状态反馈控制器设计

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由能控性，可得
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爱克曼公式：
例 对传递函数描述的二阶系统
，确定
一个状态反馈控制律，使得闭环极点位于
解 期望闭环多项式：
对象的状态空间实现：
能控性矩阵：
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爱克曼公式：
关于极点配置问题：
1。n个极点，以共轭对的形式出现；
2。主导极点；
3。考虑到零点的影响；
对一般的系统，设法化成特殊系统分析算法的可行性。
从能控系统入手，以3阶能控标准型为例：
状态反馈控制律：
得到的闭环系统是
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其特征多项式是
期望的闭环特征多项式
要实现极点配置，须
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结论：
对3阶能控标准型系统，极点配置问题可解；
导出了极点配置状态反馈控制律；
极点配置状态反馈控制律是惟一的。
因此闭环系统有稳态误差
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考虑系统
参考输入
外部扰动
问题：在存在扰动下，使输出跟踪设定值。
定义误差向量：
引入偏差的积分：
引入增广系统
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对增广系统设计状态反馈控制律
使得闭环系统是稳定的
求拉氏变换，得到
参考输入和外部扰动都是阶跃信号时，由终值
定理
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即 x 和 q 趋向于常值。从而
状态和输出反馈均可保持闭环系统的能控性；
输出反馈保持闭环系统的能观性，但状态反馈不能；
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利用系统的信息多，所能达到的性能好。
5.2 稳定化状态反馈控制器设计
基于李雅普诺夫稳定性理论设计稳定化控制器
系统模型：
控制律：
闭环系统：
闭环系统渐近稳定的充分必要条件是：
即李雅普诺夫稳定性定理
关键的问题：如何确定以上的矩阵K 和P。
4。系统响应速度并非越快越好；
5。单输入系统，极点配置不影响零点分布；
6。单输入能控系统，控制器惟一，多输入则不惟一；
7。区域极点配置。
不足：需要用到全部状态。
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5.3.5 应用MATLAB求解极点配置问题
提供了两个函数：
acker:基于爱克曼公式，单输入系统，多重极点
place:多输入系统，相同极点个数不超过B的秩
解决方法：考虑新的实现。串连分解
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状态空间实现是
直接法
反馈增益矩阵
闭环特征多项式
期望特征多项式
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比较后可得
极点配置状态反馈控制器是
变换法
确定变换矩阵
极点配置状态反馈增益矩阵
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直接法和变换法得到的结果是一致的。说明了惟一性。
例 对系统设计状态反馈控制器，使得闭环系统渐
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展开矩阵方程，得到
求取一个正定的解矩阵
对任意的
，稳定化控制律：
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5.3 极点配置
系统性能：稳态性能和动态性能
稳态性能：稳定性、静态误差
动态性能：调节时间、振荡、超调、上升时间...
系统稳定性的决定因素：系统极点
影响动态性能的因素：二阶系统（极点位置）
高阶系统（一对主导极点）
例 对系统
设计状态反馈控制，使得闭环系统的极点是-2和-3
闭环特征多项式：
期望特征多项式：
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比较可得：
极点配置状态反馈控制律：
闭环系统状态变量图：
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以上的方法可以推广到n阶能控标准型模型
问题：对一般状态空间模型，如何解极点配置？
思路：考虑能控状态空间模型
将能控状态空间模型等价地转化为能控标准型
必要条件：
：输入的个数不能小于输出的个数
：所有的测量输出都是独立的。
跟踪外部参考输入的控制律是
积分比例控制器
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针对前面的例子，再来设计一个状态反馈控制
器，不仅使得闭环系统具有理想的过渡过程特
性，而且还能无静差地跟踪阶跃参考输入。
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设计要求：保持原闭环极点－4，－5；
要求的状态反馈增益矩阵
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闭环系统：
单位阶跃响应：
峰值时间为0.4到0.5秒
5.3.4 爱克曼（Ackermann）公式
极点配置状态状态反馈增益矩阵K的解析表达式
闭环系统特征多项式：
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闭环矩阵满足
问题：如何从以上的关系式来确定增益矩阵K？
从关系式
分别乘以
，再相加可得
结论：反馈可以改变系统的动态特性。
定理5.1.1 状态反馈不改变系统的能控性。
例 考虑系统在状态反馈
下的闭环系统
能控能观性。
结论：能控，不能观。
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状态反馈使得闭环系统产生了零极点的对消。
定理5.1.2输出反馈不改变系统的能控能观性。
定理5.1.3状态反馈不改变单输入单输出系统零点
5.1.3 两种反馈形式的讨论：
趋于零。
针对增广系统，设计状态反馈控制律，只要闭
环系统渐近稳定，则系统无静态误差。
若需要系统有一定的过渡过程特性，极点配置！
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要求：增广系统是能控性的。
定理 增广系统能控的充分必要条件是
（1）原来系统是能控的
（2）
证明：
其中
由原系统的能控性 ⇒
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量线性无关。
的行向
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定理 对一个能控系统，可以通过状态反馈任意配
置闭环系统极点。
理论上可以证明：若一个系统可以通过状态反馈
任意配置极点，那么它一定是能控的。
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5.3.3 极点配置状态反馈控制器的设计算法
给定系统模型
和闭环极点
1。检验系统的能控性；
2。根据
确定参数
3。确定转化为能控标准型的变换矩阵
4。确定期望特征多项式系数
对单输入系统，所得的K是一致的
K=acker(A,B,J)
K=place(A,B,J)
检验：eig(A-B*K)
极点配置的优点：
可以改善系统的稳定性、动态性能
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5.4 跟踪控制器设计
极点配置的优点：改善系统的稳定性、动态性能
那么，对稳态性能、静态误差等的影响？
例 已知被控对象的状态空间模型为
近稳定，
且闭环系统的输出超调量
系统的一个状态空间模型
，峰值时间
系统能控，故可以通过状态反馈任意配置极点。
系统无开环零点，闭环系统性能完全由极点决定！
一对主导极点：
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ζ和
是二阶系统的阻尼比和无阻尼自振频率
可得
取
则
为保证主导极点，第3个极点选为
期望特征多项式：
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原模型等价变换为能控标准型
第5章 状态反馈控制器设计
√ 建立了状态空间模型
√ 提出了基于状态空间模型的运动分析
√ 探讨了系统的定性分析：
稳定性、能控性、能观性
设计控制系统！
开环控制、闭环控制
经典控制中，用系统输出作为反馈控制器的入；
根据系统信息：状态反馈、输出反馈。
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5.1 线性反馈控制系统
系统模型
5.1.1 反馈控制系统结构。
增加的增广闭环系统极点－8。
利用 MATLAB 可得 K=[-17.6667 13.0000 53.3333]
跟踪控制律
单位阶跃响应：
改善动态性能；
消除静态误差。
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5。确定极点配置反馈增益矩阵
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例
已知被控系统的传递函数是
设计一个状态反馈控制器，使闭环极点是-2,-1±j
解 确定能控标准型实现
状态反馈控制器
闭环多项式：
期望多项式：
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实现极点配置的条件：
极点配置状态反馈控制器是
分析：优点：能控标准型使得计算简单；
缺点：能控标准型的状态难以直接测量；
结论：极点影响系统的稳定性和动态性能
5.3.1 问题的提出
闭环系统：
根据系统性能要求确定闭环极点
求矩阵K，使得
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，
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5.3.2 极点配置问题可解的条件和方法
在什么条件下，极点配置问题可解？即存在使
得闭环系统具有给定极点的控制器。
如何设计具有给定闭环极点的控制器？
解决问题的思路：首先对特殊的系统讨论；
如何从能控标准型模型的解导出一般模型的极
点配置控制器。
Hale Waihona Puke 精选可编辑ppt15系统模型
假定该状态空间模型是能控的，则存在线性变换
其中
对能控标准型和给定的极点
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可得极点配置状态反馈增益矩阵
，
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即：
问题：目前的增益矩阵用到变换后的状态。
如何得到适合于原来模型的控制律呢？
利用特征值的关系：
v为外部输入；
控制器：动态补偿器、静态反馈控制器。
状态反馈控制器：
K称为是状态反馈增益矩阵。
闭环系统：
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静态线性输出反馈控制：
若v表示系统的参考输入，用
代替，
可得
用输出误差来校正系统。当
时，状态
反馈变为输出反馈。一类特殊输出反馈。
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5.1.2 反馈控制的性质
在静态反馈下，闭环系统矩阵变为
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5.2.1 黎卡提方程处理方法
如何使
是闭环系统李雅普诺夫方程？
矩阵P是对称的，
若选取
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控制器设计转化为以下矩阵方程的求解问题：
（黎卡提矩阵方程）
优点：若对给定的常数，以上矩阵方程有解，
则对任意的
都是系统的稳
定化控制律。
结论：正无穷大的稳定增益裕度！
例 设计系统的一个稳定化状态反馈控制律
设计状态反馈控制律，使得闭环极点为-4和-5，
并讨论闭环系统的稳态性能。
期望的闭环特征多项式是
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所要设计的状态反馈增益矩阵是
相应的闭环系统状态矩阵
闭环传递函数
当参考输入为单位阶跃时，输出的稳态值
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开环系统是稳定的，且开环传递函数
开环系统的稳态误差
开环系统是无静差的。闭环系统的稳态输出