1.1.1-1.1.2函数平均变化率与导数课堂
湘教版高中同步学案数学选择性必修第二册精品课件 第1章 导数及其应用 1.1.1 函数的平均变化率
e-1
e3 +2
C.
e-1
e3 +2
D.
e+1
解析 因为f(x)=x3-ln x,所以f(e)=e3-ln e=e3-1,f(1)=13-ln 1=1,所以f(x)=x3-ln x
(e)-(1) e3 -1-1 e3 -2
在区间[1,e]上的平均变化率为
.故选B.
=
=
e-1
e-1
e-1
1 2 3 4 5
5. 泰山为我国五岳之首,有“天下第一山”之美誉,当地用“紧十八,慢十八,不
紧不慢又十八”的俗语来形容爬十八盘的感受.上面是一段登山路线图,同
样是登山,但是从A处到B处会感觉比较轻松,而从B处到C处会感觉比较吃
力.想想看,为什么?
1 2 3 4 5
解 山路从 A 到 B 高度的平均变化率为ℎ =
所以
-(-2)
=
( 2 -)-[(-2)2 -(-2)]
=2,
+2
即t2-t-6=2t+4,即t2-3t-10=0,解得t=5或t=-2(舍去).
5
.
探究点三
函数的平均变化率的应用
【例3】 A,B两机关单位开展节能活动,活动开始后两机关单位的用电量
W1(t),W2(t)与时间t(单位:天)的关系如图所示,则一定有( B )
= =9(米/
2
2
3.若函数f(x)=x2-t在区间[1,m]上的平均变化率为4,则m等于( C )
A. √5
B.2
C.3
解析
D.1
()-(1)
由题意可得 -1
1 2 3 4 5
=
2 -1
函数的平均变化率教案
函数的平均变化率教案一、教学目标1. 让学生理解函数的平均变化率的定义及其几何意义。
2. 培养学生利用导数求函数的平均变化率的能力。
3. 引导学生运用函数的平均变化率解决实际问题。
二、教学内容1. 函数的平均变化率的定义2. 函数的平均变化率的计算3. 函数的平均变化率的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：函数的平均变化率的定义及其计算方法。
2. 教学难点：函数的平均变化率在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用讲授法，讲解函数的平均变化率的定义、计算方法及其应用。
2. 利用几何图形和实例，帮助学生形象理解函数的平均变化率。
3. 开展小组讨论，引导学生运用函数的平均变化率解决实际问题。
五、教学过程1. 导入：通过举例，如物体在直线运动中的速度变化，引入函数的平均变化率的概念。
2. 新课讲解：讲解函数的平均变化率的定义，引导学生理解函数的平均变化率的几何意义。
讲解如何利用导数求函数的平均变化率，并通过示例进行演示。
3. 案例分析：给出几个实际问题，让学生运用函数的平均变化率进行解决，巩固所学知识。
4. 课堂练习：布置一些有关函数的平均变化率的练习题，让学生独立完成，检测学习效果。
提出一些拓展问题，激发学生的学习兴趣。
六、课后作业1. 复习本节课的内容，重点掌握函数的平均变化率的定义及其计算方法。
2. 完成课后练习题，巩固所学知识。
3. 思考并解答拓展问题，提高运用能力。
七、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。
2. 课后作业：检查学生完成的课后作业，评估学生对函数的平均变化率的理解和应用能力。
3. 小组讨论：评估学生在小组讨论中的表现，包括合作态度、问题解决能力等。
八、教学反思在课后对教学情况进行反思，分析学生的学习效果，针对存在的问题调整教学方法和要求，以提高教学质量。
九、教学资源1. PPT课件：制作精美的PPT课件，辅助讲解函数的平均变化率的概念和计算方法。
函数的平均变化率课件
实际问题中如何应用函数的平均变化率？
运动学
速度和加速度的变化率都是平均 变化率，可以通过这些平均变化 率来了解运动学中的物理现象。
商业领域
可以通过函数的平均变化率来评 价某一产品或公司的增长速度。
时间管理
可以通过函数的平均变化率来了 解时间利用效率的变化。
平均变化率的图像解释
相邻两点之间的斜率
在图像上，平均变化率可以表示为相邻两条线段的 斜率。
函数的平均变化率的应用举例
1
应用一
在积分计算中，常用平均变化率来近似求解曲线下的面积。
2
应用二
在微分方程的求解中，平均变化率可以用于简单的数值方法计算。
3
应用三
在统计学中，业务活动的整体变化趋势可以通过平均变化率来进行分析。
函数的平均变化率在物理学中的应用
万有引力
质点在单位时间内运动的平均速 度可以用万有引力的平均变化率 来计算。
1 步骤一
首先，要知道函数在哪里发生了断裂，也就 是函数不连续的地方。
2 步骤二
判断函数在不连续点与相邻区间之间的平均 变化率是否存在。
3 步骤三
如果这一区间存在平均变化率，那么新的区 间一定就是函数的定义域。
4 步骤四
如果不存在平均变化率，则需要进一步的讨 论和推导。
如何根据函数的平均变化率推断函数 的值域？
1 步骤一
求出函数的导数。
2 步骤二
根据导数的正负来判断函数的值域。
3 步骤三
如果导数大于零，则函数单调递增；如果导数小于零，则函数单调递减；否则，需要进 一步研究函数。
函数的平均变化率的重要性
平均变化率是微积分的基础概念之一，不仅在学术研究中广泛应用，而且在 日常生活中也具有重要的意义。通过平均变化率可以揭示出事物在不同时间 段内的变化趋势，从而帮助我们做出更好的决策。
导数平均变化率课件
导数可以用来描述波动的过程，例如在波动方程中，位移 u与时间t的导数描述了波的传播。
平均变化率在统计学中的应用
平均变化率的定义
平均变化率是函数在某段时间内变化的平均值，可以用导数来计算。
平均变化率的应用
平均变化率可以用于统计学中的回归分析、时间序列分析和方差分析等。例如 在回归分析中，平均变化率可以帮助我们了解自变量和因变量之间的关系。
定义
平均变化率是函数在某区间上 的增量与区间的比值。
计算公式
平均变化率 = (f(b) - f(a)) / (b - a)。
意义
平均变化率描述函数在某区间 上的变化趋势。
局限性
平均变化率只能描述函数在一 个区间的整体变化趋势，不能 描述函数在某一点的局部变化
。
导数与平均变化率综合应用示例
例1
一个工厂生产某种产品，其总成 本函数为C(x) = 20 + 3x + 4x^2 ，求生产100个产品的平均成本 。
生产量、在成本函数中求得最低成本等。
预测模型
03
导数可以用于预测模型，例如时间序列分析中的ARIMA模型，
通过对数据的导数分析来预测未来的变化趋势。
导数在物理学中的应用
速度与加速度
导数可以用来描述物体的速度和加速度，例如在牛顿第二 定律F=ma中，加速度a就是速度v的导数。
热传导
导数可以用来描述热传导的过程，例如在热传导方程中， 热流密度q与温度T的导数有关。
导数与平均变化率的关系
导数是平均变化率的极限
当函数在某一点的变化时间趋于0时，导数就是该点在单位时间内 的平均变化率。
导数与平均变化率的联系
导数和平均变化率都是描述函数变化的量度，它们之间存在密切的 联系。
导数第一节1.1.1-1.1.3
P
α
o
x 我们发现,当点 沿着曲线无限接近点P即 当点Q沿着曲线无限接近点 我们发现 当点 沿着曲线无限接近点 即 割线PQ如果有一个极限位置 Δx→0时,割线 如果有一个极限位置 则我 → 时 割线 如果有一个极限位置PT.则我 们把直线PT称为曲线在点 处的切线 们把直线 称为曲线在点P处的切线. 称为曲线在点 处的切线
2 ∆t →0
= −9.8t0 + 6.5
y = f ( x)
处的瞬时变化率怎样表示? 函数在 x = x0 处的瞬时变化率怎样表示
f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) △y lim = lim ∆x→0 △ x ∆x→0 ∆x
导数的定义: 4. 导数的定义:
函数 y = f (x) 在 x = x0 处的瞬时变化率是
1.1变化率与导数 1.1变化率与导数
1.变化率 1.变化率 一个变量相对于另一个变 量的变化而变化的快慢程度叫 做变化率． 变化率．
问题1 问题 气球膨胀率
3V r (V ) = 3 4π
当空气容量从V 增加到V 气球的平 当空气容量从 1增加到 2时,气球的平 气球的 均膨胀率是多少 均膨胀率是多少? 是多少
练习: 位移s(t)(单位:m)与时间t(单位: s) 的关系为: s(t ) = 3t +1, 求t = 2时的瞬时速度v.
△s s (2 +△t ) − s (2) 解 v = s (2) = lim = lim △ t → 0 △t △t →0 △t
＇
[3(2 +△t) + 1] − (3 × 2 + 1) = lim = lim 3 = 3 △ t→0 △ t →0 2
2014-2015学年高中数学(人教版选修2-2)配套课件第一章 1.1 1.1.2 导数的概念
栏 目 链 接
∴4 s 时物体的瞬时速度为 2＋6×4＝26.
题型2
利用导数的定义求导数
例2 利用导数的定义解下列各题：
1 (1)求函数 f(x)＝ 在 x＝1 处的导数； x＋1 (2)已知函数 f(x)＝ax2＋2x 在 x＝1 处的导数为 6， 求a 的值．
－Δx 1 1 Δy 解析： (1)因为 Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝ － ＝ ， 所以 Δx 2＋Δx 2 22＋Δx 1 Δy 1 ＝－ ，于是 f(x)在 x＝1 处的导数 f′(1)＝Δ lim ＝－ . x→0 Δx 4 22＋Δx
1 2 2． 已知物体做自由落体运动的方程为 s(t)＝ gt ， 若 Δt→0 时， 2 s1＋Δt－s1 无限趋近于 9.8 m/s，则正确的说法是( Δt A．9.8 m/s 是物体在 0～1 s 这段时间内的速度 B．9.8 m/s 是物体在 1 s～(1＋Δt)s 这段时间内的速度 C．9.8 m/s 是物体在 t＝1 s 这一时刻的速度 D．9.8 m/s 是物体从 1 s～(1＋Δt)s 这段时间内的平均速度
栏 目 链 接
点评：由导数的定义求导数，是求导数的基本方法， 必须严格按以下三个步骤进行： ①求函数的增量 Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)； Δy fx0＋Δx－fx0 ②求平均变化率 ＝ ； Δx Δx Δy ③取极限，得导数 f′(x0)＝Δ lim . x→0 Δx
例：设函数 y＝f(x)＝3x2，则 Δy＝f(1＋Δx)－f(1) Δy Δy 2 6Δ x ＋ 3(Δ x ) 6 ＋ 3Δ x ＝________________， ＝______________，Δ lim x→0 Δx Δx
6 6 ＝______________ ；f′(1)＝______________.
(-人教A版)导数的概念课件-(共28张)
[随堂训练]
1．已知函数 y＝f(x)＝x2－1，则当 x＝2，Δx＝0.1 时，Δy 的值为( )
A．0.40
B．0.41
C．0.43
D．0.44
解析：Δy＝f(2.1)－f(2)＝(2.12－1)－(22－1)＝4.41－4＝0.41.
答案：B
2．若函数 f(x)＝2x2 的图象上有点 P(1,2)及邻近点 Q(1＋Δx,2＋Δy)，则 liΔmx→0 ΔΔxy等
(3)h′(1)＝liΔmt→0 ΔΔht ＝liΔmt→0 h1＋ΔΔtt－h1＝liΔmt→0[5(Δt)2＋45Δt＋120]＝120，即 第 1 s 末高度的瞬时变化率为 120 m/s. 它说明在第 1 s 末附近，航天飞机的高度大约以 120 m/s 的速度增加．
长风破浪会有时，直挂云帆济沧海。努力，终会有所收获，功夫不负有心人。以铜为镜，可以正衣冠；以古为镜，可以知兴替；以人为镜，可以明得失。前进的路上，要不断反思、关 照自己的不足，学习更多东西，更进一步。穷则独善其身，达则兼济天下。现代社会，有很多人，钻进钱眼，不惜违法乱纪；做人，穷，也要穷的有骨气！古之立大事者，不惟有超世 之才，亦必有坚忍不拔之志。想干成大事，除了勤于修炼才华和能力，更重要的是要能坚持下来。士不可以不弘毅，任重而道远。仁以为己任，不亦重乎?死而后已，不亦远乎?心中有 理想，脚下的路再远，也不会迷失方向。太上有立德，其次有立功，其次有立言，虽久不废，此谓不朽。任何事业，学业的基础，都要以自身品德的修炼为根基。饭疏食，饮水，曲肱 而枕之，乐亦在其中矣。不义而富且贵，于我如浮云。财富如浮云，生不带来，死不带去，真正留下的，是我们对这个世界的贡献。英雄者，胸怀大志，腹有良策，有包藏宇宙之机， 吞吐天地之志者也英雄气概，威压八万里，体恤弱小，善德加身。老当益壮，宁移白首之心；穷且益坚，不坠青云之志老去的只是身体，心灵可以永远保持丰盛。乐民之乐者，民亦乐 其乐；忧民之忧者，民亦忧其忧。做领导，要能体恤下属，一味打压，尽失民心。勿以恶小而为之，勿以善小而不为。越是微小的事情，越见品质。学而不知道，与不学同；知而不能 行，与不知同。知行合一，方可成就事业。以家为家，以乡为乡，以国为国，以天下为天下。若是天下人都能互相体谅，纷扰世事可以停歇。志不强者智不达，言不信者行不果。立志 越高，所需要的能力越强，相应的，逼迫自己所学的，也就越多。臣心一片磁针石，不指南方不肯休。忠心，也是很多现代人缺乏的精神。吾日三省乎吾身。为人谋而不忠乎?与朋友 交而不信乎?传不习乎?若人人皆每日反省自身，世间又会多出多少君子。人人好公，则天下太平；人人营私，则天下大乱。给世界和身边人，多一点宽容，多一份担当。为天地立心， 为生民立命，为往圣继绝学，为万世开太平。立千古大志，乃是圣人也。丹青不知老将至，贫贱于我如浮云。淡看世间事，心情如浮云天行健，君子以自强不息。地势坤，君子以厚德 载物。君子，生在世间，当靠自己拼搏奋斗。博学之，审问之，慎思之，明辨之，笃行之。进学之道，一步步逼近真相，逼近更高。百学须先立志。天下大事，不立志，难成！海纳百 川，有容乃大；壁立千仞，无欲则刚做人，心胸要宽广。其身正，不令而行；其身不正，虽令不从。身心端正，方可知行合一。子曰:“知者不惑，仁者不忧，勇者不惧。”真正努力精 进者，不会把时间耗费在负性情绪上。好学近乎知，力行近乎仁，知耻近乎勇。力行善事，有羞耻之心，方可成君子。操千曲尔后晓声，观千剑尔后识器做学问和学技术，都需要无数 次的练习。第一个青春是上帝给的；第二个的青春是靠自己努力当眼泪流尽的时候，留下的应该是坚强。人总是珍惜未得到的，而遗忘了所拥有的。谁伤害过你，谁击溃过你，都不重 要。重要的是谁让你重现笑容。幸运并非没有恐惧和烦恼；厄运并非没有安慰与希望。你不要一直不满人家，你应该一直检讨自己才对。不满人家，是苦了你自己。最深的孤独不是长 久的一个人，而是心里没有了任何期望。要铭记在心；每一天都是一年中最完美的日子。只因幸福只是一个过往，沉溺在幸福中的人；一直不知道幸福却很短暂。一个人的价值，应该 看他贡献什么，而不应当看他取得什么。做个明媚的女子。不倾国，不倾城，只倾其所有过的生活。生活就是生下来，活下去。人生最美的是过程，最难的是相知，最苦的是等待，最 幸福的是真爱，最后悔的是错过。两个人在一起能过就好好过！不能过就麻利点分开。当一个人真正觉悟的一刻，他放下追寻外在世界的财富，而开始追寻他内心世界的真正财富。人 若软弱就是自己最大的敌人。日出东海落西山，愁也一天，喜也一天。遇事不转牛角尖，人也舒坦，心也舒坦。乌云总会被驱散的，即使它笼罩了整个地球。心态便是黑暗中的那一盏 明灯，可以照亮整个世界。生活不是单行线，一条路走不通，你可以转弯。给我一场车祸。要么失忆。要么死。有些人说：我爱你、又不是说我只爱你一个。生命太过短暂，今天放弃 了明天不一定能得到。删掉了关于你的一切，唯独删不掉关于你的回忆。任何事都是有可能的。所以别放弃，相信自己，你可以做到的。、相信自己，坚信自己的目标，去承受常人承 受不了的磨难与挫折，不断去努力、去奋斗，成功最终就会是你的！既然爱，为什么不说出口，有些东西失去了，就在也回不来了！对于人来说，问心无愧是最舒服的枕头。嫉妒他人， 表明他人的成功，被人嫉妒，表明自己成功。在人之上，要把人当人；在人之下，要把自己当人。人不怕卑微，就怕失去希望，期待明天，期待阳光，人就会从卑微中站起来，带着封 存梦想去拥抱蓝天。成功需要成本，时间也是一种成本，对时间的珍惜就是对成本的节约。人只要不失去方向，就不会失去自己。过去的习惯，决定今天的你，所以，过去的懒惰，决 定你今天的一败涂地。让我记起容易，但让我忘记我怕我是做不到。不要跟一个人和他议论同一个圈子里的人，不管你认为他有多可靠。想象困难做出的反应，不是逃避或绕开它们， 而是面对它们，同它们打交道，以一种进取的和明智的方式同它们奋斗。他不爱你，你为他挡一百颗子弹也没用。坐在电脑前，不知道做什么，却又不想关掉它。做不了决定的时候， 让时间帮你决定。如果还是无法决定，做了再说。宁愿犯错，不留遗憾。发现者，尤其是一个初出茅庐的年轻发现者，需要勇气才能无视他人的冷漠和怀疑，才能坚持自己发现的意志， 并把研究继续下去。我的本质不是我的意志的结果，相反，我的意志是我的本质的结果，因为我先有存在，后有意志，存在可以没有意志，但是没有存在就没有意志。公共的利益，人 类的福利，可以使可憎的工作变为可贵，只有开明人士才能知道克服困难所需要的热忱。立志用功如种树然，方其根芽，犹未有干；及其有干，尚未有枝；枝而后叶，叶而后花。意志 的出现不是对愿望的否定，而是把愿望合并和提升到一个更高的意识无论是美女的歌声，还是鬓狗的狂吠，无论是鳄鱼的眼泪，还是恶狼的嚎叫，都不会使我动摇。即使遇到了不幸的 灾难，已经开始了的事情决不放弃。最可怕的敌人，就是没有坚强的信念。既然我已经踏上这条道路，那么，任何东西都不应妨碍我沿着这条路走下去。意志若是屈从，不论程度如何， 它都帮助了暴力。有了坚定的意志，就等于给双脚添了一对翅膀。意志坚强，只有刚强的人，才有神圣的意志，凡是战斗的人，才能取得胜利。卓越的人的一大优点是：在不利和艰难 的遭遇里百折不挠。疼痛的强度，同自然赋于人类的意志和刚度成正比。能够岿然不动，坚持正见，度过难关的人是不多的。钢是在烈火和急剧冷却里锻炼出来的，所以才能坚硬和什 么也不怕。我们的一代也是这样的在斗争中和可怕的考验中锻炼出来的，学习了不在生活面前屈服。只要持续地努力，不懈地奋斗，就没有征服不了的东西。
1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念课件高二下学期数学人教A版选修22
度, 写成
lim
t 0
h(2
+
t) t
-
h(2)
.
即
lim
t 0
h(2
+
t) t
-
h(2)
=
-13.1.
2. 瞬时变化率
对于函数的平均变化率
y = f (x2 ) - f (x1) ,
x
x2 - x1
由△x=x2-x1 得 x2=△x+x1,
y = f (x + x1) - f (x1) .
x
x
当△x 很小很小时, △x+x1 就接近于 x1.
我们用符号
lim
x0
表示△x
趋近于零,
用平均变化
率的极限 lim y = lim f (x + x1) - f (x1)
x x0
x0
x
表示函数在 x1 处的瞬时变化率.
3. 导数
一般地, 函数 y=f(x) 在 x=x0 处的瞬时变化率是
lim f (x0 + x) - f (x0 ) = lim y ,
x0
x
x0 x
我们称它为函数 y=f(x) 在 x=x0 处的导数, 记作 f(x0)
或 y |x=x0, 即
f
(x0) =
lim
x0
f
(x0 + x)x
f
(x0) .
问题 1 中, 运动员在时间 t=2 时的瞬时速度就是 求函数 h(x) 在 t=2 时的导数.
导数可以描述任何物体的瞬时变化.
由导数的定义可知, 求函数 y = f (x)的导数的一般方法:
人教A版·高中数学·选修2-2 第一章
导数平均变化率课件
当一元函数的导数大于0时，函数图像在该区间内为凹形；当导数小于0时，函数 图像为凸形。因此，通过研究导数的符号变化，我们可以判断函数图像的凹凸性 。
导数与极值点
总结词
导数可以用来判断函数的极值点。
详细描述
函数在极值点处的导数为0，即一阶导数为0的点可能是极值点。此外，二阶导数的符号变化也可以用来判断极值 点的类型（极大值或极小值）。
02 导数在几何中的应用
导数与切线斜率
总结词
导数在几何中最重要的应用之一是表 示切线的斜率。
详细描述
在函数图像上任取一点，该点处的导 数即为切线的斜率。通过导数，我们 可以精确地描述函数图像在某一点的 切线斜率，进而研究函数的增减性。
导数与函数图像的凹凸性
总结词
导数的符号决定了函数图像的凹凸性。
谢谢聆听
03
隐函数求导
$frac{dy}{dx} = frac{-F(x)}{F(y)}$
幂函数的导数计算
$(x^n)' = nx^{n-1}$ $(x^{-n})' = -nx^{-n-1}$
$(x^{1/n})' = frac{1}{n}x^{-frac{1}{n}-1}$
对数函数、三角函数和反三角函数的导数计算
导数与平均变化率课 件
目录
• 导数与平均变化率的基本概念 • 导数在几何中的应用 • 平均变化率在实际问题中的应用 • 导数的计算方法与技巧 • 导数的应用实例分析
01 导数与平均变化率的基本概念
导数的定义与性质
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率，表示函数在该点的切线的斜率。
导数的性质
导数具有一些重要的性质，如线性性质、乘积法则、商的法则、链式法则等， 这些性质在研究函数的单调性、极值和曲线的形状等方面有广泛应用。
2020版高中数学人教B版选修2-2课件：1.1.1 函数的平均变化率
【解析】质点在2到2+Δt之间的平均速度为
［(2 t)2 1］ 22 1 4t (t)2
v
4 t.
t
t
又 v≤5,即4+Δt≤5,
所以Δt≤1.
又Δt>0,
所以Δt的取值范围为(0,1]. 答案:(0,1]
【易错误区案例】 求解函数的平均变化率问题 【典例】函数y=2x2+3x在[1,2]内的平均变化率为_-_9_.
y x
f x2 f x1
x2 x1
公式中Δx与Δy可能同号,也可能异号.
(3)×.函数值的改变量应是f(x0+Δx)-f(x0).
2.若已知函数f(x)=x2-1的图象上一点(1,0)及附近一 点(1+Δx,Δy),则Δy的值为________. 【解析】Δy=f(1+Δx)-f(1)= (1+Δx)2-1=(Δx)2+2Δx. 答案:(Δx)2+2Δx
33 3
所以函数f(x)=3-x2在x0=1附近的平均变化率最大.
【方法技巧】 比较平均变化率的方法步骤
(1)求出两不同点处的平均变化率. (2)作差(或作商),并对差式(或商式)作合理变形,以 便探讨差的符号(或商与1的大小). (3)下结论.
【补偿训练】一质点做直线运动,其位移s与时间t的 关系为s(t)=t2+1,该质点在2到2+Δt(Δt>0)之间的 平均速度不大于5,则Δt的取值范围是______.
为 f x1 f x2 ?
x1 x2
提示:能.若从x1变为x2,平均变化率为
若从x2变为x1,平均变化率为
而 f x2 =f x1 f x.1 f x2
f x1 f,
课件3：1.1.1 函数的平均变化率
C．0.43
D．0.44
解析：Δy＝f(2＋0.1)－f(2)＝2.12＋1－(22＋1)＝0.41.
答案：B
2．物体按照s(t)＝3t2＋t＋4的规律作直线运动，求在 4到4＋Δt之间的平均速度v. 解：Δs＝s(4＋Δt)－s(4) ＝3(4＋Δt)2＋(4＋Δt)＋4－(3×42＋4＋4) ＝25Δt＋3(Δt)2. ∴v＝ΔΔst＝25＋3Δt. 即物体在 4 到 4＋Δt 之间的平均速度为 25＋3Δt.
提示：从20 min到30 min变化快． 问题2：如何刻画体温变化的快慢？ 提示：用平均变化率． 问题3：平均变化率一定为正值吗？ 提示：不一定．可正，可负，可为零．
知识点解读
平均变化率
(1)定义：对一般的函数 y＝f(x)来说，当自变f量(x2x)－从f(xx21)变为 x2 时，函数值从 f(x1)变为 f(x2)，它的平均变化率为. x2－x1
其中自变量的变化 x2－x1 称作自变量的改变量，记作Δx ，
函数值的变化 f(x2)－f(x1) 称作函数值的改变量，记作Δy .这样，
函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变
f(x2)－f(x1)
量之比，即ΔΔxy＝
x2－x1 .
(2)作用：刻画函数值在 区间[x1，x2] 上变化的快慢.
瞬时变化率
(1)定义：对于一般的函数 y＝f(x)，在自变量 x 从 x0 变到 x1
的过程中，设 Δx＝x1－x0，Δy＝f(x1)－f(x0)，则函数的平均变化
率是ΔΔxy＝
fx1－fx0 ＝ x1－x0
fx0＋Δx－fx0 Δx
.而当 Δx趋于0
时，平
均变化率就趋于函数在 x0 点的瞬时变化率．
高中数学人教A版选修-学案第一章
Δs
Δt
∴在 t＝2 时，瞬时速度为 △li mx－0 Δt ＝4a,4a＝8，∴a＝2.
10．已知函数 f(x)＝Error!求 f′(4)·f′(－1)的值．
1
1
解：当 x＝4 时，Δy＝－
＋ 4＋Δx
4
1 ＝2－
1
4＋Δx－2 ＝
4＋Δx 2 4＋Δx
＝ 2
4＋Δx
Δx 4＋Δx＋2
.
7
Δy
②lim ΔΔyt＝lim[3t21＋3t1·Δt＋(Δt)2]＝3t12＝48，
故函数 y＝t3＋3 在 t1＝4 处的导数是 48，
即 y′|t1＝4＝48.
1．用导数定义求函数在某一点处的导数的步骤
(1)求函数的增量ΔΔyy＝f(x0＋Δx)－f(x0)；
(2)求平均变化率Δx＝f
x0＋Δx －f Δx
x0
；
(3)求极限 lim ΔΔxy.
2．瞬时变化率的变形形式
f x0＋Δx －f x0
lim
Δx
f x0－Δx －f x0
＝lim
－Δx
f x0＋nΔx －f x0
＝lim
nΔx
f x0＋Δx －f x0－Δx
＝lim
2Δx
＝f′(x0)．
[活学活用]
求函数 y＝x－1x在 x＝1 处的导数．
解
：因为
∴Δs＝s(Δt)－s(0)＝[3Δt－(Δt)2]－(3×0－02)＝3Δt－(Δt)2，
Δs 3Δt－ Δt
＝ Δt
Δt
2
＝3－Δt，lim
Δs＝lim Δt
(3－Δt)＝3.
∴物体的初速度为 3.
《平均变化率与导数》课件
02
导数
导数的定义
瞬时速度
导数被定义为函数在某一点处的切线的斜率，即 函数在该点的瞬时变化率。
几何意义
在几何上，导数表示曲线在某一点处的切线的斜 率。
函数变化
导数描述了函数在某一点附近的局部变化情况， 反映了函数在该点的变化趋势。
对于参数方程$x = x(t), y = y(t)$， 其导数为$frac{dy}{dx} = frac{y'(t)}{x'(t)}$。
05
导数的应用
利用导数研究函数的单调性
总结词
通过导数的符号，判断函数在某区间内的单调性。
详细描述
导数在某区间内的符号决定了函数在该区间内的单调性。如果导数大于0，则函数在该区间内单调递 增；如果导数小于0，则函数在该区间内单调递减。因此，利用导数可以方便地研究函数的单调性。
反函数求导法则
03
对于反函数$y = f^{-1}(x)$，其导数为$(f^{-1})' = frac{1}{f'}$
。
隐函数的导数计算
对数求导法则
对于隐函数$y = f(x)$满足$e^y = f(x)$，其导数为$frac{dy}{dx} = frac{f'(x)}{f(x)}$。
参数方程求导法则
详细描述
在解决实际问题时，如最优化问题、经济问 题等，可以利用导数来求解最优解。通过建 立数学模型，将实际问题转化为求函数的最 值问题，然后利用导数求出最优解，为实际 问题的解决提供理论支持。
THANKS
感谢观看
当自变量改变量趋于0时，平均变化率趋于导数，即导数是平 均变化率的极限形式。
1.1.1函数的平均变化率
称作函数y＝f(x)在区间[x0，x0＋Δx](或[x0＋Δx， x0])的平均变化率．
1．函数的平均变化率：已知函数y＝f(x)，x0，x1是其定义域
本 课
内不同的两点，记Δx＝ x1－x0 ，Δy＝y1－y0＝f(x1)－
A. 2Δt＋4 B. －2Δt＋4 C. 2Δt－4 D. －2Δt－4
解析：ΔΔst＝4－21＋ΔtΔ2t－4＋2×12
＝－4Δt－Δt 2Δt2
＝－2Δt－4. 答案：D
例 1 某婴儿从出生到第 12 个月的体重变化如图所示， 试分别计算从出生到第 3 个月与第 6 个月到第 12 个月 该婴儿体重的平均变化率．
本 课 时
y＝f(x)上任意不同的两点，函数 y＝f(x) 的平均变化率ΔΔyx＝fxx22－ －fx1x1＝fx1＋ΔΔxx－fx1
栏 目
为割线 AB 的斜率．
开 关
x1，x2 是定义域内不同的两点，因此 Δx≠0，但 Δx 可正也可
负；Δy＝f(x2)－f(x1)是相应 Δx＝x2－x1 的改变量，Δy 的值可
你能从数学的角度来反映山坡的 平缓和陡峭程度吗？
怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度？
假设如图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示平面直角坐标系.A 是出发点，H是山顶.爬山路线用函数y＝f(x)表示.
自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值y＝f(x)表示此时旅游者所在 的高度.设点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x2，y2).
(3)实质： 函数值 的改变量与 自变量 的改变量 之比 .
(4)作用：刻画函数在区间[x0，x0＋Δx](或[x0＋Δx，x0])上变化的快慢.
1.1.1函数的平均变化率
以用起点、 以用起点、终点的纵坐标之差与横坐标之
由此我们引出函数平均变化率的概念。 由此我们引出函数平均变化率的概念。 函数平均变化率的概念
函数平均变化率的概念： 函数平均变化率的概念： 一般地，已知函数y=f(x)，x0，x1是其定 一般地，已知函数 ， 义域内不同的两点， 义域内不同的两点，记△x=x1－x0， △y=y1－y0=f(x1)－f(x0)=f(x0+△x)－f(x0). － △ － 则当△x≠0时 则当△x≠0时，商
= 2x0 + ∆x
由上式可以看出， 取定值时， 由上式可以看出，当x0取定值时，△x 取不同的值，函数的平均变化率不同， 取不同的值，函数的平均变化率不同，当 取定值， 取不同的值时， △x取定值，x0取不同的值时，该函数的平 取定值 均变化率也不一样。 均变化率也不一样。 例如， 取正值，并不断增大时， 例如，x0取正值，并不断增大时，该函 数的平均变化率也不断地增大， 数的平均变化率也不断地增大，曲线变得 越来越陡峭。 越来越陡峭。
2. 一质点运动的方程为s=1－2t2，则在一 一质点运动的方程为 － 段时间[1， 内的平均速度为 内的平均速度为（ 段时间 ，2]内的平均速度为（ C ） A．－ ．－4 ．－ C． －6 ． B．－ ．－8 ．－ D．6 ．
3. 将半径为 的球加热，若球的半径增加 将半径为R的球加热 的球加热， 等于（ △R，则球的表面积增加△S等于（ B ） ，则球的表面积增加△ 等于 A． 8πR∆R ． B． 8πR∆R + 4π (∆R ) ．
1.1.1 函数的平均变化率
微积分主要与四类问题的处理相关: 微积分主要与四类问题的处理相关 一、已知物体运动的路程作为时间的函数, 已知物体运动的路程作为时间的函数 求物体在任意时刻的速度 加速度等 速度与 求物体在任意时刻的速度与加速度等; 曲线的切线; 二、求曲线的切线 求已知函数的最大值与最小值 最大值与最小值; 三、求已知函数的最大值与最小值 四、求长度、面积、体积和重心等。 长度、面积、体积和重心等 导数是微积分的核心概念之一它是研究 函数增减、变化快慢、最大（ 函数增减、变化快慢、最大（小）值等问 题最一般、最有效的工具。 题最一般、最有效的工具。
高中数学同步教学课件 函数的平均变化率
反思感悟
平均变化率问题在生活中随处可见，常见的有求某段时间内的平均速度、 加速度、膨胀率、经济效益等，分清自变量和因变量是解决此类问题的 关键.
跟踪训练 3 蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为 T＝t1＋205＋15，其中 T 为体温(单位：℃)，t 为太阳落山后的时间(单位：min)，则从 t＝0 到 t＝ 10，蜥蜴的体温的平均变化率为__－__1_.6___℃/min.
(1)先计算函数值的改变量y2－y1.
(2)再计算自变量的改变量x2－x1.
(3)最后求平均变化率
y2－y1 x2－x1.
跟踪训练 2 已知函数 f(x)＝－6x，则函数 f(x)在区间[1,1.5]，[1,1.1]上的平 均变化率各是多少？
∵f(x)＝－6x， ∴f(1)＝－6，f(1.5)＝－4，f(1.1)＝－6110， ∴该函数在区间[1,1.5]上的平均变化率为 f11.5.5－－1f1＝02.5＝4， 在区间[1,1.1]上的平均变化率为f11.1.1－ －f11＝－61010.1＋6＝6110.
率为a，则
A.v＝2154 m/s，a＝2154 m/s2
B.v＝－1245 m/s，a＝2154 m/s2
C.v＝2154 m/s，a＝－2154 m/s2
√D.v＝－1245 m/s，a＝－2154 m/s2
探测器与月球表面的距离逐渐减小，所以 v＝01－4×1 56000＝－2154(m/s)； 探测器的速度逐渐减小，所以 a＝01－4×1 56000＝－1245(m/s2).
，
因
为
s2 － s0>s1 － s0 ， t1 － t0>0 ， 所 以
st21－ －st00>st11－ －st00，故 C 正确，D 错误.
第一章 1.1.1~1.1.2导数
1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念明目标、知重点1．了解导数概念的实际背景．2．会求函数在某一点附近的平均变化率．3．会利用导数的定义求函数在某点处的导数．1．函数的变化率2.函数f (x )在x ＝x 0处的导数函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率称为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.[情境导学]某市2013年5月30日最高气温是33.4℃，而此前的两天5月29日和5月28日最高气温分别是24.4℃和18.6℃，短短两天时间，气温“陡增”14.8℃，闷热中的人们无不感叹：“天气热得太快了！”但是，如果我们将该市2013年4月28日最高气温3.5℃和5月28日最高气温18.6℃进行比较，可以发现二者温差为15.1℃，甚至超过了14.8℃，而人们却不会发出上述感慨，这是什么原因呢？显然原因是前者变化得“太快”，而后者变化得“缓慢”，那么在数学中怎样来刻画变量变化得快与慢呢？ 探究点一 平均变化率的概念 思考1 气球膨胀率很多人都吹过气球．回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径增加得越来越慢．从数学的角度，如何描述这种现象呢？答 气球的半径r (单位：dm)与体积V (单位：L)之间的函数关系是r (V )＝ 33V4π，(1)当空气容量V 从0增加到1 L 时，气球半径增加了 r (1)－r (0)≈0.62 (dm)，气球的平均膨胀率为r (1)－r (0)1－0≈0.62(dm/L)．(2)当空气容量V 从1 L 增加到2 L 时，气球半径增加了r (2)－r (1)≈0.16 (dm)，气球的平均膨胀率为r (2)－r (1)2－1≈0.16(dm/L)．可以看出，随着气球体积逐渐变大，它的平均膨胀率逐渐变小了． 结论 当空气容量从V 1增加到V 2时，气球的平均膨胀率是r (V 2)－r (V 1)V 2－V 1.思考2 高台跳水人们发现，在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h (单位：m)与起跳后的时间t (单位：s)存在函数关系 h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10.计算运动员在时间段①0≤t ≤0.5，②1≤t ≤2内的平均速度v ，并思考平均速度有什么作用？ 答 ①在0≤t ≤0.5这段时间里， v ＝h (0.5)－h (0)0.5－0＝4.05(m/s)；②在1≤t ≤2这段时间里， v ＝h (2)－h (1)2－1＝－8.2(m/s)．由以上计算体会到平均速度可以描述运动员在某段时间内运动的快慢．思考3 什么是平均变化率，平均变化率有何作用？思考1和思考2中的平均变化率分别表示什么？答 如果上述两个思考中的函数关系用y ＝f (x )表示，那么思考中的变化率可用式子f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1表示，我们把这个式子称为函数y ＝f (x )从x 1到x 2的平均变化率，平均变化率可以描述一个函数在某个范围内变化的快慢．思考1中的平均变化率表示在空气容量从V 1增加到V 2时，气球半径的平均增长率．思考2中的平均变化率表示在时间从t 1增加到t 2时，高度h 的平均增长率．思考4 平均变化率也可以用式子Δy Δx 表示，其中Δy 、Δx 的意义是什么？Δy Δx 有什么几何意义？答 Δx 表示x 2－x 1是相对于x 1的一个“增量”；Δy 表示f (x 2)－f (x 1)．Δx 、Δy 的值可正可负，Δy 也可以为零，但Δx 不能为零． 观察图象可看出，ΔyΔx 表示曲线y ＝f (x )上两点(x 1，f (x 1))、(x 2，f (x 2))连线的斜率．小结 平均变化率为Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1，其几何意义是：函数y ＝f (x )的图象上两点(x 1，f (x 1))、(x 2，f (x 2))连线的斜率．例1 已知函数f (x )＝2x 2＋3x －5.(1)求当x 1＝4，x 2＝5时，函数增量Δy 和平均变化率ΔyΔx ；(2)求当x 1＝4，x 2＝4.1时，函数增量Δy 和平均变化率Δy Δx； (3)若设x 2＝x 1＋Δx .分析(1)(2)题中的平均变化率的几何意义． 解 f (x )＝2x 2＋3x －5， ∴Δy ＝f (x 1＋Δx )－f (x 1)＝2(x 1＋Δx )2＋3(x 1＋Δx )－5－(2x 21＋3x 1－5) ＝2[(Δx )2＋2x 1Δx ]＋3Δx ＝2(Δx )2＋(4x 1＋3)Δx ＝2(Δx )2＋19Δx .Δy Δx ＝2(Δx )2＋19Δx Δx＝2Δx ＋19. (1)当x 1＝4，x 2＝5时，Δx ＝1， Δy ＝2(Δx )2＋19Δx ＝2＋19＝21，ΔyΔx ＝21.(2)当x 1＝4，x 2＝4.1时Δx ＝0.1， Δy ＝2(Δx )2＋19Δx ＝0.02＋1.9＝1.92. ΔyΔx＝2Δx ＋19＝19.2. (3)在(1)题中Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝f (5)－f (4)5－4，它表示抛物线上点P 0(4,39)与点P 1(5,60)连线的斜率． 在(2)题中，Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1＝f (4.1)－f (4)4.1－4，它表示抛物线上点P 0(4,39)与点P 2(4.1,40.92)连线的斜率． 反思与感悟 求平均变化率的主要步骤： (1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． (2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1.(3)得平均变化率Δy Δx ＝f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1.跟踪训练1 (1)计算函数h (x )＝－4.9x 2＋6.5x ＋10从x ＝1到x ＝1＋Δx 的平均变化率，其中Δx 的值为①2；②1；③0.1；④0.01.(2)思考：当|Δx |越来越小时，函数h (x )在区间[1,1＋Δx ]上的平均变化率有怎样的变化趋势？ 解 (1)∵Δy ＝h (1＋Δx )－h (1) ＝－4.9(Δx )2－3.3Δx ， ∴ΔyΔx＝－4.9Δx －3.3. ①当Δx ＝2时，ΔyΔx ＝－4.9Δx －3.3＝－13.1；②当Δx ＝1时，ΔyΔx ＝－4.9Δx －3.3＝－8.2；③当Δx ＝0.1时，ΔyΔx ＝－4.9Δx －3.3＝－3.79；④当Δx ＝0.01时，ΔyΔx＝－4.9Δx －3.3＝－3.349.(2)当|Δx |越来越小时，函数f (x )在区间[1,1＋Δx ]上的平均变化率逐渐变大，并接近于－3.3. 探究点二 函数在某点处的导数思考1 物体的平均速度能否精确反映它的运动状态？答 不能，如高台跳水运动员相对于水面的高度h 与起跳时间t 的函数关系h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，易知h (6549)＝h (0)，v ＝h (6549)－h (0)6549－0＝0，而运动员依然是运动状态．思考2 观察跟踪训练1，当Δx ＝0.000 01时，ΔyΔx ＝？这个平均速度能描述物体的运动状态吗？ 答ΔyΔx＝－4.9Δx －3.3＝－3.300 049，说明当时间间隔非常小的时候平均速度约等于一个常数，这个常数就是x ＝1这一时刻的速度．思考3 什么叫做瞬时速度？它与平均速度的区别与联系是什么？平均变化率与瞬时变化率的关系如何？答 可以使用瞬时速度精确描述物体在某一时刻的运动状态．如求t ＝2时的瞬时速度，可考察在t ＝2附近的一个间隔Δt ，当Δt 趋近于0时，平均速度v 趋近于lim Δt →0h (2＋Δt )－h (2)Δt，这就是物体在t ＝2时的瞬时速度．类似可以得出平均变化率与瞬时变化率的关系，我们把函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率 lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →0 ΔyΔx 叫做函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数． 思考4 导数或瞬时变化率反映函数变化的什么特征？答 导数或瞬时变化率可以反映函数在一点处变化的快慢程度． 小结 1.函数的瞬时变化率： 函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是 lim Δx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →0 Δy Δx . 2．函数在某点处的导数：我们称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即 f ′(x 0)＝lim Δx →0 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx＝lim Δx →0 ΔyΔx . 例2 利用导数的定义求函数f (x )＝－x 2＋3x 在x ＝2处的导数． 解 由导数的定义知，函数在x ＝2处的导数f ′(2)＝ lim Δx →0f (2＋Δx )－f (2)Δx，而f (2＋Δx )－f (2)＝－(2＋Δx )2＋3(2＋Δx )－(－22＋3×2)＝－(Δx )2－Δx ，于是f ′(2)＝lim Δx →0 －(Δx )2－ΔxΔx＝lim Δx →0 (－Δx －1)＝－1. 反思与感悟 求一个函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数的步骤如下： (1)求函数值的变化量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；(3)取极限，得导数f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔyΔx. 跟踪训练2 求函数f (x )＝3x 2－2x 在x ＝1处的导数． 解 Δy ＝3(1＋Δx )2－2(1＋Δx )－(3×12－2×1) ＝3(Δx )2＋4Δx ，∵Δy Δx ＝3(Δx )2＋4Δx Δx＝3Δx ＋4， ∴y ′|x ＝1＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0(3Δx ＋4)＝4. 例3 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热．如果在第x h 时，原油的温度(单位：℃)为y ＝f (x )＝x 2－7x ＋15(0≤x ≤8)．计算第2 h 和第6 h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义．解 在第2 h 和第6 h 时，原油温度的瞬时变化率就是f ′(2)和f ′(6)． 根据导数的定义，Δy Δx ＝f (2＋Δx )－f (2)Δx＝(2＋Δx )2－7(2＋Δx )＋15－(22－7×2＋15)Δx＝4Δx ＋(Δx )2－7Δx Δx ＝Δx －3，所以，f ′(2)＝lim Δx →0ΔyΔx ＝lim Δx →0(Δx －3)＝－3. 同理可得，f ′(6)＝5.在第2 h 和第6 h 时，原油温度的瞬时变化率分别为－3与5.它说明在第2 h 附近，原油温度大约以3 ℃/h 的速率下降；在第6 h 附近，原油温度大约以5 ℃/h 的速率上升． 反思与感悟 (1)本题中，f ′(x 0)反映了原油温度在时刻x 0附近的变化情况． (2)函数的平均变化率和瞬时变化率的关系：平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ，当Δx 趋于0时，它所趋于的一个常数就是函数在x 0处的瞬时变化率，即求函数的瞬时变化率是利用平均变化率“逐渐逼近”的方法求解．另外，它们都是用来刻画函数变化快慢的，它们的绝对值越大，函数变化得越快．跟踪训练3 高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h (单位：m)与起跳后的时间t (单位：s)之间的关系式为h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，求运动员在t ＝6598 s 时的瞬时速度，并解释此时的运动状况．解 令t 0＝6598，Δt 为增量．则h (t 0＋Δt )－h (t 0)Δt＝－4.9×⎝⎛⎭⎫6598＋Δt 2＋6.5×⎝⎛⎭⎫6598＋Δt ＋10＋4.9×⎝⎛⎭⎫65982－6.5×6598－10Δt＝－4.9Δt ⎝⎛⎭⎫6549＋Δt ＋6.5Δt Δt ＝－4.9⎝⎛⎭⎫6549＋Δt ＋6.5， ∴lim Δt →0h (t 0＋Δt )－h (t 0)Δt＝lim Δt →0[－4.9⎝⎛⎭⎫6549＋Δt ＋6.5]＝0， 即运动员在t 0＝6598s 时的瞬时速度为0 m/s.说明此时运动员处于跳水运动中离水面最高的点处．1．如果质点M 按规律s ＝3＋t 2运动，则在一小段时间[2，2.1]中相应的平均速度是( )． A ．4 B ．4.1 C ．0.41 D ．3 答案 B解析 v ＝(3＋2.12)－(3＋22)0.1＝4.1.2．函数f (x )在x 0处可导，则lim h →0 f (x 0＋h )－f (x 0)h( )A ．与x 0、h 都有关B ．仅与x 0有关，而与h 无关C ．仅与h 有关，而与x 0无关D ．与x 0、h 均无关 答案 B3．已知函数f (x )＝2x 2－1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1＋Δx,1＋Δy )，则ΔyΔx等于( )A ．4B ．4xC ．4＋2ΔxD ．4＋2(Δx )2答案 C解析 Δy ＝f (1＋Δx )－f (1)＝2(1＋Δx )2－1－1 ＝2(Δx )2＋4Δx ，∴ΔyΔx ＝2Δx ＋4.4．已知函数f (x )＝1x，则f ′(1)＝________. 答案 －12解析 f ′(1)＝lim Δx →0f (1＋Δx )－f (1)Δx＝lim Δx →0 11＋Δx－1Δx＝lim Δx →0－11＋Δx (1＋1＋Δx )＝－12.[呈重点、现规律]利用导数定义求导数三步曲：(1)求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ；(3)取极限，得导数f ′(x 0)＝lim Δx →0 Δy Δx. 简记为一差，二比，三趋近．特别提醒 ①取极限前，要注意化简ΔyΔx ，保证使Δx →0时分母不为0.②函数在x 0处的导数f ′(x 0)只与x 0有关，与Δx 无关． ③导数可以描述任何事物的瞬时变化率，应用非常广泛.一、基础过关1．函数y＝x2－2x＋1在x＝－2附近的平均变化率为()A．－6 B．Δx－6C．－2 D．Δx－2答案 B解析设y＝f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2，Δy＝f(－2＋Δx)－f(－2)＝(－2＋Δx－1)2－(－2－1)2＝(－3＋Δx)2－9＝(Δx)2－6Δx，所以ΔyΔx＝Δx－6，所以函数y＝x2－2x＋1在x＝－2附近的平均变化率为Δx－6.2．函数y＝1在[2,2＋Δx]上的平均变化率是()A．0 B．1 C．2 D．Δx答案 A解析ΔyΔx＝1－1Δx＝0.3．如果某物体的运动方程为s＝2(1－t2)(s的单位为m，t的单位为s)，那么其在1.2 s末的瞬时速度为()．A．－4.8 m/s B．－0.88 m/sC．0.88 m/s D．4.8 m/s答案 A解析物体运动在1.2 s末的瞬时速度即为s在1.2处的导数，利用导数的定义即可求得．4．一质点按规律s(t)＝2t3运动，则t＝1时的瞬时速度为()A ．4B ．6C ．24D ．48答案 B解析 ∵s ′(1)＝lim t →1 s (t )－s (1)t －1＝lim t →1 2t 3－2t －1＝lim t →12(t 2＋t ＋1)＝6. 5．已知函数y ＝2＋1x，当x 由1变到2时，函数的增量Δy ＝________. 答案 －12解析 Δy ＝⎝⎛⎭⎫2＋12－(2＋1)＝－12. 6.甲、乙两厂污水的排放量W 与时间t 的关系如图所示，治污效果较好的是( )A ．甲B ．乙C ．相同D ．不确定 答案 B解析 在t 0处，虽然W 1(t 0)＝W 2(t 0)，但是，在t 0－Δt 处，W 1(t 0－Δt )<W 2(t 0－Δt )，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪W 1(t 0)－W 1(t 0－Δt )Δt <⎪⎪⎪⎪⎪⎪W 2(t 0)－W 2(t 0－Δt )Δt ， 所以，在相同时间Δt 内，甲厂比乙厂的平均治污率小．所以乙厂治污效果较好．7．利用定义求函数y ＝－2x 2＋5在x ＝2处的瞬时变化率．解 因为在x ＝2附近，Δy ＝－2(2＋Δx )2＋5－(－2×22＋5)＝－8Δx －2(Δx )2，所以函数在区间[2,2＋Δx ]内的平均变化率为Δy Δx ＝－8Δx －2(Δx )2Δx ＝－8－2Δx . 故函数y ＝－2x 2＋5在x ＝2处的瞬时变化率为lim Δx →0 (－8－2Δx )＝－8.二、能力提升8．过曲线y ＝x 2＋1上两点P (1,2)和Q (1＋Δx,2＋Δy )作曲线的割线，当Δx ＝0.1时，割线的斜率k ＝______，当Δx ＝0.001时，割线的斜率k ＝________.答案 2.1 2.001解析 ∵Δy ＝(1＋Δx )2＋1－(12＋1)＝2Δx ＋(Δx )2，∴Δy Δx＝2＋Δx ， ∴割线斜率为2＋Δx ，当Δx ＝0.1时，割线PQ 的斜率k ＝2＋0.1＝2.1.当Δx ＝0.001时，割线PQ 的斜率k ＝2＋0.001＝2.001.9．一做直线运动的物体，其位移s 与时间t 的关系是s ＝3t －t 2，则物体的初速度是________． 答案 3解析 v 初＝s ′|t ＝0＝li m Δt →0 s (0＋Δt )－s (0)Δt＝li m Δt →0(3－Δt )＝3. 10．求y ＝x 在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率．解 因为Δy ＝x 0＋Δx －x 0，所以y ＝x 在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为Δy Δx ＝x 0＋Δx －x 0Δx ＝1x 0＋Δx ＋x 0.11．求函数y ＝f (x )＝2x 2＋4x 在x ＝3处的导数．解 Δy ＝2(3＋Δx )2＋4(3＋Δx )－(2×32＋4×3)＝12Δx ＋2(Δx )2＋4Δx ＝2(Δx )2＋16Δx ，∴Δy Δx ＝2(Δx )2＋16Δx Δx ＝2Δx ＋16. ∴y ′|x ＝3＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0(2Δx ＋16)＝16. 12．若函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，求a 的值．解 ∵f (1＋Δx )－f (1)＝a (1＋Δx )2＋c －a －c＝a (Δx )2＋2a Δx .∴f ′(1)＝lim Δx →0 f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝lim Δx →0 a (Δx )2＋2a Δx Δx＝lim Δx →0(a Δx ＋2a )＝2，即2a ＝2，∴a ＝1. 三、探究与拓展13．已知f (x )＝x 2，g (x )＝x 3，求满足f ′(x )＋2＝g ′(x )的x 的值．解由导数的定义知，f′(x)＝limΔx→0(x＋Δx)2－x2Δx＝2x，g′(x)＝limΔx→0(x＋Δx)3－x3Δx＝3x2.∵f′(x)＋2＝g′(x)，∴2x＋2＝3x2.即3x2－2x－2＝0，解得x＝1－73或x＝1＋73.。
函数的平均变化率课件
目录 Contents
• 函数平均变化率的概念 • 函数平均变化率的应用 • 函数平均变化率的性质 • 函数平均变化率的实例分析 • 总结与思考
01
函数平均变化率的概念
平均变化率的定义
01
平均变化率是指在一定区间内函 数值的改变量与自变量改变量的 比值，通常表示为函数在区间两 端点处的函数值的差的商。
函数平均变化率的重要性
理解函数单调性的基础
数学分析的基础
平均变化率是判断函数单调性的重要 依据，通过研究平均变化率，可以深 入理解函数的单调性。
平均变化率是微积分学中的基本概念 ，对于后续学习微积分、导数等数学 知识具有重要意义。
指导实际应用
在工程、经济、生物等领域中，平均 变化率的概念有着广泛的应用，如预 测模型、成本分析等。
。
幂函数的平均变化率
幂函数形式
$y = x^n$
平均变化率公式
$frac{Delta y}{Delta x} = nx^{n-1}$
实例分析
对于函数$y = x^3$，当$Delta x = 1$时，$Delta y = 3x^2$ ，所以平均变化率为$nx^{n-1} = 3x^2$。
05
总结与思考
02
它反映了函数在区间内整体变化 的趋势和速度，是函数在区间内 的一种平均性质。
平均变化率的意义
平均变化率可以用于分析函数的单调 性、凹凸性以及极值点等性质，是研 究函数的重要工具之一。
通过计算平均变化率，可以了解函数 在区间内的整体变化趋势，从而对函 数的性质进行初步判断。
平均变化率的计算方法
01
02
03
04
计算平均变化率需要找到函数 在区间两端点处的函数值，然 后相减得到函数值的改变量。
【学案】1_1_1函数的平均变化率
1.1导数的概念及其意义1.1.1函数的平均变化率学习目标核心素养1.通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程.2.会求函数在某一点附近的平均变化率．(重点)3.理解函数的平均变化率，瞬时变化率及瞬时速度的概念．(易混点) 1.通过对函数的平均变化率、瞬时变化率、瞬时速度的概念的学习，培养数学抽象的核心素养.2.通过求平均变化率、瞬时变化率及瞬时速度的学习，培养逻辑推理及数学运算的核心素养.1．高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h(m)与起跳后的时间t(s)存在函数关系h(t)＝－4.9t2＋6.5t＋10.那么如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态？2．很多人都吹过气球，回忆一下吹气球的过程，可以发现随着气球内空气容量的增加，气球半径增加越来越慢，那么如何描述这种现象呢？1．平均变化率对于函数y＝f (x)，从x1到x2的平均变化率：(1)自变量的改变量：Δx ＝x 2－x 1. (2)函数值的改变量：Δy ＝f (x 2)－f (x 1)．(3)平均变化率Δy Δx ＝211121((())))(f x f x f x x f x x x x-+∆-=-∆.思考：Δx ，Δy 以及平均变化率一定为正值吗？[提示] Δx ，Δy 可正可负，Δy 也可以为零，但Δx 不能为零，平均变化率ΔyΔx 可正可负可为零．2．瞬时速度与瞬时变化率(1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度．(2)函数f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是函数f (x )从x 0到x 0＋Δx 的平均变化率在Δx →0时的极限，即lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 00()()f x x f x x+∆-∆.3．曲线的切线斜率(1)设P 0(x 0，f (x 0))，P (x ，f (x ))是曲线y ＝f (x )上任意不同两点，则平均变化率00)()(f x f x x x --＝00()()f x x f x x+∆-∆为割线P 0P 的斜率．(2)当P 点逐渐靠近P 0点，即Δx 逐渐变小，当Δx →0时，瞬时变化率lim Δx →000()()f x x f x x +∆-∆就是y ＝f (x )在x 0处的切线的斜率即k ＝lim Δx →0 00()()f x x f x x+∆-∆.思考：曲线的切线与曲线有且只有一个公共点吗？[提示] 不是．二次曲线与其切线有且只有一个公共点，与其他曲线可能会有其他交点，只是在x ＝x 0附近有且只有一个公共点，而直线在某点处切线就是该直线．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)Δx 趋近于零时表示Δx ＝0． ( ) (2)平均变化率与瞬时变化率可能相等．( ) (3)瞬时变化率刻画某函数在某点处变化快慢的情况． ( )(4)函数y ＝f (x )在某x ＝x 0的切线斜率可写成k ＝lim Δx →000()()f x x f x x+∆-∆．( )[答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)√2．函数y ＝f (x )，自变量x 由x 0改变到x 0＋Δx 时，函数的改变量Δy 为( ) A ．f (x 0＋Δx ) B ．f (x 0)＋Δx C ．f (x 0)·ΔxD ．f (x 0＋Δx )－f (x 0)D [Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)，故选D.]3．若一质点按规律s ＝8＋t 2运动，则在一小段时间[2，2.1]内的平均速度是( )A ．4B ．4.1C ．0.41D ．－1.1B [v ＝Δs Δt ＝(2.1)(2)2.12s s --＝2.12－220.1＝4.1，故选B.]4．一辆汽车运动的速度为v (t )＝t 2－2，则该汽车在t ＝3时的加速度为________．6 [Δv Δt ＝22(3)2(32)t t +∆---∆＝2()6t t t ∆+∆∆＝6＋Δt ，当Δt →0时，Δv Δt →6，即汽车在t ＝3时加速度为6.]5．火箭发射t s 后，其高度(单位：m)为h (t )＝0.9t 2.那么t ＝________ s 时火箭的瞬时速度为3.6 m/s.2 [Δh Δt ＝22000.9()0.9t t t t +∆-∆＝201.8()()9t t t t+∆∆∆＝0.9Δt ＋1.8t 0.当Δt →0时Δh Δt→1.8 t 0.即t ＝t 0时的瞬时速度为1.8t 0，由1.8t 0＝3.6得t 0＝2.]求平均变化率【例1】 (1)如图，函数y ＝f (x )在[1，5]上的平均变化率为( )A ．12B ．－12 C ．2 D ．－2(2)函数y ＝－2x 2＋1在区间[1，1＋Δx ]内的平均变化率为________．(1)B (2)－4－2Δx [(1)Δy Δx ＝(5)(1)51f f --＝1－35－1＝－12.故选B.(2)Δy ＝－2(1＋Δx )2＋1－(－2×12＋1)＝－2Δx (2＋Δx )， 所以平均变化率为Δy Δx ＝2(2)x x x-∆+∆∆＝－4－2Δx .]1．求函数平均变化率的三个步骤 第一步，求自变量的改变量Δx ＝x 2－x 1； 第二步，求函数值的改变量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)； 第三步，求平均变化率Δy Δx ＝fx 2－f x 1x 2－x 1.2．求平均变化率的一个关注点 求点x 0附近的平均变化率，可用00()()f x x f x x+∆-∆的形式．[跟进训练]1．函数y ＝x 2从x 0到x 0＋Δx (Δx ＞0)的平均变化率为k 1，从x 0－Δx 到x 0的平均变化率为k 2，则k 1与k 2的大小关系是( )A ．k 1＞k 2B ．k 1＜k 2C ．k 1＝k 2D ．k 1与k 2的大小关系不确定A [∵函数y ＝f (x )＝x 2从x 0到x 0＋Δx 的改变量为Δy 1＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)＝(x 0＋Δx )2－x 20＝Δx (2x 0＋Δx )，∴k 1＝Δy 1Δx ＝2x 0＋Δx .∵函数y ＝f (x )＝x 2从x 0－Δx 到x 0的改变量为Δy 2＝f (x 0)－f (x 0－Δx )＝x 20－(x 0－Δx )2＝Δx (2x 0－Δx )，∴k 2＝Δy 2Δx ＝2x 0－Δx .∵k 1－k 2＝2Δx ，而Δx ＞0，∴k 1＞k 2.]求瞬时速度1．物体的路程s 与时间t 的关系是s (t )＝5t 2，如何计算物体在[1，1＋Δt ]这段时间内的平均速度？[提示] Δs ＝5(1＋Δt )2－5＝10Δt ＋5(Δt )2，v ＝ΔsΔt ＝10＋5Δt .2．当Δt 趋近于0时，探究1中的平均速度趋近于多少？怎样理解这一速度？ [提示] 当Δt 趋近于0时，ΔsΔt 趋近于10，这时的平均速度即为当t ＝1时的瞬时速度．【例2】 某物体的运动路程s (单位：m)与时间t (单位：s)的关系可用函数s (t )＝t 2＋t ＋1表示，求物体在t ＝1 s 时的瞬时速度．[思路探究] 计算物体在[1，1＋Δt ]内的平均速度ΔsΔt――――→令Δt →0计算lim Δt →0ΔsΔt ―→得t ＝1 s 时的瞬时速度[解] ∵Δs Δt ＝(1)(1)s t s t+∆-∆＝22(1)(1)1(111)t t t+∆++∆+-++∆＝3＋Δt ，∴lim Δt →0 ΔsΔt ＝lim Δt →0(3＋Δt )＝3. ∴物体在t ＝1处的瞬时变化率为3. 即物体在t ＝1 s 时的瞬时速度为3 m/s.1．(变结论)在本例条件不变的前提下，试求物体的初速度． [解] 求物体的初速度，即求物体在t ＝0时的瞬时速度． ∵Δs Δt ＝(0)(0)s t s t+∆-∆＝2(0)(0)11t t t+∆++∆+-∆＝1＋Δt ，∴lim Δt →0(1＋Δt )＝1.∴物体在t ＝0时的瞬时变化率为1， 即物体的初速度为1 m/s.2．(变结论)在本例条件不变的前提下，试问物体在哪一时刻的瞬时速度为9m/s.[解]设物体在t0时刻的瞬时速度为9 m/s.又ΔsΔt＝00()()s t t s tt+∆-∆＝(2t0＋1)＋Δt.lim Δt→0ΔsΔt＝limΔt→0(2t0＋1＋Δt)＝2t0＋1.则2t0＋1＝9，∴t0＝4.则物体在4 s时的瞬时速度为9 m/s.求运动物体瞬时速度的三个步骤设非匀速直线运动中物体的位移随时间变化的函数为s＝s t，则求物体在t＝t0时刻的瞬时速度的步骤如下：1写出时间改变量Δt，位移改变量Δs00)()(s s t t s t∆=+∆-.2求平均速度：v＝Δs Δt.3求瞬时速度v：当Δt→0时，ΔsΔt→v常数.求函数在某点的切线斜率及方程【例3】(1)已知函数y＝x－1x，则该函数在点x＝1处的切线斜率为________．(2)求曲线f (x)＝x2＋1在点P(1，2)处的切线的斜率，并求出切线方程．[思路探究](1)x＝1处的瞬时变化率即为斜率．(2)求x＝1时瞬时变化率―→切线斜率―→切线的方程(1)2[∵Δy＝(1＋Δx)－11＋Δx－⎝⎛⎭⎪⎫1－11＝Δx＋1－11＋Δx＝Δx＋Δx1＋Δx，∴ΔyΔx＝Δx＋Δx1＋ΔxΔx＝1＋11＋Δx，∴斜率k＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx→0⎝⎛⎭⎪⎫1＋11＋Δx＝1＋1＝2.](2)[解]显然点P(1，2)在曲线上，根据导数的几何意义，可知切线的斜率为k＝limΔx→0(1)(1)f x fx+∆-∆＝limΔx→022 (1)1(11)xx+∆+-+∆＝limΔx→02()2x xx∆+∆∆＝limΔx→0(Δx＋2)＝2.故切线方程为y－2＝2(x－1)，即y＝2x.求函数y＝f (x)在点x0处的导数的三个步骤[跟进训练]2．求函数y＝4x2在x＝2处的切线方程．[解]∵Δy＝4Δx＋22－422＝4Δx＋22－1＝－22()42x xx∆+∆∆+，∴ΔyΔx＝－Δx＋4Δx＋22，∴k ＝lim Δx →0 ΔyΔx ＝lim Δx →0 －Δx －4Δx ＋22＝－44＝－1.又x ＝2时y ＝422＝1.∴切线方程为y －1＝－1×(x －2)，即x ＋y －3＝0.1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的切线斜率反映了函数在该点处的瞬时变化率，它揭示了事物在某时刻的变化情况．即：k ＝lim Δx →0 Δy Δx ＝lim Δx →0 00()()f x x f x x+∆-∆＝lim x →x 000)()(f x f x x x --.2．瞬时速度与平均速度的区别和联系区别：瞬时速度是刻画物体在某一时刻的运动状态，而平均速度则是刻画物体在一段时间内的运动状态，与该段时间内的某一时刻无关．联系：瞬时速度是平均速度在变化时间趋近于0时的极限值．1．一物体的运动方程是s ＝3＋2t ，则在[2，2.1]这段时间内的平均速度是( ) A ．0.4 B ．2 C ．0.3D ．0.2B [v ＝(2.1)(2)2.12s s --＝4.2－40.1＝2.]2．物体自由落体的运动方程为s (t )＝12gt 2，g ＝9.8 m/s 2，若v ＝lim Δt →0s 1＋Δt－s 1Δt＝9.8 m/s ，那么下列说法中正确的是( )A ．9.8 m/s 是物体从0 s 到1 s 这段时间内的速率B ．9.8 m/s 是1 s 到(1＋Δt )s 这段时间内的速率C ．9.8 m/s 是物体在t ＝1 s 这一时刻的速率D ．9.8 m/s 是物体从1 s 到(1＋Δt )s 这段时间内的平均速率 C [结合平均变化率与瞬时变化率可知选项C 正确．]3．已知函数f (x)＝2x2－1的图象上一点(1，1)及其附近一点(1＋Δx，f (1＋Δx))，则ΔyΔx等于________．4＋2Δx[Δy＝f (1＋Δx)－f (1)＝2(1＋Δx)2－1－(2×12－1)＝4Δx＋2(Δx)2，∴ΔyΔx＝2Δx＋4.]4．设函数f (x)在x＝1处切线斜率为2，则limΔx→0(1)(1)3f x fx+∆-∆＝________.23[根据条件知k＝limΔx→0(1)(1)3f x fx+∆-∆＝2，∴limΔx→0(1)(1)3f x fx+∆-∆＝13limΔx→0(1)(1)f x fx+∆-∆＝23.]5．已知函数f (x)＝3x2＋5，求f (x)：(1)从0.1到0.2的平均变化率；(2)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率．[解](1)因为f (x)＝3x2＋5，所以从0.1到0.2的平均变化率为3×0.22＋5－3×0.12－50.2－0.1＝0.9.(2)f (x0＋Δx)－f (x0)＝3(x0＋Δx)2＋5－(3x20＋5)＝3x20＋6x0Δx＋3(Δx)2＋5－3x20－5＝6x0Δx＋3(Δx)2.函数f (x)在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为263()x x xx∆+∆∆＝6x0＋3Δx.。