中考数学复习 第四单元 三角形 第17课时 三角形数学课件

A.两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形全等
B.平分弦的直径垂直于弦
C.一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形
D.两条直线被第三条直线所截,内错角相等
2. [2019·泰州]命题“三角形的三个内角中
至少有两个锐角”是
或“假命题”)
[答案]真命题
.(填“真命题” [解析]如果三角形有两个直角或钝
2.三角形内角、外角
(1)内角和定理:三角形三个内角的和等于③ 180° .
(2)内外角关系:三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的④ 和
;三角形的
一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.
3.边角关系:在同一个三角形中,等边对等角,等角对等边,大边对大角,小边对
小角.
考点三 与三角形有关的重要线段或直线
P,若∠P=26°,求∠CFD的度数.
解:(1)证明:∵CE平分∠ACB,∴∠ECB=∠ACE.
∵∠B=∠FAC,∴∠B+∠ECB=∠FAC+∠ACE.
又∵∠AEF=∠B+∠ECB,
∠AFE=∠FAC+∠ACE,
∴∠AEF=∠AFE.
图17-4
3.在△ABC中,点D为边BC上一点,请回答下列问题:
[答案] (2)30° (3)60°
角平分线CD相交于点F,∠ABC=42°, ∠A=60°,则
[解析] (2)∠BFC=2∠A
∠BFC=
.
(3)在△ABC中,∠ABC的外角平分线BE与∠ACB的外
1
1
=2×60°=30°.
1
角平分线CD相交于点F,∠ABC=42°, ∠A=60°,则
(3)∠BFC=90°-2∠A
∵∠DAE=15°,∴∠BAE=∠EAC=25°,∴∠DAC=10°,
∴∠C=90°-∠DAC=80°.综上所述,∠C=20°或80°.
②
考向一 命题与定理
例1
1
1
[2019·北京]用三个不等式 a>b,ab>0, < 中的两个不等式作为题设,余下的
一个不等式作为结论组成一个命题,组成真命题的个数为 (
第四单元
第 17 课时
三角形
三角形
考点聚焦
考点一
三角形的分类
直角三角形
1.按角分:三角形
斜三角形
锐角三角形
钝角三角形
三边都不相等的三角形
2.按边分:三角形
底边和腰不相等的等
等腰三角形 腰三角形
等边三角形
考点二 三角形边和角的性质
1.三边关系:三角形两边之和① 大于 第三边,两边之差② 小于 第三边.
如果一个定理的逆命题经过证明是正确的,那么这个逆命题也可以称
为原定理的㉒ 逆定理 ,一个定理和它的逆定理是互逆定理
考点五 反证法
不直接从命题的已知得出结论,而是假设命题的结论不成
定义
立,由此经过推理得出矛盾,由矛盾断定所作假设不正确,从
而得到原命题成立,这种方法叫做反证法
证明步骤
假设命题的结论不正确→从假设的结论出发,推出矛盾→
∠BFC=
=90°-2×60°=60°.
.
1
| 考向精练 |
1. [2019·赤峰]如图17-2,点D在BC的延长线 [答案] B
上,DE⊥AB于点E,交AC于点F.若∠A=35°,
[解析]∵DE⊥AB,∠A=35°,
∠D=15°,则∠ACB的度数为(
∴∠AFE=∠CFD=90°-35°=55°,
(1)a=2,b=3,c=4; ( √ )
(2)a=3,b=5,c=2; ( × )
(3)a=1,b= 2,c=3; ( × )
(4)a∶b∶c=1∶2∶3; ( × )
(5)a=m+1,b=m+2,c=2m(m>2). ( √ )
| 考向精练 |
1.若三角形的两边长分别为3和5,则第三边
1.[答案] C
到边AB所在直线的距离是 ( C )
A.线段CA的长度
B.线段CM的长度
C.线段CD的长度
D.线段CB的长度
图17-6
2. [2019·株洲]如图17-7所示,在Rt△ABC
[答案] 4
中,∠ACB=90°,CM是斜边AB上的中线,
[解析]∵点E,F分别为MB,BC的中点,
线的交点在三角形的外部,这个点称为垂心
(续表)
名称
角平分线
中位线
图形
性质
∠1=⑬ ∠2
∠BAC
重要结论
=
三角形的三条角平分线的交点在三角
形的⑭ 内
部,这个点称为内心
⑮ DE ∥BC且
中位线所截得的三角形与原三角形相

似,其相似比为1∶2,面积比为1∶4
DE=⑯ BC
考点四 命题与定理
在日常生活中,为了交流方便,我们就要对名称和术语的含
角,那么内角和就大于180°,所以三
角形中最多只能有一个钝角或直
角,至少有两个锐角,故原命题为真
命题.
3. [2019·安徽]命题“如果a+b=0,那么a,b互为相反数”的逆命题为
如果a,b互为相反数,那么a+b=0
.
考向二 平行线的性质和判定
例2
满足下列条件的三条线段 a,b,c 能组成三角形,判断正误:
A.0
B.1
C.2
D.3
)
[答案] D
[解析]可组成 3 个命题:
1
1
命题①,如果 a>b,ab>0,那么 < .∵a>b,∴a-b>0,
-
1
1
1
1
∵ab>0,∴ >0,整理得 − >0,即 < ,∴该命题是真命题.
1
1
1
1
1
1
-
命题②,如果 a>b, < ,那么 ab>0.∵ < ,∴ − <0,∴ <0,
定义
义加以描述,作出明确的规定,也就是给它们下定义
定义
命
题
分类
组成
基本事实
判断一件事情的语句,叫做命题
题设成立时,结论一定成立的命题叫做⑰ 真命题
题设成立时,结论不一定成立的命题叫做⑱ 假命题
命题都是由⑲ 题设
和⑳ 结论
公认的真命题称为基本事实
两部分组成的
(续表)
要说明一个命题是真命题,则要从命题的条件出发,根据已学过的基本
∵a>b,∴b-a<0,∴ab>0.∴该命题为真命题.
1
1
1
1
1
1
-
命题③,如果 ab>0, < ,那么 a>b.∵ < ,∴ − <0, <0.
∵ab>0,∴b-a<0,∴b<a,∴该命题为真命题.故选 D.
| 考向精练 |
1. [2019·德州]下列命题是真命题的是
( C )
[答案]


2
2
,∠An=
.
[解析]∵A1B 是∠ABC 的平分线,A1C 是∠ACD 的平分线,
1
1
∴∠A1BC=2∠ABC,∠A1CD=2∠ACD.
图17-3
又∵∠ACD=∠A+∠ABC,∠A1CD=∠A1BC+∠A1,
1
1
1
∴2(∠A+∠ABC)=2∠ABC+∠A1,∴∠A1=2∠A.

1
1
∴MN 是△ADE 的中位线.
1
5
∵BE+CD=AB+AC=19-BC=19-7=12,∴DE=BE+CD-BC=5,∴MN=2DE=2.
【方法点析】(1)三角形的中位线常用来证明线段的倍分问题;(2)当题目中有
中点时要想到三角形的中位线定理或作出中线.
| 考向精练 |
1. [2019·毕节]如图17-6,△ABC中,CD是AB边上的高,CM是AB边上的中线,点C
∵∠P=26°,∴∠CFD=64°.
图17-4
考向四 三角形中的重要线段
例4
[2018·达州]如图 17-5,△ABC 的周长为 19,点 D,E 在边 BC 上,∠ABC 的平分
线垂直于 AE,垂足为 N,∠ACB 的平分线垂直于 AD,垂足为 M,若 BC=7,则 MN 的
长度为 (
A.
3
2
5
否定假设,肯定原命题的结论正确
对点演练
题组一
教材题
1. [八上P8习题11.1第2题改编]长为10,7,5,3的四根木条,选其中三根组成三角
形,有选法
( B )
A.1种
B.2种
C.3种
Hale Waihona Puke D.4种2. [八上P16习题11.2第5题改编]如图17-1,AB∥CD,∠A=40°,
∠D=45°,则∠1=
40° ,∠2=
m的取值范围是
(
[解析]第三边m的取值范围是
A.m>2
B.m<8
5-3<m<5+3,即2<m<8.
C.2<m<8
D.2≤m≤8
2.[答案] B
)
2.已知a,b,c是△ABC的三边长,化简|a+b-c|-
[解析]∵a,b,c是△ABC的三边长,
|b-a-c|的值是 (
∴a+b>c,a+c>b,
)
A.-2c
1

2
2
2
2
2
∵∠A=θ,∴∠A1= .同理可得∠A2= ∠A1= × θ= 2 ,…,

∴∠An= .
2
3.在△ABC中,点D为边BC上一点,请回答下列问题:
(1)如图17-4①,若∠DAC=∠B,△ABC的角平分线CE交AD于点F,交AB于点E,求
证:∠AEF=∠AFE;
(2)在(1)的条件下,如图②,△ABC的外角∠ACQ的平分线CP交BA的延长线于点
85° .
图17-1
题组二
易错题
【失分点】对三角形三边之间的关系认识不到位;涉及三角形的高线时,注意分
类讨论高线在三角形内还是三角形外.
3.长度分别为2,7,x的三条线段能组成一个三角形,x的值可以是
A.4
B.5
C.6
D.9
( C )
4.从△ABC顶点A作高线AD和角平分线AE,若AD与AE的夹角为15°,且∠B=50°,
定理
事实、定义、性质和定理等,进行有理有据的推理,这种推理的过程叫做
证明.有些命题,它们的正确性是经过推理证实的,这样得到的真命题叫做
定理
一个命题的题设和结论分别为另一个命题的结论和题设,这样的两个
互逆命题 命题,称为互逆命题,如果我们把其中一个命题称为原命题,那么另一个命
题就是它的㉑ 逆命题
互逆定理
为奇数,则c=
∴a-7=0,b-1=0,即a=7,b=1,
.
由三角形两边之和大于第三边,两边
之差小于第三边得到7-1<c<7+1,
即6<c<8.
∵c为奇数,∴c=7.故填7.
考向三 三角形内角与外角的应用
例3 (1)在△ABC中,∠ABC,∠ACB的平 [答案] (1)120°
分线BE,CD相交于点F,∠ABC=42°,
[解析](1)∵∠A=60°,
∠A=60°,则∠BFC=
∴∠ABC+∠ACB=120°,
.
∵BE,CD 分别是∠ABC,∠ACB 的平分线,
1
1
∴∠CBE=2∠ABC,∠BCD=2∠BCA,
∴∠CBE+∠BCD
1
=2(∠ABC+∠BCA)=60°,
∴∠BFC=180°-60°=120°.
例3 (2)在△ABC中,∠ABC的平分线BE与∠ACB的外
)
A.65°
B.70°
∴∠ACB=∠D+∠CFD
C.75°
D.85°
=15°+55°=70°.
故选B.
图17-2
2.如图17-3,∠ACD是△ABC的外角,∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点
A1,∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2,…,∠An-1BC的平分线与
∠An-1CD的平分线交于点An.设∠A=θ,则∠A1=
则∠C=
.
[答案] 20°或80°
[解析]当∠B>∠C时,如图①,∵AD⊥BC,∴∠ADB=90°.
∵∠B=50°,∴∠BAD=40°.∵∠DAE=15°,∴∠BAE=55°,
∴∠BAC=110°,∴∠C=180°-∠B-∠BAC=180°-50°-110°=20°.
当∠B<∠C时,如图②,
∵AD⊥BC,∴∠ADB=90°,∵∠B=50°,∴∠BAD=40°,
B.2b-2c
∴|a+b-c|-|b-a-c|=|a+b-c|-|b-(a+c)|
C.2a-2c
D.2a-2b
=a+b-c-[(a+c)-b]=2b-2c.故选B.
3. [2018·白银] 已知a,b,c是△ABC
[答案] 7
的三边长,a,b满足|a-7|+(b-1)2=0,c
[解析]∵|a-7|+(b-1)2=0,
名称
中线
图形
性质
BD=⑤ DC =

⑥ BC
AD⊥⑧ BC , 即
高线
∠ADB=⑨________
∠ADC
=90°
重要结论
三角形的三条中线的交点在三角形的
⑦ 内 部,中线将三角形分成两个面积相等
的三角形
⑩ 锐角 三角形的三条高的交点在三角形
的内部; ⑪ 直角 三角形的三条高的交点是
直角顶点; ⑫ 钝角 三角形的三条高所在直
C.2
)
B.2
D.3
图17-5
[答案] C
[解析]∵BN 平分∠ABC,BN⊥AE,∴∠NBA=∠NBE,∠BNA=∠BNE.
∠ = ∠,
在△BNA 和△BNE 中, = ,
∴△BNA≌△BNE,∴BA=BE,
∠ = ∠,
∴△BAE 是等腰三角形,
同理△CAD 是等腰三角形,∴点 N 是 AE 中点,点 M 是 AD 中点(三线合一),
(2)在(1)的条件下,如图②,△ABC的外角∠ACQ的平分线CP交BA的延长线于点
P,若∠P=26°,求∠CFD的度数.
1
1
(2)∵∠ACE=2∠ACB,∠ACP=2∠ACQ,
1
∴∠ECP=∠ACE+∠ACP=2(∠ACB+∠ACQ)=90°,
∴∠P+∠AEC=90°.
∵∠AEF=∠AFE=∠CFD,∴∠P+∠CFD=90°.