课件13： 1.1.1 任意角

[解] (1)法一：∵－1 910°＝－6×360°＋250°， ∴－1 910°角与 250°角终边相同， ∴α＝－6×360°＋250°，它是第三象限的角． 法二：设 α＝β＋k·360°(k∈Z)，则 β＝－1 910°－k·360°(k∈Z)． 令－1 910°－k·360°≥0，解得 k≤－1396100＝－53116. k 的最大整数解为 k＝－6，相应的 β＝250°， 于是 α＝250°－6×360°，它是第三象限的角．
思路点拨：(1)根据任意角、象限角的概念进行判断，正确区分第一象限角、 锐角和小于 90°的角． (2)由正负角的概念可得角的大小．
解析：(1)①400°角是第一象限角，但不是锐角，故①不正确；②锐角是大 于 0°且小于 90°的角，终边落在第一象限，故是第一象限角，②正确；③ 不正确，因为 360°角的始边和终边也重合；④钝角是大于 90°且小于 180° 的角，终边落在第二象限，故是第二象限角，④正确；⑤0°角是小于 90° 的角，但不是锐角，故⑤不正确；⑥－300°角是第一象限角，但－300°角 是负角，故⑥不正确． (2)由角的定义可知，将 35°角的终边按顺时针方向旋转 60°所得的角度数 为 35°－60°＝－25°，将 35°角的终边按逆时针方向旋转一周后的角度数为 35°＋360°＝395°. 答案：(1)②④ (2)－25° 395°
二、象限角与轴线角 1．象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为 x 轴正半轴建立平面直 角坐标系．这样，角的 终边(除端点外)在第几象限 ，就说这个角 是第几象限角． 2．轴线角：终边在坐标轴上的角． 三、终边相同的角 与角 α 终边相同的角的集合为 {β|β＝k·360°＋α，k∈Z} ．
思考 2：终边相同的角一定相等吗？其表示法唯一吗？ [提示] 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同． 终边相同的角的表示方法不唯一．
3．终边相同的角常用的三个结论： (1)终边相同的角之间相差 360°的整数倍． (2)终边在同一直线上的角之间相差 180°的整数倍． (3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差 90°的整数倍． 提醒：k∈Z，即 k 为整数这一条件不可少．
跟踪训练 2．在 0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判定它们 是第几象限角． (1)－150°；(2)650°；(3)－950°15′.
第1章 三角函数
1.1.1 任意角
学习目标
核 心 素 养(教师独具)
1.了解任意角的概念.
2.理解象限角的概念及终边相同的 角的含义．(重点) 3.掌握判断象限角及表示终边相同
通过学习本节内容提升学生的数学 运算和逻辑推理核心素养.
的角的方法．(难点)
新知初探
一、任意角的概念 1．角的概念：一个角可以看做平面内一条射线绕着它的端点从一个 位置旋转到另一个位置所形成的图形．
1．思考辨析
初试身手
(1)180°是第二象限角．( )
(2)－30°是第四象限角．( )
(3)第一象限内的角都小于第二象限内的角．( )
解析: (1)×.180°是轴线角．
(2)√.
(3)×.如 375°＞120°，而 375°和 120°分别是第一、二象限内的角．
答案： (1)× (2)√ (3)×
当堂检测
1．－210°角的终边所在象限为( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第三象限
D．第四象限
解析：－210°＝(－1)×360°＋150°，∵150°是第二象限角，
∴－210°也是第二象限角．
答案：B
2．已知－990°<α<－630°，且角 α 与 120°角的终边相同，则 α＝________. 解析：∵角 α 与 120°角的终边相同，∴α＝k·360°＋120°，k∈Z. 又∵－990°<α<－630°，∴－990°<k·360°＋120°<－630°，k∈Z， 即－1 110°<k·360°<－750°，k∈Z，∴k＝－3.当 k＝－3 时， α＝(－3)×360°＋120°＝－960°. 答案：－960°
【例 3】 写出终边落在如图所示阴影部分的角的集合． 思路点拨：法一：先写出与 30°及 105°终边相同角的集合， 再写出其对称区域内角的集合，最后合并便可． 法二：分别写出与 30°及 105°的终边在同一直线上的角的 集合，合并求解便可．
[解] 法一：设终边落在阴影部分的角为 α，角 α 的集合 由两部分组成： ①{α|k·360°＋30°≤α＜k·360°＋105°，k∈Z}． ②{α|k·360°＋210°≤α＜k·360°＋285°，k∈Z}， ∴角 α 的集合应当是集合①与②的并集：
规律方法 1．解决此类问题的关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、 平角、周角等概念，严格辨析它们之间的联系与区别． 2．判断结论正确与否时，若结论正确，需要严格的推理论证， 若要说明结论错误，只需举出反例即可．
跟踪训练 1．时钟走了 3 小时 20 分，则时针所转过的角的度数为________， 分针转过的角的度数为________． 解析：时针每小时转 30°，分针每小时转 360°，由于旋转方向均为顺时针 方向，故转过的角度均为负值，又 3 小时 20 分等于 313小时，故时针转过 的角度为－313×30°＝－100°；分针转过的角度为－331×360°＝－1 200°. 答案：－100° －1 200°
2．角的分类：按旋正角 按逆时针方向旋转所形成的角
负角 按顺时针方向旋转所形成的角
零角
一条射线 没有作任何旋转，称它形 成了一个零角
图示
思考 1：如果一个角的始边与终边重合，那么这个角一定是零角吗？ [提示] 不一定，若角的终边未作旋转，则这个角是零角． 若角的终边作了旋转，则这个角就不是零角．
答案：{β|β＝k·360°－215°，k∈Z}
4．将－885°化成 k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式是________． 解析：设－885°＝k·360°＋α，易得－885°＝(－3)×360°＋195°. 答案：(－3)×360°＋195°
题型一 角的概念辨析
题型探究
【例 1】 (1)下列结论：
法二：与 30°角终边在同一条直线上的角的集合 为{α|α＝k·180°＋30°，k∈Z}． 与 180°－75°＝105°角终边在同一条直线上的角的集合 为{α|α＝k·180°＋105°，k∈Z}， 结合图形可知，阴影部分的角的集合 为{α|k·180°＋30°≤α＜k·180°＋105°，k∈Z}．
1．(变条件)若将本例改为如图所示的图形，那么终边落在 阴影部分的角的集合如何表示？
[解] 在 0°～360°范围内，终边落在阴影部分(包括边界)的角为 60°≤β<105°与 240°≤β<285°，所以所有满足题意的角 β 为{β|k·360°＋60°≤β<k·360°＋105°，k∈Z}∪{β|k·360°＋240° ≤β<k·360°＋285°，k∈Z} ＝{β|2k·180°＋60°≤β<2k·180°＋105°，k∈Z} ∪{β|(2k＋1)·180°＋60°≤β<(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z} ＝{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}． 故角 β 的取值集合为{β|n·180°＋60°≤β<n·180°＋105°，n∈Z}．
{α|k·360°＋30°≤α＜k·360°＋105°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210° ≤α＜k·360°＋285°，k∈Z} ＝{α|2k·180°＋30°≤α＜2k·180°＋105°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)180°＋30° ≤α＜(2k＋1)180°＋105°，k∈Z} ＝{α|2k·180°＋30°≤α＜2k·180°＋105°或(2k＋1)·180°＋30° ≤α＜(2k＋1)·180°＋105°，k∈Z} ＝{α|n·180°＋30°≤α＜n·180°＋105°，n∈Z}．
(2)由(1)知令 θ＝250°＋k·360°(k∈Z)，取 k＝－1，－2 就得到符合 －720°≤θ<0°的角：250°－360°＝－110°，250°－720°＝－470°. 故 θ＝－110°或－470°.
规律方法 1．把任意角化为 k·360°＋α(k∈Z 且 0°≤α＜360°)的形式， 关键是确定 k，可以用观察法(α 的绝对值较小)，也可用除法． 2．要求适合某种条件且与已知角终边相同的角时，其方法是 先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式 求出 k 的值．
[解] (1)因为－150°＝－360°＋210°，所以在 0°～360°范围内， 与－150°角终边相同的角是 210°角，它是第三象限角． (2)因为 650°＝360°＋290°，所以在 0°～360°范围内， 与 650°角终边相同的角是 290°角，它是第四象限角． (3)因为－950°15′＝－3×360°＋129°45′，所以在 0°～360°范围内， 与－950°15′角终边相同的角是 129°45′角，它是第二象限角．
题型三 区域角的表示 [探究问题] 1．第一象限内的角的集合能否用{α|0°＜α＜90°}表示？为什么？ 提示：不能，第一象限内的角未必是(0°，90°)的角， 也可能是负角，也可能是大于 360°的角， 其表示为{α|k·360°＜α＜90°＋k·360°，k∈Z}．
2．终边落在 x 轴上的角如何表示？ 提示：{α|α＝k·180°，k∈Z}． 3．若角 α，β 满足 β＝α＋k·180°，k∈Z，则角 α，β 的终边存在 怎样的关系？ 提示：角 α，β 的终边落在同一条直线上．
2．如图，则 α＝________，β＝________. 解析：α 是按逆时针方向旋转的，为 240°，β 是按顺时针方向旋转 的，为－120°.
答案：240° －120°
3．与－215°角终边相同的角的集合可表示为________． 解析：由终边相同角的表示可知与－215°角终边相同的角的集合 是{β|β＝k·360°－215°，k∈Z}．
3．本节课的易错点有以下几点 (1)对于角的理解，要明确该角是按顺时针方向还是逆时针方向旋转 形成的，按逆时针方向旋转形成的角为正角，按顺时针方向旋转形成 的角为负角． (2)把任意角化为 α＋k·360°(k∈Z，且 0°≤α＜360°)的形式，关键是 确定 k，可以用观察法(α 的绝对值较小)，也可以用除法． (3)已知角的终边范围，求角的集合时，先写出边界对应的角， 再写出 0°～360°内符合条件的角的范围，最后都加上 k·360°， 得到所求．
①第一象限角是锐角；②锐角是第一象限角；③始边和终边重合的角是零
角；④钝角是第二象限角；⑤小于 90°的角是锐角；⑥第一象限角一定不
是负角．其中正确的结论是________(填序号)．
(2)将 35°角的终边按顺时针方向旋转 60°所得的角度数为________， 将 35°角的终边按逆时针方向旋转一周后的角度数为________．
2．(变条件)若将本例改为如图所示的图形，那么与阴影部分(包括边界) 表示的终边相同的角的集合如何表示？
[解] 在 0°～360°范围内，阴影部分(包括边界)表示的范围可表示为： 150°≤β≤225°，则所有满足条件的角 β 为 {β|k·360°＋150°≤β≤k·360°＋225°，k∈Z}．
题型二 终边相同的角与象限角 【例 2】 已知 α＝－1 910°. (1)把 α 写成 β＋k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式，并指出它是第几象限的 角； (2)求 θ，使 θ 与 α 的终边相同，且－720°≤θ<0°. 思路点拨：(1)把 α 写成 β＋k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式后，判断 β 所 在的象限即可． (2)将 θ 写成 θ＝β＋k·360°(k∈Z,0°≤β<360°)的形式，用观察法验证 k 的不 同取值即可．
规律方法 解答此类题目应先在 0°～360°上写出角的集合，再利用终边相同的角 写出符合条件的所有角的集合，如果集合能化简的还要化成最简形式. 提醒：求解这类问题要注意实线边界与虚线边界的差异.
课堂小结 1．本节课的重点是象限角的判断、终边相同角及区域角的表示， 难点是 nα 及αn所在象限的判定． 2．本节课要重点掌握以下规律方法 (1)求终边相同的角及区域角的表示． (2)象限角及 nα、αn所在象限的判断．