历年高考数学真题精选30立体几何中的平行关系

历年高考数学真题精选（按考点分类）
专题 30 平行关系 （学生版）
1．（2019?江苏）如图，在直三棱柱 ABC A 1B 1C 1中，D ，E 分别为 BC ，AC 的中点， AB BC ．
求证：
1) A 1B 1 / / 平面
；
2) BE C 1E ．
2．（ 2017?江苏）如图，在三棱锥 A BCD 中，AB AD ，BC BD ，平面 ABD 平面 BCD ， 点
E 、
F （E 与 A 、 D 不重合）分别在棱 AD ， BD 上，且 EF AD ．求证：
1) EF / / 平面 ABC ； 2)
AD AC ．
3．（ 2016?山东）在如图所示的几何体中， D 是AC 的中点， EF //DB ．
（Ⅰ）已知 AB BC ， AE EC ，求证： AC FB ；
（Ⅱ）已知 G ，H 分别是 EC 和FB 的中点，求证： GH //
平面
ABC ．
4．（2013?新课标Ⅱ）如图，直三棱柱ABC A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点（Ⅰ）证明：BC1 / / 平面A1CD ；
（Ⅱ）AA1 AC CB 2 ，AB 2 2 ，求三棱锥 C A1DE 的体积．
5．（2013?山东）如图，四棱锥P ABCD中，AB AC，AB PA，AB/ /CD，AB 2CD，E，F ，G，M ，N分别为PB、AB、BC、PD、PC的中点．
（Ⅰ）求证：CE / / 平面PAD
（Ⅱ）求证：平面EFG 平面EMN ．
6．（2013?天津）如图，三棱柱ABC A1B1C1 中，侧棱A1A 底面ABC ，且各棱长均相等，D，E，F 分别为棱AB，BC，A1C1的中点第2页（共20页）
Ⅰ）证明 EF / / 平面 A 1CD ； Ⅱ）证明平面 A 1CD 平面 A 1 ABB 1 ；
Ⅲ）求直线 B 1C 1 与平面 A 1CD 所成角的正弦值．
7．（ 2013?北京）如图，在四棱锥 P ABCD 中，AB / /CD ，AB AD ，CD 2AB ，平面 PAD 底面 ABCD ， PA AD ． E 和 F 分别是 CD 和 PC 的中点，求证：
Ⅰ) PA 底面 ABCD ； Ⅱ) BE / / 平面 PAD ； Ⅲ）平面 BEF 平面 PCD ．
8．（2012?山东）如图，几何体 E ABCD 是四棱锥， ABD 为正三角形， CB CD ，EC BD ． （Ⅰ）求证： BE DE ；
9．（2012?辽宁）如图，直三棱柱 ABC ABC ， BAC 90 ， AB AC 2， AA 1
，
DM / / 平面 BEC ．
点 M ， N 分别为 AB 和 BC 的中点． （Ⅰ）证明： MN / / 平面 A ACC ； （Ⅱ）求三棱锥 A MNC 的体积．
1
锥体体积公式 V 13Sh ，其中 S 为底面面积，
ADE 沿DE 折起到△ A 1DE 的位置，使 A 1F CD ，如图 2．
3）线段 A 1B 上是否存在点 Q ，使 A 1C 平面 DEQ ？说明理由．
11．（2010?湖南）如图所示，在正方体 ABCD A 1B 1C 1D 1 中， E 是棱 DD 1的中点．
Ⅰ）求直线 BE 与平面 ABB 1A 1 所成的角的正弦值；
Ⅱ）在棱
C 1
D 1上是否存在一点 F ，使 B 1F // 平面 A 1B
E ？证明你的结论．
h 为高）
10．（ 2012?北京）如图 1，在 Rt ABC 中，
90 ， D ， E 分别为 AC ， AB 的中点，点
1）求证： DE / / 平面
F 为线段 CD 上的一点，将
2）求证： A 1F BE ；
A1O 平面ABCD ，AB AA1 2 ．
Ⅰ）证明：平面A1BD / /平面CD1B1 ；
Ⅱ）求三棱柱ABD A1 B1D1 的体积．
13．（2011?山东）如图，在四棱台ABCD A1B1C1D1 中，D1D 平面ABCD 平行四边形，AB 2AD ，AD A1B1 ，BAD 60 ．
（Ⅰ）证明：AA1 BD ；
（Ⅱ）证明：CC1 // 平面A1BD ．
12．（2013?陕西）如图，四棱
柱
ABCD A1B1C1D1 的底面ABCD 是正方形，O 为底面中
心，
，底面ABCD 是
历年高考数学真题精选（按考点分类）
专题 30 平行关系 （教师版）
1．（2019?江苏）如图，在直三棱柱 ABC A 1B 1C 1中，D ，E 分别为 BC ，AC 的中点， AB BC ． 求证：（1） A 1B 1 / / 平面 DEC 1 ；
A 1
B 1
C 1中，
D ，
E 分别为 BC ， AC 的中点，
DE //AB ， AB / / A 1B 1 ， DE / /A 1B 1，
QDE 平面 DEC 1 ， A 1B 1 平面 DEC 1 ，
A 1
B 1 // 平面 DE
C 1．
解：（2）Q 在直三棱柱 ABC A 1 B 1C 1中， E 是 AC 的中点， AB BC ．
BE AA 1 ， BE AC ， 又 AA 1I AC A ， BE 平面 ACC 1 A 1 ，
2．（ 2017?江苏）如图，在三棱锥 A BCD 中，AB AD ，BC
第6页（共 20页）
BE C 1E ．
BD ，平面 ABD 平面 BCD ，
ABC
点E、F（E 与A、D不重合）分别在棱AD，BD上，且EF AD ．求证：
1) EF / / 平面ABC ；
2) AD AC ．
证明：（1）Q AB AD，EF AD，且A、B、E、F四点共面，
AB//EF ，又QEF 平面ABC，AB 平面ABC，
EF / / 平面ABC ；
（2）在线段CD 上取点G ，连
结FG 、
BD ，EG使得FG //BC，则EG/ /AC，
Q BC BD ，
FG / / BC ，FG
又平面
ABD
平面
BCD ，平面ABD
平面BCD BD ，FG
平面
BCD ，
FG 平面
ABD ，Q
AD
平面
ABD
，FG AD ，
Q AD
EF，且EF I FG F，
AD 平面
EFG ，Q EG
平面
EFG
，AD EG ，
Q EG //
AC ，AD AC
3．（2016?山东）在如图所示的几何体中，D是AC 的中点，EF //DB．（Ⅰ）已知AB BC ，AE EC ，求证：AC FB ；
Ⅱ）已知G，H分别是EC和FB的中点，求证：GH //平面ABC．
（Ⅰ）证明：如图所示，QD是AC的中点，AB BC，AE EC，BAC 、EAC 都是等腰三角形，
BD AC ，ED AC ．
QEF //DB，E、F 、B 、D四点共面，这样，
AC 垂直于平面EFBD内的两条相交直线ED、BD，
AC 平面EFBD ．
显然，FB 平面EFBD ，AC FB．
（Ⅱ）已知G，H 分别是EC和FB的中点，再取CF 的中点O ，则OG / / EF ，又Q EF / / DB ，故有OG / / BD ，而BD 平面ABC ，OG / / 平面
ABC ．
同理，OH //BC，而BC 平面ABC，OH //平面ABC．Q OG I OH O ，平面OGH / / 平面ABC ，GH / / 平面ABC ．
4．（2013?新课标Ⅱ）如图，直三棱柱ABC A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点
Ⅰ）证明：BC1 / / 平面A1CD ；
Ⅱ）AA1 AC CB 2 ，AB 2 2 ，求三棱锥 C A1DE 的体积．
交A1C 于点 F ，则 F 为AC1 的中点．
D ，E分别是AB ，BB1的中点，故DF为三角形ABC1 的中位
线，
故DF / /BC1 ．
由于DF 平面A1CD ，而BC1不在平面A1CD中，故有BC1 / /平面
A1CD．
Ⅱ）QAA1 AC CB 2，AB 2 2 ，故此直三棱柱的底面ABC为等腰直角三角形．
由D为AB 的中点可得CD 平面ABB1 A1 ，
CD AC A g B BC
2
．
Q A1D A1A2AD2 6 ，同理，利用勾股定理求得DE 3 ，A1E 3 ．
再由勾股定理可得A1D2 DE2 A1E2，A1D DE ．
1 3 2
S VA1DE gA1D gDE ，
1 2 2
1
V
C A1 DE 3 gS VA1DE gC
D 1 ．
5．（2013?山东）如图，四棱锥P ABCD中，AB AC，AB PA，AB/ /CD，AB 2CD，E，F，G，M，N分别为PB、AB、BC、PD、PC的中点．
Ⅰ）求证：CE / / 平面PAD Ⅱ）求证：平面EFG 平面EMN ．
解：（Ⅰ）证明：Q四棱锥P ABCD中，AB//CD，AB 2CD，E，F，G，M，N分别为Q 直棱柱ABC A1B1C1 中，
解：（Ⅰ）证明：连接AC
PB、AB 、BC 、PD、PC的中点，取PA 的中点H ，
11 则由HE //AB，HE AB，而且CD //AB，CD AB，
22 可得HE和CD 平行且相等，故四边形CDHE 为平行四边形，故CE / / DH ．由于DH 在平面PAD内，而CE 不在平面PAD内，故有CE / / 平面PAD ．（Ⅱ）证明：由于AB AC ，AB PA，而PA I AC A，可得AB 平面PAC ．
再由AB / /CD可得，CD 平面PAC ．
由于MN 是三角形PCD 的中位线，故有MN / /CD ，故MN 平面PAC ．由于EF为三角形PAB的中位线，可得EF / /PA，而PA在平面PAC内，而EF 不在平面PAC 内，故有EF / / 平面PAC ．
同理可得，FG / / 平面PAC ．
而EF 和FG 是平面EFG 内的两条相交直线，故有平面EFG / / 平面PAC ．MN 平面EFG ，而MN 在平面EMN 内，故有平面EFG 平面EMN ．
6．（2013?天津）如图，三棱柱ABC A1B1C1 中，侧棱A1A 底面ABC ，且各棱长均相等，
D ，
E ，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点
（Ⅰ）证明EF / / 平面A1CD ；
（Ⅱ）证明平面A1CD 平面A1 ABB1 ；
（Ⅲ）求直线B1C1 与平面A1CD 所成角的正弦值．
证明：（I）三棱柱ABC A1B1C1中，AC / / A1C1 ，AC A1C 1 ，连接ED，
1
可得DE / /AC ，DE 2AC，又F为棱A1C1的中点．A1F DE ，A1F //DE ，所以A1DEF 是平行四边形，所以EF / /DA1，
DA1 平面A1CD ，EF 平面A1CD ，EF / / 平面A1CD
（II）QD是AB的中点，CD AB ，
又AA1 平面ABC ，CD 平面ABC ，
AA1 CD ，又AA1 I AB A，
CD 面A1ABB1 ，又CD 面A1CD ，
平面A1CD 平面A1ABB1 ；
(III )过B作BG A1D交A1D于G，
Q平面A1CD 平面A1ABB1 ，且平面A1CD
BG A1D ，
BG 面A1CD，
则BCG 为所求的角，
设棱长为 a ，可得A1D5 a ，由△A1 AD∽BGD ，得BG
5a，
a，
25
在直角BGC 中，sin
BG
BCG5，
BC5
直线BC与平面A1CD 所成角的正弦值55．
7．（2013?北京）如图，在四棱锥P ABCD 中，AB / /CD ，AB
底面ABCD ，PA AD ． E 和 F 分别是CD 和PC 的中点，求证：
Ⅰ) PA 底面ABCD ；
Ⅱ) BE / / 平面PAD ；
平面A1 ABB1 A1D ，
AD ，CD 2AB ，平面PAD Ⅲ）平面BEF 平面PCD ．
解：（Ⅰ）Q PA AD，平面PAD 平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD 平面垂直的性质定理可得PA 平面ABCD ．
（Ⅱ）Q AB / /CD ，AB AD，CD 2AB，E和F分别是CD和PC的中点，为平行四边形，故有BE //AD ．
又AD 平面PAD ，BE 不在平面PAD 内，故有BE / / 平面PAD ．
（Ⅲ）平行四边形ABED中，由AB AD可得，ABED 为矩形，故有BE 由PA 平面ABCD ，可得PA AB ，再由AB AD 可得AB 平面PAD CD 平面PAD ，故有CD PD ．
再由 E 、 F 分别为CD 和PC 的中点，可得EF / / PD ，
CD EF ② ．
而EF 和BE 是平面BEF 内的两条相交直线，故有CD 平面BEF ．由于CD 平面PCD ，平面BEF 平面PCD ．
8．（2012?山东）如图，几何体 E ABCD 是四棱锥，ABD 为正三角形，CB （Ⅰ）求证：BE DE ；
证明：（I）设BD中点为O，连接OC ，OE ，则由BC CD知，CO BD
AD ，由平面和故四边形ABED CD ①．
CD ，EC BD ．M 为线段AE 的中点，求证：DM / / 平面BEC ．
又已知CE BD ，EC I CO C ，
所以BD平面
OCE ．
所以BD OE，即OE 是BD的垂直平分线，所以BE DE ．
( II ) 证法一：
取AB 中点N ，连接MN ，DN ，
QM 是AE的中点，
MN //BE，又MN 平面BEC ，BE 平面BEC，
MN / / 平面BEC ，
Q ABD 是等边三角形，
BDN 30 ，又CB CD ，BCD 120 ，
CBD 30 ，
ND / /BC ，
又DN 平面BEC ，BC 平面BEC ，
DN / / 平面BEC ，又MN I DN N ，故平面DMN / / 平面BEC ，又DM 平面DMN ，DM / / 平面BEC
证法二：延长AD，BC交于点F，连接EF，
Q CB CD ，BCD 120 ，
CBD 30 ，
Q ABD 是等边三角形，
BAD 60 ，ABC 90 ，因此AFB 30 ，
1
AB AF ，
2
又AB AD ，
D 为线段AF 的中点，连接DM ，DM / / EF ，又DM 平面BEC ，EF 平面BEC ，DM / /
平面BEC
9．（2012?辽宁）如图，直三棱柱ABC ABC ，BAC 90 ，AB AC 2，AA 1，点M ，N 分别为 A B和 B C 的中点．
（Ⅰ）证明：MN / / 平面 A ACC ；（Ⅱ）求三棱锥 A MNC 的体积．
1
（锥体体积公式V 1 Sh，其中S 为底面面积，h为高）
3
（Ⅰ）（证法一）
连接AB ，AC ，由已知BAC 90 ，AB AC ，三棱柱ABC A BC 为直三棱柱，
所以M 为AB 的中点，又因为N 为 B C 中点，所以MN / /AC ，
又MN 平面 A ACC ，AC 平面 A ACC ，所以MN / / 平面 A ACC ；
（证法二）
取 A B 中点，连接MP ，NP ．而M ，N 分别为AB ，B C 中点，所以MP / / AA ，PN / /
AC ．所
以MP / / 平面 A ACC ，PN / / 平面 A ACC ；又MP I PN P ，
所以平面MPN / / 平面 A ACC ，而MN 平面MPN ，所以MN / / 平面 A ACC ；
（Ⅱ）（解法一）连接BN ，由题意AN BC，平面ABC 平面B BCC BC ，所以AN 第15页（共
20页）
平面 NBC ，又 A N 12BC 1 ，故
DE / / BC ，又 DE 平面 A 1CB ，
DE / / 平面 A 1CB ．
2）由已知得 AC BC 且 DE //BC ，
V A MNC V N A MC 1 2V N A BC 1
V
2 V A NBC
解法二）
10．（2012?北京）如图 1，在 Rt ABC 中， C 90 ，D ，E 分别为 AC ，
F 为线段 CD 上的一点，将 ADE 沿 DE 折起到△ A 1DE 的位置，使 A 1 F
（1）求证： DE / / 平面 A 1CB ；
（2）求证： A 1F BE ；
AB 的中点，点 CD ，如图 2． 3）线段 A 1B 上是否存在点 Q ，使 A 1C 平面 DEQ ？说明理由．
V A MNC V A NBC V 1 V
V M NBC V
A NBC
2 E 分别为 AC ， AB 的中
点，
DE AC ，
DE A1D ，又DE CD ，
DE 平面A1DC ，而A1F 平面A1DC，
DE A1F ，又A1F CD ，
A1F 平面BCDE ，
A1F BE ．
（3）线段A1B上存在点Q，使A1C 平面DEQ ．理由如下：如图，分别取A1C ，A1B的中点P ，Q ，则PQ / /BC ．
Q DE / / BC ，
DE / /PQ ．
平面DEQ 即为平面DEP ．
由（Ⅱ）知DE 平面A1DC ，
DE A1C ，又Q P是等腰三角形DA1C 底边A1C 的中点，
A1C DP ，
A1C 平面DEP ，从而A1C 平面DEQ ，
故线段A1B 上存在点Q，使A1C 平面DEQ ．
11．（2010?湖南）如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1 中，E是棱DD 1的中点．
Ⅰ）求直线BE 与平面ABB1A1 所成的角的正弦值；
Ⅱ）在棱 C 1D 1上是否存在一点 F ，使B 1F / /平面A 1BE ？证明你的结论．
，连接 EM ，BM ，因为 E 是 DD 1的中点，四边形 ADD 1 A 1
又在正方体 ABCD A 1B 1C 1D 1中． AD 平面 ABB 1 A 1 ，所以 EM 面 ABB 1 A 1 ，从而 BM 为直
线 BE 在平面 ABB 1A 1 上的射影，
EBM 直线 BE 与平面 ABB 1 A 1 所成的角．
设正方体的棱长为 2，则 EM AD 2， BE
22 22 12 3 ， 2 即直线 BE 与平面 ABB 1 A 1所成的角的正弦值为 2 ． 1 1 3
（Ⅱ）在棱 C 1D 1上存在点 F ，使B 1F 平面 A 1BE ，
事实上，如图（ b ）所示，分别取 C 1D 1和CD 的中点 F ，G ，连接 EG ，BG ，CD 1，FG ， 因 A 1D 1 //B 1C 1//BC ，且 A 1D 1 BC ，所以四边形 A 1BCD 1为平行四边形， 因此D 1C//A 1B ，又E ，G 分别为 D 1D ， CD 的中点，所以 EG / /D 1C ，从而 EG / /A 1B ，这
说明A 1， B ， G ， E 共面，所以 BG 平面 A 1BE 因四边形C 1CDD 1与B 1BCC 1皆为正方形， F ，G 分别为C 1D 1和CD 的中点，所以
FG //C 1C//B 1B ，且FG C 1C B 1B ，因此四边形 B 1BGF 为平行四边形， 所以B 1F//BG ， 而B 1F 平面 A 1BE ， BG 平面 A 1BE ，故B 1F / /平面A 1BE ．
于是在 Rt BEM 中， sin EBM EM BE 为正方形，所以 EM / / AD ．
ABCD A 1B 1C 1D 1的底面 ABCD 是正方形， O 为底面中心， A 1O 平面 ABCD ， AB AA 1 2 ．
Ⅰ) 证明：平面 A 1BD / /平面 CD 1B 1 ；
Ⅱ） 求三棱柱 ABD A 1 B 1D 1 的体积．
解：（Ⅰ） Q 四棱柱 ABCD A 1 B 1C 1D 1 的底面 ABCD 是正方形， O 为底面中心， A 1O 平面
ABCD ， AB AA 1 2 ，
由棱柱的性质可得 BB 1 和 DD 1平行且相等，故四边形 BB 1 D 1 D 为平行四边形，故有 BD 和
B 1 D 1平行且相等．
而BD 不在平面 CB 1D 1内，而 B 1D 1在平面 CB 1D 1内， BD//平面 CB 1D 1． 同理可证， A 1BCD 1为平行四边形， A 1B//平面 CB 1D 1 ．
而BD 和 A 1B 是平面 A 1BD 内的两条相交直线，故有平面 A 1BD / /平面CD 1B 1 ．
A 1O A 1A 2 AO 2 2 1 1 ，
13．（2011?山东）如图，在四棱台 ABCD A 1B 1C 1D 1 中， D 1D 平面 ABCD ，底面 ABCD 是
第19页（共 20
页）
12．（2013?陕西）如图，四棱柱
由题意可得 A 1O 为三棱柱 ABD A 1B 1D 1 的高．三角形
A 1AO 中，由勾股定理可得
三棱柱 ABD A 1B 1D 1 的体积 V
S ABD gA 1O A 2B2gA 1O 1．
第22页（共 20页）
平行四边形， AB 2AD ， AD A 1B 1 ， BAD 60
Ⅰ）证明： AA 1 BD ；
Ⅱ）证明： CC 1 // 平面 A 1BD ．
证明：（Ⅰ） Q D 1 D 平面 ABCD ， D 1D BD ．
又 AB 2AD ， AD A 1B 1 ， BAD
60 ，
ABD
中，由余弦定理得 BD 2
22 AD 2 AB 2 2ABgAD cos60 3AD 2， AD 2 BD 2 AB 2 ，
AD BD ，又 AD I DD 1 D ，
BD 面 ADD 1 A 1 由 AA 1
面 ADD 1 A 1 ，
BD AA 1．
（Ⅱ）证明：连接 AC 和 A 1C 1 ，设 AC I BD E ，由于底面 ABCD 是平行四边形，故 E 为平 行
四边形 ABCD 的
中心，由棱台的定义及 AB 2AD 2 A 1B 1 ，可得 EC / / A 1C 1 ，且 EC A 1C 1， 故 ECC 1 A 1为平行四边形， CC 1//A 1E ，而 A 1 E 平面 A 1BD ， CC 1 / /平面 A 1BD ．。