NP完全理论

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用多项式时间约简算法的思想来证明特定的问题B 不存在多项式时间算法
假设我们有一个判定问题A，而且我们知道不存在求解A 的多项式时间算法。 假设有多项式时间约简算法可以把A的任意一个实例转化 为B的一个实例 这样我们可以用简单的反证法来证明B没有多项式时间的 算法。
证明的思路是，假设B有多项式时间算法，则按照 上述约简算法的思想，我们也能证明A也有多项式 时间算法，这与已知不存在求解A的多项式时间算 法矛盾。
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定义11.2如果算法A接受L中的每个串x，且算法A拒 定义 绝不在L中的串x，则说算法A能够判定语言L。如果 算法A接受语言x，且对于任意的x∈L ，能够在多 项式时间O(nk) (n为串的长度，k为一个常数)内接受 x，则说算法A在多项式时间内接受语言L。如果算 法能够在多项式时间O(nk) (为串的长度，为一个常 数)内正确判定x是否属于L，则说算法A在多项式时 间内判定语言L。 从上面的定义可以看出，算法接受一个语言，算法 只考虑语言中的串，而判定一个语言，则需要考虑 属于中的串以及不属于中的串。
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复杂类NP 定义11.4复杂类NP指的是一类能够被多项式时间验 定义 证算法所验证语言的集合。 一个语言L属于NP当且仅当存在有两个输入的多项 式时间算法A和常数c，使得 L = {x∈{0, 1}* : there exists a certificate y with |y| = O(|x|c) such that A(x, y) = 1}. 意思是说，算法A在多项式时间内验证了语言L。
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P = NP ? /millennium/ Solved???!!!!
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The Future
P = NP?
11.3 NP-completeness (NPC)
NP完全理论
通向 $1,000,000之路 ?
Overview
多项式时间算法 对任何规模为n的实例，这Байду номын сангаас算法的最坏情形时间复 杂度为O(nk) ，其中k为常数。 停机问题 指数级时间算法 容易的和困难的问题 一些有趣的问题
最短简单路径vs.最长简单路径问题 最短简单路径 最长简单路径问题 欧拉回路vs.汉密尔顿回路 欧拉回路 汉密尔顿回路 2-SAT问题 3-SAT问题等中 问题vs. 问题 问题等中
yes, x∈ L1
F
f (x)
A2
no, f (x) ∉L2 no, x ∉L1
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A1
NP-completeness
多项式时间约简提供了一种证明一个问题至少与另 一个问题一样难的形式化方法 定义11.7 给定语言L ⊆{0, 1}* ， L是NP完全的（NP定义 complete）当且仅当 (1) L ∈NP； (2) 对于所有L' ∈NP，有L' ≤ P L 。 如果有一个语言L满足上述性质(2)，但不一定满足 性质(1)，则称该语言L是NP难的（NP-hard）。并记 NPC表示所有NP完全语言构成的语言类。NPC是NP 中最难的问题。
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11.2 P and NP
汉密尔顿回路 无向图G = (V, E)的汉密尔顿回路是通过V中每个顶 点恰好一次的简单回路。汉密尔顿图(hamiltonian graph)是存在汉密尔顿回路的图。 汉密尔顿回路问题 给定一个无向图，它含有汉密尔顿回路吗? 这个问题已经研究了上百年。现在可用语言 HamCycle定义该问题如下： HamCycle = {G : G is a hamiltonian graph}. 一个算法是怎样判定语言HamCycle？
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验证算法
定义验证算法A为带两个参数的算法。一个参数是给 定的输入串x（即输入实例），另一个参数是一个证 书y（即解）。如果存在一个证书y，使得A(x,y) = 1 ， 则说算法A验证了输入串x。因此，我们可以定义能 够被算法A所验证的语言 L={x∈{0,1}*:there exists y∈{0,1}* such that A(x, y)=1}. 直观地说，如果对任何的串x，存在证书y，能够用 该证书证明x ∈ L，而且，对任何x ∉ L，没有证书 能够证明x∈L ，则说算法验证了语言。
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约简 定义11.5 给定一个函数f : {0, 1}* → {0,1}* ，对任意 定义 给定的x∈ {0, 1}*，如果存在一个多项式时间算法A ， A产生输出f (x) ，则称f是多项式时间可计算的。 定义11.6 给定语言L1和L2，如果存在多项式可计算 定义 的函数f : {0, 1}* → {0,1}*使得对任意的x∈{0, 1}* ，x∈ L1当且仅当f (x) ∈ L2 ，则说语言L1能多项式 时间约简到L2 ，记为L1 ≤P L2 。函数称为约简函数 。计算函数f的算法称为约简算法。
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约简(Reduction)
实例: 具体问题的输入 多项式约简算法:
一个过程能转化A的任何一个实例α到B的某个实例 β，且过程具有下列性质: （1）该转化过程只需要多项式时间就可以完成； （2）答案是一致的。也就是说，α的答案是“是” 当且仅当β的答案也是“是”。
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约简
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在多项式时间内判定问题A的方法 1）任给问题A的一个实例α ，用一个多项式时间 约简算法把它转化为问题B的一个实例β ； 2）对实例β ，调用判定B的多项式时间算法； 3）用β的答案作为α的答案。
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定理11.2 如果任何一个NPC问题多项式时间可解， 定理 则P=NP。等价地，如果NP中的任何问题没有多项 式时间求解算法，则没有NPC问题是多项式时间可 解的。
NP P NPC
NP-hard
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电路可满足性问题 Circuit satisfiability
布尔电路是一个无环的有向图，图中每个顶点对应一个逻辑 门，它对应简单的布尔函数，例如NOT、AND 和OR。逻辑 门的入边是其相应布尔函数的输入，如果入边的起点没有连 接到一个逻辑门，则该入边为布尔电路的输入。逻辑门的出 边是其相应布尔函数的输出，如果一个输出的终点不再连接 到一个逻辑门，则它称为整个布尔电路的输出。
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引理11.1如果语言L1, L2∈{0,1}*使得L1 ≤P L2 ，且L2∈ P ，则 引理 L1∈ P 证明：令A2是判定L2的多项式时间算法，令A是计算从L1到L2 约简函数f的多项式时间约简算法，为了证明该引理，只需构 造一个能够判定L1的多项式时间算法A1即可。
yes, f(x)∈ L2 x
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11.2 P和NP
写一个程序来求解一个最优化问题，作为程序输入 的问题实例必须表示成计算机能够理解的符号形式。 具体问题 问题实例编码成一个二进制串，由这些问题实例构 成的问题 给定具体问题的一个实例I，令实例的规模为n=|I|， 一个算法在O(T (n))的时间内得出解，那么就说该算 法在O(T (n))的时间内求解了一个具体问题。
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现在，我们形式化的定义复杂类为语言的集合，成 员资格由某种复杂类的度量来确定，例如判定一个 给定串是否属于语言所需要的运行时间。 定义11.3 P = {L∈{0, 1}* : there exists an algorithm A 定义 that decides L in polynomial time} 由定义11.3可知，P类是由所有可以在多项式时间内 所判定的问题组成。事实上，P也是在多项式时间内 所接受语言的集合。 定理11.1 P = {L : L is accepted by a polynomial-time 定理 algorithm}.
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形式语言的框架可以方便地表示判定问题及其相应 求解算法之间的关系。 定义11.1对于给定的输入串x ∈{0,1}* ，如果算法 定义 的输出A(x)=1，则说算法A接受串x。算法A所接受 的串x的集合，称为算法接受的语言L = {x∈{0, x 1}*: A(x) = 1}。如果A(x) = 0 ，则算法拒绝串x。 从定义11.1可以看出，即使算法A接受一个语言L， 但是对于不属于L的串x，算法不一定拒绝串x，例如 算法A可能永远循环下去。
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从形式语言的观点看，任何具体判定问题Q的实例 集合仅仅是集合Σ*的一个子集，其中，由于Q完全 被产生答案1（是）的实例所刻画，因此我们可以把 Q看作是字符集Σ = {0, 1}上的语言 L = {x ∈ Σ*: Q(x) = 1}. 例如，对判定问题Path，我们可以构造相应的语言： PATH = {<G, u, v, k> : G = (V, E) is an undirected graph, u, v∈V, k ≥ 0 is an integer, and there exists a path from u to v in G consisting of at most k edges}.
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现在我们知道，NP问题中包括了P问题，即如果L∈ P，则 L∈ NP，即P ⊆ NP，也就是说，NP问题中有些问题是容易的。 是否NP ⊆ P成立是不知道的，但是大多数的研究者相信，P和 NP不同类，即P≠NP。NP类由那些其解能很快验证的问题所 构成。 从我们的直觉和经验，我们知道，解一个问题比验证该问题 的解要困难得多。很多理论计算机科学家相信，NP确实包括 一些不属于P的语言，即NPC。 一个有趣的问题，令co-NP={NP}，即NP类在补运算下是否封 闭的问题。例如，HamCycle∈NP，HamCycle的补问题可以描 述如下，对于给定的一个无向图，不存在一条汉密尔顿回路 吗？co-NP是否等于NP的问题，也仍然悬而未决，但是大多 数研究者相信co-NP≠NP。
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图11.2描述了将一个语言多项式时间约简到语言的例子。 约简函数f提供了一个多项式时间映射使得如果x∈ L1 ，则 f(x)∈ L2 。而且如果x ∉ L1 ，则f (x) ∉L2 。这样约简函数f将 由语言L1表示的判定问题的任何实例x映射到由L2表示的判 定问题的一个实例f(x)。因而，是否f(x)∈ L2的答案提供了 是否x∈ L1的答案。 x {0, 1}* f {0, 1}*
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一个具体问题是多项式时间可解的 如果该问题存在一个多项式时间O(nk)求解算法，其 中k为一个常数。因此我们可以定义复杂类P为多项 式时间可解的具体判定问题的集合。
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形式语言
令字符集Σ是符号的一个有穷集合 字符集Σ上的语言L是由Σ中字符所构成的字符串的 集合。例如，给定Σ = {0, 1}，则L = {10, 11,101, 111, 1011, 1101, 10001,...}是素数的二进制表示所构成的 语言。 令ε表示空串， Ø表示空语言，则Σ上所有串的语言 表示为Σ*。例如，Σ = {0, 1}，则Σ* = {ε, 0, 1, 00, 01, 10, 11, 000,...} ，字符集Σ上的任一个语言L是Σ* 的 一个子集。
大多数理论计算机科学家相信P≠NP是因为他们确实找到一类 问题NPC，这类问题有令人非常惊奇的性质，即如果NPC中 任何一个问题能够在多项式时间内求解，则NP中的每个问题 都能多项式时间求解，即P=NP，尽管研究了大半个世纪，但 是还没有找到任何一个NPC问题的多项式时间算法。
为什么研究 NP-completeness? 能够显示一个问题确实很难 最好寻找近似算法来求解 许多有趣的实际问题事实上是NPC. 怎么样比较语言(问题)的相对难度?
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判定问题
最优化问题 问题的每个可行解都对应一个目标函数值，求解这类问题的 目的是希望得到一个有最优目标函数值的可行解 判定问题 回答是否存在一个满足问题要求的解，即解只是简单的回答 “是(1)”或“否(0)”。 最优化问题与它相应的判定问题具有密切的联系，通过限界 最优化问题要优化的目标函数值，通常可以把一个最优化问 题转化为一个判定问题。 例如，最短路径问题的目标是找一条从u到v的最短路径，优 化的目标函数值是路径的边数。则相应的判定问题(Path)可 以描述为：给定一个有向图G，顶点u和v，以及整数k，问图 中从u到v是否存在一条最多k条边的路径。