随机过程总结

第一章随机变量基础

1历史上哪些学者对随机过程学科的基础理论做出了突出贡献？

答:随机过程整个学科的理论基础是由柯尔莫哥洛夫和杜布奠定的。这一学科最早源于对物理学的研究，如吉布斯、玻尔兹曼、庞加莱等人对统计力学的研究，及后来爱因斯坦、维纳、莱维等人对布朗运动的开创性工作。1907年前后，马尔可夫研究了一系列有特定相依性的随机变量，后人称之为马尔可夫链。1923年维纳给出布朗运动的数学定义，直到今日这一过程仍是重要的研究课题。随机过程一般理论的研究通常认为开始于20世纪30年代。1931年，柯尔莫哥洛夫发表了《概率论的解析方法》，1934年A·辛饮发表了《平稳过程的相关理论》，这两篇著作奠定了马尔可夫过程与平稳过程的理论基础。1953年，杜布出版了名著《随机过程论》，系统且严格地叙述了随机过程基本理论。

2 全概率公式的含义？

答：全概率公式的含义就是各种可能发生的情况的概率之和为1。

3 概率空间有哪几个要素，其概念体现了对随机信号什么样的建模思想？

答：样本空间、事件集合、概率函数称为概率空间的三要素。概率函数建立了随机事件与可描述随机事件可能性大小的实数间的对应关系，因此，概率空间是在观测者观测前对随机事件发生的可能性大小进行了量化，其有效性是通过多次观测体现出来的，也即在多次观测中，某个随机事件发生的频率可直接认为与其发生的概率相等，所以，概率空间的建模思想实际是对大量观测中某随机事件发生频率的稳定性的描述。

4 可用哪些概率函数完全描述一个随机变量？

答：概率分布函数（cdf）、概率密度函数（pdf）、特征函数（cf）、概率生成函数（gf）。

5 可用哪些数字特征部分描述一个随机变量？

答：均值、方差、协方差、相关系数和高阶矩。

6 随机变量与通常意义上的变量有何区别与联系？

答：随机变量具有通常意义上的变量的所有性质和特征（即变量特性），还增加了变量取每个值的可能性大小的描述（即概率特性）。因此，描述或刻画一个随机变量时，还必须要特别考察其概率函数或各阶矩函数。

第二章随机过程的基本概念

1 什么是随机现象？

答：对于某个客观对象，在观测前能知道其可能的结果，但不能明确知道是可能结果中的哪一个，那么该客观对象称为随机现象。

2 如何理解随机过程？

答：一个理解：随机过程是一组样本函数的集合；根据这个理解，可用试验的方法研究随机过程，通过随机试验观测其各个样本函数，观测次数越多，所得样本函数的数目越多，就越能掌握该随机过程的统计规律。另一个理解：随机过程可看作是一簇随时间变化的随机变量的集合；随机过程可视为多维随机变量的推广，时间分割越细，多维随机变量的维数越大，对随机过程的统计描述也就越全面，因此，概率论中多维随机变量的理论也可作为随机过程分析的理论基础。

3 为什么完全描述一个随机过程需要用概率函数族？

答：随机过程是一簇随时间变化的随机变量的集合，对于每一个固定时刻，它们都是随机变量，可以用概率函数来描述。这些不同时刻的随机变量是相互联系的，要描述它们间的各阶关联特性就必须用各阶概率函数。因此，完全描述一个随机过程必须用概率函数族。

4 可用哪些数字特征部分描述随机过程？

答：均值函数、自相关函数、互相关函数、功率谱密度等。

5 如何理解随机过程的自相关函数？

答：两个随机变量的相关矩定义为两个随机变量乘积的统计均值，利用相关矩可以描述这两个随机变量的相对相关性，因此，随机过程的自相关函数可以描述该过程不同时刻所对应随机变量间的相对相关性。 6严格平稳随机过程的最基本的特征是什么？

答：时间起点的平移不会影响随机过程的统计特性，即()X t 与0()X t t +具有相同的统计特性。 7严格平稳随机过程与广义平稳随机过程有什么联系？

答：严格平稳随机过程必定是广义平稳随机过程，但广义平稳随机过程不一定是严格平稳随机过程。 8单位电阻两端的噪声电压是平稳随机过程()X t ，请问均值()X m t 和方差2()X t σ有什么物理意义？ 答：均值()X m t 是一个常数X m ，代表噪声电压中直流分量；()X X t m -代表噪声电压的交流分量，

2[()]1X X t m -代表消耗在单位电阻上瞬时交流功率，而方差22(){[()()]}X X t E X t m t σ=-表示消

耗在单位电阻上瞬时交流功率的统计平均值,

21X m 表示消耗在单位电阻上的直流功率；所以2[()]E X t 22()()X X t m t σ=+表示消耗在单位电阻上的总的平均功率。

9为什么说相关理论是很重要的？

答：因为在许多工程技术问题中，一、二阶矩能给出有关平稳随机过程平均功率的几个主要指标，例如，如果随机过程()X t 代表噪声电压信号，那么在相关理论范围内就可以给出直流分量、交流分量、平均功率及功率在频域上的分布(将在后面讨论功率谱密度)等；另外，在电子系统中经常遇到最多的是正态随机过程，对于正态随机过程而言，它的任意维分布都只由它的一、二阶矩来确定。

10 为什么随机过程的频域表示不能直接采用其傅立叶变换，而要采用功率谱密度的概念？

答：随机过程的样本函数一般不满足傅里叶变换的绝对可积条件，而且，样本函数往往并不具有确定的形状，因此不能直接对随机过程进行傅立叶变换，但随机过程各个样本函数的平均功率总是有限的，可以利用推广的频谱分析法，引入功率谱的概念。

11 如何理解随机过程的功率谱密度？

答：功率谱密度从统计意义上描述了随机过程的样本函数的功率在频率域上的分布，它是描述随机过程常用的一个指标，与自相关函数的描述是等价的。特别对于平稳随机过程而言，功率谱密度就是自相关函数的傅立叶变换。

12 作为随机过程的主要数字特征，功率谱密度有什么不足的地方？

答：功率谱密度仅表示随机过程的平均功率在频域上的分布情况，不包含随机过程的相位信息。

13 为什么实际中可以根据观测到的一个样本函数估计随机过程的均值、方差和相关函数等数字特征？

答：因为实际研究中的大多数平稳随机过程一般都是各态历经过程，其时间平均趋于一个常数，即各个样本函数的时间平均可以认为是相同的，因此随机过程的均值可以用它的任意的一条样本函数的时间均值来代替。同样，相关函数亦可以用任意的一条样本函数的时间相关函数来代替；或者说各态历经随机过程一个样本函数经历了随机过程所有可能的状态，所以可以通过对一条样本函数的观测，就可估计出随机过程均值、方差和相关函数等数字特征。

第三章 随机过程的线性变换