【全国百强校】河北省衡水中学2017届高三下学期第二次摸底考试理数试题解析(原卷版)

河北省衡水中学2017届高三下学期第二次摸底考试
数学（理）试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，或，则（）
A. B. C. D.
2. 若复数满足为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（）
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
3. 某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一人、高二人、高三人中，抽取
人进行问卷调查.已知高一被抽取的人数为，那么高三被抽取的人数为（）
A. B. C. D.
4. 已知命题；命题，则下列命题中为真命
题的是（）
A. B. C. D.
5. 《九章算术》中有如下问题：“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆，径几何？”其大意：“已知直角三角形两直角边长分别为步和步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随机投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（）
A. B. C. D.
6. 若实数满足条件，则的最大值为（）
A. B. C. D.
7. 已知，则二项式的展开式中的常数项为（）
A. B. C. D.
8. 已知奇函数的导函数的部分图象如图所示，是最高点，且是边长为的正三角形，那么（）
A. B. C. D.
9. 如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）
A. B.
C. D.
10. 执行如图所示的程序框图，输出的值等于（）
A. B.
C. D. ...
11. 椭圆的左焦点为，上顶点为，右顶点为，若的外接圆圆心
在直线的左下方，则该椭圆离心率的取值范围为（）
A. B. C. D.
12. 已知是函数的导函数，且对任意的实数都有是自然对数的底数），，若不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是（）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 已知，若，则__________．
14. 在中，分别为角的对边，，若，则
__________．
15. 已知点分别是双曲线的左、右焦点，为坐标原点，点在双曲线的右支上，且满足，则双曲线的焦点的取值范围为__________．
16. 点为正方体的内切球球面上的动点，点为上一点，
，若球的体积为，则动点的轨迹的长度为__________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知数列满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）设以为公比的等比数列满足），求数列
的前项和.
18. 如图是某市2017年3月1日至16日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于表示空气质量优良，空气质量指数大于表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月14日中的某一天到达该市.
（1）若该人到达后停留天（到达当日算1天)，求此人停留期间空气质量都是重度污染的概率；
（2）若该人到达后停留3天(到达当日算1天〉，设是此人停留期间空气重度污染的天数，求的分布列与数学期望.
19. 如图，四棱锥中，平面平面，底面为梯形，
，且与均为正三角形，为的重心.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成锐二面角的正切值.
20. 已知抛物线的焦点为为上位于第一象限的任意一点，过点的直线交
于另一点，交轴的正半轴于点.
（1）若，当点的横坐标为时，为等腰直角三角形，求的方程；
（2）对于（1）中求出的抛物线，若点，记点关于轴的对称点为交轴于点，且，求证：点的坐标为，并求点到直线的距离的取值范围.
21. 设函数）.
（1）若直线和函数的图象相切，求的值；
（2）当时，若存在正实数，使对任意都有恒成立，求的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22. 选修4-4：坐标系与参数方程...
在直角坐标系中中，曲线的参数方程为为参数，）. 以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线的极坐标方程为.
（1）设是曲线上的一个动点，当时，求点到直线的距离的最大值；
（2）若曲线上所有的点均在直线的右下方，求的取值范围.
23. 选修4-5：不等式选讲
已知定义在上的函数，且恒成立.
（1）求实数的值；
（2）若，求证：.。