noip讲义5-递归法(小学程度)

例1
阶乘函数可递归地定义为：
阶乘函数
n0 1 n! n(n 1)! n 0
边界条件
递归方程
边界条件与递归方程是递归函数的二个要素，递归函 数只有具备了这两个要素，才能在有限次计算后得出结 果。
程序：
program p1(input，output)； var n：integer；s： longint； function fac(a：integer)：longint； begin if a=0 then fac:=1 else fac:=a*fac(a-1)； end； begin readln(n)； s:=fac(n)； writeln(n，‘!=’，s) end．
例8 再探1: 用递归方法求两个数x和y的最大公约 数。(x>0，y>0) 解2 求两个数的最大公约数可以用辗转相减法
f(x,y)=f(y,x-y)
避免了大整数的取模运算。但迭代次数太多。
f(48,28)=f(28,20)=f(20,8)=f(12,8)=f(8,4)=f(4,0)
分析： 1.如果y=k*y1，x=k*x1， 有f(y,x)=k*f(y1,x1)。
递归函数或过程通常带有一些局部变量(如本例中的n)，只有当 整个函数体或过程体执行完毕时，这些局部变量才失去意义。每 1 递归调用一次，就必须生成一组‘新’的局部变量，虽然这些新 22 的局部变量与原来的局部变量分别具有相同的名字，但其分配的 333 存储空间不同，其值也完全无关。
写出运行结果。
4444 var n:integer; procedure p(n:integer); 55555 var i:integer; begin if n>0 then begin p(n-1); for i:=1 to n do write(n); writeln; end end; begin n:=5; P(5)->P(4)->P(3)->P(2)->P(1)->P(0) p(n); end.
begin
if m=1 then fic:=0
else if m=2 then fic:=1
else fic:=fic(m-1)+fic(m-2） ｛递归调用｝ end；
递归过程
当一个问题可以不断的通过一种有规律 的增加或递减转化为一个新问题，而解决 Байду номын сангаас问题的方法和原问题相同时，可以考虑 过程的递归调用，注意这种“不断的增加 或递减”是有尽头的。
例5、由m个A，n个B组成若干个排列。从某个排列的 位置1开始数，数到任意位置时都能保证A的个数不 少于B的个数，则称该排列为合理排列。 例如：当m=2，n=2时排列有 AABB(合理)ABAB(合理 ) ABBA(不合理) BBAA(不合理) 合理排列数有2种 输入：只有一行两个整数m,n（1≤n≤m≤12） （用空格分隔） 输出：一个整数（所有的合理排列数） 【样例】 输入 输出 32 5
输入一个非负数，输出这个数的倒序数。 Procedrue begin 输出n的最右边的一个数字； if 还有数字 then 将余下的“数字倒序” end
else Procedrue reverse(n:integer); var nr,nl:integer; begin nr:=n mod 10; write(nr); nl:=n div 10; if nl<>0 then reverse(nl) end;
先以三个盘的移动为例，看一下移动过程。
运行结果：Enter the number of disks in Hanoi tower： 3 A→C A→B C→B A→C B→A B→C A→C 分析：首先将A柱上方的n-1个盘子从A柱移到B柱， 此过程中C柱为中间柱；接着将 A柱剩下的一个盘子 移到 C柱；最后再将 B柱上的n-1个盘子移到 C柱，此 过程中 A 柱为中间柱，这就变成了移动 n-1 个盘子的 问题了。定义过程hanoi，实现这一递归算法： 若n=1，则A→C 若n>=2，则 hanoi(n-1，A，C，B) A→C hanoi(n-1，B，A，C)
分析：模拟排队的情况，从第1个人开始，第1 人只能 是A，第2个可以是A也可以是B，再其后的人要保证任 意位置时都能保证A的个数不少于B的个数，递归求有 多少个排列。 Var m,n,t:LongInt;
Procedure pd(i,j:LongInt); Begin (i=m) And If (i=m) And(j=n) (j=nThen t:=t+1{已生成一种排列} Else Begin If i<m Then pd(i+1,j); pd(i+1,j);{增加1个A} (j<n) And If (j<n) And(j<i) (j<i) Then pd(i,j+1); End; {增加1个B} End; Begin t:=0; Read(m,n);pd(1,0);Writeln(t); End.
递归在计算机中的实现
计算机执行递归算法时，是通过栈来实现的。在递归 过程（或函数）开始运行时，系统首先为递归建立一个栈， 在每次执行递归调用语句之前，自动把本算法中所使用的 值参和局部变量的当前值以及调用后的返回地址压栈（称 为“保存现场”，以便需要时“恢复现场”返回到某一状 态），在每次递归调用结束后，又自动把栈顶元素的值分 别赋给相应的值参和局部变量（出栈），以便使它们恢复 到调用前的值，接着无条件转向由返回地址所指定的位置 继续执行算法。
在调用过程或函数之前，系统需完成三件事： ⑴为被调用过程的局部变量分配存储区； ⑵将所有的实在参数、返回地址等信息传递给被调 用过程保存； ⑶将控制转移到被调过程的入口。 从被调用过程返回调用过程之前，系统也应完成三 件工作： ⑴保存被调过程的计算结果； ⑵释放被调过程的数据区； ⑶依照被调过程保存的返回地址将控制转移到调用 过程。
递归过程分析-阶乘函数
阶乘函数可递归地定义为：
n0 1 n! n(n 1)! n 0
边界条件
递归方程
例2: 用递归方法求两个数x和y的最大公约数。 (x>0，y>0)
解1 求两个数的最大公约数可以用辗转相除法，即求m与 n的最大公约数等价于求（x mod y）的值与y的最大公约
解决方法：在递归算法中消除递归调用，使其转 递归的缺点：递归算法的效率往往很低，费时和费内 化为非递归算法。 存空间。Free Pascal理论上可以使用4GB 1、采用一个用户定义的栈来模拟系统的递归调用 （2^32byte）的内存，因此实际上几乎可以使用 工作栈。该方法通用性强，但本质上还是递归， 系统中的所有剩余内存（但有时赛题中有内存限 只不过人工做了本来由编译器做的事情，优化效 果不明显。 制），这是因为Free Pascal使用的是32位的编译 2、用递推来实现递归函数。 器。但大量数据的处理过程将会耗时,有时将出现 3、通过变换能将一些递归转化为尾递归，从而迭 超时。 代求出结果。 后两种方法在时空复杂度上均有较大改善， 但其适用范围有限。
数，此时的y可以当作新的x ，而（x mod y）的值当作新
的y ，所以原问题的求解又变成求新的m与n的最大公约数 问题，继续下去，直至(x mod y)为0，最大公约数就是最 终存放在y中的值。
递归公式：
function gcd(x,y：longint)：longint；
var r：integer； begin var r:=m mod n； r： integer ； if r=0 then gcd :=n begin else gcd:=gcd(n, r)；｛递归调用｝ r:=x mod y； end；
例7、汉诺塔（tower of Hanoi）问题。有n个大小 不等的中空圆盘，按照从小到大的顺序迭套在立柱 A上，另有两根立柱B和C。现要求把全部圆盘从A柱 （源柱）移到C柱（目标柱），移动过程中可借助 B 柱（中间柱）。移动时有如下的要求： ①一次只移动一个盘； ②不允许把大盘放在小盘上边； ③可使用任意一根立柱暂存圆盘。
var n：integer； procedure hanoi(n:integer;x,y,z：char)； begin if n=1 then writeln(x, ‘->’,n, ‘->’,z) else begin hanoi(n-1,x,z,y)； writeln(x, ‘->’,n, ‘->’,z)； hanoi(n-1,y,x,z) end end； begin {主程序） readln(n)； hanoi(n,‘A’,‘B’,‘C’) end．
2.如果x=p*x1，假设p是素数，并且y不能被p整除，
那么f(x,y)=f(p*x1,y)=f(x1,y)。
例9 再探Fibonacci数列 function fic(m：integer)：longint； begin if m=1 then fic:=0 else if m=2 then fic:=1 else fic:=fic(m-1)+fic(m-2）
递归
如果函数体或过程体中出现调用其自 身的语句，称为递归。
从下图可知，递归过程的执行总是一个过程体未执行完， 就带着本次执行的结果又进入另一轮过程体的执行，……，如 此反复，不断深入，直到某次过程的执行遇到终止递归的边界 递归过程的执行流程 条件时，则不再深入，而执行本次的过程体余下的部分，然后 又返回到上一次调用的过程体中，执行其余下的部分，……， 如此反复，直到回到起始位置上，才最终结束整个递归过程的 执行，得到相应的执行结果。
if r=0 then gcd :=y else gcd:=gcd(y, r)；｛递归调用｝ end；
思考： 0，1，1，2，3，5，8，13，21，34， 55……从第三项起，每一项都是紧挨着的前两项 的和。写出计算斐波那切数列的任意一个数据 项递归函数形式。
function fic(m：integer)：longint；
例3：输入一串以‘!’结束的字符，按逆序输出。 program p4(input，output)； procedure rever； 程序中， c 是过程 rever var c：char； 的局部变量。每一次递 begin 归调用，都要为局部变 read(c)； if c<>'!' then rever; else 量重新分配单元，因此 write(c)； 各层的变量c实际上是不 end； begin {主程序} 同的量，它们分别用于 rever； 保存执行本层调用时的 end． 运行： 输入值。 输入 hey! 输出 !yeh。
递归过程分析—数字倒序
例4: 用递归算法把任一给定的十进制正整数 （<=32000）转换成八进制数输出。 分析：利用短除法不断除以8取余数这个重复过程， 将原数据不断缩小，形成递归关系，当数据规模 缩小至0时，递归结束。 procedure tran(n:longint); {递归过程} var k:longint; begin k:=n mod 8; {取除以8以后的余数} n:=n div 8; {取除以8以后的商} if n<>0 then tran(n); {直到商为0，结束递归过程} write(k:1) end;
｛递归调用｝
end；
优化？
递归要素：完成递归必须考虑的因素有两个。
（1）边界条件。也就是所描述问题的最简单情况，它 本身不再使用递归的定义。如阶乘，当n=0时，f(n)=1， 不使用f(n-1)来定义。 （2）递归关系。使问题向边界条件转化的规则。递 归定义必须能使问题的规模越来越简单。 递归的优点：长处是，它能使一个蕴含递归关系且结构 复杂的程序简介精炼，增加可读性。 特别是在难于找 到从边界到解的全过程的情况下，如果把问题推进一步, 其结果仍维持原问题的关系，则采用递归算法编程比较 合适。
如何设计递归算法
一个问题要用递归方法来解决必须符合两个条件： 1、可以把一个问题转化成一个新的问题，而新 问题的解法和原问题的解法完全相同，只是处理 对象的规模不同。 2、必顺要有一个明确的递归结束条件。