2015-2016学年江苏省常州市八年级(下)期末数学试卷

2015-2016学年江苏省常州市八年级（下）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
1．（2分）下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
2．（2分）下列图形中，必然事件是（）
A．随意翻到一本书的某页，页码是偶数
B．度量三角形的三个内角，和是180°
C．掷一次骰子，向上一面的点数是2
D．买一张电影票，座位号是偶数
3．（2分）下列计算正确的是（）
A．B．C．D．
4．（2分）分式的值为0，则（）
A．x=﹣2 B．x=±2 C．x=2 D．x=0
5．（2分）在一次有10000名八年级学生参加的数学质量监测的成绩中，随机抽取1000名学生的数学成绩进行分析，则在该抽样中，样本指的是（）A．所抽取的1000名学生的数学成绩
B．10000名学生的数学成绩
C．1000名学生
D．1000
6．（2分）已知点（﹣1，y 1），（2，y2），在反比例函数y=﹣的图象上，则下列关系式正确的是（）
A．y3＜y2＜y1B．y2＜y3＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y3
7．（2分）如图，将平行四边形ABCD折叠，使顶点D落在AB边上的点E处，折痕为AF，下列说法中不正确的是（）
A．EF∥BC B．EF=AE C．BE=CF D．AF=BC
8．（2分）如图，△OAB中，∠ABO=90°，点A位于第一象限，点O为坐标原点，点B在x轴正半轴上，若双曲线y=（x＞0）与△OAB的边AO、AB分别交于点C、D，点C为AO的中点，连接OD、CD．若S△OBD=3，则S△OCD为（）
A．3 B．4 C．D．6
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
9．（2分）若二次根式有意义，则x的取值范围是．
10．（2分）分式，，的最简公分母为．
11．（2分）在科学课外活动中，小明同学在相同的条件下做了某种作物种子发芽的实验，结果如下表所示：由此估计这种作物种子发芽率约为（精确到0.01）．
12．（2分）菱形具有矩形不一定具有的性质是（写出一条即可）13．（2分）若两个连续整数x、y满足x＜+1＜y，则x+y的值是．14．（2分）如图，O是矩形ABCD对角线BD的中点，M是CD的中点，若AB=12，AD=5，则四边形AOMD的周长是．
15．（2分）一次函数y=kx+b与反比例函数的图象交于A、B两点（如图），则0＜＜kx+b的解集是．
16．（2分）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形AOB的直角顶点A在第四象限，顶点B（0，﹣2），点C（0，1），点D在边AB上，连接CD交OA于点E，反比例函数的图象经过点D，若△ADE和△OCE的面积相等，则k的值为．
三、解答题
17．（8分）计算：
（1）；
（2）．
18．（8分）（1）化简：；
（2）先化简，再求值：，其中．
19．（8分）解方程：
（1）；
（2）．
20．（6分）某校为了解学生每周课外阅读时间的情况，对3000名学生采用随机抽样的方式进行了问卷调查，调查结果分为“2小时以内”，“2小时～3小时”，“3小时～4小时”和“4个小时以上”四个等级，分别用A、B、C、D表示，根据调查结果统计数据绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，由图中给出的信息解答下列问题：
（1）x=，样本容量是；
（2）将不完整的条形统计图补充完整；
（3）请估计该校3600学生中每周课外阅读时间在“2个小时以上”的人数．
21．（6分）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，AE∥BC，DE∥AB．试说明：
（1）AE=DC；
（2）四边形ADCE为矩形．
22．（6分）先阅读材料，然后回答问题．
（1）小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简
经过思考，小张解决这个问题的过程如下：
=①
=②
=③
=④
在上述化简过程中，第步出现了错误，化简的正确结果为；（2）请根据你从上述材料中得到的启发，化简．
23．（8分）某地计划用120～180天（含120与180天）的时间建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为360万
米3．
（1）写出运输公司完成任务所需的时间y（单位：天）与平均每天的工作量x （单位：万米3）之间的函数关系式．并给出自变量x的取值范围；
（2）由于工程进度的需要，实际平均每天运送土石方比原计划多20%，工期比原计划减少了24天，原计划和实际平均每天运送土石方各是多少万米3？24．（8分）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y=kx（k＞0）与反比例函数y=的图象分别交于A、C两点，已知点B与点D关于坐标原点O成中心对称，且点B的坐标为（m，0）．其中m＞0．
（1）四边形ABCD的是．（填写四边形ABCD的形状）
（2）当点A的坐标为（n，3）时，四边形ABCD是矩形，求m，n的值．
（3）试探究：随着k与m的变化，四边形ABCD能不能成为菱形？若能，请直接写出k的值；若不能，请说明理由．
25．（10分）如图，已知一次函数y=2x的图象与反比例函数y=（x＞0），y=（x ＞0）的图象分别交于P，Q两点，点P为OQ的中点，Rt△ABC的直角顶点A是双曲线y=（x＞0）上一动点，顶点B，C在双曲线y=（x＞0）上，且两直角边均与坐标轴平行．
（1）直接写出k的值；
（2）△ABC的面积是否变化？若不变，求出△ABC的面积；若变化，请说明理由；
（3）直线y=2x是否存在点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由．
2015-2016学年江苏省常州市八年级（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
1．（2分）下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形；
D、是轴对称图形，不是中心对称图形．
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
2．（2分）下列图形中，必然事件是（）
A．随意翻到一本书的某页，页码是偶数
B．度量三角形的三个内角，和是180°
C．掷一次骰子，向上一面的点数是2
D．买一张电影票，座位号是偶数
【分析】必然事件就是一定发生的事件，据此即可判断．
【解答】解：A、随意翻到一本书的某页，页码是偶数是随机事件，选项错误；
B、度量三角形的三个内角，和是180°是必然事件，选项正确；
C、掷一次骰子，向上一面的点数是2是随机事件，选项错误；
D、买一张电影票，座位号是偶数是随机事件，选项错误．
故选：B．
【点评】本题考查了必然事件的定义，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3．（2分）下列计算正确的是（）
A．B．C．D．
【分析】结合选项根据二次根式的加减法的运算法则求解即可．
【解答】解：A、﹣=2﹣=，本选项正确；
B、+≠，本选项错误；
C、3﹣=2≠3，本选项错误；
D、3+2≠5，本选项错误．
故选：A．
【点评】本题考查了二次根式的加减法，解答本题的关键是掌握其运算法则：二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，合并方法为系数相加减，根式不变．
4．（2分）分式的值为0，则（）
A．x=﹣2 B．x=±2 C．x=2 D．x=0
【分析】分式的值为零：分子等于零，且分母不等于零．
【解答】解：由题意，得
x2﹣4=0，且x+2≠0，
解得x=2．
故选：C．
【点评】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
5．（2分）在一次有10000名八年级学生参加的数学质量监测的成绩中，随机抽
取1000名学生的数学成绩进行分析，则在该抽样中，样本指的是（）A．所抽取的1000名学生的数学成绩
B．10000名学生的数学成绩
C．1000名学生
D．1000
【分析】根据从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本；再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，即可得出答案．
【解答】解：根据一次有10000名八年级学生参加的数学质量监测的成绩中，随机抽取1000名学生的数学成绩进行分析，
那么样本是：所抽取的1000名学生的数学成．
故选：A．
【点评】此题主要考查了样本确定方法，根据样本定义得出答案是解决问题的关键．
6．（2分）已知点（﹣1，y 1），（2，y2），在反比例函数y=﹣的图象上，则下列关系式正确的是（）
A．y3＜y2＜y1B．y2＜y3＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y1＜y3
【分析】根据反比例函数的比例系数的符号可得反比例函数所在象限为二、四，其中在第四象限的点的纵坐标总小于在第二象限的纵坐标，进而判断在同一象限内的点（2，y 2），的纵坐标的大小即可．
【解答】解：∵反比例函数的比例系数为﹣k2﹣1，
∴图象的两个分支在二、四象限；
∵第四象限的点的纵坐标总小于在第二象限的纵坐标，点（﹣1，y1）在第二象限，点（2，y2）和（，y3）在第四象限，
∴y1最大，
∵2＜，y随x的增大而增大，
∴y2＜y3，
∴y1＞y3＞y2．
故选：B．
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征；用到的知识点为：反比例函数的比例系数小于0，图象的2个分支在二、四象限；第四象限的点的纵坐标总小于在第二象限的纵坐标；在同一象限内，y随x的增大而增大．
7．（2分）如图，将平行四边形ABCD折叠，使顶点D落在AB边上的点E处，折痕为AF，下列说法中不正确的是（）
A．EF∥BC B．EF=AE C．BE=CF D．AF=BC
【分析】根据四边形ABCD是平行四边形，可得∠B=∠D，再根据折叠可得∠D=∠FEA，再利用等量代换可得∠B=∠FEA，然后根据平行线的判定方法可得EF∥BC，可以证明四边形AEFD是平行四边形，再根据折叠可得AE=DA，进而可证出四边形AEFD为菱形，再根据菱形的性质可得EF=AE，BE=CF，不能得出AF=BC；即可得出结论．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B=∠D，
∵根据折叠可得∠D=∠FEA，
∴∠B=∠FEA，
∴EF∥BC；选项A正确；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴DF∥AE，AD∥BC，
∵EF∥BC，
∴AD∥EF，
∴四边形AEFD是平行四边形，
根据折叠可得AE=DA，
∴四边形AEFD为菱形，
∴EF=AE；选项B正确；
∵AB﹣AE=CD﹣DF，
∴BE=CF ；选项C 正确；
没有条件证出AF=BC ，选项D 错误．
故选：D ．
【点评】此题主要考查了翻折变换，以及平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，关键是找准折叠以后哪些线段是对应相等的，哪些角是对应相等的．
8．（2分）如图，△OAB 中，∠ABO=90°，点A 位于第一象限，点O 为坐标原点，点B 在x 轴正半轴上，若双曲线y=（x ＞0）与△OAB 的边AO 、AB 分别交于点
C 、
D ，点C 为AO 的中点，连接OD 、CD ．若S △OBD =3，则S △OCD 为（ ）
A ．3
B ．4
C ．
D ．6
【分析】根据反比例函数关系式与面积的关系得S △COE =S △BOD =3，由C 是OA 的中点得S △ACD =S △COD ，由CE ∥AB ，可知△COE ∽△AOB ，由面积比是相似比的平方得=，求出△ABC 的面积，从而求出△AOD 的面积，得出结论．
【解答】解：过C 作CE ⊥OB 于E ，
∵点C 、D 在双曲线y=（x ＞0）上，
∴S △COE =S △BOD ，
∵S △OBD =3，
∴S △COE =3，
∵CE ∥AB ，
∴△COE ∽△AOB ， ∴=，
∵C 是OA 的中点，
∴OA=2OC ， ∴=，
∴S △AOB =4×3=12，
∴S △AOD =S △AOB ﹣S △BOD =12﹣3=9，
∵C 是OA 的中点，
∴S △ACD =S △COD ，
∴S △COD =，
故选：C ．
【点评】本题考查了反比例函数系数k 的几何意义，即在反比例函数y=的图象中任取一点，过这一个点向x 轴和y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k |，所成的三角形的面积是定值|k |，且保持不变．
二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）
9．（2分）若二次根式有意义，则x 的取值范围是 x ≥﹣1 ．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x +1≥0，再解不等式即可．
【解答】解：由题意得：x +1≥0，
解得：x ≥﹣1，
故答案为：x ≥﹣1．
【点评】此题主要考查了二次根式的意义．关键是二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
10．（2分）分式，，的最简公分母为x2yz．
【分析】确定最简公分母的方法是：
（1）取各分母系数的最小公倍数；
（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；
（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．
【解答】解：分式，，的最简公分母为x2yz，
故答案是：x2yz．
【点评】本题考查了最简公分母，确定最简公分母的方法一定要掌握．
11．（2分）在科学课外活动中，小明同学在相同的条件下做了某种作物种子发芽的实验，结果如下表所示：由此估计这种作物种子发芽率约为0.94（精确到0.01）．
【分析】把每次做实验的总的个数作为整体，求出发芽率，根据总体与样本的关系，即可认为就是这种作物种子发芽率．
【解答】解：×100%=0.939≈0.94．
【点评】本题考查的是通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体即可．容易出现的错误是（94÷100+187÷200+282÷300+376÷400）÷4=94%，即把每次试验的发芽率的平均数作为这种作物种子发芽率．
12．（2分）菱形具有矩形不一定具有的性质是菱形的对角线互相垂直（写出一条即可）
【分析】根据菱形的性质与矩形的性质写出即可．
【解答】解：菱形的对角线互相垂直，菱形的对角线平分一组对角，菱形的四条边都相等．
故答案为：菱形的对角线互相垂直（答案不唯一）．
【点评】本题考查了菱形的性质，矩形的性质，熟练掌握两个图形的性质是解题
的关键．
13．（2分）若两个连续整数x、y满足x＜+1＜y，则x+y的值是7．
【分析】先估算的范围，再估算+1，即可解答．
【解答】解：∵，
∴，
∵x＜+1＜y，
∴x=3，y=4，
∴x+y=3+4=7．
故答案为：7．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，解决本题的关键是估算的范围．
14．（2分）如图，O是矩形ABCD对角线BD的中点，M是CD的中点，若AB=12，AD=5，则四边形AOMD的周长是20．
【分析】由矩形的性质和勾股定理求出BD，再证明OM是△ABD的中位线，得出OM=，BC=2.5，即可得出四边形AOMD的周长．
【解答】解：如图所示：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，BC=AD=5，CD=AB=12，
∴BD===13，
∵O是CD的中点，
∴OA=BD=6.5，
∵M是CD的中点，
∴DM=CD=6，OM是△CBD的中位线，
∴OM=BC=2.5，
∴四边形AOMD的周长=OA+AD+DM+OM=6.5+5+6+2.5=20；
故答案为：20．
【点评】本题考查了矩形的性质、三角形中位线定理、勾股定理；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．
15．（2分）一次函数y=kx+b与反比例函数的图象交于A、B两点（如图），则0＜＜kx+b的解集是x＜﹣1．
【分析】结合函数图象，直接可得0＜＜kx+b的解集．
【解答】解：由图象可知，只有x＜﹣1时，y=kx+b的图象在y=的图象的上方，且函数值都大于0，
即0＜＜kx+b．
所以0＜＜kx+b的解集是：x＜﹣1．
故填：x＜﹣1．
【点评】解决此类问题的关键是认真观察图形，根据函数图象的特点直接确定不等式的解集．
16．（2分）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形AOB的直角顶点A在第四象限，顶点B（0，﹣2），点C（0，1），点D在边AB上，连接CD交OA于
点E，反比例函数的图象经过点D，若△ADE和△OCE的面积相等，则k的值为﹣．
【分析】先过点D作DF⊥OB于F，构造等腰直角三角形BDF，再根据△ADE和△OCE的面积相等，得出△BCD和△AOB的面积相等，最后根据△BCD的面积求得点D的坐标，即可得出k的值．
【解答】解：如图，过点D作DF⊥OB于F，
∵等腰直角三角形AOB的顶点B（0，﹣2），点C（0，1），
∴OB=2，AO=AB=，BC=3，DF=BF，
∴△AOB的面积=××=1，
又∵△ADE和△OCE的面积相等，
∴△BCD和△AOB的面积相等，
∴△BCD的面积为1，
即×BC×DF=1，
∴×3×DF=1，
解得DF=
∴BF=，
∴OF=2﹣=，
∴D（，﹣），
∵反比例函数的图象经过点D，
∴k=×（﹣）=﹣．
故答案为：﹣
【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解决问题的关键是运用数形结合思想，将点D的坐标与比例系数k联系起来．
三、解答题
17．（8分）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可；
（2）运用平方差公式去括号，再计算根式的乘方即可得．
【解答】解：（1）原式=3﹣3+2=5﹣3；
（2）原式=（2）2﹣（3）2
=20﹣18
=2．
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，学习二次根式的混合运算应注意以下几点：①与有理数的混合运算一致，运算顺序先乘方再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的．②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式“，多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式“．
18．（8分）（1）化简：；
（2）先化简，再求值：，其中．
【分析】（1）根据二次根式的性质把原式进行化简即可；
（2）先算括号里面的，再算除法，最后把a的值代入进行计算即可．
【解答】解：（1）原式=
=
=（x+y）；
（2）原式=•
=，
当a=时，原式==6．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，分式求值题中比较多的题型主要有三种：转化已知条件后整体代入求值；转化所求问题后将条件整体代入求值；既要转化条件，也要转化问题，然后再代入求值．
19．（8分）解方程：
（1）；
（2）．
【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：（1）去分母得：2x﹣x+2=0，
解得：x=﹣2，
经检验x=﹣2是分式方程的解；
（2）去分母得：x2+x﹣1=x2﹣x，
解得：x=，
经检验x=是分式方程的解．
【点评】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程时注意要检验．
20．（6分）某校为了解学生每周课外阅读时间的情况，对3000名学生采用随机抽样的方式进行了问卷调查，调查结果分为“2小时以内”，“2小时～3小时”，“3小时～4小时”和“4个小时以上”四个等级，分别用A、B、C、D表示，根据调查结果统计数据绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，由图中给出的信息解答下列问题：
（1）x=30，样本容量是400；
（2）将不完整的条形统计图补充完整；
（3）请估计该校3600学生中每周课外阅读时间在“2个小时以上”的人数．
【分析】（1）根据统计图可以求得x的值以及样本容量，本题得以解决；
（2）根据第（1）问中的样本容量和统计图可以求得B等级和C等级的人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（3）根据统计图可以求得该校3600学生中每周课外阅读时间在“2个小时以上”的人数．
【解答】解：（1）由扇形统计图，得
x%=1﹣45%﹣10%﹣15%=30%，
样本容量是：180÷45%=400，
故答案为：30，400；
（2）B等级的人数是：400×30%=120，
C等级的人数是：400×10%=40，
补全的条形统计图如右图所示，
（3）由题意可得，
该校3600学生中每周课外阅读时间在“2个小时以上”的人数是：3600×（1﹣45%）=1980，
即该校3600学生中每周课外阅读时间在“2个小时以上”的有1980人．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、样本容量、用样本估计总体，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答问题．
21．（6分）如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，AE∥BC，DE∥AB．
试说明：
（1）AE=DC；
（2）四边形ADCE为矩形．
【分析】（1）根据已知条件可以判定四边形ABDE是平行四边形，则其对边相等：AE=BD．结合中点的性质得到AE=CD；
（2）依据“对边平行且相等”的四边形是平行四边形判定四边形ADCE是平行四边形，又由“有一内角为直角的平行四边形是矩形”证得结论．
【解答】证明：（1）如图，∵AE∥BC，
∴AE∥BD．
又∵DE∥AB，
∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AE=BD．
∵D为BC的中点，
∴BD=DC，
∴AE=DC；
（2）∵AE∥CD，AE=BD=DC，即AE=DC，
∴四边形ADCE是平行四边形．
又∵AB=AC，D为BC的中点，
∴AD⊥CD，
∴平行四边形ADCE为矩形．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，矩形的判定与性质以及平行四边形的性质．此题也可以根据“对角线相等的平行四边形是矩形”来证明（2）的结论．
22．（6分）先阅读材料，然后回答问题．
（1）小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了一个问题：化简
经过思考，小张解决这个问题的过程如下：
=①
=②
=③
=④
在上述化简过程中，第④步出现了错误，化简的正确结果为﹣；
（2）请根据你从上述材料中得到的启发，化简．
【分析】（1）根据算术平方根的性质=|a|即可进行判断；
（2）把被开方数化成完全平方的形式，然后利用二次根式的性质即可化简求解．【解答】解：（1）在化简过程中④步出现了错误，化简的正确结果是﹣．故答案是：④，﹣；
（2）原式=
=
=
=+．
【点评】本题考查了二次根式的化简求值，正确把被开方数化成完全平方的形式是本题的关键．
23．（8分）某地计划用120～180天（含120与180天）的时间建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为360万
米3．
（1）写出运输公司完成任务所需的时间y（单位：天）与平均每天的工作量x （单位：万米3）之间的函数关系式．并给出自变量x的取值范围；
（2）由于工程进度的需要，实际平均每天运送土石方比原计划多20%，工期比原计划减少了24天，原计划和实际平均每天运送土石方各是多少万米3？
【分析】（1）利用“每天的工作量×天数=土方总量”可以得到两个变量之间的函数关系；
（2）根据“工期比原计划减少了24天”找到等量关系并列出方程求解即可；
【解答】解：（1）由题意得，y=把y=120代入y=，得x=3
把y=180代入y=，得x=2，
则自变量的取值范围为：2≤x≤3，
则y=（2≤x≤3）；
（2）设原计划平均每天运送土石方x万米3，则实际平均每天运送土石方（1+20%）x万米3，
根据题意得：﹣=24，
解得：x=2.5
经检验x=2.5为原方程的根，
2.5×（1+20%）=3（万米3）．
答：原计划每天运送2.5万米3，实际每天运送3万米3．
【点评】本题考查了反比例函数的应用及分式方程的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
24．（8分）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数y=kx（k＞0）与反比例函数y=的图象分别交于A、C两点，已知点B与点D关于坐标原点O成中心对称，且点B的坐标为（m，0）．其中m＞0．
（1）四边形ABCD的是平行四边形．（填写四边形ABCD的形状）
（2）当点A的坐标为（n，3）时，四边形ABCD是矩形，求m，n的值．
（3）试探究：随着k与m的变化，四边形ABCD能不能成为菱形？若能，请直接写出k的值；若不能，请说明理由．
【分析】（1）根据正、反比例函数的对称性即可得出点A、C关于原点O成中心对称，再结合点B与点D关于坐标原点O成中心对称，即可得出对角线BD、AC 互相平分，由此即可证出四边形ABCD的是平行四边形；
（2）由点A的纵坐标结合反比例函数图象上点的坐标特征即可求出n值，进而得出点A的坐标以及OA的长度，再根据矩形的性质即可得出OB=OA，由点B
的坐标即可求出m值；
（3）由点A在第一象限内，点B在x轴正半轴上，可得出∠AOB＜90°，而菱形的对角线互相垂直平分，由此即可得知四边形ABCD不可能成为菱形．
【解答】解：（1）∵正比例函数y=kx（k＞0）与反比例函数y=的图象分别交于A、C两点，
∴点A、C关于原点O成中心对称，
∵点B与点D关于坐标原点O成中心对称，
∴对角线BD、AC互相平分，
∴四边形ABCD的是平行四边形．
故答案为：平行四边形．
（2）∵点A（n，3）在反比例函数y=的图象上，
∴3n=3，解得：n=1，
∴点A（1，3），
∴OA=．
∵四边形ABCD为矩形，
∴OA=AC，OB=BD，AC=BD，
∴OB=OA=，
∴m=．
（3）四边形ABCD不可能成为菱形，理由如下：
∵点A在第一象限内，点B在x轴正半轴上，
∴∠AOB＜90°，
∴AC与BD不可能互相垂直，
∴四边形ABCD不可能成为菱形．
【点评】本题考查了正比例函数的性质、反比例函数的性质、矩形的性质以及菱形的性质，解题的关键是：（1）找出对角线BD、AC互相平分；（2）根据矩形的性质找出OA=OB；（3）找出∠AOB＜90°．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据四边形对角线的相交情况（互相平分、相等且互相平分、互相垂直平分）来判定图形的形状是关键．
25．（10分）如图，已知一次函数y=2x的图象与反比例函数y=（x＞0），y=（x ＞0）的图象分别交于P，Q两点，点P为OQ的中点，Rt△ABC的直角顶点A是双曲线y=（x＞0）上一动点，顶点B，C在双曲线y=（x＞0）上，且两直角边均与坐标轴平行．
（1）直接写出k的值；
（2）△ABC的面积是否变化？若不变，求出△ABC的面积；若变化，请说明理由；
（3）直线y=2x是否存在点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，若存在，求出点A的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）设点P（m，），Q（n，），根据P为OQ的中点，即可得出m、
n之间的关系，由此即可得出k值；
（2）△ABC的面积不变，设A（a，）（a＞0），根据AB、AC与坐标轴平行找出点B、C的坐标，由此即可得出AB、AC，再根据三角形的面积公式即可得出结论；
（3）假设存在，设A（a，）（a＞0），则C（a，），B（，）．以A，B，C，D为顶点的四边形分别是以AB、AC、BC为对角线的平行四边形，根据平行四边形对角线互相平分的性质找出点D的坐标，再根据点D在直线y=2x上找出关于a的方程，解方程求出a值，将其代入A点坐标中即可得出结论．
【解答】解：（1）∵点P在反比例函数y=（x＞0）上，点Q在反比例函数y=（x＞0）上，
∴设点P（m，），Q（n，），
∵点P为OQ的中点，
∴n=2m，=2•，
∴k=8．
（2）△ABC的面积不变，
设A（a，）（a＞0），则C（a，），
令y=中y=，则x=，
∴点B（，），
∴AB=a﹣=，AC=﹣=，
=AB•AC=••=．
∴S
△ABC
（3）假设存在，设A（a，）（a＞0），则C（a，），B（，）．
以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形分三种情况：
①以AB为对角线，
则点D（a+﹣a，+﹣），即（，），
∵点D在y=2x上，
∴=2•，
解得：a=2或a=﹣2（舍去），
此时点A（2，）；
②以AC为对角线，
则点D（a+a﹣，+﹣），即（，），
∵点D在y=2x上，
∴=2•，
解得：a=或a=﹣（舍去），
此时点A（，4）；
③以BC为对角线，
则点D（+a﹣a，+﹣），即（，），
∵点D在y=2x上，
∴=2•，
解得：a=2或a=﹣2（舍去），
此时点A（2，4）．
故直线y=2x存在点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形，点A 的坐标为（2，）、（，4）或（2，4）．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、三角形的面积公式以及平行四边形的性质，解题的关键是：（1）根据点P为OQ的中点找出m、n的关系；（2）求出S
为定值；（3）分别以AB、AC、BC为对角线找出点D的坐标．本△ABC
题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据平行线的性质﹣﹣对角线互相平分，由平行四边形的三个顶点坐标表示出第四个顶点的坐标是关键．。