外微分在微积分中的应用

P d y dx P dz dx y z Q x dx d y Q z dz dy
R dx dz R d y dz x y p Y
)d x d y (
(
Q x
R Q d d ) y z y x
D ( x, y ) du dv D(u, v) f ( x, y )d x d y = f ( x, y )d x d y
D

D
dx
=
f ( x(u, v), y(u, v)) D(u, v) d
D
D ( x, y )
u
dv

+ ( R d R d R d ) d x y z z x y z
x
y
z
D
Pd
x
Qd y Rd z

Q P d y dx P dz dx dx d y y z x
（下转第 44 页）
-37-
第 34 卷第 2 期
唐山师范学院学报
phosphoenolpyruvate carboxylase
2012 年 3 月
W d
D
w
D
(
P R )d z d x z x
即
（3）高斯公式 设(x, y, z)是 R 3 中的坐标，令
Pd
D
D
y
d z Qd z d x Rd x d y
P Q R )d x d y d z x y z
p Y
)d x d y (
f ( x, y)d
D
x
dy D ( x, y )
u
(
P R )d z d x z x
=
f ( x(u, v), y(u, v)) D(u, v) d
D
dv
所以，
但是，如果将变量代换(*)微分，得：
d x xu d u x v d v d y y u d u y v d v
1999. [12] 许泽宏 , 谭建红 , 张霞 , 等 . 核桃外皮天然食用色素的提
取与理化性质 [J]. 四川师 范 大学学 报 ( 自 然科学版 ),
2006,29(4):488-490. [13] 曾斌 . 新疆野生核桃资源的现状与发展 [J]. 北方果树 , 2005(4):1-3. [14] 张宪政 .植物叶绿素含量测定丙酮乙醇混合液法 [J].辽
W=P d y d z Qd z d x Rd x d y
则利用外微分可得
(
应用外微分考察以上三个公式的方法，完全可以推广 到 n 重积分。
dW d P d y d z d Q d z d x d R d x d y
(
P )d x d y d z ( )d y d z d x x Y
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第 34 卷第 2 期 Vol.34 No.2
唐山师范学院学报 Journal of Tangshan Teachers College
外积具有下列性质： （1）外积是可结合的，即
( ) ( )
（2）外积是双线性的，即
( 1 2 ) ( 1 ) ( 2 ) ；
(1 2 ) (1 ) ( 2 ) 。
宁农业科学,1986(3):26-28.
[15] Y. Lopez, N. Riano, P. Mosquera, et al. Activities of
（责任编辑、校对：李春香）
（上接第 37 页）
(
D
所以，
R Q )d y d z y x
Q x

p Y
)d x d y (
(
Q x
)d x d y (
R Q )d y d z y x
(

下的 d x d y 看成外积，即 d x d y ，那么，利用外积的
P R )d z d x z x
（2）斯托克斯公式 设(x, y, z)是 R 3 中的坐标，令 W=P d x Qd y +Rdz 则
(1. Department of Mathematics and Information Science, Tangshan Teachers College, Tangshan 063000, China; 2. Department of Mathematics and Computer Science, Chengde Teachers College for Nationalities, Chengde 067000, China) Abstract: After the concept of outer product and outside differential has been introduced, it is used to explain double integral variable transforms in the calculus, green's formula in the field theory, a stoke formula and the Gauss formula. Key Words: outside differential; explanation; calculus 在实际应用中，我们常用到的积分一般在三重积分以 内，因此，这里只讨论到三重积分。实际上可推广到 n 重 积分。 1 外积和外微分 设 、 是一元函数，我们规定一种运算为 定义 1 定义 2 设 M 是二维或三维空间， 如果线性映射 d M 具
+ ( P R )d d z x z x
所以 = d w
D
(
p x
dx Q x
p P d y dz ) dx y z dx Q y dy Q z dz ) d y

即
D
(
+ ( R d R d R d ) d z z y x
有下面性质： （1）f 是一连函数时，d M f=df，这里 d 是普通微分。 （ 2） d 2 M 0 则称此线性映射为外微分。 有了以上的预备知识之后，就可以来解释微积分中的 一些问题了。 2 2.1 设 外微分的应用 用外微分解释二重积分的变量变换公式
“外积” ，用“ ”表示
： （ ） （x,y）= ( x) ( y ) ( y ) ( x )
2012 年 3 月 Mar. 2012
外微分在微积分中的应用
宋泽成 1，于兰芳 2
（1. 唐山师范学院 数学与信息科学系，河北 唐山 063000；2. 河北民族师范学院 数学与计算机系，河北 承德 067000） 摘 要：引进外积和外微分的概念后，用来解释微积分中的二重积分变量变换式、场论中的格林公式、斯
其中，

(**) 即
D
=
d
D
w
xu
y y x , xv x , yu , yv v u v u
D
Pd
D
x
Qd y Rd z p Y
那么，积分号 下的 d x d y 是否是(**)中两式相乘呢？显 然不是。但如果把 d x、d y 看作一次微分形式，把积分号
( R )d z d x d y （利用外积性质） z
120-125.
Q
[参考文献]
[1] 李 养 成 . 微 分 流 形 基 础 . 北 京 : 科 学 出 版 社 ,2011: [2] 华东师范大学数学系 .数学分析 .北京:高等教育出
版社,2010:331-340.
(
P Q R )d x d y d z x y z
x x(u , v) y y (u , v)
(*)
则 f(x,y)代换成 f(x(u,v),y(u,v))，将用坐标（u,v）表示，而
────────── 基金项目：唐山师范学院教育教学改革研究项目（2011001013） 收稿日期：2012-01-04 作者简介：宋泽成（1964-） ，男，河北唐山人，学士，副教授，大学本科，研究方向为函数论。 -36-
在 n 重积分中的变量代换公式也有完全类似的结果。 注：由以上解释可以看出，积分号 下的 d x d y 不能写 成 d y d x ，因为它们不相等，相差一个负号。 2.2 用外微分考察场论中的三个公式 （1）格林公式 设(x, y)是 R 2 中坐标，令 W=P d x Qd y 则 d W =d P d x d Q d y
托克斯公式和高斯公式。 关键词：外微分；解释；微积分 中图分类号： O172 A 文献标识码： 文章编号：1009-9115(2012)02-0036-02
The Application of Outside Differential in Calculus
SONG Ze-cheng1, YU Lan-fang2
宋泽成，等：外微分在微积分中的应用
积元素 d x d y 将代换为
D ( x, y ) du dv D(u , v)
这就是微积分所述的公式
( Q x
Q z
dz d y
R dx dz R d y dz x y R Q )d y d z y x
性质，有
d x d y = ( xu d u x v d v ) ( y u d u y v d v )
= = 所以，
xu yu
xv du dv yv
d W = d Pቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ d x dQ d y + d R d z
( p x ( dx Q x P d y p dz ) dx y z Q y dy Q z dz ) d y
（3）外积是不可换的，但有如下关系式： ① ； ② 0 ； ③ 。
f ( x, y)d
D
x
dy
其中 D 是 R 2 中区域，f 是 D 上连续函数（如果需要，可 以假定它是 C 1 阶）作变量代换：
and ribulose-1,
时 间 探 讨 [J]. 甘 肃 环 境 研 究 与 检 测 ,2003,16(2):150-
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