一种分解奇合数的方法

一种分解奇合数的方法
摘要：本文基于求同余式2t≡2s(mod n ) 中的t 和s，提出一种寻找求出t和s的方法，已达到分解n的目的。

如果在n的一定范围内，已知t，根据t求出s，则n被分解。

关键词：完全平方数最大公约数范围t=
2kb
a+s=
2|
|kb
a-
本文中的n为奇数，并通过素数测试，不为素数，且不为平方数，不讨论偶数情况。

一、目前分解方法
我们知道目前Fermat 分解法、Dixon 分解法、二次筛法、多多项式二次筛法、数域筛法等都是基于求同余式为2t≡2s(mod n )所构成完全平方数t 和s，只要求出t 和s, 即通过g cd( t+ s, n) 和gcd( t- s, n) 达到分解n 的目的。

以上因数分解方法方法基于这样一个事实，
n=a×b(不一定是素数)，设t=
2b
a+
，s=
2b
a-
得n= 2t−2s，即如果我们可以求出t和s，使得2t≡2s(mod n ). ，那么我们就有：
2
t−2s≡ (t − s)(t + s) ≡ 0 (mod n )，求出n的因子。

但如果n很大，很难快速找到一个平方数。

本文也是基于寻找t和s的关系来分解n的。

即根据t来求s。

二、t和s的范围
先确认一下n的二次平方剩余数的范围。

对于小于n的正整数，d、e ( 1≤d<e≤n-1) ，如d+e=n，求d的平方剩余
2
d≡ c (mod n) 则2e≡ c (mod n) （证明略）
我们可以把d的范围缩小为1≤d≤
21
-
n
当n>d时，d的二次剩余2d≡2d(mod n)
我们可以再次把d（即t和s的范围）的范围缩小为[n]+1≤d≤
21
-
n,
[n]为不大于n的最大整数，下同。

在确定的该范围内，我们来看看以下两个例子：
分析35 [35] = 5 ，[35]为不大于35的整数,
21
35-=17
即5+1≤d ≤17, d ∈[6 , 17],在这个范围内有如下二次剩余：
26≡ 1(mod 35) 27≡ 14(mod 35) 28≡ 29(mod 35) 29≡ 11(mod 35) 210≡ 30(mod 35) 211≡ 16(mod 35) 212≡ 4(mod 35) 213≡ 29(mod 35) 214≡ 21(mod 35) 215≡ 15(mod 35) 216≡ 11(mod 35) 217≡ 9(mod 35) 观察上述二次剩余，我们得到以下三种情况： 第一种情况：余数c 是完全平方数
26≡ 1(mod 35) 211≡ 16(mod 35) 212≡ 4(mod 35) 217≡ 9(mod 35) 第二种情况，d 中有35的因子 27≡ 14(mod 35) gcd( 7 , 35 ) =7
210≡ 30(mod 35) gcd( 10 , 35 ) = 5 214≡ 21(mod 35) gcd( 14 , 35 ) =7
215≡ 15(mod 35) gcd( 15 , 35 ) = 5
第三种情况：c 不是平方数，d 也没有公约数的，但根据余数c 可以找到一个配对数：
Ⅰ 28≡ 29(mod 35) 213≡ 29(mod 35)
213≡28 (mod 35) （13+8）（13-8）=21*5=105
gcd( 21 , 35 ) = 7 , gcd( 5 , 35 ) = 5 Ⅱ 29≡ 11(mod 35) 216≡ 11(mod 35)
216≡29 (mod 35) (16+9)(16-9)=25*7=175
gcd(25 , 35 ) = 5 , gcd( 7 , 35 ) = 7
分析 69 [69] = 8 ，[69]为不大于69的整数,
2
1
69-=34 即8+1≤d ≤39, d ∈[9 , 34],在这个范围内有如下二次剩余：
29≡ 12 (mod 69) 210≡ 31(mod 69) 211≡ 52(mod 69) 212≡6(mod 69) 213≡ 31(mod 69) 214≡ 58(mod 69) 215≡ 18(mod 69) 216≡ 49(mod 69) 217≡ 13(mod 69) 218≡ 48(mod 69) 219≡ 16(mod 69) 220≡ 55(mod 69) 221≡ 27(mod 69) 222≡ 1(mod 69) 223≡46 (mod 69) 224≡ 24(mod 69)
225≡ 4(mod 69) 226≡ 55(mod 69) 227≡39 (mod 69) 228≡ 25(mod 69) 229≡ 13(mod 69) 230≡ 3(mod 69) 231≡64(mod 69) 232≡58 (mod 69) 233≡ 54(mod 69) 234≡ 52(mod 69)
观察上述二次剩余，我们得到以下三种情况： 第一种情况：c 是完全平方数
216≡ 49(mod 69) 219≡ 16(mod 69) 222≡ 1(mod 69) 225≡ 4(mod 69) 228≡ 25(mod 69) 231≡64(mod 69) 第二种情况，d 中有69因子 29≡ 12 (mod 69) gcd( 9 , 69 ) =3
212≡6(mod 69) gcd( 12 , 69 ) = 3
215≡ 18(mod 69) gcd( 15 , 69 ) =3
218≡ 48(mod 69) gcd( 18 , 69 ) = 3
221≡ 27(mod 69) gcd( 21, 69 ) = 3
223≡46 (mod 69) gcd( 23, 69 ) = 23 224≡ 24(mod 69) gcd( 24, 69 ) = 3
227≡39 (mod 69) gcd( 27, 69 ) = 3 230≡ 3(mod 69) gcd( 30, 69 ) = 3 233≡ 54(mod 69) gcd( 33, 69 ) = 3
第三种情况：c 不是平方数，a 也没有公约数的，但余数c 可以找到一个配对数： Ⅰ 210≡ 31(mod 69) 213≡ 31(mod 69)
213≡210 (mod 69) （13+10）（13-10）=23*3=69
gcd( 23 , 69 ) = 23 , gcd( 3 , 69 ) = 3 Ⅱ 211≡ 52(mod 69) 234≡ 52(mod 69)
234≡211 (mod 69) (34+11)(34-11)=45*23=1035
gcd(45 , 69 ) = 3 , gcd( 23 , 69 ) = 23 Ⅲ 214≡ 58(mod 69) 232≡58 (mod 69)
232≡214 (mod 69) (32+14)(32-14)=46*18=828
gcd(46 , 69 ) = 23 , gcd( 18 , 69 ) = 3 Ⅳ 217≡ 13(mod 69) 229≡ 13(mod 69)
229≡217 (mod 69) (29+17)(29-17)=46*12=442
gcd(46 , 69 ) = 23 , gcd( 12 , 69 ) = 3
Ⅴ 220≡ 55(mod 69) 226≡ 55(mod 69)
226≡220 (mod 69) (26+20)(26-20)=46*6=276
gcd(46 , 69 ) = 23 , gcd( 6 , 69 ) = 3
三、分解的方法
根据以上例子，以下我们对该方法进行说明：
设 n=ab (a>b>0) , k t , k s ∈[ [n ]+1, 2
1
-n ] , [n ]为不大于n 的最大整数
k=2j+1(j ≥0)，n 为奇数
我们构建k t =
2kb a + k s =2
|
|kb a -（因为kb 会大于a ，所以a-kb 取绝对值，避免负数），k t 〉k s （或者k t = 2ka b + k s =2
|
|ka b -）
则2k t -2k s =2)2(kb a + - 2
)2
||(kb a -= kab=kn …… ① ∴n|(2k t -2k s )
根据上式我们列出以下式子： j=1 1t = 2b a + 1s =2|
|b a - 21t ≡21s (mod n)
j=2 2t = 22b a + 2s =2
|2|b a - 22t ≡2
2s (mod n)
. . . j=i i t =
2ib a + i s =2
|
|ib a - 2i t ≡2i s (mod n) . . . j=k k t = 2kb a + k s =2
||kb a - 2k t ≡2k s (mod n)
我们以35来举例说明： 35=7×5， a=7 , b=5
1t =
257+=6 1s =2|
57|-=1 26≡ 1(mod 35) 2t =
2537⨯+=11 2s =2|
537|⨯-= 4 211≡24 (mod 35) 3t =
2557⨯+=16 3s =2|
557|⨯-= 9 216≡29≡11 (mod 35) ， 29>35 4t =
2
5
77⨯+=21>17不再往下计算(因为21+14=35)，如有兴趣可以往下计算。

a 、
b 换一下计算：
2t =
2735⨯+=13 2s =2|
735|⨯-= 8 213≡28 (mod 35) 3t =
2
7
55⨯+=20>17不再往下计算(因为20+15=35) 在第一种情况，12和17并不在t 和s 的计算范围内，但二次剩余是完全平方数，我们做一下分析：
212≡ 4(mod 35) （12+2）（12-2）=14*10=7*5*4
217≡ 9(mod 35) （17+3）（17-3）=20*14=7*5*8
即如果不包括在t 和s 计算中完全平方数的差应该为a*b*4*j (j ≥1)
（根据手工计算数据猜想的）。

比如 55=11*5，具有完全平方但不能根据t 和s 计算出来的二次剩余有： 216=26 216-26=(16-+6）(16-6）=11*5*4
221=21 221-21=(21+1)(21-1)=11*5*8 226=24 226-24=(26+4)(26-4)=11*5*12 相对于通过t 和s 计算出来为 a*b*k(k ≥1的奇数)
对于2i s <n 的情况我们可以直接得到完全平方数，为第一种情况。

我们知：2k t
>n ∵2)2
(
kb a + > kab ≥ab ，且2i s >n ，则必有2k t ≡2
k s (mod n)，即在i t >i s 时，如果求出i t ，必有一个i s 与之对应。

（根据i s 不一定有i t 相对应）
根据上述，设2k t ≡ c (mod n)，按以下情况分： 第一种情况： 如果c 为完全平方数
根据2k t -2
k s ，可以求出n 的因子
第二种情况： 如果k t 中有n 的因子，可以通过gcd(k t ,n)=m ，求出n 的因子，此时gcd(c ，n)=m （证明略）。

无对应的i t 和i s 。

第三种情况： 如果不是以上两种情况，对于2k t ≡ c (mod n)，必然有一个2
k s ≡ c (mod n)，与之对应，反之不一定，则2k t -2k s ，可以求出n 的因子。

在k t ∈[ [n ]+1,
2
1
-n ]这个范围内找一个数，已知k t 根据同余方程来求出k s （但要保证k t >k s ），就可以分解n 了。

我不清楚该种方法是否正确，我只是一个业余数学爱好者，同余方程也不会解，数论方面有很多东西不清楚，还希望大家批评指正。

该方法不适用于n=k p , ( k > 1 )的分解。

2014年3月15日夜完成于广东
附算法
如果求同余方程困难或者不会，可以通过以下循环查找（7至11步暴力寻找，但速度很慢）当然如果能求同余方程，速度会很快：
1t=(n-1)/2
22t≡ c mod n
3k=gcd(c , n )
4if k>1 exit
5if c=平方数exit
6m =(2t-c)/n
7i = 1
8i<m
9s = n*i+c
10if s=平方数吗exit
11i-i+1 转8。