2019版高考数学(理)高分计划一轮狂刷练：第5章 数列 5-4a

[重点保分 两级优选练]
A 级
一、选择题
1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 2＝10，S 5＝55，则a n ＋100＋a n －98＝( )
A ．8n ＋6
B ．4n ＋1
C ．8n ＋3
D ．4n ＋3
答案　A
解析　设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝na 1＋d ，由
n (n －1)
2
S 2＝10，S 5＝55，可得
Error!
得Error!所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝4n －1，则a n ＋100＋a n －98＝2a n ＋1＝8n ＋6.故选A.
2．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足－＝1，则
S 3
3S 2
2数列{a n }的公差是( )
A ．1
B ．2
C ．4
D ．6
答案　B
解析　由－＝1得S 3
3S 2
2－＝a 1＋d －
＝＝1，所以d ＝2.故选B.
a 1＋a 2＋a 33a 1＋a 2
2
2a 1＋d 2
d
23．若两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别是S n ，T n ，已知＝，则＝( )
Sn
Tn 7n
n ＋3a 5b 5
A. B. 23278C ．7 D.214
答案　D
解析　＝＝＝＝＝＝.故选D.
a 5
b 52a 5
2b 5a 1＋a 9
b 1＋b 99(a 1＋a 9)
2
9(b 1＋b 9)
2
S 9
T 97×9
9＋321
44．已知函数f (n )＝Error!且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 100等于( )
A ．0
B ．100
C ．－100
D ．102
答案　B
解析　由题意，得
a 1＋a 2＋…＋a 100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012＝－(1＋2)＋(3＋2)－…－(99＋100)＋(101＋100)＝100.故选B.
5．已知数列{a n }满足a n ＋1＝＋，且a 1＝，则该数列1
2an －a 2
n 1
2的前2018项的和等于( )
A ．1512
B ．1513
C ．1513.5
D ．2018
答案　C
解析　因为a 1＝，又a n ＋1＝＋，1
21
2an －a 2
n 所以a 2＝1，从而a 3＝，a 4＝1，12即得a n ＝Error!故数列的前2018项的和
S 2018
＝1009×
＝1513.5.故选C.(1＋1
2)6．在数列{a n }中，已知对任意
n ∈N *，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ＝3n －1，则a ＋a ＋a ＋…＋a 等于( )2
12232n A ．(3n －1)2 B.(9n －1)1
2C ．9n －1 D.(3n －1)
14答案　B
解析　因为a 1＋a 2＋…＋a n ＝3n －1，所以
a 1＋a 2＋…＋a n －1＝3n －1－1(n ≥2)．则n ≥2时，a n ＝2×3n －1.当n ＝1时，a 1＝3－1＝2，适合上式，所以
a n ＝2×3n －1(n ∈N *)．则数列{a }是首项为4，公比为9的等比数2n 列．故选B.
7．设直线nx ＋(n ＋1)y ＝(n ∈N *)与两坐标轴围成的三角形面2积为S n ，则S 1＋S 2＋…＋S 2017的值为( )
A.
B.
2014201520152016C. D.2016201720172018答案　D
解析　直线与x 轴交于，与y 轴交于
，∴S n ＝·
(2n
，0
)
(
0，
2
n ＋1)
1
2·＝＝－.
2n 2n ＋11n (n ＋1)1n 1n ＋1∴原式＝＋＋…＋＝1－＝.(1－1
2)(12－1
3)(1
2017－1
2018)1
20182017
2018故选D.
8．已知{a n }为等比数列，S n 是它的前n 项和．若a 3a 5＝a 1，且
1
4a 4与a 7的等差中项为，则S 5等于( )
98A ．35 B ．33 C ．31 D ．29
答案　C
解析　设等比数列{a n }的公比是q ，所以a 3a 5＝a q 6＝a 1，得2
11
4a 1q 6＝，即a 7＝.又a 4＋a 7＝2×，解得a 4＝2，所以q 3＝＝，
141498a 7a 418所以q ＝，a 1＝16，故S 5＝＝
＝31.故选C.
1
2a 1(1－q 5)1－q
16(1－
1
32
)
1－
12
9．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则下列说法中一定成立的是( )
A ．若a 3>0，则a 2017<0
B ．若a 4>0，则a 2018<0
C ．若a 3>0，则S 2017>0
D ．若a 4>0，则S 2018>0
答案　C
解析　等比数列{a n }的公比q ≠0.对于A ，若a 3>0，则a 1q 2>0，所以a 1>0，所以a 2017＝a 1q 2016>0，所以A 不成立；对于B ，若a 4>0，则a 1q 3>0，所以a 1q >0，所以a 2018＝a 1q 2017>0，所以B 不成立；
对于C ，若a 3>0，则a 1＝>0，所以当q ＝1时，S 2017>0，当q ≠1
a 3
q 2时，S 2017＝
>0(1－q 与1－q 2017同号)，所以C 一定成立，
a 1(1－q 2017)
1－q
易知D 不一定成立．故选C.
10．在数列{a n }中，a n >0，a 1＝，如果a n ＋1是1与1
2
的等比中项，那么a 1＋＋＋＋…＋的值是( )
2anan ＋1＋14－a 2n a 222a 332a 442a 100
1002A. B. 10099101
100C. D.10010199100答案　C
解析　由题意，可得a ＝⇒(2a n ＋1＋a n a n ＋1＋1)
2n ＋
12anan ＋1＋1
4－a 2n
(2a n ＋1－a n a n ＋1－1)＝0⇒a n ＋1＝⇒a n ＋1－1＝⇒＝
1
2－an an －12－an 1
an ＋1－1－1，∴＝－(n －1)＝－n －1⇒a n ＝⇒＝
1an －11
an －111
2
－1
n
n ＋1an
n 2＝－，∴a 1＋＋…＋＝1－＋－＋…＋－1n (n ＋1)1
n 1n ＋1a 2
22a 100
10021
2121
31
100＝.故选C.
1
101100101二、填空题
11．S n ＝1＋11＋111＋…＋11…＝________.
1
n 个答案　
10n ＋1－9n －1081解析　∵a n ＝(10n －1)，1
9∴S n ＝1＋11＋111＋...＋11 (1)
n 个＝[(10－1)＋(102－1)＋…＋(10n －1)]1
9＝[(10＋102＋…＋10n )－n ]
19
＝＝
.19
[
10(10n －1)9
－n
]
10n ＋1－9n －10
8112．数列{a n }满足：a 1＝，且a n ＋1＝(n ∈N *)，则＋4
34(n ＋1)an
3an ＋n 1
a 1＋＋…＋＝________.
2
a 23a 32018
a 2018答案　2017＋2
31
3×42018
解析　由题意可知＝＋·⇒－1＝，又
n ＋1an ＋13
414n
an n ＋1
an ＋114(n
an －1)－1＝－，所以数列是以－为首项，以为公比的等比数
1a 114{n an －1}141
4列，所以＝1－，
n
an 1
4n 所以＋＋＋…＋＝n －
＝n －＋·，
1
a 12
a 23
a 3n
an 1
4(1－1
4n
)1－1
413131
4n 则＋＋＋…＋＝2018－＋×＝2017＋
1a 12a 23a 32018
a 2018131314201823.
13×4201813．设f (x )＝，利用课本中推导等差数列前n 项和的公式1
2x ＋2的方法，可求得f (－5)＋f (－4)＋…＋f (0)＋…＋f (5)＋f (6)的值为________．
答案　32
解析　∵6＋(－5)＝1，∴f (－5)，f (－4)，…，f (5)，f (6)共有11＋1＝12项．
由f (－5)，f (6)；f (－4)，f (5)；…；f (0)，f (1)共有6对，且该数
列为等差数列．
又f (0)＋f (1)＝＋＝＋＝＝1
1＋21
2＋21
1＋21
2(1＋2)2＋1
2(1＋2)＝，
1
22
2∴f (－5)＋f (－4)＋…＋f (6)＝6×＝3.
2
2214．已知数列{a n }的各项均为正整数，其前n 项和为S n ，若a n ＋1＝Error!且S 3＝10，则S 2016＝________.
答案　6720
解析　当a 1为奇数时，a 2＝，此时若a 2为奇数，则a 3＝a 1＋1
2
＝
＝
，∴S 3＝a 1＋
＋＝＝10，
a 2＋12a 1＋1
2＋12
a 1＋34
a 1＋12a 1＋347a 1＋54
解得a 1＝5，此时数列{a n }为5,3,2,5,3,2，….当a 1为奇数时，a 2＝
，此时若a 2为偶数，则a 3＝3a 2－1＝
－1＝
，
a 1＋123(a 1＋1)
2
3a 1＋12
∴S 3＝a 1＋＋
＝3a 1＋1＝10，解得a 1＝3，此时数列
a 1＋123a 1＋12
{a n }为3,2,5,3,2,5，….当a 1为偶数时，a 2＝3a 1－1，此时a 2为奇数，
则
a 3＝
＝
＝，∴S 3＝a 1＋3a 1－1＋＝a 1－1＝a 2＋12(3a 1－1)＋12
3a 1
23a 1
211
210，解得a 1＝2，此时数列{a n }为2,5,3,2,5,3，….上述三种情况中，数列{a n }均为周期数列．
∵672×3＝2016，∴S 2016＝672S 3＝6720.
B 级
三、解答题
15．已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且满足S n －2a n ＝n －4.(1)证明：{S n －n ＋2}为等比数列；(2)求数列{S n }的前n 项和T n .
解　(1)证明：由题意知S n －2(S n －S n －1)＝n －4(n ≥2)，即S n ＝2S n －1－n ＋4，
所以S n －n ＋2＝2[S n －1－(n －1)＋2]，又易知a 1＝3，所以S 1－1＋2＝4，
所以{S n －n ＋2}是首项为4，公比为2的等比数列．(2)由(1)知S n －n ＋2＝2n ＋1，所以S n ＝2n ＋1＋n －2，
于是T n ＝(22＋23＋…＋2n ＋1)＋(1＋2＋…＋n )－2n ＝＋4(1－2n )
1－2－2n ＝
.
n (n ＋1)2
2n ＋3＋n 2－3n －82
16．已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a ＝2S n ＋n ＋4，a 2－1，a 3，a 7恰为等比数列{b n }的前3项．2n ＋
1(1)求数列{a n }，{b n }的通项公式；
(2)若c n ＝－，求数列{c n }的前n 项和T n .
log2bn
bn 1
anan ＋1解　(1)因为a ＝2S n ＋n ＋4，所以a ＝2S n －1＋n －1＋4(n ≥2)，2n ＋
12n 两式相减得a －a ＝2a n ＋1，所以a ＝a ＋2a n ＋1＝(a n ＋1)2n ＋
12n 2n ＋12n 2，
所以a n ＋1－a n ＝1.
又a ＝(a 2－1)a 7，所以(a 2＋1)2＝(a 2－1)(a 2＋5)，解得a 2＝3，2
3又a ＝2a 1＋1＋4，所以a 1＝2，所以{a n }是以2为首项，1为公差2的等差数列，所以a n ＝n ＋1.故b 1＝2，b 2＝4，b 3＝8，所以b n ＝2n .
(2)由(1)得，c n ＝－，
n
2n 1
(n ＋1)(n ＋2)故
T n
＝c 1
＋c 2
＋…＋c n
＝－Error!＋＋…＋Error!.(12＋24
＋…＋n 2n )1
3×4设F n ＝＋＋…＋，则F n ＝＋＋…＋，作差得
1
224n 2n 12122223n
2n ＋1F n ＝＋＋…＋－，
1
21212212n n
2n ＋1所以F n ＝2－.
n ＋2
2n 设G n ＝＋＋…＋＝－＋－＋…＋1
2×31
3×41
(n ＋1)(n ＋2)1213131
4－＝－，所以T n ＝2－－＝－＋1n ＋11n ＋2121n ＋2n ＋22n (12－
1n ＋2)
32n ＋2
2n .
1
n ＋217．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－4，S m ＝0，S m ＋2＝14(m ≥2，且m ∈N *)．
(1)求m 的值；
(2)若数列{b n }满足＝log 2b n (n ∈N *)，求数列{(a n ＋6)·b n }的前an
2n 项和．
解　(1)由已知得，a m ＝S m －S m －1＝4，且a m ＋1＋a m ＋2＝S m ＋2－S m ＝14，
设数列{a n }的公差为d ，则有2a m ＋3d ＝14，∴d ＝2.
由S m ＝0，得ma 1＋×2＝0，即a 1＝1－m ，
m (m －1)
2
∴a m ＝a 1＋(m －1)×2＝m －1＝4，
∴m ＝5.
(2)由(1)知a 1＝－4，d ＝2，∴a n ＝2n －6，
∴n －3＝log 2b n ，得b n ＝2n －3，∴(a n ＋6)·b n ＝2n ·2n －3＝n ·2n －2.设数列{(a n ＋6)·b n }的前n 项和为T n ，
则T n ＝1×2－1＋2×20＋…＋(n －1)×2n －3＋n ×2n －2，①2T n ＝1×20＋2×21＋…＋(n －1)×2n －2＋n ×2n －1，②①－②，得
－T n ＝2－1＋20＋…＋2n －2－n ×2n －1＝－n ×2n －1＝2n －1－
2－1(1－2n )
1－2
－n ×2n －1，
1
2∴T n ＝(n －1)×2n －1＋(n ∈N *)．
1
218．在等比数列{a n }中，a 1>0，n ∈N *，且a 3－a 2＝8，又a 1，a 5
的等比中项为16.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝log 4a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，是否存在正整数
k ，使得＋＋＋…＋<k 对任意n ∈N *恒成立，若存在，求出1
S 11
S 21
S 31
Sn 正整数k 的最小值；若不存在，请说明理由．
解　(1)设数列{a n }的公比为q ，由题意可得a 3＝16，a 3－a 2＝8，则a 2＝8，q ＝2，a 1＝4，所以a n ＝2n ＋1.
(2)b n ＝log 42n ＋1＝，
n ＋1
2S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝.
n (n ＋3)4＝＝，
1Sn 4n (n ＋3)43(1n －
1
n ＋3)
所以＋＋＋…＋1S 11S 21S 31
Sn
＝
4
3
(1
1
－
1
4
＋
1
2
－
1
5
＋
1
3
－
1
6
＋…＋
1
n
－
1
n＋3
)
＝
4
3
(1＋1
2
＋
1
3
－
1
n＋1
－
1
n＋2
－
1
n＋3
)
＝×－×
4
3
11
6
4
3
(1
n＋1
＋
1
n＋2
＋
1
n＋3
)
＝－×.
22
9
4
3
(1
n＋1
＋
1
n＋2
＋
1
n＋3
)
当n＝1时，＝1<2<；
1
S1
22
9
当n≥2时，＋＋…＋
1
S1
1
S2
1
Sn
＝－<<3.
22
9
4
3
(1
n＋1
＋
1
n＋2
＋
1
n＋3
)22
9
故存在k＝3时，对任意的n∈N*都有＋＋＋…＋<3.
1
S1
1
S2
1
S3
1
Sn。