山东省临沂市临沭县实验中学2021年高三数学理月考试卷含解析

山东省临沂市临沭县实验中学2021年高三数学理月考试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1.
已知的图象如下左图所示，则的表达式为（）
A． B．
C． D．
参考答案：
答案：B
2. 已知函数的导函数为，且满足，则
（）
A. B. C.
D.参考答案：
C
略
3. 已知复数m=4﹣xi，n=3+2i，若复数∈R，则实数x的值为（）
A．﹣6 B．6 C．D．﹣
参考答案：
D
【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．
【分析】把m=4﹣xi，n=3+2i代入，然后由复数代数形式的乘除运算化简，再结合已知条件求解即可得答案．
【解答】解：由m=4﹣xi，n=3+2i，
得==，
∵复数∈R，
∴，解得x=．
故选：D．
4. 已知集合A={x|y=}，集合B={x|x≥2}，A∩B=（）
A．[0，3] B．[2，3] C．[2，+∞） D．[3，+∞）
参考答案：
B
【考点】交集及其运算．
【分析】化简集合A，根据交集的定义写出A∩B即可．
【解答】解：集合A={x|y=}={x|3﹣x≥0}={x|x≤3}，
集合B={x|x≥2}，
则A∩B={x|2≤x≤3}=[2，3]．
故选：B．
【点评】本题考查了交集的定义与应用问题，是基础题目．
5.
若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为
（）
A．B．C．D．
参考答案：
B
【考点】L!：由三视图求面积、体积．
【分析】根据由已知底面是正三角形的三棱柱的正视图，我们可得该三棱柱的底面棱长为2，高为1，进而求出底面外接圆半径r，球心到底面的球心距d，球半径R，代入球的表面积公式．即可求出球的表面积．
【解答】解：由已知底面是正三角形的三棱柱的正视图
我们可得该三棱柱的底面棱长为2，高为1
则底面外接圆半径r=，球心到底面的球心距d=
则球半径R2==
则该球的表面积S=4πR2=
故选B
【点评】本题考查的知识点是由三视图求表面积，其中根据截面圆半径、球心距、球半径满足勾股定理计算球的半径，是解答本题的关键．
6. 已知（1+）2=a+bi（a，b∈R，i为虚数单位），则a+b=
A．﹣4 B． 4 C．﹣7 D．7
参考答案：
考点：复数代数形式的乘除运算．
专题：数系的扩充和复数．
分析：根据复数相等，求出a，b的值，然后利用复数的几何意义即可得到结论．解答：解：由（1+）2=a+bi得1+﹣4=a+bi，
即﹣3﹣4i=a+bi，
则a=﹣3，b=﹣4，
解得a=1，b=2，
则a+b=﹣3﹣4=﹣7，
故选：C
点评：本题主要考查复数的基本运算，利用复数相等求出a，b是解决本题的关键，比较基础．7. 已知S—ABC是正四面体，M为AB的中点，则SM与BC所成的角的余弦值为（） A． B． C． D．
参考答案：
B
略
8. 已知点在角的终边上，则的值为( )
A. B. C. D.
参考答案：
D
9. 复数的共轭复数为（）
A．B．C．D．
参考答案：
C
10. 的展开式中常数项为 ( )
A. B. C. D.
参考答案：
B
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 阅读右面的程序框图.若使输出的结果不大于31，则输入的整数的最大值
为
．
参考答案：
5
12. 若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则的值为▲；若该平面区域存在点使成立，则实数的取值范围是▲ .
参考答案：
，
13. 设双曲线的离心率为2，且一个焦点与抛物线的焦点相同，则此双曲线的方程为____.
参考答案：
14. 下图一回形图，其回形通道的宽和OB1的长均为l，且各回形线之间或相互平行、或相互垂直．设回形线与射线OA交于A1, A2，A3,…，从点O到点 A1的回形线为第1圈（长为7），从点A1到点A2的回形线为第2圈，从点A2到点A3的回形线为第3圈…，依此类推，第8圈的长为
__________。

参考答案：
63
15. 以表示值域为的函数组成的集合，表示具有如下性质的函数组成的集合：对于函
数，存在一个正数，使得函数的值域包含于区间例如，当
时，.现有如下命题：
① 设函数的定义域为，则“”的充要条件是
“”；
② 函数的充要条件是有最大值和最小值；
③ 若函数的定义域相同，且，则；
④ 若函数有最大值，则.
其中的真命题有（写出所有命题的序号）
参考答案：
16. 如图，点M 为扇形的弧的四等分点即，动点分别在线段
上，且
若
，
，则
的最小是 ．
参考答案：
连结OM ，设
OC=a ，则
OD=1-a
由余弦定理可得：
17. 在△ABC 中，若 ．
参考答案：
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知函数f （x ）=lnx ﹣x 2+ax ，
（1）当x∈（1，+∞）时，函数f （x ）为递减函数，求a 的取值范围；
（2）设f'（x ）是函数f （x ）的导函数，x 1，x 2是函数f （x ）的两个零点，且x 1＜x 2，求证
（3）证明当n≥2时，
．
参考答案：
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
【分析】（1）求出函数的导数，问题转化为即a≤2x﹣恒成立，求出a 的范围即可；
（2）求出a ，得到f′（
）=
﹣
，问题转化为证明
＞ln
，
令t=
，∵0＜x 1＜x 2，∴0＜t ＜1，即证明u （t ）=
+lnt ＜0在0＜t ＜1上恒成立，根据函
数的单调性证明即可；
（3）令a=1，得到lnx≤x 2
﹣x ，得到x ＞1时，＞，分别令x=2，3，4，5，…n，累加
即可．
【解答】（1）解：∵x∈（1，+∞）时，函数f （x ）为递减函数， ∴f′（x ）=﹣2x+a≤0在（1，+∞）恒成立， 即a≤2x﹣恒成立，
而y=2x ﹣在（1，+∞）递增， 故2x ﹣＞1， 故a≤1；
（2）证明：∵f（x）的图象与x轴交于两个不同的点A（x1，0），B（x2，0），
∴方程lnx﹣x2+ax=0的两个根为x1，x2，
则 lnx1﹣+ax1=0，①，lnx2﹣+ax2=0，②，
两式相减得a=（x1+x2）﹣，
又f（x）=lnx﹣x2+ax，f′（x）=﹣2x+a，
则f′（）=﹣（x1+x2）+a=﹣，要证﹣＜0，
即证明＞ln，
令t=，∵0＜x1＜x2，∴0＜t＜1，
即证明u（t）=+lnt＜0在0＜t＜1上恒成立，
∵u′（t）=，
又0＜t＜1，∴u'（t）＞0，
∴u（t）在（0，1）上是增函数，则u（t）＜u（1）=0，
从而知﹣＜0，
故f′（）＜0成立；
（3）证明：令a=1，由（1）得：f（x）在（1，+∞）递减，
∴f（x）=lnx﹣x2+x≤f（1）=0，
故lnx≤x2﹣x，x＞1时，＞，
分别令x=2，3，4，5，…n，
故++…+＞++…+=1﹣，
∴++…+＞1﹣，
即左边＞1﹣＞1，得证．
19. （本小题满分13分）
设函数
（Ⅰ）求函数的最小正周期及在区间上的值域；
（Ⅱ）记的内角A，B，C的对边分别为，若，求角C的值。

参考答案：
解：（I）
………………………………3分
的最小正周期为………………………………………………4分因为，所以,所以值域为………7分
（II）由（I）可知，
,
…………………………………………………………8分
得到……………………………………………………9分且…………………………………………………10分
, …………………………………………11分
，……………………………………………12分
………………………………………………………13分
略
20. 椭圆的左、右焦点分别为、，直线经过点与椭圆交于两点。

（1）求的周长；（2）若的倾斜角为，求的面积。

参考答案：
（1）由椭圆的定义，得，，
又，所以的周长为。

又因为，所以，故的周长为。

（2）由条件，得，因为的倾斜角为，所以斜率为，故直线的方程为。

由消去，得，
设，解得，
所以。

21. 已知圆柱的底面半径为r，上底面圆心为O，正六边形ABCDEF内接于下底面圆O1，OA与母线所成角为30°.
（1）试用r表示圆柱的表面积S；
（2）若圆柱体积为9π，求点C到平面OEF的距离.
参考答案：
（1）（2）.
【分析】
（1）利用与母线所成的角为求出，计算出圆柱的侧面积和底面积，即可得出圆柱的表面积；
（2）由圆柱的体积求出与的值，再利用等体积法计算出点到平面的距离.
【详解】（1）由于与圆柱的母线成的角，则，，
所以，圆柱的表面积为；
（2），，，设点到平面的距离为，
由题意知，，，
，，
所以，，易得的面积为，
由，，，
即点到平面的距离为.
【点睛】本题考查圆柱表面积的计算，考查点到平面距离的计算，要根据题中的角转化为边长关系进行计算，在计算点到平面的距离时，一般利用等体积法进行转化求解，考查计算能力，属于中等题.
22. 已知＝(1,1)，向量与的夹角为，且·＝－1.
(1)求向量；
(2)若与＝(1,0)的夹角为，＝，其中A、C为△ABC的内角，且A＋C＝，求|＋|的最小值．
参考答案：
（1）或者
（2）|n＋p|2＝cos2A＋cos2C＝＋
＝1＋
＝1＋cos，
又A∈，
∴2A＋∈，∴当cos＝－1时，|n＋p|最小，
即|n＋p|＝，|n＋p|min＝.。