人教A版高中数学选修新课标同步导学第课时课后练习(1)

第3章 3.2 第2课时
(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1．已知三条直线l 1，l 2，l 3的一个方向向量分别为a ＝(4，－1,0)，b ＝(1,4,5)，c ＝(－3,12，－9)，则( )
A ．l 1⊥l 2，但l 1与l 3不垂直
B ．l 1⊥l 3，但l 1与l 2不垂直
C ．l 2⊥l 3，但l 2与l 1不垂直
D ．l 1，l 2，l 3两两互相垂直
解析： ∵a ·b ＝(4，－1,0)·(1,4,5)＝4－4＋0＝0， a ·c ＝(4，－1,0)·( －3,12，－9)＝－12－12＝－24≠0. b ·c ＝(1,4,5)·(－3,12，－9)＝－3＋48－45＝0， ∴a ⊥b ，a 与c 不垂直，b ⊥c . ∴l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，但l 1不垂直于l 3. 答案： A
2．已知直线l 1的方向向量a ＝(2,4，x )，直线l 2的方向向量b ＝(2，y,2)，若|a |＝6，且a ⊥b ，则x ＋y 的值是( )
A ．－3或1
B ．3或－1
C ．－3
D ．1
解析： |a |＝22＋42＋x 2＝6， ∴x ＝±4， 又∵a ⊥b ，
∴a ·b ＝2×2＋4y ＋2x ＝0， ∴y ＝－1－12x ，
∴当x ＝4时，y ＝－3， 当x ＝－4时，y ＝1， ∴x ＋y ＝1或－3. 答案： A
3．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若E 为A 1C 1的中点，则直线CE 垂直于( ) A ．AC B ．BD C ．A 1D
D ．A 1A 解析： 如图，以D 为坐标原点，DA ，DC ，DD 1所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系Dxyz .设正方体的棱长为2，
则C (0,2,0)，A 1(2,0,2)，D (0,0,0)，E (1,1,2)，A (2,0,0)，B (2,2,0)CE →＝(1，－1,2)，AC →＝(－2,2,0)DB →
＝(2,2,0)，A 1D →＝(2,0,2)，AA 1→＝(0,0,2).CE →·AC →＝－2－2＋0＝－4≠0，
∴CE 与AC 不垂直，CE →·DB →
＝1×2＋(－1)×2＋2×0＝0， ∴CE ⊥BD .故选B. 答案： B
4．已知平面α内有一个点A (2，－1,2)，α的一个法向量为n ＝(3,1,2)，则下列点P 中，在平面α内的是( )
A ．(1，－1,1) B.⎝
⎛⎭⎫1，3，3
2 C.⎝
⎛⎭⎫1，－3，32 D.⎝
⎛⎭⎫－1，3，－32 解析： 要判断点P 是否在平面内，只需判断向量P A →与平面的法向量n 是否垂直，即P A →
·n 是否为0即可，
因此，要对各个选项进行逐个检验．
对于选项A ，P A →＝(1,0,1)，则P A →·n ＝(1,0,1)·(3,1,2) ＝5≠0，故排除A ；
对于选项B ，P A →
＝⎝
⎛⎭⎫1，－4，12， 则P A →
·n ＝⎝⎛⎭⎫1，－4，12·(3,1,2)＝0，故B 正确， 同理可排除C ，D.故选B. 答案： B
二、填空题(每小题5分，共10分)
5.如图所示，在空间四边形ABCD 中，AB ＝BC ，CD ＝DA ，E ，F ，G 分别是CD ，DA 和AC 的中点，则平面BEF 与平面BDG 的位置关系是________．
解析： 由AB ＝BC ，G 是AC 中点得 BG ⊥AC
由CD ＝DA ，G 是AC 中点得DG ⊥AC ∴AC ⊥平面GBD
又EF ∥AC ，∴EF ⊥平面GBD ∴平面BEF ⊥平面BDG 答案： 垂直
6.已知正四棱锥(如图)，在向量P A →－PB →＋PC →－PD →，P A →＋PC →，PB →＋PD →，P A →＋PB →＋PC →＋PD →
中，不能作为底面ABCD 的法向量的向量是________．
解析： P A →－PB →＋PC →－PD →＝BA →＋PC →－PD →＝PD →－PD →
＝0， 而P A →＋PC →＝2PO →，又PO →
⊥面ABCD 知可以，
同样PB →＋PD →也可以，P A →＋PB →＋PC →＋PD →＝4PO →
当然也可以． 答案： P A →－PB →＋PC →－PD →
三、解答题(每小题10分，共20分)
7.已知三棱锥P －ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，P A ＝AC ＝
1
2AB ，N 为AB 上一点，AB ＝4AN ，M ，S 分别为PB ，BC 的中点．
证明：CM ⊥SN .
证明： 设P A ＝1，以A 为原点，AB ，AC ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系如图．
则P (0,0,1)，C (0,1,0)，B (2,0,0)，
M ⎝⎛⎭⎫1，0，12，N ⎝⎛⎭⎫12，0，0，S ⎝⎛⎭⎫1，1
2，0. (1)CM →
＝⎝⎛⎭⎫1，－1，12， SN →
＝⎝⎛⎭⎫－12，－12，0， 因为CM →·SN →＝－12＋12＋0＝0，
所以CM ⊥SN .
8.如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，P A ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．
(1)证明：CD ⊥AE ； (2)证明：PD ⊥平面ABE .
证明： 以A 为原点，AB 、AD 、AP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设P A ＝AB ＝BC ＝1，
则AC ＝1，CD ＝
33，AD ＝23
＝233 A (0,0,0)；B (1,0,0)；C ⎝⎛⎭⎫12，32，0；D ⎝⎛⎭⎫
0，233，0
P (0,0,1)；E ⎝⎛⎭⎫14，34，12；CD →
＝⎝⎛⎭⎫－12，36，0；
PD →＝⎝⎛⎭
⎫0，233，－1 (1)∵CD →·AE →＝⎝⎛⎭⎫－1
2，36，0⎝⎛⎭⎫14，34，12＝－18＋324＝0
∴CD →⊥AE →
(2)∵PD →·AB →＝0
PD →·AE →＝⎝⎛⎭⎫0，233，－1⎝⎛⎭⎫14，34，12＝0
∴PD ⊥AB ，PD ⊥AE 又AB ∩AE ＝A ∴PD ⊥平面ABE .
尖子生题库☆☆☆
9．(10分)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是棱BC 的中点，试在棱CC 1上求一点P ，使得平面A 1B 1P ⊥平面C 1DE .
解析： 如图，以D 为坐标原点，以DA ，DC ，DD 1为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系．
设正方体的棱长为1，
则E ⎝⎛⎭⎫1
2，1，0，A 1(1,0,1)，B 1(1,1,1)，C 1(0,1,1)，C (0,1,0)． 设CP →＝λCC 1→＝λ(0,0,1)＝(0,0，λ)，DE →＝⎝⎛⎭⎫12，1，0，DC 1→
＝(0,1,1)． 设n ＝(x ，y ，z )为平面C 1DE 的法向量， 则⎩⎪⎨⎪⎧ n ·DE →＝0n ·DC 1→＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧
12x ＋y ＝0
y ＋z ＝0
.
令x ＝2，得y ＝－1，z ＝1，∴n ＝(2，－1,1)．
A 1
B 1→＝(0,1,0)，B 1P →＝CP →－CB 1→
＝(0,0，λ)－(1,0,1)＝(－1,0，λ－1)． 设m ＝(x ′，y ′，z ′)是平面A 1B 1P 的法向量， 则⎩⎨⎧
m ·A 1B 1→＝0
m ·
B 1P ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧
y ′＝0－x ′＋(λ－1)z ′＝0.
令z ′＝1，则x ′＝λ－1， ∴m ＝(λ－1,0,1)，
要使平面A 1B 1P ⊥平面C 1DE ，只须使n ·m ＝0， ∴2(λ－1)＋1＝0.∴λ＝1
2
.
∴点P 为CC 1的中点时，平面A 1B 1P ⊥平面C 1DE .。