提公因式法导学

“提公因式法”导学

提取公因式法不仅是一种重要的分解因式的方法，也是把一个多项式分解因式时首要考虑的步骤，即分解因式时，首先要看多项式中是否有公因式可提。有公因式的一定要先提公因式。那么，怎样才能学好提公因式这种方法呢。

一、准确地理解公因式的概念

公因式是指一个多项式的各项都含有的因式，它的确定一般采取“三看”的方法：一看“系数”，公因式的系数是各项系数绝对值的最大公约数，如在多项式32223246b a ab b a --中，各项系数的绝对值是6、4、2，它们的最大公约数是2，所以公因式的系数是2；二看“字母”，公因式中的字母应是各项相同的字母（注意这里的字母具有广泛性，可以是一个整式），如上式中各项都含有a 、b ，所以公因式的字母是a 、b ；三看“字母的次数”，公因式中字母的次数是相同字母的最低次幂，如上式中的a 是1次、b 是2次，所以这个多项式的公因式是2a 2b ．

二、掌握提取公因式的方法

要正确提取公因式，可遵循下列方法：①当一个多项式的各项公因式是其中的单独一项时，提取公因式后该项应用1补上，不能漏掉；②如果多项式按一定顺序列出后，首项为负时，一般要连同 “－”号提出，使括号内的第一项的系数为正的，但在提出“－”后括在括号内的各项与原来相比要改变符号；③有时提取公因式后要对括号内的项进行适当的化简，发现公因式还要及时提取；④如果公因式含有多项式因式时，应注意符号的变换，如(a+b)2＝(b －a)2，(a －b)3＝－(b －a)3；⑤因式分解的结果应将单项式写在前面，多项式写在后面，相同的因式写成乘方的形式.

三、明确提公因式的依据

我们在学习乘法分配律时知道，mc mb ma c b a m ++=++)(，现在把它反过来就有mc mb ma ++=)(c b a m ++，这正是提公因式法，可见提公因式法的依据是乘法分配律的逆运用．

四、提公因式法运用中的几点注意

1、提取公因式要一次提“全”提“净”

例1 因式分解：xy xy y x 492114223+-

错解：原式).492114(2+-=y y x xy

剖析：提取公因式后的各项不能再有公因式，必须一次提全提净。提公因式时，要对数字系数和字母分别进行考虑。如果是整数系数，应该提各项系数的最大公约数，字母考虑两条：一是取各项相同的字母，二是取相同字母的最低次幂。本题提取公因式后，括号里还有公因式7，所以应提取公因式xy 7。

正解：原式).732(72+-=y y x xy

2、不能漏掉常数项“1”

例2 因式分解：.3632x xy x +-

错解：原式).2(3y x x -=

剖析：“1”作为项的系数时通常省略不写，但单独成一项时，不能省略，尤其在因式里不能漏掉。本题的x 3正好是这个多项式的公因式，提取公因式后应用1来补项。

正解：原式).12(3+-=y x x

3、多项式的第一项是负数时，要提出“－”号

例3 因式分解：.264233mn n m n m -+-

错解：原式).132(222-+-=m n m mn

剖析：如果一个多项式的首项系数为负数时，通常要提出“－”号，使括号内首项系数为正，这样便于以后看出因式是否可继续分解。但需注意的是，提取“－”号后括号内各项都应变号。

正解：原式).132(222+--=m n m mn

4、要正确处理y x -与x y -的关系

例4 分解因式：.)(6)(334x y x y x -+-

错解：原式).3()(3)2()(333y x y x x y x y x --=+--=

剖析：提取公因式的关键是正确而又完整地确定公因式，特别是公因式是多项式时要注意符号的变化，一般来说：

121222)()(,)()(----=--=-n n n n x y y x x y y x （n 为正整数）。本题中

33)()(y x x y -≠-，而是33)()(y x x y --=-。

正解：原式

).

()(3)()(3)2()(3)(6)(333334y x y x y x y x x y x y x y x x y x +--=---=---=---=5、合并同类项后产生的新的多项式中有公因式，也要提出来

例5 因式分解：.)()()(334m n n n m m n m -+-+-

错解：原式).22()()()()(3334n m n m n m n n m m n m --=---+-=

剖析：提取公因式后，各项合并同类项后产生的新的多项式中有公因式，也必须提出来。本题中提取公因式3)(n m -后，产生的新的多项式n m 22-有公因式2，须将公因式2提出来。

正解：原式

.)(2)(2)()22()()()()(433334n m n m n m n m n m n m n n m m n m -=-⋅-=--=---+-=