2017年高考理科数学全国2卷-含答案

2017年高考理科数学全国2卷-含答案
D
（5） 的箱产量不低于50kg”,估计A 的概率；
（6） 填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：
箱产量＜50kg 箱产量≥50kg 旧养殖法 新养殖法
（7） 根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）
P （）
0.050 0.010 0.001 k
3.841 6.635
10.828
2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=
++++
19.（12分）如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面PAD 为等比三角形且垂直于底面ABCD ，
o 1
,90,2
AB BC AD BAD ABC ==
∠=∠=E 是PD 的中点. （1）证明：直线//CE 平面PAB
（2）点M 在棱PC 上，且直线BM 与底面ABCD 所成角为o 45，求二面角M -AB -D 的余弦值
E
M
20.（12分）设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：2
212
x y +=上，过M 做x 轴的垂线，垂足为N ，点P 满足2NP NM
=
.
(1) 求点P 的轨迹方程；
(2) 设点Q 在直线x =-3上，且1OP PQ ⋅=.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F .
21.（12分）已知函数2
()ln ,
f x ax ax x x =--且()0f x ≥.
（1）求a ；
（2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0
x ，且2
2
0()2e
f x --<<.
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，按所做的第一题计分。

22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分） 在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1
C 的极坐标方程为cos 4ρθ=．
（1）M 为曲线1
C 上的动点，点P 在线段OM 上，且满足
||||16
OM OP ⋅=,求点P 的轨迹2
C 的直角坐标方程；
（2）设点A 的极坐标为(2,)3
π，点B 在曲线2
C 上，求OAB ∆面积的最大值．
23.[选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知3
30,0,2
a b a b >>+=，证明：
（1）5
5()()4
a b a b ++≥；
（2）2a b +≤．
2017年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学(Ⅱ)试题答案
一、选择题
1.D
2.C
3.B
4.B
5.A
6.D
7.D
8.B
9.A 10.C 11.A 12.B 二、填空题
13. 1.96 14. 1 15. 2n 1n + 16. 6 三、解答题 17.解：
（1）由题设及2
sin 8sin 2
A B C B ππ++==得，故 sin 4-cosB B =（1）
上式两边平方，整理得 2
17cos B-32cosB+15=0
解得 15
cosB=cosB 171（舍去），= （2）由158cosB sin B 1717
==得，故14a sin 217
ABC
S
c B ac ∆==
又17
=22
ABC S
ac ∆=
，则
由余弦定理及a 6c +=得
2222
b 2cos a 2(1cosB)
1715362(1)
217
4
a c ac B
ac =+-=-+=-⨯⨯+=（+c ）
所以b=2 18.解：
（1）记B 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg ”，C 表示事件“新养殖法的箱产量不低于50kg ” 由题意知()()()()P A P BC P B P C ==
旧养殖法的箱产量低于50kg 的频率为 0.0400.0340.0240.0140.0125=0.62++++⨯（） 故()P B 的估计值为0.62
新养殖法的箱产量不低于50kg 的频率为
0.0680.0460.0100.0085=0.66+++⨯（）
故()P C 的估计值为0.66
因此，事件A 的概率估计值为0.620.660.4092⨯= （2）根据箱产量的频率分布直方图得列联表
箱产量50kg < 箱产量50kg ≥ 旧养殖法 62 38 新养殖法
34
66
()2
2
2006266343815.705
10010096104
K ⨯⨯-⨯=
≈⨯⨯⨯
由于15.705 6.635>
故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．
（3）因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于50kg 的直方图面积为
()0.0040.0200.04450.340.5++⨯=<，
箱产量低于55kg 的直方图面积为 ()0.0040.0200.044+0.06850.680.5++⨯=>
故新养殖法箱产量的中位数的估计值为
0.5-0.34
50+ 2.35kg 0.068（）
≈5． 19.解：
（1）取PA 中点F ，连结EF ，BF ．
因为E 为PD 的中点，所以
EF AD
,
12
EF AD =
,由
90BAD ABC ∠=∠=︒
得BC AD ∥，又12
BC AD = 所以EF BC ∥．四边形BCEF 为平行四边形，CE BF ∥． 又BF PAB ⊂平面，CE PAB ⊄平面，故CE PAB ∥平面 （2）
由已知得BA AD ⊥,以A 为坐标原点，AB 的方向为x 轴正方向，AB 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系
A-xyz,则
则(000)A ，，，(100)B ，，，(110)C ，，，(013)P ，，，
(103)
PC =，，,(100)AB =，
，则 (x 1),(x 13)
BM y z PM y z =-=--，，，，
因为BM 与底面ABCD 所成的角为45°，而(00)=n ，，1是
底面ABCD 的法向量，所以
cos ,sin 45BM =n 222
z 2
(x 1)y z =
-++即（x-1）²+y ²-z ²=0 又M 在棱PC 上，设,PM PC λ=则 x ,1,33y z λλ===
由①，②得x x y y ⎧⎧⎪⎪
⎪⎪
⎪⎪⎨⎨⎪⎪
⎪⎪=-=⎪⎪⎩⎩
22=1+=1-22=1(舍去)，=1
66
z z 22
所以M 261-,1，⎛ ⎝
⎭
，从而261-,1，⎛= ⎝⎭
AM
设()0
,,x y z m =是平面ABM 的法向量，则
(00002-2260
0即00
⎧⎧++
==⎪⎪⎨
⎨=⎪⎪=⎩⎩x y z AM AB x m m
所以可取m =（0，62）.于是cos 10=
=m n
m,n m n
因此二面角M-AB-D 的余弦值为
10
20.解
（1）设P （x,y ）,M （x 0,y 0）,设N （x 0,0）, ()()0
,,0,=-=NP x x y NM y
由2=
NP NM
得0
2
=,=
x x y
y
因为M （x 0,y 0）在C 上，所以2
2122
+=x y
因此点P 的轨迹方程为2
22
+=x
y （2）由题意知F （-1,0）.设Q （-3，t ）,P(m,n),则
()()3,1,,33t =-=---=+-OQ ,PF m n OQ PF m tn ，
()(),3,
==---OP m,n PQ m,t n
由1=OP PQ 得2
2-31
-+-=m m tn n ，又由（1）知2
2
+=2m n ，故
3+3m-tn=0 所以0
=OQ PF
，即⊥OQ PF 又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ，
所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F. 21.解：
（1）()f x 的定义域为()0，
+∞ 设()g x =ax -a -lnx ，则()()()≥f x =xg x ,f x 0等价于()0≥g x 因为()()()()()11=0，0,故1=0,而,1=1,得1≥=--=g g x g'g'x a g'a a x
若a =1，则()11-g'x =x .当0＜x ＜1时，()()＜0,g'x g x 单调递减；当x ＞1时，()g'x ＞0，()g x 单调递增.所以x=1是()g x 的极小值点，故()()1=0≥g x g 综上，a=1
（2）由（1）知()2
ln ,'()22ln f x x x x x f x x x =--=--
设()1
22ln ,则'()2h x x x h x x =--=-
当10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝
⎭
时，()'＜0h x ；当1,+2x ⎛⎫∈∞ ⎪⎝
⎭
时，()'＞0h x ，所以()h x 在10,2
⎛⎫
⎪
⎝
⎭
单调递减，在1,+2
⎛⎫
∞ ⎪⎝
⎭
单调递增 又()()2
1＞0,＜0,102h e h h -⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()h x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭有唯一零点x 0，在1,+2⎡⎫
∞⎪
⎢⎣⎭
有唯一零点1，且当()0
0,x x ∈时，()＞0h x ；当()0
,1x x ∈时，()＜0h x ，
当()1,+x ∈∞时，()＞0h x .
因为()()'f x h x =，所以x=x 0是f(x)的唯一极大值点 由()()0
'0得ln 2(1),故=(1)f x x x f x x x ==--
由()0
0,1x ∈得()0
1'＜4
f x 因为x=x 0是f(x)在（0,1）的最大值点，由()()
1
10,1,'0
e f e --∈≠得
()()
12
0＞f x f e e --= 所以()2
-2
0＜＜2e
f x -
22.解：
（1）设P 的极坐标为()()，＞0ρθρ，M 的极坐标为()()1
1
，＞0ρθρ，
由题设知
cos 14
=，=
ρρθ
OP OM =
由16
OM
OP =得2
C 的极坐标方程()cos =4＞0ρθρ
因此2
C 的直角坐标方程为()()
2
2240x
y x -+=≠
（2）设点B 的极坐标为()()，＞0B
B
ραρ,由题设知
cos =2，=4B ρα
OA ,于是△OAB 面积
1
=
sin 2
4cos sin 33
2sin 23223
B S OA AOB ρπααπα∠⎛⎫
=- ⎪
⎝⎭⎛⎫=--
⎪⎝⎭≤+
当=-12π
α时，S 取得最大值2+3
所以△OAB 面积的最大值为2+3 23.解： （1）
()()
(
)
()
(
)
5
56556
2
33
3344
2
2
2
244
++=+++=+-++=+-≥a b a
b a ab a b b a b
a b ab a b ab a b
（2）因为
()()()()
()3
3223
2
3
3323+3+3+2+
+24
4
a +=+++=+≤=+
b a a b ab b ab a b a b a b a b
所以()3
+8
≤a b ，因此a+b≤2.。