高中数学必修一《优化方案》答案-第一章

1。

1集合
1．1。

1集合的含义与表示
［读教材·填要点］
1．元素与集合
(1)元素与集合的定义：
一般地，把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合（简称为集）．
（2)集合中元素的性质:
①确定性:即给定的集合，它的元素是确定的．
②互异性:即给定集合的元素是互不相同的．
③无序性．
（3）集合相等：
只要构成两个集合的元素是一样的,就称这两个集合是相等的．
（4)元素与集合的关系：
a是集合A的元素，记作a∈A，a不是集合A的元素,记作a∉A。

2．集合的表示方法
除了用自然语言表示集合外,还可以用列举法和描述法表示集合．
(1)列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“｛｝"括起来表示集合的方法．
(2)描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法．
3．常用数集及其记法
集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集
记法N N＊或N＋Z Q R
［小问题·大思维]
1．著名数学家能否构成一个集合？
提示：不能，没有一定的评定标准,故著名数学家是不确定的对象，所以不能构成集合．2．一个集合能表示成{s，k，t,k}吗？
提示：不能,集合中的元素是互不相同的,任何两个相同的对象在同一个集合中,只能算作这个集合的一个元素．
3．集合{－5，－8｝和{(－5，－8)｝是同一集合吗？
提示:不是同一集合．集合｛－5，－8｝中元素有2个,为数．而集合｛(－5,－8）}中有一个元素为坐标(－5，－8)．
集合的基本概念
［例1］下列每组对象能否构成一个集合：
(1)某校2013年在校的所有高个子同学；
(2）不超过20的非负数；
(3）帅哥；
（4)直角坐标系平面内第一象限的一些点；
（5)3的近似值的全体．
[自主解答]“高个子"没有明确的标准，因此(1）不能构成集合．（2）任给一个实数x，可以明确地判断是不是“不超过20的非负数”,即“0≤x≤20”与“x>20或x〈0”,两者必居其一，且仅居其一,故“不超过20的非负数”能构成集合；（3）“帅哥"没有一个明确的标准，不能构成集合;(4）“一些点”无明确的标准,对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合；（6）“错误!的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以（5)不能构成集合．——————————————————
判断指定的对象能不能构成集合，关键在于能否找到一个明确标准,对于任何一个对象，都能确定它是不是给定集合的元素，同时还要注意集合中元素的互异性、无序性．———-——-——-—-—-————--————-—--————--———-——
1．下列能构成集合的是()
A．中央电视台著名节目主持人
B．2013年沈阳全运会比赛的所有项目
C．2010年上海世博园中所有漂亮的展馆
D．世界上的高楼
答案:B
集合中元素性质的应用
［例2]已知集合A＝｛a＋2，（a＋1）2，a2＋3a＋3｝，若1∈A,求实数a的值．
［自主解答］若a＋2＝1，则a＝－1,所以A＝{1,0，1}，与集合中元素的互异性矛盾，应舍去；
若（a＋1）2＝1，则a＝0或a＝－2，
当a＝0时,A＝｛2，1，3｝，满足题意．
当a＝－2时，A＝｛0,1,1｝,
与集合中元素的互异性矛盾，舍去；
若a2＋3a＋3＝1，则a＝－1或a＝－2(均舍去）．
综上可知,a＝0。

例2中1∈A改为4∈A,则结果如何？
解:若a＋2＝4，则a＝2。

∴A＝｛4,9，13｝满足题意．
若（a＋1)2＝4，则a＝1或a＝－3。

当a＝1时，A＝｛3，4，7｝，满足题意．
当a＝－3时，A＝｛－1，3，4，}满足题意．
若a2＋3a＋3＝4，
则a＝错误!，代入后都满足题意，故a的值为a＝1,a＝2，或a＝－3或a＝错误!.
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1。

这类问题既要用元素的确定性,又要利用互异性检验解的正确与否.初学者解题时易忽略元素的互异性，学习中要高度重视.另外，本类问题往往涉及分类讨论的数学思想。

2.一个集合中，元素之间没有先后顺序，只要构成两个集合的元素是一样的，这两个集合就是同一个集合。

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2．含有两个实数的集合A可以表示为{a－3,2a－1｝，求实数a的取值范围．
解：∵A＝{a－3,2a－1}，
∴由集合中元素的互异性可得a－3≠2a－1.
∴a≠－2。

∴a的取值范围为a≠－2。

集合的表示方法
［例3］用适当的方法表示下列集合:
（1）方程组错误!的解集；
（2）不等式2x－3>5的解集．
[自主解答］(1)集合用描述法表示为｛(x,y)|错误!}．解方程组，得错误!故集合用列举法表示为｛(4，－1)}．
（2)由2x－3〉5可得x〉4，所以不等式2x－3〉5的解集为{x｜x〉4，x∈R｝．
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1．一个集合可以用不同的方法表示，需根据题意选择适当的方法，同时注意列举法和描述法的适用范围．
2．方程(或方程组)的解的个数较少,因此方程（或方程组)的解集一般用列举法表示；不等式（或不等式组）的解集一般用描述法表示．注意，当题目中要求求出“…的解集”或写出“…的集合"时,一定要将最终结果写成集合的形式．
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3．有下面六种表示方法
①｛x＝－1，y＝2｝②错误!
③｛－1,2｝④(－1，2)⑤｛（－1,2)｝⑥｛x,y｜x＝－1,或y＝2｝．
其中,能正确表示方程组错误!的解集的是________(把所有正确答案的序号填在空格上）．
解析：
序号判断原因分析
①否①中含两个元素，且都是式子，而方程组的解集中只有一个元素,是一个
点．
②能②代表元素是点的形式,且对应值与方程组解相同．
③否③中含两个元素，是数集，而方程组的解集是点集，且只有一个元素．
④否④没有用花括号“｛}”括起来，不表示集合．
⑤能⑤中只含有一个元素，是点集且与方程组解对应相等．
⑥中代表元素与方程组解的一般形式不符，须加小括号(），条件中
⑥否
“或”也要改为“且".
答案：②⑤
审题要严，做题要细，一招不慎，满盘皆输，试解题高手易错题
试能否走出迷宫！
已知集合A中含有三个元素，1，0，x，若x3∈A，求实数x的值．
[错解]∵x3∈A，故x3＝0或x3＝1或x3＝x，
若x3＝0，则x＝0；
若x3＝1，则x＝1；
若x3＝x，则x＝1或x＝0。

综上所述:所求x的值为0或1。

［错因］本题错误的原因有两个，一是没有考虑到元素的互异性,解出来的结果没有代入检验,得出了错误结果；二是解x2＝x时漏掉了x＝－1这个答案，也导致了错误的结果．[正解]∵x3∈A，
∴x3是集合A中的元素．
又∵集合A中含有3个元素，∴需分情况讨论：
①若x3＝0,则x＝0，此时集合A中有两个元素0，不符合集合中元素的互异性，舍去；
②若x3＝1，则x＝1，此时集合A中有两个元素1，不符合集合中元素的互异性,舍去；
③若x3＝x，则x＝0、x＝－1或x＝1,当x＝0、x＝1时不符合集合中元素的互异性，都舍去．当x＝－1时，此时集合A中有三个元素1,0，－1，符合集合中元素的互异性；
综上可知，x＝－1。

1．有下列各组对象：
①接近于0的数的全体；
②比较小的正整数的全体；
③平面上到点O的距离等于1的点的全体；
④正三角形的全体．
其中能构成集合的个数是（)
A．2B．3
C．4 D．5
解析：①不能构成集合，“接近”的概念模糊，无明确标准．②不能构成集合，“比较小”也是不明确的,多小算小没明确标准．③④均可构成集合，因为任取一个元素是否是此集合的元素有明确的标准可依．
答案：A
2．下面几个命题中正确命题的个数是(）
①集合N＊中最小的数是1；
②若－a∉N*，则a∈N＊；
③若a∈N*，b∈N*,则a＋b最小值是2;
④x2＋4＝4x的解集是｛2,2}．
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：N*是正整数集，最小的正整数是1，故①正确；当a＝0时，－a∉N＊，且a∉N＊，故②错;若a∈N*,则a的最小值是1,又b∈N*,b的最小值也是1,当a和b都取最小值时，a＋b 取最小值2，故③正确;由集合元素的互异性知④是错误的．故①③正确．
答案：C
3．已知集合M＝{3，m＋1｝，且4∈M，则实数m等于（)
A．4 B．3
C．2 D．1
解析：∵4∈M,∴4＝m＋1，∴m＝3.
答案：B
4．已知①错误!∈R②错误!∈Q③0＝{0}④0∉N
⑤π∈Q⑥－3∈Z.正确的个数为________．
解析：①②⑥是正确的；③④⑤是错误的．
答案：3
5．用适当的符号填空：已知A＝{x｜x＝3k＋2,k∈Z}，B＝{x|x＝6m－1，m∈Z}，则有：17______A；－5______A；17________B.
解析：令3k＋2＝17得，k＝5∈Z。

所以17∈A.
令3k＋2＝－5得,k＝－错误!∉Z.
所以－5∉A。

令6m－1＝17得，m＝3∈Z，
所以17∈β.
答案：∈，∉，∈
6．用适当的方法表示下列集合：
（1)一年中有31天的月份的全体；
（2）大于－3.5小于12。

8的整数的全体；
(3）梯形的全体构成的集合；
（4)所有非负偶数的集合;
（5)所有能被3整除的数的集合；
（6）方程(x－1)(x－2)＝0的解集；
（7）不等式2x－1〉5的解集．
解：（1){1月，3月，5月，7月，8月,10月，12月}．
(2）{－3,－2,－1,0，1，2，3，4,5，6,7，8，9,10,11，12}．
（3）{x｜x是梯形}或{梯形｝．
(4）｛0,2,4,6，8，…}．
（5)｛x｜x＝3n，n∈Z}．
(6）｛1,2}．
（7){x|2x－1〉5}．
一、选择题
1．下列给出的对象中,能组成集合的是（）
A．一切很大的数B．高中数学的所有难题
C．美丽的小女孩D．方程x2－1＝0的实数根
解析:选项A，B，C中的对象都没有明确的判断标准,不满足集合中元素的确定性，故A，B，C中的对象都不能组成集合．
答案：D
2．下列命题不．正确的有(）
①很小的实数可以构成集合;
②集合{y｜y＝x2－1}与集合｛（x,y)｜y＝x2－1}是同一个集合；
③1，错误!，错误!，错误!,0.5这些数组成的集合有5个元素；
④集合{(x，y)｜xy≤0，x，y∈R}是指第二和第四象限内的点集．
A．1个B．2个
C．3个D．4个
解析：①错的原因是元素不确定;②前者是数集，而后者是点集,种类不同;③错误!＝错误!，错误!＝0.5，有重复的元素，应该是3个元素；④该集合还包括坐标轴上的点．答案:D
3．已知集合A＝｛1，2，3,4，5｝，B＝{（x,y）｜x∈A，y∈A，x－y∈A｝,则B中所含元素的个数为（)
A．3 B．6
C．8 D．10
解析：列举得集合B＝{(2,1)，（3,1），(4，1）,(5，1），(3,2)，（4,2），(5，2)，(4，3）,（5,3)，（5，4）｝，共含有10个元素．
答案：D
4．定义集合运算：A*B＝｛z|z＝xy，x∈A，y∈B}．设A＝｛1，2}，B＝(0,2)，则集合A ＊B的所有元素之和为（)
A．0 B．2
C．3 D．6
解析：依题意,A＊B＝｛0，2，4｝，其所有元素之和为6.
答案:D
二、填空题
5．集合A＝｛(2，－2)，(2，2)｝中含有________个元素．
解析：∵（2，－2），(2，2）是两个点，∴有2个元素．
答案：2
6.已知集合A＝｛(x,y）|y＝2x＋1},B＝{(x，y)｜y＝x＋3｝，a∈A且a∈B，则a为________．
解析:∵a∈A且a∈B，
∴a是方程组错误!的解．
解方程组，得错误!，
∴a为(2，5)．
答案：(2，5)
7．用描述法表示方程x<－x－3的解集为________．
解析：∵x〈－x－3，
∴x<－错误!.
∴解集为{x|x<－错误!}．
答案：{x|x〈－错误!}
8．{（x，y)｜（x＋2）2＋|y－3｜＝0，x，y∈R｝＝________。

解析：由(x＋2）2＋｜y－3|＝0，又（x＋2）2≥0，｜y－3｜≥0，所以（x＋2)2＝0，｜y －3｜＝0，所以x＝－2,y＝3，所以{(x,y)|(x＋2)2＋｜y－3｜＝0，x，y∈R}＝｛(－2,3)｝．答案:{（－2,3）｝
三、解答题
9．已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，
(1）若－3∈A，试求实数a的值．
(2）若a∈A，试求实数a的值．
解：（1)因为－3∈A，
所以－3＝a－3或－3＝2a－1.
若－3＝a－3,则a＝0。

此时集合A含有两个元素－3,－1,符合题意．
若－3＝2a－1，
则a＝－1。

此时集合A含有两个元素－4，－3，符合题意,
综上所述，满足题意的实数a的值为0或－1。

（2)因为a∈A,
所以a＝a－3或a＝2a－1。

当a＝a－3时，有0＝－3，不成立．
当a＝2a－1时，有a＝1，此时A中有两个元素－2，1，符合题意．综上知a＝1.
10．已知集合A＝｛x｜kx2－8x＋16＝0｝只有一个元素，试求实数k的值,并用列举法表示集合A.
解:当k＝0时，原方程变为－8x＋16＝0，
所以x＝2，此时集合A＝{2};
当k≠0时,要使一元二次方程kx2－8x＋16＝0有两个相等实根，需Δ＝64－64k＝0,即k ＝1。

此时方程的解为x1＝x2＝4，集合A＝{4}．
1．1.2集合间的基本关系
［读教材·填要点]
1．子集的概念
文字语言符号语言图形语言集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就说这两
个集合有包含关系，则称集合A是集合B的子集
A⊆B（或B⊇A) 2。

集合相等与真子集的概念
定义符号表示图形表示
集合相等如果A⊆B,且B⊆A，就说集合A与B相等A＝B
真子集如果集合A⊆B，但存在元素x∈B,且x∉A，
则称集合A是B的真子集
A B（或
B A)
3。

空集
(1)定义：不含任何元素的集合叫做空集．
（2）用符号表示为:∅。

（3)规定:空集是任何集合的子集．
4．子集的有关性质
(1）任何一个集合是它本身的子集，即A⊆A.
（2）对于集合A,B,C，如果A⊆B，且B⊆C，那么A⊆C。

［小问题·大思维]
1．若A B，则A⊆B且A≠B，对吗?
提示：对．∵A B，首先A⊆B，其中B中至少有一个元素不属于A，即A≠B。

2．任何集合都有真子集吗？
提示:不是,空集∅就没有真子集．
3．｛0｝和∅表示同一集合吗？它们之间有什么关系？
提示：｛0｝和∅不是同一个集合．{0}表示含有一个元素0的集合，∅是不含任何元素的集合，且∅｛0｝．
有限集合子集确定问题
［例1]写出集合A＝{1,2，3}的所有子集和真子集．
［自主解答］由0个元素构成的子集:∅；
由1个元素构成的子集：｛1｝,{2}，{3｝；
由2个元素构成的子集：｛1，2｝,{1，3}，｛2，3｝;
由3个元素构成的子集:{1,2，3｝．
由此得集合A的所有子集为∅，{1}，{2｝,｛3｝,｛1,2}，｛1,3｝，｛2，3｝,{1，2，3｝．在上述子集中，除去集合A本身，即{1,2，3}，剩下的都是A的真子集．
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1.求解有限集合的子集问题，关键有三点：
(1)确定所求集合;
(2)合理分类，按照子集所含元素的个数依次写出；
(3)注意两个特殊的集合，即空集和集合本身。

2。

一般地,若集合A中有n个元素,则其子集有2n个，真子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个.
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1．已知集合M满足｛2,3｝⊆M⊆{1,2，3,4，5｝，求集合M及其个数．
解：当M中含有两个元素时，M为{2，3}；
当M中含有三个元素时，M为{2，3，1｝，{2,3,4},{2,3，5}；
当M中含有四个元素时，M为{2,3，1,4｝，｛2,3，1,5｝,｛2,3，4，5};
当M中含有五个元素时，M为｛2，3,1，4，5}．
所以满足条件的集合M为｛2,3},{2,3,1}，｛2，3,4}，｛2,3,5}，｛2,3，1,4｝，｛2,3,1，5｝，{2,3，4,5}，{2，3,1，4，5｝,集合M的个数为8。

集合间关系的判定
[例2］下列各式正确的是________．
（1）{a｝⊆{a}；(2）｛1,2,3}＝｛3，1，2}；(3）0⊆｛0｝；
(4)｛1｝｛x|x≤5}；（5）｛1,3｝｛3,4｝．
[自主解答］
题号正误原因
(1)√任何一个集合都是它本身的子集．
(2）√两集合中的元素是一样的，符合集合相等的定义．
（3)×元素0是集合｛0｝中的一个元素，故应为0∈{0｝．
(4）√∵1<5,∴1∈｛x|x≤5}．∴｛1}⊆｛x｜x≤5｝．又∵{1}≠{x|x≤5}，∴{1}｛x|x≤5｝．
(5）×∵1∈｛1，3｝，但1∉{3，4},∴{1,3｝⃘{3,4}．“”是“真包含于"的意思
[答案](1)（2)（4）
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集合间关系的判定的步骤:
首先，判断一个集合A中的任意元素是否属于另一集合B，若是，则A⊆B，否则A B；,其次，判断另一个集合B中的任意元素是否属于第一个集合A,若是，则B⊆A，否则B A；,最后，下结论:若A⊆B,B⊆A,则A＝B;若A⊆B，B A，则A B；若A B,B⊆A，则B A；若上述三种情况都不成立,则A B，B A.
［注意]有时一个集合可以看成另一个集合的元素,如{1}可以看成集合｛{1｝,1，2，3｝中的元素，也可以看成子集，因此{1｝∈｛｛1}，1，2，3}与｛1｝⊆｛｛1｝，1,2，3｝都正确. —-——--——-——---———--——————--—————————————
2．集合M＝｛x|x2＋x－6＝0}，N＝{x|2x＋7＞0}，试判断集合M和N的关系．
解：M＝｛－3,2｝，N＝错误!。

∵－3〉－错误!，2>－错误!，
∴－3∈N，2∈N.∴M⊆N.
又0∈N，但0∉M，∴M N.
集合间关系的应用
［例3］已知集合A＝｛x｜－3≤x≤4}，B＝｛x｜2m－1〈x〈m＋1｝,且B⊆A。

求实数m的取值范围．
[自主解答]∵B⊆A，
(1)当B＝∅时，m＋1≤2m－1，解得m≥2。

（2)当B≠∅时，有｛－3≤2m－1，，m＋1≤4，，2m－1〈m＋1
解得－1≤m〈2，
综上得m≥－1.
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(1)利用集合之间的关系时，首先要分析、简化每个集合.
(2)此类问题通常借助数轴,利用数轴分析法，将各个集合在数轴上表示出来，以形定数,还要注意验证端点值，做到准确无误，一般含“＝"用实点表示，不含“＝”用虚点表示。

(3)此类问题还应注意“空集"这一“陷阱”，尤其是集合中含有字母参数时，初学者会想当然认为非空集合而丢解，因此分类讨论是必须的。

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3．设集合A＝{1,3，a}，B＝{1,a2－a＋1｝,且A⊇B，求a的值．
解：∵A⊇B，而a2－a＋1∈B，∴a2－a＋1∈A.
∴a2－a＋1＝3或a2－a＋1＝a.
当a2－a＋1＝3时，a＝2或a＝－1。

(1)a＝2时，A＝｛1,3，2｝，B＝{1，3}，这时满足条件A⊇B；
(2)a＝－1时，A＝{1，3，－1},B＝｛1，3}，这时也满足条件A⊇B.
当a2－a＋1＝a时,a＝1，此时A＝{1,3，1｝，B＝{1，1｝，根据集合中元素的互异性，故舍去a＝1。

∴a的值为2或－1.
解题高手易错题
审题要严，做题要细，一招不慎，满盘皆输，试试能
否走出迷宫！
已知M＝｛x|x2－3x＋2＝0｝，N＝{x｜x2－2x＋a＝0},若N⊆M，求实数a的取值范围．［错解]∵M＝｛x｜x2－3x＋2＝0}＝{1，2}，
（1)当N＝{1｝时,有错误!∴a＝1。

(2）当N＝{2}时，有错误!不成立．
(3)当N＝{1,2}时，有错误!不成立．
所以，a＝1。

[错因］空集是一个特殊的集合，是任何集合的子集，在解决集合关系问题时极易忽略∅，错解中没有考虑集合N为∅的情况．
［正解］∵M＝{x｜x2－3x＋2＝0｝＝｛1,2},
又N⊆M，∴N＝∅,或N＝{1｝，或N＝{2}，或N＝{1,2｝．
(1）当N＝∅时,方程x2－2x＋a＝0的判别式Δ＝4－4a〈0，即a〉1.
（2）当N＝{1｝时，有错误!
∴a＝1.
(3)当N＝｛2｝时，有错误!不成立．
(4）当N＝｛1，2｝时,有错误!不成立．
综上可知实数a的取值范围是a≥1。

1．下列命题中，正确的有（)
①空集是任何集合的真子集；
②若A B,B C，则A C；
③任何一个集合必有两个或两个以上的真子集；
④如果不属于B的元素也不属于A，则A⊆B。

A．①②B．②③
C．②④D．③④
解析：①空集只是空集的子集而非真子集，故①错;②真子集具有传递性，故②正确；③若一个集合是空集,则没有真子集,故③错；④由韦恩(Venn)图易知④正确．答案：C
2．设集合M＝{x|x>－2｝，则下列选项正确的是(）
A．｛0｝⊆M B．｛0｝∈M
C．∅∈M D．0⊆M
解析：选项B、C中均是集合之间的关系，符号错误；选项D中是元素与集合之间的关系,符号错误．
答案:A
3．已知集合A＝｛x｜x是平行四边形}，B＝｛x|x是矩形｝，C＝{x|x是正方形｝,D＝{x|x 是菱形｝，则(）
A．A⊆B B．C⊆B
C．D⊆C D．A⊆D
解析：选项A错,应当是B⊆A.选项B对，正方形一定是矩形，但矩形不一定是正方形．选项C错，正方形一定是菱形,但菱形不一定是正方形．选项D错，应当是D⊆A。

答案：B
4．已知∅｛x|x2－x＋a＝0}，则实数a的取值范围是________．
解析：∵∅{x|x2－x＋a＝0｝．
∴{x ｜x 2－x ＋a ＝0}≠∅。

即x 2－x ＋a ＝0有实根．
∴Δ＝（－1)2－4a ≥0，得a ≤错误!. 答案:a ≤错误!
5．若｛a ，0，1}＝｛c ,错误!，－1}，则a ＝________，b ＝________,c ＝________。

解析：∵1b ≠0，∴c ＝0,∴a ＝－1,1
b ＝1.∴a ＝－1,b ＝1。

答案：－1 1 0
6．已知集合A ＝{－1,3，2m －1}，集合B ＝{3，m 2｝，若B ⊆A ,求实数m 的值． 解：∵B ⊆A ,∴m 2＝－1，或m 2＝2m －1,当m 2＝－1时，显然无实数根；当m 2＝2m －1时，m ＝1.∴实数m ＝1.
一、选择题
1．已知集合M ＝｛x ∈Z |－3〈x ≤1}，则它的真子集的个数为( ） A ．12 B ．14 C ．15
D ．16
解析：∵M ＝{x ∈Z |－3〈x ≤1｝＝｛－2,－1，0，1｝共有4个元素，∴它的真子集共有24－1＝15个．
答案：C
2．定义集合A *B ＝｛x ｜x ∈A ，且x ∉B ｝，若A ＝｛1,2，3,4,5},B ＝{2，4,5｝，则A *B 的子集个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：由题意知A ＊B ＝｛1,3｝， ∴A *B 的子集个数为22＝4个． 答案：D
3．已知集合M ＝｛x |－5〈x <错误!，x ∈Z },则下列集合中为集合M 子集的是（ ) A ．P ＝｛－3,0，1｝ B ．Q ＝{－1,0，1,2}
C ．R ＝{y |－π〈y <－1，y ∈Z }
D ．S ＝｛x ｜|x ｜≤3,x ∈N ｝
解析：先用列举法表示集合，再观察元素与集合的关系．集合M＝{－2，－1,0,1}，集合R＝｛－3，－2｝，S＝｛0，1｝，不难发现集合P中的元素－3∉M，集合Q中的元素2∉M，集合R中的元素－3∉M,而S＝｛0，1｝中的任意一个元素都在集合M中，所以S⊆M，且S M。

答案：D
4．已知集合A⊆{0，1,2｝，且集合A中至少含有一个偶数，则这样的集合A的个数为（) A．6 B．5
C．4 D．3
解析：集合｛0,1，2｝的子集为：∅，｛0｝,｛1｝，{2｝，｛0，1}，{0,2｝，｛1,2}，｛0，1,2｝，其中含有偶数的集合有6个．
答案:A
二、填空题
5．已知集合A＝｛x|a－1≤x≤a＋2}，B＝｛x|3〈x<5}，则能使A⊇B成立的实数a的取值范围是________．
解析：∵A⊇B，∴错误!
∴3≤a≤4.
答案：3≤a≤4
6．设a，b∈R，集合{0，错误!,b｝＝{1,a＋b，a｝，则b－a＝________.
解析：由题意可知a≠0,则a＋b＝0，a＝－b，所以错误!＝－1，则a＝－1,b＝1，故b －a＝2。

答案：2
7．下列关系中正确的是________．
①∅∈{0};②∅{0}；③｛0,1}⊆{（0,1）}；
④｛（a，b)}＝{（b，a）｝．
解析：∵∅{0}，∴①错误；空集是任何非空集合的真子集,②正确,｛（0，1）}是含有一个元素的点集，③错误；{（a，b）}与{（b，a）｝是两个不等的点集，④错误，故正确的是②.
答案：②
8．已知集合P＝｛1，2｝，那么满足Q⊆P的集合的个数是________．
解析：∵P＝｛1，2｝，Q⊆P，
∴集合Q可以是∅或{1｝或｛2}或｛1，2｝．
答案:4
三、解答题
9．由“2，a，b"三个元素构成的集合与由“2a,2,b2"三个元素构成的集合是同一个集合，求a，b的值．
解:根据集合相等，有
错误!或错误!
解得错误!或错误!或错误!
再根据集合元素的互异性,得错误!或错误!
10．设集合A＝{x|x2－5x＋6＝0},B＝｛x|x2－（2a＋1)x＋a2＋a＝0｝，若B⊆A,求a的值．解：法一：A＝｛x｜x2－5x＋6＝0}＝{2，3｝，由B⊆A得，B＝∅,或B＝｛2}，或B＝{3｝，或B＝｛2,3｝,由于Δ＝（2a＋1)2－4a2－4a＝1〉0，
∴B≠∅，且B含有两个不同元素．
∴B＝｛2，3}，需2a＋1＝5和a2＋a＝6同时成立，
∴a＝2。

综上所述：a＝2.
法二：A＝｛x|x2－5x＋6＝0｝＝{2，3}，
B＝{x｜x2－(2a＋1)x＋a2＋a＝0｝＝｛x｜（x－a)·
(x－a－1）＝0}＝｛a，a＋1}，
∵a≠a＋1，
∴当B⊆A时，只有a＝2且a＋1＝3.
∴a＝2。

1．1.3集合的基本运算
第一课时并集与交集
[读教材·填要点］
1．集合的并集与交集的定义
并集交集
自然语言由所有属于集合A或属于集合B的元素
组成的集合
由属于集合A且属于集合B的所有元素
组成的集合
符号
语言
A∪B＝{x|x∈A或x∈B｝A∩B＝{x｜x∈A且x∈B｝
图形
语言
2．并集与交集的运算性质
并集的运算性质交集的运算性质
A∪B＝B∪A A∩B＝B∩A
A∪A＝A A∩A＝A
A∪∅＝A A∩∅＝∅
A⊆B⇔A∪B＝B A⊆B⇔A∩B＝A
A∪B⊇A，A∪B⊇B A∩B⊆B，A∩B⊆A
[小问题·大思维］
1．若A＝{1,2,3｝，B＝｛3,4,5｝，那么A∪B＝{1，2，3,3,4,5}对吗？如何表示A∪B和A∩B？
提示：A∪B＝｛1，2，3,3，4，5}是不对的，因为不符合元素的互异性；A∪B＝{1，2,3，4,5}，A∩B＝{3｝．
2．你认为并集概念中的“或”与我们日常生活中“或”意义一致吗？有什么区别？
提示：并集中的“或”与生活中“或”是不一样的．生活用语中的“或”是“或此”“或彼”只取其一，如“老师让张明或李红去开会”，意思是张明去也可以，李红去也可以，但不包括张明和李红一起去这种情况；而并集中的“或"则是“或此”“或彼”“或彼此”．3．若集合A与集合B没有公共元素，能否说集合A与集合B没有关系？
提示：当两集合A与B没有公共元素时，不能说集合A与B没有关系,而是A∩B＝∅。

集合交并的简单运算
[例1］已知集合A＝｛x|(x－1）（x＋2)＝0},B＝{x|（x＋2)(x－3)＝0}，则集合A∪B是（）
A．{－1，2，3｝B．{－1，－2,3}
C．｛1,－2，3} D．｛1，－2，－3}
［自主解答]A＝{x｜(x－1)（x＋2)＝0｝＝{1，－2｝;B＝｛x|(x＋2）(x－3)＝0}＝｛－2，3｝，
∴A∪B＝{1,－2}∪｛－2,3}＝｛－2，1，3}．
［答案］ C
—-————--———————-——
解决此类问题首先应看清集合中元素的范围，简化集合，若是用列举法表示的数集，可以根据交集、并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果；若是用描述法表示的数集，可借助数轴分析写出结果,此时要注意当端点不在集合中时，应用“空心点”表示. —-—-———-————-———-———-———-———-——--———————
1．已知集合A＝｛x|－1＜x≤3｝，B＝｛x｜x≤0，或x≥错误!}，求A∩B，A∪B.
解:∵A＝｛x｜－1＜x≤3}，B＝{x｜x≤0，或x≥错误!}，
把集合A与B表示在数轴上，如图．
∴A∩B＝｛x|－1＜x≤3}∩｛x｜x≤0或x≥错误!}
＝｛x|－1＜x≤0或5
2≤x≤3}；
A∪B＝｛x|－1＜x≤3｝∪{x｜x≤0或x≥错误!}＝R.
已知集合交集、并集求参数
[例2］已知集合A＝{1,3，x｝，B＝｛1，x2｝，A∪B＝{1,3，x｝，求满足条件的实数x 的值．
［自主解答］∵A∪B＝{1，3，x｝，A＝{1，3，x}，B＝{1，x2}，
∴A∪B＝A,即B⊆A，
∴x2＝3或x2＝x.
①当x2＝3时，得x ＝±3.
若x＝错误!，则A＝{1,3,错误!｝,B＝｛1，3},符合题意;
若x＝－错误!,则A＝｛1，3,－错误!｝,B＝{1，3}，符合题意．
②当x2＝x时，则x＝0或x＝1。

若x＝0，则A＝{1，3，0｝，B＝{1,0｝，符合题意；
若x＝1，则A＝{1，3，1},B＝{1，1}，不成立，舍去；
综上可知，x＝±3或x＝0.
———————-———-—-———-
(1)在利用集合的交集、并集性质解题时,常常会遇到A∩B＝A，A∪B＝B等这类问题，解答时常借助于交、并集的定义及上节学习的集合间的关系去分析，如A∩B＝A⇔A⊆B，A ∪B＝B⇔A⊆B等，解答时应灵活处理。

(2)对于含有参数的问题要分类讨论,同时要检验，利用好集合中元素的互异性. —-——--—-—--—-—-—-————————-———————-——-———
2．已知集合A＝{4，6}，B＝{2，m｝，A∪B＝｛2,4，6}，则m的值为________．
解析：∵A＝{4，6}，B＝{2，m}，
而A∪B＝{2,4，6}，
∴m＝4或m＝6。

答案：4或6
解题
妙解题同样的结果,不一样的过程，节省解题时间，也是得分！
高手
集合A＝{x|x2－ax＋a2－19＝0}，B＝｛x|x2－5x＋6＝0}，C＝｛x|x2＋2x－8＝0｝．
（1) 若A∩B＝A∪B，求a的值；
（2）若∅A∩B，A∩C＝∅,求a的值．
[巧思](1）A∩B＝A∪B⇔A＝B；（2）∅A∩B⇔A∩B≠∅.
[妙解]由已知，得B＝{2，3｝，C＝{2，－4}．
（1）∵A∩B＝A∪B，∴A＝B.于是2，3是一元二次方程x2－ax＋a2－19＝0的两个根，
由根与系数之间的关系知：错误!解之得a＝5。

(2）由A∩B∅⇒A∩B≠∅，又A∩C＝∅，得3∈A，2∉A，－4∉A.
由3∈A得32－3a＋a2－19＝0,
解得a＝5或a＝－2。

当a＝5时,A＝｛x|x2－5x＋6＝0｝＝{2，3}，与2∉A矛盾;
当a＝－2时，A＝｛x｜x2＋2x－15＝0}＝｛3，－5｝，符合题意．
∴a＝－2。

1．已知集合M＝{1,2,3，4｝，N＝{－2，2}，下列结论成立的是（)
A．N⊆M B．M∪N＝M
C．M∩N＝N D．M∩N＝｛2｝
解析:因为－2∉M，可排除A；M∪N＝{－2，1，2,3,4}，可排除B;M∩N＝{2}．
答案：D
2．设A＝{x∈N｜1≤x≤10｝，B＝｛x∈R|x2＋x－6＝0｝,则如图中阴影部分表示的集合为(）
A．{2｝B．{3}
C．{－3，2} D．｛－2，3｝
解析：注意到集合A中的元素为自然数,因此易知A＝｛1，2，3，4,5，6，7，8,9,10｝,而直接解集合B中的方程可知B＝{－3,2}，因此阴影部分显然表示的是A∩B＝{2｝．答案：A
3．设集合M＝｛x|－3≤x<7｝，N＝｛x｜2x＋k≤0｝,若M∩N≠∅，则k的取值范围是() A．k≤3 B．k≥－3
C．k〉6 D．k≤6
解析：因为N＝{x｜2x＋k≤0}＝{x｜x≤－错误!｝，
且M∩N≠∅，所以－错误!≥－3⇒k≤6。

答案：D
4．已知集合A＝｛x|x是平行四边形}，B＝｛x|x是菱形}，C＝｛x|x是矩形}，则A∩B∩C ＝________。

解析:∵A∩B＝{x|x是菱形｝
∴A∩B∩C＝{x｜x是正方形｝．
答案：｛x｜x是正方形}
5．已知集合M＝{0，1,2}，N＝｛x｜x＝2a,a∈M}，则集合M∩N＝________。

解析:由M＝｛0,1，2｝，知N＝{0，2,4｝，
M∩N＝｛0，2｝．
答案：{0,2}
6．设集合A＝{a2,a＋1，－3｝，B＝{a－3，2a－1，a2＋1｝，A∩B＝{－3｝,求实数a。

解：∵A∩B＝{－3}，∴－3∈B。

∵a2＋1≠－3,
∴①若a－3＝－3，则a＝0，
此时A＝{0,1，－3｝,B＝｛－3，－1,1｝，
但由于A∩B＝｛1,－3｝与已知A∩B＝｛－3}矛盾，
∴a≠0.
②若2a－1＝－3，则a＝－1，
此时A＝{1,0，－3},B＝｛－4,－3,2｝，A∩B＝｛－3｝，综上可知a＝－1.
一、选择题
1．已知集合A＝{x|x≥0}，B＝｛x|－1≤x≤2｝,则A∪B＝（）
A．{x|x≥－1} B．{x｜x≤2}
C．{x|0<x≤2｝D．{x｜1≤x≤2}
解析：结合数轴得A∪B＝｛x|x≥－1}．
答案：A
2．设集合M＝｛x｜－3<x〈2}，N＝｛x｜1≤x≤3｝，则M∩N＝()
A．｛x|1≤x<2} B．{x|1≤x≤2}
C．{x|2〈x≤3} D．{x｜2≤x≤3}
解析：∵M＝｛x｜－3<x〈2｝且N＝｛x|1≤x≤3}，
∴M∩N＝｛x|1≤x<2｝．
答案：A
3．设A＝｛x|－3≤x≤3}，B＝{y｜y＝－x2＋t｝．若A∩B＝∅，则实数t的取值范围是（) A．t〈－3 B．t≤－3
C．t〉3 D．t≥3
解析:B＝{y|y≤t｝，结合数轴可知t<－3。

答案：A
4．已知集合A＝{x｜－2≤x≤7}，B＝{x|m＋1＜x＜2m－1}，且B≠∅，若A∪B＝A,则() A．－3≤m≤4 B．－3＜m＜4
C．2＜m＜4 D．2＜m≤4
解析：∵A∪B＝A，∴B⊆A.又B≠∅，
∴错误!即2＜m≤4.
答案：D
二、填空题
5．已知集合A＝{1，2，4｝，B＝{2,4，6}，则A∪B＝________。

解析：集合A，B都是以列举法的形式给出,易得A∪B＝{1,2，4,6｝．
答案：{1,2,4，6}
6．已知集合A＝｛x|x≥5｝，集合B＝｛x｜x≤m}，且A∩B＝{x|5≤x≤6}，则实数m＝________。

解析：用数轴表示集合A、B如图所示，
由于A∩B＝{x|5≤x≤6}，
则m＝6。

答案：6
7．已知集合A＝｛x｜x≤1}，B＝{x｜x≥a｝，且A∪B＝R，则实数a的取值范围是________．解析：如图所示，若A∪B＝R，则a≤1。

答案：a≤1
8．已知集合A＝｛(x，y）|y＝ax＋3｝，B＝｛（x，y）｜y＝3x＋b｝,A∩B＝｛(2，5)},则a＝________,b＝________.
解析：∵A∩B＝{（2,5)｝．
∴5＝2a＋3。

∴a＝1.
∴5＝6＋b。

∴b＝－1.
答案：1－1
三、解答题
9．已知集合A＝｛x|－1≤x＜3}，B＝{x|2x－4≥x－2}．
（1）求A∩B；
(2)若集合C＝｛x|2x＋a＞0},满足B∪C＝C，求实数a的取值范围．
解：(1）∵B＝{x|x≥2｝，A＝｛x|－1≤x＜3}，
∴A∩B＝{x｜2≤x＜3｝．
(2)∵C＝{x｜x＞－错误!}，B∪C＝C⇔B⊆C，∴a＞－4。

10．已知集合A＝错误!，集合B＝{m｜3>2m－1｝,求A∩B，A∪B。

解：解不等式组错误!得－2〈x〈3，
则A＝｛x|－2<x<3}，
解不等式3〉2m－1，得m〈2，则B＝{m|m〈2}．
用数轴表示集合A和B，如图所示，
则A∩B＝{x｜－2<x<2｝,A∪B＝｛x|x〈3}．
第二课时补集及集合运算综合问题
［读教材·填要点］
1．全集
（1）定义：如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么称这个集合为全集．
(2)符号表示：通常记作U。

2．补集
自然语言对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U的补集，记作∁U A
符号语言∁U A＝｛x|x∈U,且x∉A}
图形语言
[小问题·大思维］
1．已知集合A、∁U A（U为全集），则A∩（∁U A）与A∪（∁U A)各有什么特点？
提示：A∩（∁U A)＝∅，A∪（∁U A）＝U。

2．设U为全集,则∁U∅、∁U U、∁U(∁U A)分别表示什么集合？
提示：∁U∅＝U，∁U U＝∅。

∁U(∁U A)＝A。

3．判断∁U（A∩B)＝(∁U A）∩∁U B，∁U（A∪B)＝(∁U A）∪（∁U B）是否正确．
提示：不对．结合韦恩图可知
∁U(A∩B)＝（∁U A)∪（∁U B)
∁U（A∪B）＝（∁U A）∩（∁U B)．
简单的补集运算
[例1］设全集U＝{0，1,2，3｝，A＝｛x∈U｜x2＋mx＝0}，若∁U A＝｛1,2｝，求实数m 的值．
[自主解答]如图,∵U＝｛0，1，2,3},
∁U A＝｛1，2}，∴A＝｛0，3｝．
∴方程x2＋mx＝0的两根为x1＝0，x2＝3，∴0＋3＝－m.即m＝－3.
———————-——————-———
(1)根据补集定义,借助V enn图，可直观地求出全集，此类问题，当集合中元素离散时，可借助Venn图;当集合中元素连续时,可借助数轴，利用数轴分析法求解．
（2)解题时要注意使用补集的几个性质：∁U U＝∅，∁U∅＝U，A∪（∁U A）＝U. —————--—----—-——————————————————-————-——
1．已知全集U，集合A＝{1,3，5，7，9}，∁U A＝{2,4，6,8}，∁U B＝｛1,4，6，8，9｝，求集合B.
解：借助Venn，如右图所示，
得U＝{1，2,3，4，5,6,7,8,9｝，
∵∁U B＝｛1,4,6,8，9},
∴B＝｛2,3，5，7}.
交、并、补的综合运算
[例2]设U＝｛x∈N｜x<10}，A＝｛1，5,7，8｝，B＝{3,4,5，6,9｝，求A∩B,A∪B，（∁
A)∩(∁U B）,（∁U A）∪(∁U B）．
U
[自主解答］∵U＝{x∈N｜x〈10｝＝{0,1，2，3，4，5,6,7，8，9}，A＝｛1，5,7，8｝，B＝{3,4，5,6,9｝，
∴A∩B＝｛1,5，7，8｝∩{3,4,5,6，9｝＝｛5}，
A∪B＝{1，5，7，8}∪｛3，4,5,6,9｝＝｛1，3,4,5，6，7，8,9｝．
∵∁U A＝{0,2,3,4,6,9｝,∁U B＝｛0,1,2,7,8}，
∴（∁U A）∩(∁U B）＝｛0，2｝,(∁U A)∪(∁U B）＝｛0,1,2，3，4，6,7,8，9｝．
---—--——-———-——--—
1。

解决集合的混合运算时，一般先运算括号内的部分,如求∁U(A∪B)时，先求出A∪B，再求补集.
2.当集合是用列举法表示时，如数集，可以通过列举集合的元素分别得到所求的集合；当集合是用描述法表示时，如不等式形式表示的集合,则可借助数轴求解。

————-————-——-———-———-————————-—--——-————
2．已知U＝R,A＝｛x｜x〉0｝，B＝{x|x≤－1}，则［A∩(∁U B）］∪[B∩(∁U A）]＝(）A．∅B．{x｜x≤0｝
C．{x|x>－1} D．{x｜x>0，或x≤－1｝
解析：∵B＝{x|x≤－1}，∴∁U B＝{x|x〉－1}．
又∵A＝{x|x〉0｝，∴A∩（∁U B)＝｛x|x〉0}．
又∵∁U A＝{x|x≤0}．
∴B∩(∁U A)＝{x｜x≤－1}．
∴［A∩(∁U B）］∪[B∩（∁U A）]＝{x｜x〉0,或x≤－1｝．
答案：D
利用补集运算求参数范围
［例3]设全集U＝R,M＝{x｜3a＜x＜2a＋5｝，P＝{x|－2≤x≤1}，若M∁U P，求实数a的取值范围．
[自主解答］
∁U P＝｛x｜x＜－2或x＞1｝,
∵M∁U P，
∴分M＝∅,M≠∅，两种情况讨论．
(1）M≠∅时,如图可得
错误!
或错误!
∴a≤－错误!，或错误!≤a＜5.
(2)M＝∅时,
应有3a≥2a＋5⇒a≥5。

综上可知,a≤－错误!，或a≥错误!.
—-—--——-——-———————
1。

M⊆N，一般分两种情况讨论：①M＝∅，②M≠∅.
2.解用不等式表示的数集间的集合运算时，一般要借助于数轴求解，此法的特点是简单直观，同时要注意各个端点的画法。

—-———--—-————-———-———————-—-——---———--—-
3．已知集合A＝{x｜－4≤x≤－2｝,集合B＝{x｜x－a≥0｝．
(1)若A⊆B，求a的取值范围；
（2)若全集U＝R,且A⊆（∁U B），求a的取值范围．
解：∵A＝｛x|－4≤x≤－2｝,B＝｛x｜x≥a｝，
（1)由A⊆B，结合数轴(如图所示）
可知a的范围为a≤－4.
（2）∵U＝R，∴∁U B＝｛x|x＜a｝，要使A⊆∁U B，
须a＞－2。

解题
妙解题同样的结果，不一样的过程，节省解题时间,也是得分！
高手
某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．
[巧思］先将文字语言转化为集合语言，设U为全班学生组成的集合，A、B分别表示喜爱篮球运动的学生组成的集合、喜爱乒乓球运动的学生组成的集合，再利用Venn图可直观得出答案．
[妙解]设全集U＝｛全班30名学生},A＝{喜爱篮球运动的学
生}，B＝{喜爱乒乓球运动的学生}，画出Venn图如图所示．
设既喜欢篮球运动又喜欢乒乓球运动的人数为x，则（15－x)＋x＋(10－x）＝30－8,解得x＝3,所以喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为12。

[答案]12
1．设全集为R，A＝｛x｜x<3，或x>5}，B＝{x｜－3〈x<3｝，则()
A．∁R(A∪B）＝R B．A∪(∁R B)＝R
C．（∁R A）∪(∁R B）＝R D．A∪B＝R
解析:∵∁R A＝{x|3≤x≤5｝，∁R B＝{x｜x≤－3，或x≥3｝，逐个验证知B正确．
答案：B
2。

（2013·临沂一模）已知全集U＝Z,集合A＝{0，1｝，B＝｛－1,0,1，
2｝,则图中阴影部分所表示的集合为(）
A．｛－1,2｝B．｛－1,0｝
C．{0，1} D．{1,2}
解析：图中阴影部分表示的集合为(∁U A）∩B，因为A＝｛0，1｝，B＝{－1,0，1，2}，所以(∁U A)∩B＝{－1，2}．
答案：A
3．已知全集U＝｛0,1,2，3，4,5，6，7，8，9｝，集合A＝{0,1,3,5,8}，集合B＝｛2，4,5,6,8}，则(∁U A)∩(∁U B)＝（）
A．{5,8｝B．｛7,9}
C．｛0,1，3} D．{2,4,6}
解析:因为A∪B＝｛0,1，2，3，4,5,6，8｝,所以(∁U A)∩(∁U B)＝∁U(A∪B）＝｛7,9｝．答案：B
4．已知全集U＝｛2,3，a2－a－1｝，A＝{2,3｝，若∁U A＝｛1｝，则实数a的值是________．解析:∵U＝｛2，3，a2－a－1｝，A＝｛2，3｝，∁U A＝{1}，
∴a2－a－1＝1,即a2－a－2＝0，∴a＝－1或a＝2.
答案：－1或2
5．已知集合A＝{x|0≤x≤5}，B＝｛x｜2≤x＜5｝,则∁A B＝________.
解析：如图：
由数轴可知：∁A B＝{x｜0≤x<2,或x＝5}．
答案：{x|0≤x〈2，或x＝5}
6．设全集U＝｛x｜0〈x〈10,x∈N},若A∩B＝{3｝，A∩（∁U B)＝｛1，5,7｝，（∁U A)∩（∁
B）＝｛9｝，求集合A，B。

U
解：U＝{1,2,3,4,5，6，7，8，9｝，由题意画出Venn图，
∴A＝｛1,3，5，7},B＝{2,3，4，6，8}．
一、选择题
1．设U＝R，A＝{x｜x>0}，B＝{x｜x〉1}，则A∩(∁U B)＝（)
A．{x｜0≤x〈1} B．｛x｜0<x≤1}
C．{x｜x〈0｝D．｛x|x>1}
解析：画出数轴，如图所示,∁U B＝{x｜x≤1}，则A∩（∁U B）
＝{x｜0〈x≤1｝．
答案：B
2．已知全集U＝A∪B中有m个元素，（∁U A）∪(∁U B）中有n个元素．若A∩B是非空集合，则A∩B的元素个数为(）
A．mn B．m＋n
C．n－m D．m－n
解析:画出Venn图，如图．
∵U＝A∪B中有m个元素，
(∁U A)∪（∁U B)＝∁U（A∩B)中有n个元素，
∴A∩B中有m－n个元素．
答案:D
3．已知集合A＝｛x｜x〈a}，B＝｛x｜x<2}，且A∪（∁R B）＝R，则a满足（) A．a≥2 B．a>2
C．a〈2 D．a≤2
解析：∁R B＝{x｜x≥2｝,则由A∪（∁R B)＝R得a≥2。

答案：A
4．设S为全集，则下列几种说法中,错误的个数是（)
①若A∩B＝∅,则（∁S A）∪(∁S B)＝S;
②若A∪B＝S，则(∁S A）∩(∁S B)＝∅；
③若A∪B＝∅，则A＝B。

A．0 B．1
C．2 D．3
解析：①如图，（∁S A）∪(∁S B)＝S，正确．
②若A∪B＝S，则（∁S A）∩（∁S B)＝
∁S（A∪B）＝∅，故成立．
③若A∪B＝∅,则A＝B＝∅。

答案：A
二、填空题
5．已知集合A＝{1,3，5,7,9},B＝{0，3,6,9，12},则A∩B＝________，A∩(∁N B)＝________.
解析：因为集合A与集合B都有元素3和9，所以A∩B＝｛3，9｝,
结合Venn图(如图所示）,
易得A∩（∁N B)＝｛1，5，7｝．
答案：{3，9｝｛1,5，7}
6．设集合A＝{x｜x＋m≥0}，B＝｛x|－2〈x〈4},全集U＝R，且(∁U A)∩B＝∅,则实数m 的取值范围是________．
解析:∵A＝{x｜x≥－m｝，
∴∁U A＝｛x|x<－m}．
又∵(∁U A)∩B＝∅,－m≤－2。

∴m≥2.
答案：m≥2
7．设全集U＝{a，b，c，d｝，集合A＝｛a，b｝，B＝｛b,c，d}，则(∁U A）∪（∁U B）＝________.
解析：依题意得知,∁U A＝｛c，d}，∁U B＝{a}，(∁U A)∪(∁U B）＝｛a，c，d｝．
答案：{a，c,d}
8．已知全集U（U≠∅）和集合A、B、D，且A＝∁U B,B＝
∁U D，则A与D的关系是________．
解析：A＝∁U B＝∁U（∁U D)＝D。

答案：A＝D
三、解答题
9．已知全集U＝{x｜－1≤x≤4},A＝{x|－1≤x≤1｝，B＝{x｜0＜x≤3},求∁U A，(∁U B)∩A。

解：∵U＝{x｜－1≤x≤4}，A＝｛x｜－1≤x≤1｝,B＝{x｜0＜x≤3},结合数轴（如图)．
可知∁U A＝{x｜1＜x≤4}，
∁U B＝{x｜3＜x≤4，或－1≤x≤0}．结合数轴（如图）．
可知（∁U B)∩A＝{x｜－1≤x≤0｝．
10．2011年8月世界大学生运动会在深圳举行，大运村的50名志愿者中，会讲英语的有36人,会讲日语的有20人，既会讲英语又会讲日语的有14人，问既不会讲英语又不会讲日语的有多少人？
解：设全集U＝{50名志愿者｝，A＝{会讲英语的志愿者}，B＝{会
讲日语的志愿者｝，A∩B＝{既会讲英语又会讲日语的志愿者}，画出Venn
图,如图,则由Venn图知,既不会讲英语又不会讲日语的志愿者有50－22
－14－6＝8（人）．
错误!
1．2.1函数的概念
[读教材·填要点］。