一次函数与三角形面积专题

一次函数与三角形面积专题 姓名： 知识要点：一次函数与三角形面积问题，其本质是一次函数的图象在平面直角坐标系与坐标轴或其他直线所形成的三角形面积问题，一类问题是正向求三角形面积，另一类是逆向的根据三角形面积求点坐标.解决此类问题一定要画图，选择合理的计算方法求三角形面积，或列出计算面积的方程. 1.正向求面积：通过求点坐标，然后从坐标到距离（要加绝对值），求其面积； 例1：直线y =2x +4与坐标轴围成的三角形面积：如图，先求直线与x 、y 轴交点A 、B 的坐标
A （-2,0）、
B （0,4），S △AB
C =4422
121=⨯⨯=⋅⋅OB OA . 例2：直线y=2x +4、y= －x +1与x 轴围成的三角形面积：如图，先分别求出两条直线与x 轴
的交点A 、C 的坐标A （-2,0）、C （1,0），在联立方程组求两出两条直线的交点D 的坐标D （-1,2）， S △ACD =32)2(12
121=⨯--⨯=⋅⋅C y AC .
2. 根据面积逆向求坐标（表达式）：一般地，通过求距离到坐标（要注意双解），然后求其坐标（或表达式）； 例3：如图，在直线y= －x +1上，求点P 使得.6=∆ACP S 此时4,632
121==⨯⨯=⋅⋅=∆P P P ACP y y y AC S ∴P （-3,4）或（5,-4）
3.关于双轨平行线：若ABC ABP S S ∆∆=，由同底等高可以得出：点P 在与AB 平行，且到AB 的距离等于点C 到AB 的距离的两条直线上.然后求其直线表达式，求交点坐标.
4.关于铅垂高与水平宽：一般的，由三角形的任意顶点向对边作y 轴平行线，该顶点与另一边的交点之间的线段叫铅垂高，另两点之间的水平距离叫水平宽，此时水平宽铅垂高⨯⨯=
∆21S . 典型练习：
1．直线y ＝－2x +4与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，则△AOB 的面积为 ；过B 点作直线BP 与x 轴相交于P ，且使OP ＝2OA ，△P AB 的面积为 ．
2．直线y ＝－x +4、直线y ＝2和直线x=1围成的三角形面积为 ．
3．直线y ＝－2x +4、直线y ＝—x －1与x 轴围成的三角形面积为 ．
4．一次函数y ＝（m +1）x +
23的图象与x 轴的相交于点A ，与y 轴相交于点B ，若△OAB 的面积为4
3，则m 的值为 ．
5．直线y ＝－2x +4与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．过点A 作直线AP 与y 轴交于点P ，若S △ABP ＝2S △ABO ，则P 点坐标为 ；若S △ABP ＝2S △APO ，则直线AP 的表达式为 ．
D C
7．如图，已知直线y ＝2x +10，与y 轴交于点A ，与x 轴交于点B ．若点P （a ，b ）
为线段AB 上的一个动点，作PE ⊥y 轴于点E ，PF ⊥x 轴于点F ，连接EF ，则：
①若△PBO 的面积为S ，则S 关于a 的函数关系式为 ；（并写出
自变量取值范围）②EF 的最小值为 ．
8．如图，直线y ＝3
2 x +2与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，以线段AB 为直角边在第一象限内作等腰Rt △ABC ，∠BAC ＝90°，则点C 的坐标为 ；若
点P （1，a ）为坐标系中的一个动点，要使得△ABC 和△ABP 的面积相等，则a
的值为 ．
9．如图，在平面直角坐标系中，直线l 1与y 轴交于点A ，点B （﹣3，3）也在直线
l 1上，将点B 先向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到点C ，点
C 恰好也在直线l 1上．
（1）求直线l 1的表达式；
（2）若将点C 先向左平移3个单位，再向上平移6个单位得到点D ，请你判断点D 是否在直线l 1上；
（3）已知直线l 2：y ＝x +b 经过点B ，与y 轴交于点E ，那么是否在直线l 2上存在点P ，使得S △AEP =S △AEC ，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y ＝－3
4x +4与x 轴、y 轴分别交于点A 、点B ，点D 在y 轴的负半轴上，若将△DAB 沿直线AD 折叠，点B 恰好落在x 轴正半轴上的点C 处．
（1）求直线CD 的表达式；
（2）若直线AB 与直线CD 交于点E ，求△ADE 的面积；
（3）直线CD 上是否存在点P ，使得S △ABP ＝2S △ABO ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．。