2019-2020年七年级下学期月考数学试卷(4月份)

2019-2020年七年级下学期月考数学试卷（4月份）
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）
1．世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有0.00 000 0076克，用科学记数法表示是（）
A．7.6×108克B．7.6×10﹣7克C．7.6×10﹣8克D．7.6×10﹣9克
2．在以下现象中，属于平移的是（）
①在荡秋千的小朋友；
②打气筒打气时，活塞的运动；
③自行车在行进中车轮的运动；
④传送带上，瓶装饮料的移动．
A．①②B．①③C．②③D．②④3．如图，直线a∥b，∠1=70°，那么∠2等于（）
A．70°B．100°C．110°D．20°
4．下列长度的三根木棒首尾相接，不能做成三角形框架的是（）
A．5cm、7cm、2cm B．7cm、13cm、10cm
C．5cm、7cm、11cm D．5cm、10cm、13cm
5．下列计算错误的是（）[来源:学.科.网]
A．a•a5÷a4=a2B．a3÷a=a3C．a2÷（﹣a）2=1 D．
a3÷a•a2=a4
6．如果a=（﹣99）0，b=（﹣0.1）﹣1，c=（﹣）﹣2，那么a，b，c三数的大小为（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．c＞b＞a[来源:]
7．小明同学把一个含有45°角的直角三角板放在如图所示的两条平行线m、n上，测得∠α=120°，则∠β的度数是（）
A．45°B．55°C．65°D．75°
8．下面是按一定规律排列的一列数：
第1个数：；
第2个数：；
第3个数：
；
…
那么，在第11个数、第12个数、第13个数、第14个数中，最大的数是（）
A．第11个数B．第12个数C．第13个数D．第14个数
二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．）
9．计算：（﹣2xy）3=．[来源:中.考.资.源.网]
10．已知△ABC的三个内角分别是∠A、∠B、∠C，若∠A=30°，∠C=2∠B，则∠C=．．11．已知22×83=2n，则n的值为．
12．若x2﹣ax+9是一个完全平方式，则a=．
13．如图，小亮从A点出发前10m，向右转15°，再前进10m，又向右转15°，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了m．
14．计算：=．
15．已知x+y=6，xy=4，x2+y2=．
16．如图，a∥b，则∠A=．
17．已知：（x+2）x+5=1，则x=．
18．如图，△ABC的面积为1．分别倍长AB，BC，CA得到△A1B1C1．再分别倍长A1B1，B1C1，C1A1得到△A2B2C2．…按此规律，倍长n次后得到的△A n B n C n的面积为．
三、解答题（本大题共10个小题，共96分．）
19．计算
（1）（﹣x）2•（﹣x）3+2x（﹣x）4﹣（﹣x）•x4；
（2）（a﹣b）2•（a﹣b）4+（b﹣a）3•（a﹣b）3；
（2）；
（4）．
20．计算
（1）（﹣2ab2）2•（3a2b﹣2ab﹣1）；
（2）（2a﹣b）2•（2a+b）2；
（3）（1+x﹣y）（x+y﹣1）；
（4）9992﹣1002×998．
21．先简化，再求值：a（a﹣3b）+（a+b）2﹣a（a﹣b），其中a=1，b=﹣．
22．如下图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，△ABC的顶点都在方格纸格点上．将△ABC 向左平移2格，再向上平移4格．
（1）请在图中画出平移后的△A′B′C′；
（2）再在图中画出△A′B′C′的高C′D′，并求出△ABC的面积．
23．如图，△ABC中，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，∠B=40°，∠DAE=12°．求∠C 的度数．
24．化简求值：
已知：（x+a）（x﹣）的结果中不含关于字母x的一次项，求（a+2）2﹣（1﹣a）（﹣a﹣1）的值．
25．如图，在四边形ABCD中，∠ABC、∠ADC的平分线分别与CD、AB相交于点E、F．（1）若∠A与∠C互补，∠CDF=40°，求∠ABE的度数．
（2）若∠A=∠C=90°，试判断DF与BE有怎样的位置关系，并请说明理由．
26．（1）实验与观察：（用“＞”、“=”或“＜”填空）
当x=﹣5时，代数式x2﹣2x+21；
当x=1时，代数式x2﹣2x+21；…
（2）归纳与证明：换几个数再试试，你发现了什么？请写出来并证明它是正确的；
（3）拓展与应用：求代数式a2+b2﹣6a﹣8b+30的最小值．
27．我们运用图（I）图中大正方形的面积可表示为（a+b）2，也可表示为c2+4×ab，即（a+b）2=c2+4×ab由此推导出一个重要的结论a2+b2=c2，这个重要的结论就是著名的“勾股定理”．这种根据图形可以极简单地直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”．
（1）请你用图（Ⅱ）的面积表达式验证勾股定理（其中四个直角三角形的较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c）．
（2）请你用（Ⅲ）提供的图形进行组合，用组合图形的面积表达式验证：（x+y）2=x2+2xy+y2（3）现有足够多的边长为x的小正方形，边长为y的大正方形以及长为x宽为y的长方形，请你自己设计图形的组合，用其面积表达式验证：（x+y）（x+2y）=x2+3xy+2y2．
28．探究与发现：[来源:中.考.资.源.网]
探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？
已知：如图1，∠FDC与∠ECD分别为△ADC的两个外角，试探究∠A与∠FDC+∠ECD的数量关系．
探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？
已知：如图2，在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系．探究三：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？
已知：如图3，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试利用上述结论探究∠P 与∠A+∠B的数量关系．
探究四：若将上题中的四边形ABCD改为六边形ABCDEF（图4）呢？
请直接写出∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系：．
江苏省扬州市江都市七校联谊xx学年七年级下学期月考数学试卷（4月份）
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）
1．世界上最小的开花结果植物是澳大利亚的出水浮萍，这种植物的果实像一个微小的无花果，质量只有0.00 000 0076克，用科学记数法表示是（）
A．7.6×108克B．7.6×10﹣7克C．7.6×10﹣8克D．7.6×10﹣9克
考点：科学记数法—表示较小的数．
分析：对于绝对值小于1的数，用科学记数法表示为a×10n形式，其中1≤a＜10，n是一个负整数，除符号外，数字和原数左边第一个不为0的数前面0的个数相等，根据以上内容写出即可．
解答：解：0.00 000 0076克=7.6×10﹣8克，
故选C．
点评：本题考查了科学记数法表示较小的数，注意：对于绝对值小于1的数，用科学记数法表示为a×10n形式，其中1≤a＜10，n是一个负整数，除符号外，数字和原数左边第一个不为0的数前面0的个数相等．
2．在以下现象中，属于平移的是（）
①在荡秋千的小朋友； [来源:中.考.资.源.网]
②打气筒打气时，活塞的运动；
③自行车在行进中车轮的运动；
④传送带上，瓶装饮料的移动．
A．①②B．①③C．②③D．②④
考点：生活中的平移现象．
分析：判断生活中的现，是否是平移，要根据平移的定义，进行判断，图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化．
解答：解：①在荡秋千的小朋友，是旋转，故此选项错误；
②打气筒打气时，活塞的运动，是平移，故此选项正确；
③自行车在行进中车轮的运动，是旋转，故此选项错误；
④传送带上，瓶装饮料的移动，是平移，故此选项正确；
故选：D．
点评：本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转而误选．
3．如图，直线a∥b，∠1=70°，那么∠2等于（）
A．70°B．100°C．110°D．20°
考点：平行线的性质．
分析：先根据平行线的性质求出∠3的度数，再由补角的定义即可得出结论．
解答：解：∵直线a∥b，∠1=70°，
∴∠3=∠1=70°，
∴∠2=180°﹣∠3=180°﹣70°=110°．
故选C．
点评：本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补．[来源:]
4．下列长度的三根木棒首尾相接，不能做成三角形框架的是（）
A．5cm、7cm、2cm B．7cm、13cm、10cm
C．5cm、7cm、11cm D．5cm、10cm、13cm
考点：三角形三边关系．
专题：计算题．
分析：根据三角形的三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”进行分析判断．
解答：解：A中，5+2=7，不符合；
B中，10+7＞13，10﹣7＜13，符合；
C中，5+7＞11，7﹣5＜11，符合；
D中，5+10＞13，10﹣5＜13，符合．
故选A．
点评：考查了三角形的三边关系，一定注意构成三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．
5．下列计算错误的是（）
A．a•a5÷a4=a2B．a3÷a=a3C．a2÷（﹣a）2=1 D．a3÷a•a2=a4
考点：同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．
分析：根据同底数幂的除法，底数不变指数相减；合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法，底数不变指数相加；即可解答．
解答：解：A、C、D计算结果正确；
B、应为a3÷a=a2，
故选：B．
点评：本题考查同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方很容易混淆，一定要记准法则才能做题．
6．如果a=（﹣99）0，b=（﹣0.1）﹣1，c=（﹣）﹣2，那么a，b，c三数的大小为（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．a＞c＞b D．c＞b＞a
考点：负整数指数幂；有理数大小比较；零指数幂．
分析：分别将a、b、c化简求值，然后即可比较大小．
解答：解：∵a=（﹣99）0=1，b=（﹣0.1）﹣1=﹣10，c=（﹣）﹣2=，
且﹣10＜1＜，
即b＜a＜c．
故选：B．
点评：此题考查了零指数幂、负整数幂及数的比较大小，解题的关键是：分别将a、b、c 化简求值．
7．小明同学把一个含有45°角的直角三角板放在如图所示的两条平行线m、n上，测得
∠α=120°，则∠β的度数是（）
A．45°B．55°C．65°D．75°
考点：平行线的性质；三角形内角和定理．
专题：计算题．
分析：根据平行线的性质得∠1=∠2，根据三角形外角性质有∠α=∠2+∠3，可计算出∠2=120°﹣45°=75°，则∠1=75°，根据对顶角相等即可得到∠β的度数．
解答：解：如图，
∵m∥n，
∴∠1=∠2，
∵∠α=∠2+∠3，
而∠3=45°，∠α=120°，
∴∠2=120°﹣45°=75°，
∴∠1=75°，
∴∠β=75°．
故选：D．
点评：本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等．也考查了三角形外角性质以及对顶角的性质．
8．下面是按一定规律排列的一列数：
第1个数：；
第2个数：；
第3个数：
；
…
那么，在第11个数、第12个数、第13个数、第14个数中，最大的数是（）
A．第11个数B．第12个数C．第13个数D．第14个数
考点：规律型：数字的变化类．
分析：分别算出每一个数：第1个数=﹣=0；第2个数=﹣××=；第3个数=﹣××××=﹣；…由此得出第n个数的计算结果为﹣；由此得出规律解决问题．
解答：解：第1个数=﹣=0；
第2个数=﹣××==﹣；
第3个数=﹣××××=﹣=﹣；
…
由此得出第n个数的计算结果﹣；
随着n的数值增大，则计算结果越来越小．
因此在第11个数、第12个数、第13个数、第14个数中，最大的数是第11个数．
故选：A
点评：此题考查数字的变化规律，找出数字之间的联系，找出规律解决问题．
二、填空题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．）
9．计算：（﹣2xy）3=﹣8x3y3．
考点：幂的乘方与积的乘方．
专题：计算题．
分析：根据积得乘方等于每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，可得答案．
解答：解：原式=（﹣2）3x3y3
=﹣8x3y3，
故答案为：﹣8x3y3．
点评：本题考查了积的乘方，每个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
10．已知△ABC的三个内角分别是∠A、∠B、∠C，若∠A=30°，∠C=2∠B，则∠C=100°．．
考点：三角形内角和定理．
分析：根据三角形内角和是180°列出等式∠A+∠B+∠C=180°，据此易求∠C的度数．解答：解：∵在△ABC中，∠A=30°，∠C=2∠B，∠A+∠B+∠C=180°，
∴30°+3∠B=180°，
∴∠B=50°，
∴∠C=2∠B=100°．
故答案是：100°．
点评：本题考查了三角形内角和．实际上三角形内角和等于180度是隐含在题干中的一个已知条件．
11．已知22×83=2n，则n的值为11．
考点：幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法．
分析：逆运用幂的乘方的性质都转化为以2为底数的幂的运算，再根据同底数幂相乘，底数不变指数相加计算，然后根据指数相等解答．
解答：解：∵22×83=22×（23）3=22×29=211，
∴2n=211，
∴n=11．
故答案为：11．
点评：本题考查了幂的乘方的性质，同底数幂的乘法的性质，熟记性质并理清指数的变化是解此类题目的关键，本题难点在于都转化为以2为底数的幂．
12．若x2﹣ax+9是一个完全平方式，则a=±6．
考点：完全平方式．
分析：根据完全平方公式得出﹣ax=±2•x•3，求出即可．
解答：解：∵x2﹣ax+9是一个完全平方式，
∴﹣ax=±2•x•3，
a=±6，
故答案为：±6．
点评：本题考查了对完全平方公式的应用，注意：完全平方公式有：（a+b）2=a2+2ab+b2，（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2．
13．如图，小亮从A点出发前10m，向右转15°，再前进10m，又向右转15°，…，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走了240m．
考点：多边形内角与外角．
专题：应用题．
分析：由题意可知小亮所走的路线为正多边形，根据多边形的外角和定理即可求出答案．解答：解：∵小亮从A点出发最后回到出发点A时正好走了一个正多边形，
∴根据外角和定理可知正多边形的边数为n=360°÷15°=24，
则一共走了24×10=240米．
故答案为：240．
点评：本题主要考查了多边形的外角和定理．任何一个多边形的外角和都是360°，用外角和求正多边形的边数可直接让360°除以一个外角度数即可．
14．计算：=﹣．
考点：幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法．
专题：计算题．
分析：根据同底数幂的乘法，可得指数相同的幂的乘法，根据积的乘方运算，可得答案案．解答：解：原式=（﹣）
[来源:中.考.资.源.网]
=
=﹣，
故答案为：﹣．
点评：本题考查了积的乘方，先化成指数相同的幂的乘法，再进行积的乘方运算．15．已知x+y=6，xy=4，x2+y2=28．
考点：完全平方公式．
专题：应用题．
分析：根据完全平方公式（x+y）2=x2+2xy+y2，把原式变形后求值．
解答：解：∵x+y=6，xy=4，
∴x2+y2=（x+y）2﹣2xy=36﹣8=28．
故本题答案为：28．
点评：本题考查了完全平方公式，通过对公式的变形，达到灵活使用公式的目的，难度适中．
16．如图，a∥b，则∠A=22°．
考点：三角形的外角性质；平行线的性质．
专题：计算题．
分析：首先根据两直线平行，内错角相等，得到∠2=∠3，又由三角形的外角等于与它不相相邻的两个角的和，得到∠A的值．
解答：解：∵a∥b，
∴∠2=∠3=50°，
∵∠2=∠1+∠A，∠1=28°，
∴∠A=∠2﹣∠1=50°﹣28°=22°．
故答案为：22°．
点评：此题考查了平行线的性质与三角形的外角的性质．题目比较简单，要注意利用图形．
17．已知：（x+2）x+5=1，则x=﹣5或﹣1或﹣3．
考点：零指数幂．
专题：计算题；分类讨论．
分析：根据：a0=1（a≠0），1的任何次方为1，﹣1的偶次方为1，解答本题．
解答：解：根据0指数的意义，得
当x+2≠0时，x+5=0，解得x=﹣5．
当x+2=1时，x=﹣1，
当x+2=﹣1时，x=﹣3，x+5=2，指数为偶数，符合题意．
故填：﹣5或﹣1或﹣3．
点评：本题的难点在于将幂为1的情况都考虑到．
18．如图，△ABC的面积为1．分别倍长AB，BC，CA得到△A1B1C1．再分别倍长A1B1，B1C1，C1A1得到△A2B2C2．…按此规律，倍长n次后得到的△A n B n C n的面积为7n．
考点：三角形的面积．
专题：压轴题；规律型．
分析：根据等底等高的三角形的面积相等可得三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三角形，然后求出第一次倍长后△A1B1C1的面积是△ABC的面积的7倍，依此类推写出即可．
解答：解：连接AB1、BC1、CA1，根据等底等高的三角形面积相等，
△A1BC、△A1B1C、△AB1C、△AB1C1、△ABC1、△A1BC1、△ABC的面积都相等，
所以，S△A1B1C1=7S△ABC，
同理S△A2B2C2=7S△A1B1C1，=72S△ABC，
依此类推，S△AnBnCn=7n S△ABC，
∵△ABC的面积为1，
∴S△AnBnCn=7n．
故答案为：7n．
点评：本题考查了三角形的面积，根据等底等高的三角形的面积相等求出一次倍长后所得的三角形的面积等于原三角形的面积的7倍是解题的关键．
三、解答题（本大题共10个小题，共96分．）
19．计算
（1）（﹣x）2•（﹣x）3+2x（﹣x）4﹣（﹣x）•x4；
（2）（a﹣b）2•（a﹣b）4+（b﹣a）3•（a﹣b）3；
（2）；
（4）．
考点：整式的混合运算；零指数幂；负整数指数幂．
专题：计算题．
分析：（1）原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算，合并即可得到结果；
（2）原式变形后，利用同底数幂的乘法法则计算，合并即可得到结果；
（3）原式第一项利用零指数幂法则计算，第二项利用负整数指数幂法则计算，第三项利用乘方的意义化简，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果；
（4）原式第二项利用负整数指数幂法则计算，第三项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用零指数幂法则计算即可得到结果．
解答：解：（1）原式=﹣x5+2x5+x5=2x5；
（2）原式=（a﹣b）6﹣（a﹣b）6=0；
（3）原式=1﹣+9﹣4=；
（4）原式=5﹣3+3﹣1=4．
点评：此题考查了整式的混合运算，以及实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．计算
（1）（﹣2ab2）2•（3a2b﹣2ab﹣1）；
（2）（2a﹣b）2•（2a+b）2；
（3）（1+x﹣y）（x+y﹣1）；
（4）9992﹣1002×998．
考点：整式的混合运算．
分析：（1）先算乘方，再按照单项式乘多项式的计算方法计算；
（2）（3）（4）先利用平方差公式计算，再利用完全平方公式计算即可．
解答：解：（1）（﹣2ab2）2•（3a2b﹣2ab﹣1）
=4a2b4•（3a2b﹣2ab﹣1）
=12a4b5﹣8a3b5﹣4a2b4；
（2）（2a﹣b）2•（2a+b）2；
=[（2a﹣b）•（2a+b）]2
=（4a2﹣b2）2
=16a4+b4﹣8a2b2；
（3）（1+x﹣y）（x+y﹣1）
=[x+（1﹣y）][x﹣（1﹣y）]
=x2﹣（1﹣y）2
=x2﹣y2+2y﹣1；
（4）9992﹣1002×998
=9992﹣（1000+2）（1000﹣2）
=9992﹣10002+4
=（999+1000）（999﹣1000）+4
=﹣xx+4
=﹣1995．
点评：此题考查整式的混合运算，掌握计算方法和计算公式是解决问题的关键．
21．先简化，再求值：a（a﹣3b）+（a+b）2﹣a（a﹣b），其中a=1，b=﹣．
考点：整式的混合运算—化简求值．
分析：先算乘法，再合并同类项，最后代入求出即可．
解答：解：a（a﹣3b）+（a+b）2﹣a（a﹣b）
=a2﹣3ab+a2+2ab+b2﹣a2+ab
=a2+b2，
当a=1，b=﹣时，原式=12+（﹣）2=1．
点评：本题考查了整式的混合运算和求值的应用，（1）小题主要考查学生的化简能力和计算能力，难度适中．
22．如下图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，△ABC的顶点都在方格纸格点上．将△ABC 向左平移2格，再向上平移4格．
（1）请在图中画出平移后的△A′B′C′；
（2）再在图中画出△A′B′C′的高C′D′，并求出△ABC的面积．
考点：作图-平移变换．
专题：探究型．
分析：（1）根据图形平移的性质作出△A′B′C′即可；
（2）由三角形的面积公式求出△A′B′C′的面积，再根据图形平移不变性的性质即可得出结论．
解答：解：（1）如图1；
（2）如图2，
∵A′B′=4，C′D′=4，
∴S△A′B′C′=A′B′×C′D′=×4×4=8，
∵△A′B′C′由△ABC平移而成，
∴S△ABC=S△A′B′C′=8．
点评：本题考查的是作图﹣平移变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．
23．如图，△ABC中，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，∠B=40°，∠DAE=12°．求∠C 的度数．
考点：三角形内角和定理．
分析：根据垂直得出∠ADC=∠ADB=90°，根据三角形内角和定理求出∠BAE，根据角平分线定义求出∠CAE=∠BAE=38°，求出∠CAD=26°，根据三角形内角和定理的求出即可．
解答：解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC=∠ADB=90°，
∵∠B=40°，∠DAE=12°，
∴∠BAE=90°﹣∠B﹣∠DAE=38°，
∵AE平分∠BAC，
∴∠CAE=∠BAE=38°，
∵∠DAE=12°，
∴∠CAD=38°﹣12°=26°，
∵∠ADC=90°，
∴∠C=90°﹣∠CAD=64°．
点评：本题考查了三角形内角和定理，垂直定义，角平分线定义的应用，能运用定理求出各个角的度数是解此题的关键，注意：三角形的内角和等于180°．
24．化简求值：
已知：（x+a）（x﹣）的结果中不含关于字母x的一次项，求（a+2）2﹣（1﹣a）（﹣a﹣1）的值．
考点：多项式乘多项式．
分析：首先利用多项式的乘法法则计算：（x+a）（x﹣），结果中不含关于字母x的一次项，即一次项系数等于0，即可求得a的值，然后把所求的式子化简，然后代入求值即可．
解答：解：（x+a）（x﹣）
=x2+ax﹣x﹣a
=x2+（a﹣）x﹣a
由题意得a﹣=0则a=
（a+2）2﹣（1﹣a）（﹣a﹣1）=a2+4a+4+1﹣a2=4a+5
当a=时，原式=4×+5=11．
点评：本题主要考查多项式乘以多项式的法则．注意不要漏项，漏字母，有同类项的合并同类项．
25．如图，在四边形ABCD中，∠ABC、∠ADC的平分线分别与CD、AB相交于点E、F．[来源:中.考.资.源.网]
（1）若∠A与∠C互补，∠CDF=40°，求∠ABE的度数．
（2）若∠A=∠C=90°，试判断DF与BE有怎样的位置关系，并请说明理由．
考点：平行线的判定；余角和补角．
专题：常规题型．
分析：（1）根据四边形内角和得到∠ABC+∠ADC=180°，再根据角平分线定义得到
∠ABE=∠ABC，∠CDF=∠ADC，而∠CDF=40°，则∠ADC=80°，所以2∠ABE+80°=180°，解得∠ABE=50°；
（2）根据四边形内角和得到∠ABC+∠ADC=180°，再根据角平分线定义得到∠ABE=∠ABC，∠ADF=∠ADC，则∠ABE+∠ADF=90°，加上∠AFD+∠ADF=90°，利用等角的余角相等得
∠AFD=∠ABE，然后根据平行线的判定定理得到DF∥BE．
解答：解：（1）∵在四边形ABCD中，∠A与∠C互补，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵∠ABC、∠ADC的平分线分别与CD、AB相交于点E、F．
∴∠ABE=∠ABC，∠CDF=∠ADC，
而∠CDF=40°，
∴∠ADC=2×40°=80°，
∴2∠ABE+80°=180°，
∴∠ABE=50°；
（2）DF与BE平行．
理由如下：
∵在四边形ABCD中，∠A=∠C=90°，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∵∠ABC、∠ADC的平分线分别与CD、AB相交于点E、F．
∴∠ABE=∠ABC，∠ADF=∠ADC，
∴∠ABE+∠ADF=90°，
而∠AFD+∠ADF=90°，
∴∠AFD=∠ABE，
∴DF∥BE．
点评：本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．也考查了补角和余角．
26．（1）实验与观察：（用“＞”、“=”或“＜”填空）
当x=﹣5时，代数式x2﹣2x+2＞1；
当x=1时，代数式x2﹣2x+2=1；…
（2）归纳与证明：换几个数再试试，你发现了什么？请写出来并证明它是正确的；
（3）拓展与应用：求代数式a2+b2﹣6a﹣8b+30的最小值．
考点：因式分解-运用公式法；非负数的性质：偶次方．
分析：（1）利用代入法把x的值代入代数式可得答案；
（2）首先把代数式变形为（x﹣1）2+1，根据非负数的性质可得，（x﹣1）2≥0，进而得到（x ﹣1）2+1≥1；
（3）首先把代数式化为（a﹣3）2+（b﹣4）2+5，根据偶次幂具有非负性可得（a﹣3）2≥0，（b﹣4）2≥0，进而得到（a﹣3）2+（b﹣4）2+5≥5．
解答：解：（1）把x=﹣5代入x2﹣2x+2中得：25+10﹣2=33＞1；
把x=1代入x2﹣2x+2中得：1﹣2+1=1，
故答案为：＞，=；
（2）∵x2﹣2x+2=x2﹣2x+1+1=（x﹣1）2+1，
X为任何实数时，（x﹣1）2≥0，
∴（x﹣1）2+1≥1；
（3）a2+b2﹣6a﹣8b+30=（a﹣3）2+（b﹣4）2+5．
∵（a﹣3）2≥0，（b﹣4）2≥0，
∴（a﹣3）2+（b﹣4）2+5≥5，
∴代数式a2+b2﹣6a﹣8b+30的最小值是5．
点评：此题主要考查了非负数的性质，关键是掌握偶次幂具有非负性．
27．我们运用图（I）图中大正方形的面积可表示为（a+b）2，也可表示为c2+4×ab，即（a+b）2=c2+4×ab由此推导出一个重要的结论a2+b2=c2，这个重要的结论就是著名的“勾股定理”．这种根据图形可以极简单地直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称“无字证明”．
（1）请你用图（Ⅱ）的面积表达式验证勾股定理（其中四个直角三角形的较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c）．
（2）请你用（Ⅲ）提供的图形进行组合，用组合图形的面积表达式验证：（x+y）2=x2+2xy+y2（3）现有足够多的边长为x的小正方形，边长为y的大正方形以及长为x宽为y的长方形，请你自己设计图形的组合，用其面积表达式验证：（x+y）（x+2y）=x2+3xy+2y2．
考点：勾股定理的证明；多项式乘多项式；完全平方公式的几何背景．
分析：（1）根据阴影部分的面积=大正方形的面积﹣小正方形的面积=4个直角三角形的面积，即可证明；
（2）可以拼成一个边长是x+y的正方形，它由两个边长分别是x、y的正方形和两个长、宽分别是x、y的长方形组成；
（3）可以拼成一个长、宽分别是x+y和x+2y的长方形，它由边长是x的正方形，以及边长为y的正方形和长宽分别是x和y的矩形进而得出答案．
解答：解：（1）大正方形的面积为：c2，中间空白部分正方形面积为：（b﹣a）2；
四个阴影部分直角三角形面积和为：4×ab；
由图形关系可知：大正方形面积=空白正方形面积+四直角三角形面积，即有：
c2=（b﹣a）2+4×ab=b2﹣2ab+a2+2ab=a2+b2；
（2）如图1所示：大正方形边长为（x+y）所以面积为：（x+y）2，
它的面积也等于两个边长分别为x，y和两个长为x宽为y的矩形面积之和，
即x2+2xy+y2
所以有：（x+y）2=x2+2xy+y2成立；
（3）如图2所示：大矩形的长、宽分别为（x+y），（x+2y），则其面积为：（x+y）•（x+2y），从图形关系上可得大矩形为一个边长为x的正方形以及2个边长为y的正方形和三个小矩形构成的则其面积又可表示为：
x2+3xy+2y2，
则有：（x+y）（x+2y）=x2+3xy+2y2．
点评：此题主要考查了勾股定理的证明，注意熟练掌握通过不同的方法计算同一个图形的面积来证明一些公式的方法．
28．探究与发现：
探究一：我们知道，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．那么，三角形的一个内角与它不相邻的两个外角的和之间存在何种数量关系呢？
已知：如图1，∠FDC与∠ECD分别为△ADC的两个外角，试探究∠A与∠FDC+∠ECD的数量关系．
探究二：三角形的一个内角与另两个内角的平分线所夹的钝角之间有何种关系？
已知：如图2，在△ADC中，DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，试探究∠P与∠A的数量关系．探究三：若将△ADC改为任意四边形ABCD呢？
已知：如图3，在四边形ABCD中，DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，试利用上述结论探究∠P 与∠A+∠B的数量关系．
探究四：若将上题中的四边形ABCD改为六边形ABCDEF（图4）呢？
请直接写出∠P与∠A+∠B+∠E+∠F的数量关系：∠P=（∠A+∠B+∠E+∠F）﹣180°．
考点：三角形的外角性质；三角形内角和定理．
专题：探究型．
分析：探究一：根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得
∠FDC=∠A+∠ACD，∠ECD=∠A+∠ADC，再根据三角形内角和定理整理即可得解；
探究二：根据角平分线的定义可得∠PDC=∠AD C，∠PCD=∠ACD，然后根据三角形内角和定理列式整理即可得解；
探究三：根据四边形的内角和定理表示出∠ADC+∠BCD，然后同理探究二解答即可；
探究四：根据六边形的内角和公式表示出∠ADC+∠BCD，然后同理探究二解答即可．
解答：解：探究一：∵∠FDC=∠A+∠ACD，∠ECD=∠A+∠ADC，
∴∠FDC+∠ECD=∠A+∠ACD+∠A+∠ADC=180°+∠A；
探究二：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠ACD，
∴∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠ACD，
∴∠DPC=180°﹣∠PDC﹣∠P CD，
=180°﹣∠ADC﹣∠ACD，
=180°﹣（∠ADC+∠ACD），
=180°﹣（180°﹣∠A），
=90°+∠A；
探究三：∵DP、CP分别平分∠ADC和∠BCD，
∴∠PDC=∠ADC，∠PCD=∠BCD，
∴∠DPC=180°﹣∠PDC﹣∠PCD，
=180°﹣∠ADC﹣∠BCD，
=180°﹣（∠ADC+∠BCD），
=180°﹣（360°﹣∠A﹣∠B），
=（∠A+∠B）；
探究四：六边形ABCDEF的内角和为：（6﹣2）•180°=720°，
∵DP、CP分别平分∠EDC和∠B CD，
∴∠P=∠ADC，∠PCD=∠ACD，
∴∠P=180°﹣∠PDC﹣∠PCD，
=180°﹣∠ADC﹣∠ACD，
=180°﹣（∠ADC+∠ACD），
=180°﹣（720°﹣∠A﹣∠B﹣∠E﹣∠F），
=（∠A+∠B+∠E+∠F）﹣180°，
即∠P=（∠A+∠B+∠E+∠F）﹣180°．
点评：本题考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，多边形的内角和公式，此类题目根据同一个解答思路求解是解题的关键．。