =０.7 。

4、设随机变量X 的概率密度函数1
22
1
)(-+-=
x x
e x
f π
，则)(X D =
2
1。

5、袋中有大小相同的黑球7只，白球3只,每次从中任取一只,有放回抽取，记首次抽到黑球时抽取的次数为X ，则P {X =10}＝0。

3９*0。

7。

6、某人投篮,每次命中率为0。

7,现独立投篮5次,恰好命中4次的概率是144
53.07.0⨯⨯C 。

7、设随机变量X 的密度函数2
)2(2
21
)(+-
=
x e x f π
，且{}{}c X P c X P ≤=≥,则ｃ ＝ -２ .
８、已知随机变量Ｕ = 4－9X ,V = 8+3Y ，且X 与Y 的相关系数XY ρ＝1,则U 与V 的相关系数UV ρ＝-１. 9、设)(~),1,0(~2
n x Y N X ,且X ，Ｙ相互独立，则
~n Y
X t （n)
１0、概率很小的事件在一次试验中几乎是不可能发生的，这个原理称为 小概率事件原理 ．
1、随机事件A 与Ｂ独立,===)(5.0)(,7.0)(B P A P B A P 则，
０。

４ 。

2、设随机变量X 的概率分布为则X 2
的概率分布为
3、设随机变量X 服从［2，6]上的均匀分布，则{}=<<43X P 0.25.
4、设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数，且每次命中率为０。

４，则2
EX =_１８.4__。

5、随机变量)4,(~μN X ，则~2
μ
-=
X Y
N （0,１)。

6、四名射手独立地向一目标进行射击,已知各人能击中目标的概率分别为1／2、3／４、2/3、3／5,则目标能被击中的概率是59
／60.
7、一袋中有２个黑球和若干个白球,现有放回地摸球４次,若至少摸到一个白球的概率是
81
80
，则袋中白球的个数是4。

8、已知随机变量U = １＋2X ,Ｖ＝ 2-3Y ，且X 与Y 的相关系数XY ρ=－1，则U 与Ｖ的相关系数UV ρ= 1。

９、设随机变量X ~N （2,９),且P{ X ≥a }= P{ X ≤a },则a =2.
10、称统计量θθ
为参数ˆ的无偏估计量,如果)(θ
E =θ 二、选择题
１、设随机事件A 与B 互不相容，且0)()(>>B P A P ，则（ D ）。

A 。

)(1)(
B P A P -= B. )()()(B P A P AB P = Ｃ。

1)(=⋃B A P D 。

1)(=AB P ２、将两封信随机地投入四个邮筒中,则未向前面两个邮筒投信的概率为（ A ）。

A 。

2242
B 。

241
2C C C 。

2
4
!
2P D 。

!4!2 ３、已知随机变量X 的概率密度为)(x f X ，令X Y 2-=，则Y 的概率密度)(y f Y 为( D ）. Ａ。

)2(2y f X - B 。

)2(y f X -
Ｃ。

)2
(21y
f X -- D ． )2(21y f X -
４、设随机变量)(~x f X ,满足)()(x f x f -=,)(x F 是x 的分布函数，则对任意实数a 有（ Ｂ )。

A. ⎰
-
=-a
dx x f a F 0
)(1)( Ｂ. ⎰-=
-a dx x f a F 0
)(21
)( C ． )()(a F a F =- D 。

1)(2)(-=-a F a F ５、设)(x Φ为标准正态分布函数,
100, ,2, 1, 0A
,1 =⎩⎨⎧=i X i 否则；，
发生；事件且8.0)(=A P ，10021X X X ，，
， 相互独立.令∑==100
1i i X Y ,则由中心极限定理知Y 的分布函数)(y F 近似于( B ）。

Ａ。

)(y Φ B ．)4
80
(
-Φy C.)8016(+Φy D ．)804(+Φy １、设A ,B 为随机事件，0)(>B P ，1)|(=B A P ，则必有（ A )。

Ａ. )()(A P B A P =⋃ Ｂ. B A ⊃ C 。

)()(B P A P = D. )()(A P AB P =
２、某人连续向一目标射击，每次命中目标的概率为43,他连续射击直到命中为止,则射击次数为3的概率是( C ）.
A 。

343）（ Ｂ. 41432⨯）（ Ｃ. 43412⨯）（ D 。

2
24
41C ）（ ３、设12, X X 是来自总体X 的一个简单随机样本，则最有效的无偏估计是（ A ）。

A 。

121122X X μ=
+ B 。

121233X X μ=+ C 。

121344X X μ=+ D 。

1223
55
X X μ=+ 4、设)(x Φ为标准正态分布函数，
100, ,2, 1, 0A ,1 =⎩⎨⎧=i X i 否则。

，
发生；事件且()0.1P A =,10021X X X ，，， 相互独立。

令∑==100
1
i i
X
Y ,则由中心极限定理知Y
的分布函数)(y F 近似于( B ).
A ． )(y Φ Ｂ.10
(
)3
y -Φ C ．(310)y Φ+ D.(910)y Φ+ 5、设),,,(21n X X X 为总体)2,1(2
N 的一个样本，X 为样本均值，则下列结论中正确的是（ D )。

A 。

)(~/21
n t n X -； B. )1,(~)1(4112
n F X n i i ∑=-； C 。

)1,0(~/21N n
X -； Ｄ。

)(~)1(41212n X n i i χ∑=-; 1、已知A 、B 、C 为三个随机事件,则A 、B 、Ｃ不都发生的事件为（A ）。

A 。

C B A B 。

ABC Ｃ. A +B ＋ＣD ． ABC
2、下列各函数中是随机变量分布函数的为( B ）.
A. ∞<<-∞+=x x x F ,11)(2
B. ⎪⎩⎪⎨
⎧≥+<=0
100)(x x
x
x x F
C 。

∞<<-∞=-x e x F x
,)( D 。

∞<<∞-+=
x arctgx x F ,21
43)(π
3、),(Y X 是二维随机向量，与0),(=Y X Cov 不等价的是( Ｄ )
A 。

)()()(Y E X E XY E =
B 。

)()()(Y D X D Y X D +=+
C ． )()()(Y
D X D Y X D +=- Ｄ。

X 和Y 相互独立 ４、设)(x Φ为标准正态分布函数,
100, ,2, 1, 0A
,1 =⎩⎨⎧=i X i 否则，
发生事件且()0.2P A =,10021X X X ，，
， 相互独立.令∑==100
1i i X Y ，则由中心极限定理知Y 的分布函数)(y F 近似于( Ｂ ）。

A.)(y Φ B ．20
(
)4
y -Φ C.(1620)y Φ- D.(420)y Φ- 5、设总体)2,(~2μN X ，其中μ未知,n X X X ,,,21 为来自总体的样本,样本均值为X ，样本方差为2
s ， 则下列各式中不是
统计量的是( C )。

A 。

X 2 B 。

2
2
σ
s C 。

σ
μ
-X D.
2
2
)1(σ
s n -
１、若随机事件A 与B 相互独立，则)(B A P +=(B ）。

A 。

)()(
B P A P +Ｂ。

)()()()(B P A P B P A P -+
C 。

)()(B P A P Ｄ.)()(B P A P +
2、设总体X 的数学期望E Ｘ＝μ,方差D X ＝σ2
,Ｘ１,Ｘ2,X 3，X ４是来自总体X 的简单随机样本，则下列μ的估计量中最有效的是
( D )
123312312341234
1111111A.
B. 663333334111111
C.
D. 55554444X X X X X X X X X X X X X X X ++++++--+++ 3、设)(x Φ为标准正态分布函数，100, ,2, 1, 0A
,1 =⎩⎨
⎧=i X i 否则，
发生事件且()0.3P A =,10021X X X ，，
， 相互独立.令∑==
100
1
i i
X
Y ，则由中心极限定理知Y 的分布函数)(y F 近似于（ B )。

A 。

)(y Φ
B.Φ C ．30
()21y -Φ D.(30)y Φ-
４、设离散型随机变量的概率分布为10
1
)(+=
=k k X P ，3,2,1,0=k ，则)(X E ＝（ B )。

Ａ。

１.8 B 。

2 C 。

2。

2 D. ２。

4 5、在假设检验中, 下列说法错误的是( C )。

Ａ. 1H 真时拒绝1H 称为犯第二类错误。

B 。

1H 不真时接受1H 称为犯第一类错误。

Ｃ． 设α=}|{00真拒绝H H P ，β=}|{00不真接受H H P ，则α变大时β变小。

D.
α、β的意义同（C)，当样本容量一定时，α变大时则β变小．
1、若Ａ与Ｂ对立事件,则下列错误的为(A ）。

A. )()()(B P A P AB P =B 。

1)(=+B A P C 。

)()()(B P A P B A P +=+Ｄ. 0)(=AB P ２、下列事件运算关系正确的是( Ａ )。

A.A B BA B +=B 。

A B BA B +=C 。

A B BA B +=D ． B B -=1 3、设)(x Φ为标准正态分布函数，
100, ,2, 1, 0A ,1 =⎩⎨⎧=i X i 否则，
发生事件且()0.4P A =,10021X X X ，，
， 相互独立。

令∑==100
1
i i X Y ，则由中心极限定
理知Y 的分布函数)(y F 近似于( Ｂ )。

A 。

)(y Φ B
．Φ C.(40)y Φ- D.40
()24y -Φ
４、若)()()(Y E X E XY E =，则(Ｄ ).
A. X 和Y 相互独立
B. X 与Y 不相关 C 。

)()()(Y D X D XY D = D. )()()(Y D X D Y X D +=+
5、若随机向量(Y X ,)服从二维正态分布,则①Y X ,一定相互独立; ② 若0=XY ρ，则Y X ,一定相互独立；③X 和Y 都服从一
维正态分布；④若Y X ,相互独立，则
Ｃov (X , Y ） =0。

几种说法中正确的是( Ｂ )。

A 。

①②③④
B 。

②③④ C. ①③④ D 。

①②④
1、设随机事件Ａ、B 互不相容，q B P p A P ==)( ,)(,则)(B A P ＝( C )。

A 。

q p )1(- Ｂ。

pq C. q D.p
２、设A ,B 是两个随机事件,则下列等式中( C ）是不正确的。

Ａ。

)()()(B P A P AB P =，其中Ａ,B 相互独立 B 。

)()()(B A P B P AB P =，其中0)(≠B P C.)()()(B P A P AB P =，其中A ,B 互不相容 Ｄ。

)()()(A B P A P AB P =,其中0)(≠A P ３、设)(x Φ为标准正态分布函数,
100, ,2, 1, 0A
,1 =⎩⎨⎧=i X i 否则，
发生事件且()0.5P A =,10021X X X ，，
， 相互独立。

令∑==100
1i i X Y ,则由中心极限定理知Y 的分布函数)(y F 近似于( B ）.
A 。

)(y Φ Ｂ．50(
)5y -Φ C ．(50)y Φ- Ｄ.50
()25
y -Φ 4、设随机变量X 的密度函数为f （x )，则Ｙ = ５ — 2X 的密度函数为（ B )
1515
A. ()
B. ()22221515
C. ()
D. ()
2222y y f f y y f f ---
--++--- 5、设xx x n
12,,, 是一组样本观测值,则其标准差是（Ｂ ）。

Ａ。

∑=--n
i i x x n 1
2
)(1
1B 。

∑=--n i i x x n 12
)(11 C.∑=-n i i x x n 12)(1D 。

∑=-n i i x x n 1)(1 1、若A 、Ｂ相互独立,则下列式子成立的为(A ）。

Ａ。

)()()(B P A P B A P =Ｂ. 0)(=AB P C 。

)|()|(A B P B A P = Ｄ。

)()|(B P B A P =
２、若随机事件A B ,的概率分别为6.0)(=A P ,5.0)(=B P ，则A 与B 一定(D)。

Ａ。

相互对立 B 。

相互独立 C ． 互不相容 D 。

相容
3、设)(x Φ为标准正态分布函数,100, ,2, 1, 0A ,1 =⎩⎨
⎧=i X i 否则，
发生事件且()0.6P A =,10021X X X ，，， 相互独立。

令∑==
100
1
i i
X
Y ，则由中心极限定理知Y 的分布函数)(y F 近似于（B ）。

A 。

)(y Φ B
．Φ Ｃ．(60)y Φ- D.60
()24y -Φ
４、设随机变量X ～Ｎ(μ，81),Ｙ ~N(μ,16)，记}4{},9{21+≥=-≤=μμY p X P p ,则( Ｂ )。

A 。

p 1〈p ２ Ｂ。

p １=p ２ C 。

p １〉p 2 Ｄ。

p 1与p 2的关系无法确定 5、设随机变量Ｘ的密度函数为ｆ（x ),则Y = 7 — 5X 的密度函数为（ B ）
1717
A. ()
B. ()55551717
C. ()
D. ()
5555y y f f y y f f ---
--++--- １、对任意两个事件A 和B , 若0)(=AB P ， 则（ D )。

A. φ=AB Ｂ. φ=B A C 。

0)()(=B P A P D 。

)()(A P B A P =-
2、设A 、B 为两个随机事件,且1)(0<<A P ,1)(0<<B P , )|()|(A B P A B P =, 则必有( B ）．
A 。

)|()|(
B A P B A P = B. )()()(B P A P AB P = Ｃ。

)()()(B P A P AB P ≠ D 。

A 、B 互不相容 ３、设)(x Φ为标准正态分布函数,
100, ,2, 1, 0A ,1 =⎩⎨⎧=i X i 否则，
发生事件且()0.7P A =，10021X X X ，，
， 相互独立。

令∑==100
1
i i X Y ，则由中心极限定
理知Y 的分布函数)(y F 近似于( B )。

Ａ． )(y Φ B
．Φ C ．(70)y Φ- Ｄ．70
()21y -Φ
4、已知随机变量X 和Y 相互独立,且它们分别在区间［－1,3］和[2,4]上服从均匀分布，则=)(XY E ( A )。

A ． 3 Ｂ。

６ C 。

10 Ｄ。

12
5、设随机变量Ｘ ~N (μ，９)，Ｙ ~N （μ,２5），记}5{},3{21+≥=-≤=μμY p X P p ,则（ Ｂ )。

A 。

ｐ１〈ｐ２
B 。

p 1=p 2
C 。

p １>ｐ2
D 。

p 1与ｐ2的关系无法确定 1、设21,A A 两个随机事件相互独立，当21,A A 同时发生时，必有A 发生，则( A )。

A 。

)()(21A P A A P ≤
B 。

)()(21A P A A P ≥
C 。

)()(21A P A A P = D. )()()(21A P A P A P = 2、已知随机变量X 的概率密度为)(x f X ，令32+-=X Y ,则Y 的概率密度)(y f Y 为( A )。

A 。

)23(21---
y f X Ｂ。

)23(21--y f X C. )23(21+--y f X D 。

)2
3(21+-y f X ３、两个独立随机变量Y X ,,则下列不成立的是( C ）。

A 。

EXEY EXY =
B 。

EY EX Y X E +=+)(
C 。

DXDY DXY = Ｄ。

DY DX Y X
D +=+)(
４、设)(x Φ为标准正态分布函数,100, ,2, 1, 0A
,1 =⎩⎨⎧=i X i 否则，
发生事件且()0.9P A =,10021X X X ，，
， 相互独立。

令∑==
100
1
i i
X
Y ,则由中心极限定理知Y 的分布函数)(y F 近似于（ Ｂ )。

A.)(y Φ Ｂ.90(
)3y -Φ C.(90)y Φ- D.90
()9
y -Φ ５、设总体X 的数学期望E X =μ,方差D Ｘ=σ2
,X 1,X 2,X 3是来自总体X 的简单随机样本,则下列μ的估计量中最有效的是( B )
123123
123123
111111
A.
B. 424333
342121C. D. 555662X X X X X X X X X X X X +++++-++ １、若事件321,,A A A 两两独立，则下列结论成立的是( B )。

A. 321,,A A A 相互独立B 。

321,,A A A 两两独立
C 。

)()()()(321321A P A P A P A A A P =
D 。

321,,A A A 相互独立 2、连续型随机变量X 的密度函数ｆ（ｘ)必满足条件( C )。

A. 0() 1
B.
C. () 1
D. lim ()1
x f x f x dx f x +∞-∞
→+∞
≤≤==⎰
在定义域内单调不减
3、设21,X X 是任意两个互相独立的连续型随机变量,它们的概率密度分别为)(1x f 和)(2x f ,分布函数分别为)(1x F 和)(2x F ,则
（ B )。

Ａ. )()(21x f x f +必为密度函数 B 。

)()(21x F x F ⋅必为分布函数
C. )()(21x F x F +必为分布函数 D 。

)()(21x f x f ⋅必为密度函数
4、设随机变量Ｘ, Y 相互独立,且均服从[０，1]上的均匀分布，则服从均匀分布的是（ Ｂ ）. A 。

XY B 。

(X , Ｙ) Ｃ．Ｘ—Y Ｄ。

X ＋ Y
5、设)(x Φ为标准正态分布函数，
, ,2, 1, 0A
,1n i X i =⎩⎨⎧=否则，
发生事件且()P A p =,12n X X X ，，，相互独立。

令1n
i i Y X ==∑，则由中心极限定理知Y 的分布函数)(y F 近似于（ B ）. A.)(y Φ
B.Φ Ｃ．()y np Φ- D.(
)(1)y np np p -Φ-
三（5）、市场上出售的某种商品由三个厂家同时供货,其供应量第一厂家为第二厂家的两倍，第二、第三厂家相等，且第一、第二、
第三厂家的次品率依次为2%,2%，4%.若在市场上随机购买一件商品为次品,问该件商品是第一厂家生产的概率为多少？ 解 设i A 表示产品由第ｉ家厂家提供，i =1， 2, 3;B 表示此产品为次品。

则所求事件的概率为
1111112233(|)()(|)(|) ()()(|)()(|)()(|)
P A B P A P B A P A B P B P A P B A P A P B A P A P B A ==++=1
0.0220.41110.020.020.04244
⨯=⨯+⨯+⨯
答:该件商品是第一产家生产的概率为０。

４。

三(6)、甲、乙、丙三车间加工同一产品，加工量分别占总量的25％、35％、40％，次品率分别为0.03、0。

02、0.0１．现从所有
的产品中抽取一个产品，试求(１)该产品是次品的概率;（２）若检查结果显示该产品是次品,则该产品是乙车间生产的概率是多少?
解:设1A ，2A ，3A 表示甲乙丙三车间加工的产品，Ｂ表示此产品是次品。

（1)所求事件的概率为
112233()()(|)()(|)()(|)P B P A P B A P A P B A P A P B A =++0.250.030.350.020.40.010.0185=⨯+⨯+⨯=
(2)221()(|)0.350.02
(|) = 0.38 ()0.0185
P A P B A P A B P B ⨯=
≈
答:这件产品是次品的 概率为0.0185,若此件产品是次品，则该产品是乙车间生产的概率为0．３8。

三（7)、一个机床有1/３的时间加工零件Ａ,其余时间加工零件Ｂ.加工零件A 时停机的概率是0。

3,加工零件A 时停机的概率是０。

4。

求(1）该机床停机的概率；(２)若该机床已停机,求它是在加工零件Ａ时发 生停机的概率. 解:设1C ,2C ，表示机床在加工零件Ａ或B ，Ｄ表示机床停机。

（1)机床停机夫的概率为
1122()().(|)().(|)P B P C P D C P C P D A =+12110.30.43330
=⨯+⨯=
(2)机床停机时正加工零件Ａ的概率为
1111
0.3
().(|)3
3(|) = 11()1130
P C P D C P C D P D ⨯==
三(8）、甲、乙、丙三台机床加工一批同一种零件，各机床加工的零件数量之比为5：3：2,各机床所加工的零件合格率依次为94%，
90%,95%.现从加工好的整批零件中随机抽查一个,发现是废品，判断它是由甲机床加工的概率。

解 设1A ，2A ,3A 表示由甲乙丙三机床加工,B 表示此产品为废品。

（2分) 则所求事件的概率为
111131
(|)()(|)(|) ()()(|)i i
i P A B P A P B A P A B P B P A P B A ===∑＝1
0.06320.50.060.30.100.20.057
⨯=⨯+⨯+⨯
答：此废品是甲机床加工概率为３／7.
三(9)、某人外出可以乘坐飞机、火车、轮船、汽车四种交通工具，其概率分别为５%、1５％、30％、50%,乘坐这几种交通工具能
如期到达的概率依次为1０0%、70％、６０%、90%。

已知该人误期到达,求他是乘坐火车的概率。

（1０分）
解:设1A ,2A ,3A ，4A 分别表示乘坐飞机、火车、轮船、汽车四种交通工具,B 表示误期到达． 则222241
(|)()(|)(|) ()()(|)
i i i P A B P A P B A P A B P B P A P B A ==
=∑=0.150.30.2090.0500.150.30.30.40.50.1
⨯=⨯+⨯+⨯+⨯
答：此人乘坐火车的概率为0。

209．
三(10)、某人外出可以乘坐飞机、火车、轮船、汽车四种交通工具,其概率分别为5%、1５%、30％、5０%,乘坐这几种交通工具能
如期到达的概率依次为100%、70%、60%、９０%。

求该人如期到达的概率。

解：设1A ,2A ,3A ，4A 分别表示乘坐飞机、火车、轮船、汽车四种交通工具,B 表示如期到达. 则4
1
()()(|)i
i
i P B P A P B A ==
∑0.0510.150.70.30.60.50.90.785=⨯+⨯+⨯+⨯=
答：如期到达的概率为０。

７85。

四（1）设随机变量X 的概率密度函数为
, 01
()0 Ax x f x ≤≤⎧=⎨
⎩，
其它 求(1）Ａ； (２）Ｘ的分布函数F （x ); (３） Ｐ (０。

5 < X 〈２ )。

解:1
21001 ()| 1
22
2 A A
f x dx Axdx x A +∞
-∞==
===⎰
⎰（） 2020 ()()0 01 ()()2
1 ()()x
x
x
x
x F x f t dt x F x f t dt tdt x x F x f t dt -∞-∞
-∞
<==≤<===≥==⎰
⎰⎰⎰
（）当时，当时，当时，1
22 1 0, 0
(), 0 1
1, 1tdt x F x x x x =<⎧⎪
=≤<⎨⎪≥⎩
⎰故
（3） P （1/2〈Ｘ〈2）=Ｆ（２）-F （１／２)=3／4 四(2）、已知连续型随机变量X 的概率密度为
求(1)k ；(2）分布函数F （x )； （3)P (1。

5 〈X 〈2．5)
解:222
00(1) ()(1)()|22 1 2
1/2
k f x dx kx dx x x k k +∞
-∞=+=+=+==-⎰
⎰ ⎩⎨
⎧≤≤+=其它
,020
,1)(x kx x f
2
0 02 ()()(0.51)
4
2 ()() 1 x
x
x
x x F x f t dt t dt x x F x f t dt -∞
-∞
≤<==-+=-+≥==⎰⎰⎰
当时，当时，2 0, 0
(), 02
41, 2
x x
F x x x x <⎧⎪⎪=-+≤<⎨⎪≥⎪⎩故
（3） Ｐ（1.５〈Ｘ〈2。

5)=F(2。

5)—F(１。

5）＝1/16 四（3)、已知连续型随机变量X 的概率密度为
⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它
,010
,)(x x a x f
求(1）a ;(2)X 的分布函数Ｆ （x ）;(３）P ( X 〉0.25）。

解：102
(1) () 1 3
3/2
f x dx a a +∞
-∞====⎰
⎰
3/2020 ()()0 01 ()()
1 ()() 1 x
x
x
x F x f t dt x F x f t dt x x F x f t dt -∞-∞
-∞
<==≤<===≥==⎰
⎰⎰
⎰
（）当时，当时，当时，3/2 0, 0
(), 01
1, 1x F x x x x <⎧⎪
=≤<⎨⎪≥⎩
故
(3) P （X 〉１/4）=1－F(1/4）＝7/８ 四（4）、已知连续型随机变量X 的概率密度为
⎩⎨⎧∈=其它
,0),0( ,2)(A x x x f
求(1)A ;（2）分布函数F (x );(3)P （－0。

5 < X 〈１）． ）
解:
20
(1) ()2 1
1
A
f x dx xdx A A +∞
-∞
====⎰
⎰
20 01 ()()2
1 ()() 1 x
x
x
x F x f t dt tdt x x F x f t dt -∞
-∞
≤<===≥==⎰⎰⎰
当时，当时，2 0, 0
(), 0 1
1, 1x F x x x x <⎧⎪
=≤<⎨⎪≥⎩
故
（3) P （－０.5〈Ｘ<1)=F （１)—F(-０。

5)＝１ 四（5）、已知连续型随即变量Ｘ的概率密度为
⎪⎩
⎪⎨⎧≤-=其它 ,01 ,1)(2
x x c
x f
求(1)ｃ； （2）分布函数Ｆ （x ）；（3） P (—0。

５ 〈 X < 0.5)。

解
:
1
111
(1) ()
arcsin | 1
1/
f x dx c x c c ππ+∞
--∞
-=====⎰
⎰
121 ()()0 1
11 ()()arcsin |
1
(arcsin 2
x
x
x
x
x F x f t dt x F x f t dt t x π
π
π
-∞--∞-<-==-≤<===
=
+
⎰
⎰⎰
（）当时，当时，)
1 ()() 1
0, 1
1 ()(arcsin ), 12x x F x f t dt x F x x x ππ
-∞
≥==<-=+≤<⎰
当时，故－ 1
1, 1
x ⎧⎪⎪
⎨⎪≥⎪⎩
（3） P （—0。

5〈X 〈０。

5)＝Ｆ(0。

5)-Ｆ（—0.５)=１/3 四(6）、已知连续型随机变量Ｘ的分布函数为
⎪⎩⎪
⎨⎧>+=-其它
,00 ,)(22
x Be A x F x
求(1）A ，Ｂ； (2）密度函数ｆ （x )；(3)P （1〈Ｘ<２ ）。

解：0
(1) lim () 1
lim ()0 1
x x F x A F x A B B +
→+∞
→===+==-
2
/22, 0 () ()
0, 0x xe x f x F x x -⎧>⎪'==⎨≤⎪⎩（）
（３) Ｐ(1<Ｘ〈２)=F （2)—F(1)=22
/1---e e
四（7）、已知连续型随机变量X 的分布函数为
x B A x F arctan )(+=
求(1）A ，Ｂ; (2)密度函数f (x ）;（3）Ｐ （1〈X 〈２ ).
解：(1) lim () 1
2
lim ()02
A 1/2, 1/
x x F x A B F x A B B π
π
π→+∞
→-∞
=+
==-
===
221
() ()
(1)
f x F x x π'==
+（）
（３） P(0<X 〈2)＝F(2)—F(0)=
2arctan 1
π
四(8)、已知连续型随机变量X 的分布函数为
⎪⎩
⎪
⎨⎧≥<<≤=1 ,110 ,0
,0)(x x x A x x F
求(1)A ; (2)密度函数f (ｘ）；(3)Ｐ （0〈 Ｘ〈 0。

2５ ).
解:
1
(1) lim () 1
1
x F x A A →==
=21 () () 0, x f x F x <<'==⎩
（）
其他 （3） P(0〈Ｘ〈0。

２5)＝１/2 四(９)、已知连续型随机变量X 的分布函数为
⎪⎩⎪⎨⎧
≤>-=2
,02
,1)(2x x x
A x F 求（1）Ａ； (2）密度函数ｆ (x );(3)P (0 ≤X ≤ ４ ).
、解:
2
(1) lim ()1/40
4
x F x A A →=-==328, 2
() () 0, 2
x f x F x x x ⎧>⎪'==⎨⎪≤⎩（）
(3） P(0<X 〈4）=３/4 四(10)、已知连续型随机变量X 的密度函数为
⎪⎩
⎪⎨⎧∈=其它 ,0),0(
,2)(2
a x x
x f π 求(１）ａ; （2）分布函数Ｆ (x ）;(3)Ｐ (－0。

5 〈 X 〈 0。

5 ）。

解:202(1) () 1 a x f x dx dx a ππ+∞-∞===⎰⎰222020 ()()0
2 0 ()()
()() 1 x
x
x
x
x F x f t dt t x
x F x f t dt dt x F x f t dt πππ
π-∞
-∞-∞<==≤<===≥==⎰⎰⎰⎰（）当时，当时，当时，22 0, 0
(), 0
1, x x
F x x x πππ
<⎧⎪⎪=≤<⎨⎪≥⎪⎩故 （3) Ｐ（—0.５<Ｘ〈０。

５)=F(0.５）—F （-０。

5)＝
2
41π
五(１）、设系统L 由两个相互独立的子系统L １,L 2并联而成，且L 1、L 2的寿命分别服从参数为)(,βαβα≠的指数分布。

求系统L
的寿命Z 的密度函数. 解:令Ｘ、Ｙ分别为子系统L 1、L 2的寿命,则系统L 的寿命Ｚ=ma ｘ （X ， Y ）．
显然,当z ≤0时,F Ｚ （z )＝P (Ｚ≤z ）＝Ｐ （ma ｘ （X , Y ）≤z )=0; 当ｚ＞0时,F Z （z )=P (Z ≤z )=P (ｍa ｘ (X , Ｙ)≤z ) ＝P (X ≤z , Ｙ≤z )＝P （Ｘ≤ｚ)P (Y ≤z )＝dy e dx e z
y z
x ⎰⎰--0
0βαβα＝)1)(1(z
z e e βα----． 因此,系统Ｌ的寿命Ｚ的密度函数为
f Z (ｚ)＝⎩⎨
⎧≤>+-+=+---0
0,0 ,)()()(z z e e e z F dz d
z z z Z βαβαβαβα 五（2）、已知随机变量Ｘ～N （０,1）,求随机变量Ｙ=Ｘ 2
的密度函数。

解:当y ≤0时，Ｆ Ｙ （y )＝P （Y ≤y )=P (X 2
≤y )＝0； 当y 〉0时,Ｆ Y （y )=P (Y ≤y )=Ｐ （X 2
≤y ）＝)(y X y P ≤
≤-
=
dx e dx e x
y
x
y
y
2
/0
2
/2
2
21221---⎰
⎰
=π
π
因此,f Y (y )=⎪⎩
⎪
⎨⎧≤>=-
0. 0,0, , 2)(2
/y y y e y F dy d y Y π 五(３）、设系统L 由两个相互独立的子系统Ｌ1、Ｌ2串联而成,且L 1、L 2的寿命分别服从参数为)(,βαβα≠的指数分布。

求系统L
的寿命Ｚ的密度函数。

解:令X 、Y 分别为子系统L 1、L 2的寿命,则系统Ｌ的寿命Z =min （X , Ｙ)。

显然,当z ≤０时,F Z （z )=P （Z ≤z )=P （m ｉn (X , Y )≤ｚ)=０； 当z 〉0时,Ｆ Z （z )=P (Ｚ≤z )＝Ｐ （min (X , Y )≤z )＝1－P (min (X , Y )〉z ) ＝１-P (X >z , Y >z )=１－P (Ｘ〉z ）Ｐ (Ｙ〉ｚ）＝dy e dx e
z
y z
x
⎰⎰
+∞
-+∞
--βαβα1＝z e )(1βα+--。

因此,系统L 的寿命Ｚ的密度函数为
ｆ Z (z ）=⎩⎨
⎧≤>+-=+-0
0,0 ,)()()(z z e z F dz d z Z βαβα 五(４)、已知随机变量Ｘ~N （0，1)，求Y =｜Ｘ|的密度函数。

解:当ｙ≤０时，F Ｙ (ｙ）＝P （Y ≤y ）=P (｜X |≤y ）＝0； 当y 〉0时,F Ｙ (y ）＝P (Y ≤y ）＝P （｜Ｘ ｜≤ｙ）=)(y X y P ≤≤-
＝
dx e dx e x
y
x
y
y
2
/0
2
/2
2
21221----⎰
⎰
=π
π
因此，f Y （ｙ)=⎪⎩
⎪⎨⎧≤>=- 0. 0,0, 2)(2
/2y y e
y F dy d y Y π
五(5）、设随机向量(X ,Y )联合密度为
f （ｘ,ｙ）＝⎩⎨⎧>>+-.
,0;
0,0 ,)32(其它y x Ae y x
(1) 求系数A ;
(2) 判断X ,Y 是否独立,并说明理由； (3） 求Ｐ｛ ０≤X ≤2,0≤Y ≤１｝。

解:（1）由１=
dy e
dx e
A dxdy e
A dxdy y x f y
x
y x ⎰⎰⎰
⎰
⎰⎰
+∞
-+∞
-+-+∞
+∞
+∞∞-+∞
∞
-⋅==0
30
2)
32(0
),(＝,6
)3
1)(2
1
(0
30
2A e e A y
x
=
--+∞
-+∞
- 可得A =6。

(２)因（X ，Y )关于X 和Y 的边缘概率密度分别为
ｆX (x )＝⎩⎨⎧>-.
,0; 0 ,22其它x e x 和 ｆY （ｙ）＝⎩⎨⎧>-. ,0;
0 ,33其它y e y ，
则对于任意的,),(2
R y x ∈ 均成立ｆ （x ，y )= f X (x )＊ f Ｙ（y )，所以X 与Y 独立。

(３)P { 0≤X ≤2,0≤Y ≤1｝＝
dy e dx e dxdy e y x y x ⎰⎰⎰⎰
--+-⋅=1
320
2)32(2010
326
=).1)(1())((341
32
2------=--e e e
e y x
五（6）、设随机向量(X ,Y )联合密度为
f (ｘ,y ）=⎩⎨⎧>>+-.
,0;
0,0 ,)43(其它y x Ae y x
(1) 求系数Ａ；
（2) 判断Ｘ,Ｙ是否独立，并说明理由；
(3） 求P { 0≤Ｘ≤1,0≤Y ≤1}。

解:（1）由1=
dy e dx e
A dxdy e
A dxdy y x f y x
y x ⎰⎰⎰
⎰
⎰⎰
+∞
-+∞
-+-+∞
+∞
+∞∞-+∞
∞
-⋅==0
40
3)
43(0
),(
＝,12
)4
1)(3
1(0
40
3A
e e
A y
x
=
--+∞
-+∞
- 可得Ａ=１２。

(2）因（X ，Ｙ）关于Ｘ和Ｙ的边缘概率密度分别为
f X (x ）=⎩
⎨⎧>-. ,0;
0 ,33其它x e x 和 ｆＹ（y )=⎩⎨⎧>-. ,0; 0 ,44其它y e y ，。