四川省2017年高考理科数学试题及答案

四川省2017年高考理科数学试题及答案
（考试时间:120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题：本大题共12小题,每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。

1．已知集合A={
}
22
(,)1x y x y +=│
，B={}
(,)x y y x =│，则A B 中元素的个数为
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
2．设复数z 满足(1+i)z=2i ，则∣z ∣= A ．
1
2
B ．
22
C ．2
D ．2
3．某城市为了解游客人数的变化规律,提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．
根据该折线图，下列结论错误的是 A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加
C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月份
D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小,变化比较平稳 4．（x +y )（2x -y )5
的展开式中x 3
y 3
的系数为
A ．—80
B ．-40
C ．40
D ．80
5． 已知双曲线C ：22221x y a b
-= （a ＞0，b ＞0）的一条渐近线方程为5
y x =，且与椭圆
22
1123
x y += 有公共焦点，则C 的方程为 A ．
221810x y -= B ．22145x y -= C ．22154x y -= D ．22
143
x y -= 6．设函数f(x ）=cos （x+
3
π
），则下列结论错误的是 A ．f （x)的一个周期为−2π
B ．y=f （x ）的图像关于直线x=83
π
对称 C ．f （x+π)的一个零点为x=6
π
D ．f （x ）在(
2
π
，π)单调递减 7．执行下面的程序框图,为使输出S 的值小于91，
则输入的正整数N 的最小值为 A ．5 B ．4
C ．3
D ．2
8．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为
A ．π
B ．
3π4
C ．
π2
D ．
π4
9．等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{}n a 前6项的和为 A ．—24
B ．-3
C ．3
D ．8
10．已知椭圆C:22
221x y a b
+=，（a 〉b 〉0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线
20bx ay ab -+=相切,则C 的离心率为
A ．
63
B ．
33
C ．
23
D ．
13
11．已知函数2
1
1()2()x x f x x x a e
e --+=-++有唯一零点，则a=
A ．12
-
B ．
13
C ．
12
D ．1
12．在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP =λ AB +μAD ，
则λ+μ的最大值为
A．3 B．
C
D．2
二、填空题:本题共4小题，每小题5分,共20分。

13．若x，y满足约束条件
y0
20
x
x y
y
-≥
⎧
⎪
+-≤
⎨
⎪≥
⎩
，则z34
x y
=-的最小值为__________．
14．设等比数列{}n a满足a1 + a2 = –1, a1– a3 = –3，则a4 = ___________．
15．设函数
10
()
20
x
x x
f x
x
+≤
⎧
=⎨
>
⎩
，，
，，
则满足
1
()()1
2
f x f x
+->的x的取值范围是_________。

16．a,b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：
①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；
②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；
③直线AB与a所称角的最小值为45°;
④直线AB与a所称角的最小值为60°；
其中正确的是________.(填写所有正确结论的编号）
三、解答题:共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每个试题考生
都必须作答。

第22、23题为选考题,考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）
△ABC的内角A，B,C的对边分别为a，b，c，已知
，
，b=2．
（1）求c;
(2）设D为BC边上一点，且AD⊥ AC，求△ABD的面积．
18．（12分)
某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位:℃）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间［20，25）,需求量为300瓶；如果最高气温低于20,需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六
月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表： 最高气温
［10，15） ［15,20） ［20，25） ［25，30) ［30，35） ［35,40)
天数
2
16
36
25
7
4
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。

（1)求六月份这种酸奶一天的需求量X （单位：瓶)的分布列；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y （单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量n(单位:瓶）
为多少时，Y 的数学期望达到最大值？
19．（12分)
如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形，∠ABD=∠CBD,AB=BD ．
（1)证明:平面ACD ⊥平面ABC ；
（2)过AC 的平面交BD 于点E ，若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分,求二面角D –AE –C
的余弦值．
20．(12分)
已知抛物线C ：y 2
=2x ，过点(2，0）的直线l 交C 与A,B 两点,圆M 是以线段AB 为直径的圆． （1)证明：坐标原点O 在圆M 上；
(2）设圆M 过点P （4，-2)，求直线l 与圆M 的方程． 21．（12分）
已知函数()f x =x ﹣1﹣alnx ． （1)若()0f x ≥ ，求a 的值；
(2）设m 为整数,且对于任意正整数n,21
111++
1+)222
n ()(1)(﹤m ，求m 的最小值． （二)选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。

22．［选修4
4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为2+,
,x t y kt =⎧⎨=⎩
(t 为参数)，直线l 2的参数方程为
2,,x m m m y k =-+⎧⎪
⎨
=⎪⎩
（为参数）．设l 1与l 2的交点为P,当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ． （1)写出C 的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3
=0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径． 23．[选修4
5：不等式选讲]（10分）
已知函数f （x ）=│x+1│–│x–2│． （1）求不等式f （x ）≥1的解集；
（2）若不等式f （x ）≥x 2
–x +m 的解集非空,求m 的取值范围．
更多免费有关高考免费资料请加Q 。

Q 群613441314
参考答案
一、选择题：
1．B 2．C 3．A 4．C 5．B 6．D 7．D 8．B 9．A 10．A 11．C 12．A
11、【解析】由条件，211()2(e e )x x f x x x a --+=-++，得：
221(2)1211211(2)(2)2(2)(e e )
4442(e e )2(e e )
x x x x x x f x x x a x x x a x x a ----+----+-=---++=-+-+++=-++
∴(2)()f x f x -=，即1x =为()f x 的对称轴， 由题意，()f x 有唯一零点， ∴()f x 的零点只能为1x =， 即21111(1)121(e e )0f a --+=-⋅++=， 解得12
a =
． 12、【解析】由题意，画出右图．
设BD 与C 切于点E ，连接CE ． 以A 为原点，AD 为x 轴正半轴,
AB 为y 轴正半轴建立直角坐标系,
则C 点坐标为(2,1)． ∵||1CD =，||2BC =．
∴BD = ∵BD 切C 于点E ． ∴CE ⊥BD ．
∴CE 是Rt BCD △中斜边BD 上的高．
1
2||||
22||||||BCD BC CD S EC BD BD ⋅⋅⋅====△即C
∵P 在C 上． ∴P 点的轨迹方程为
224(2)(1)5x y -+-=
．
设P 点坐标00(,)x y ，可以设出P 点坐标满足的参数方程如下:
()
A O D
x
y
B
P
C
E
00225cos 5215sin 5x y θθ⎧
=+⎪⎪⎨
⎪=+⎪⎩
而00(,)AP x y =，(0,1)AB =，(2,0)AD =． ∵(0,1)(2,0)(2,)AP AB AD λμλμμλ=+=+= ∴015
1cos 25
x μθ=
=+，0215sin 5y λθ==+． 两式相加得：
2225
15sin 1cos 55
255
2(
)()sin()55
2sin()3λμθθθϕθϕ+=+
++=+++=++≤ （其中5sin 5ϕ=，25
cos 5
ϕ=） 当且仅当π
2π2
k θϕ=
+-，k ∈Z 时，λμ+取得最大值3． 二、填空题：
13． 1- 14． 8- 15．1,4⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
16．②③
16、【解析】由题意知,a b AC 、、三条直线两两相互垂直，画出图形如图．
不妨设图中所示正方体边长为1， 故||1AC =，2AB =，
斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转,则A 点保持 不变,
B 点的运动轨迹是以
C 为圆心，1为半径的圆．
以C 为坐标原点，以CD 为x 轴正方向，CB 为
y 轴正方向，
CA 为z 轴正方向建立空间直角坐标系．
则(1,0,0)D ，(0,0,1)A ,
直线a 的方向单位向量(0,1,0)a =，||1a =．
B 点起始坐标为(0,1,0)，
直线b 的方向单位向量(1,0,0)b =，||1b =． 设B 点在运动过程中的坐标(cos ,sin ,0)B θθ'，
其中θ为B C '与CD 的夹角，[0,2π)θ∈．
那么'AB 在运动过程中的向量(cos ,sin ,1)AB θθ'=--，||2AB '=． 设AB '与a 所成夹角为π
[0,]2
α∈，
则(cos ,sin ,1)(0,1,0)
cos sin |a AB θθαθ--⋅=
∈'
． 故ππ
[,]42
α∈,所以③正确,④错误．
设AB '与b 所成夹角为π
[0,]2
β∈，
cos (cos ,sin ,1)(1,0,0)cos |AB b b AB b AB βθθθ'⋅=
'
-⋅='
=
.
当AB '与
a 夹角为60
︒时，即π3
α=， sin
3
2
π
θα===
． ∵2
2cos sin 1θθ+=， ∴|cos |2
θ=． ∴1cos |cos |22
βθ=
=． ∵π
[0,]2
β∈．
∴π
=
3
β，此时AB '与b 夹角为60︒． ∴②正确，①错误．
三、解答题：
17．(1）由sin 0A A =得π2sin 03A ⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭，
即()π
π3
A k k +=∈Z ，又()0,πA ∈， ∴π
π3
A +
=,得2π3A =.
由余弦定理2222cos a b c bc A =+-⋅.
又∵1
2,cos 2
a b A ===-代入并整理得
()
2
125c +=，故4c =。

(2) ∵2,4AC BC AB ===，
由余弦定理222cos 2a b c C ab +-==
∵AC AD ⊥，即ACD △为直角三角形，
则cos AC CD C =⋅，得CD =
由勾股定理AD 又2π3A =
,则2πππ326
DAB ∠=
-=, 1π
sin 26
ABD S AD AB =
⋅⋅=△
18．⑴易知需求量x 可取200,300,500 ()2161
2003035P X +===⨯ ()362
3003035P X ===⨯ ()25742
5003035
P X ++==
=⨯.
则分布列为：
⑵ ①当200n ≤时：()642Y n n =-=，此时max 400Y =，当200n =时取到.
②当200300n <≤时：()()41
22002200255Y n n =
⋅+⨯+-⋅-⎡⎤⎣
⎦ 880026800555
n n n -+=+=
此时max 520Y =,当300n =时取到.
③当300500n <≤时，
()()()()122
20022002300230022555Y n n n =⨯+-⋅-+⨯+-⋅-+⋅⋅⎡⎤⎡⎤⎣
⎦⎣⎦
320025
n
-=
此时520Y <.
④当500n ≥时，易知Y 一定小于③的情况。

综上所述：当300n =时，Y 取到最大值为520。

19．
⑴ 取AC 中点为O ,连接BO ，DO ；
ABC ∆为等边三角形
∴BO AC ⊥ ∴AB BC =
AB BC BD BD
ABD DBC =⎧⎪
=⎨⎪∠=∠⎩
ABD CBD ∴∆≅∆。

∴AD CD =,即ACD ∆为等腰直角三角形，ADC ∠ 为直角又O 为底边AC 中点 ∴DO AC ⊥
令AB a =，则AB AC BC BD a ====
易得：2OD =
，OB = ∴2
2
2
OD OB BD +=
由勾股定理的逆定理可得2
DOB π
∠=
即OD OB ⊥
OD AC
OD OB AC OB O AC ABC OB ABC
⊥⎧⎪⊥⎪⎪
=⎨⎪⊂⎪⊂⎪⎩平面平面OD ABC ∴⊥平面 又∵OD ADC ⊂平面 由面面垂直的判定定理 可得ADC ABC ⊥平面平面 ⑵ 由题意可知V V D ACE B ACE --=
即B ,D 到平面ACE 的距离相等 即E 为BD 中点
D
A
B
C E
O
以O 为原点，OA 为x 轴正方向,OB 为y 轴正方向，OD 为z 轴正方向，设AC a =， 建立空间直角坐标系， 则()0,0,0O ,,0,02a A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，0,0,2a D ⎛⎫ ⎪⎝⎭,30,,02B a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，30,,44a E a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
易得：3,,244a a AE a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭
，,0,22a a AD ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，,0,02a OA ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 设平面AED 的法向量为1n ，平面AEC 的法向量为2n ，
则1100AE n AD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，解得()
13,1,3n = 2200AE n OA n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，解得()
20,1,3n =- 若二面角D AE C --为θ，易知θ为锐角，
则12127cos 7
n n n n θ⋅=
=⋅
20．⑴ 显然,当直线斜率为0时,直线与抛物线交于一点，不符合题意．
设:2l x my =+,11(,)A x y ，22(,)B x y ，
联立：222y x x my ⎧=⎨=+⎩得2240y my --=， 2416m ∆=+恒大于0，122y y m +=,124y y =-．
12(2)(2)my my =++
21212(1)2()4m y y m y y =++++
24(1)2(2)4m m m =-+++0=
∴，即O 在圆M 上．
⑵ 若圆M 过点P ，则
1212(4)(4)(2)(2)0x x y y --+++=
1212(2)(2)(2)(2)0my my y y --+++=
21212(1)(22)()80m y y m y y +--++=
化简得2210m m --=解得12
m =-或1
①当12
m =-时，:240l x y +-=圆心为00(,)Q x y ， 120122y y y +==-,0019224
x y =-+=，
半径||r OQ ==则圆229185:()()4216
M x y -++= ②当1m =时，:20l x y --=圆心为00(,)Q x y ，
12012
y y y +==，0023x y =+=，
半径||r OQ ==则圆22:(3)(1)10M x y -+-=
21．⑴ ()1ln f x x a x =--,0x > 则()1a x a f x x x
-'=-=，且(1)0f = 当0a ≤时，()0f x '>，()f x 在()0+∞，上单调增，所以01x <<时，()0f x <,不满足题意； 当0a >时，
当0x a <<时，()0f x '<，则()f x 在(0,)a 上单调递减；
当x a >时，()0f x '>,则()f x 在(,)a +∞上单调递增．
①若1a <，()f x 在(,1)a 上单调递增∴当(,1)x a ∈时()(1)0f x f <=矛盾 ②若1a >，()f x 在(1,)a 上单调递减∴当(1,)x a ∈时()(1)0f x f <=矛盾 ③若1a =，()f x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增∴()(1)0f x f =≥满足题意 综上所述1a =．
⑵ 当1a =时()1ln 0f x x x =--≥即ln 1x x -≤
则有ln(1)x x +≤当且仅当0x =时等号成立 ∴11ln(1)22
k k +<,*k ∈N 一方面：221111111ln(1)ln(1)...ln(1) (112222222)
n n n ++++++<+++=-<， 即2111(1)(1)...(1)e 222
n +++<． 另一方面:223111111135(1)(1)...(1)(1)(1)(1)222222264
n +++>+++=>
当3n ≥时，2111(1)(1)...(1)(2,e)222
n +++∈ ∵*m ∈N ，2111(1)(1)...(1)222
n m +++<， ∴m 的最小值为3．
22．⑴ 将参数方程转化为一般方程
()1:2l y k x =- ……①
()21:2l y x k
=+ ……② ①⨯②消k 可得:224x y -=
即P 的轨迹方程为224x y -=;
⑵将参数方程转化为一般方程
3:0l x y +-= ……③
联立曲线C 和3
l 2204x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩
解得x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 由cos sin x y ρθρθ
=⎧⎨=⎩
解得ρ=即M
．
23．⑴ ()|1||2|f x x x =+--可等价为()3,121,123,2--⎧⎪=--<<⎨⎪⎩
x f x x x x ≤≥.由()1f x ≥可得： ①当1-x ≤时显然不满足题意；
②当12x -<<时,211-x ≥,解得1x ≥；
③当2x ≥时，()31=f x ≥恒成立.综上，()1f x ≥的解集为{}|1x x ≥.
⑵ 不等式()2-+f x x x m ≥等价为()2-+f x x x m ≥，
令()()2g x f x x x =-+,则()g x m ≥解集非空只需要()max ⎡⎤⎣⎦g x m ≥。

而()2223,131,123,2⎧-+--⎪=-+--<<⎨⎪-++⎩
x x x g x x x x x x x ≤≥。

①当1-x ≤时,()()max 13115g x g =-=---=-⎡⎤⎣⎦； ②当12x -<<时，()2
max 3335312224g x g ⎛⎫⎛⎫==-+⋅-=⎡⎤ ⎪ ⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭； ③当2x ≥时，()()2max
22231g x g ==-++=⎡⎤⎣⎦. 综上，()max 5
4g x =⎡⎤⎣⎦，故5
4m ≤。