2018年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全(08-三角函数--三角恒等变换)

2018年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全
(08三角函数三角恒等变换)
一、选择题
1. ( 2018北京文)在平面坐标系中， A B , C D , ?F , G H 是圆x 2 y^ 1上的四段弧(如图) 点P 在其中一段上，角:-以Ox 为始边，OP 为终边, 若tan ， cos 〉：：：
sin ,则P 所在的圆弧是(
)
A . A
B B .
C D
C . ?F
D . G H
1. 【答案】C
【解析】由下图可得，有向线段 线段MP 为正弦线，有向线段 JI
2. (2018天津文)将函数y =sin(2x
)的图象向右平移
个单位长度，所得图象对应的函数
5
10
( )
则函数的单调递增区间满足： 2k 2x 乞2k k Z , 2 2 f
即k
x 乞k k Z ,
4 4
令k=0可得函数的一个单调递增区间为 ，二，选项A 正确，B 错误;
IL 4 4
函数的单调递减区间满足： 2k 2x_2k 「「3 k Z ,
2
2
3 —
即k
x 乞k
k Z ，令k =0可得函数的一个单调递减区间为
4
4
(A) 在区间［-二，二］上单调递增
4 4
z
、 JI H
(C )在区间［―,—］上单调递增
4 2
兀
(B) 在区间［一,0］上单调递减
4
(D )在区间［一，
上单调递减
2 .【答案】A
【解析】由函数
-sin 2x 匸
I 5丿
的图象平移变换的性质可知 将
yd 2x -的图象向右平移
-个单位长度之后的解析式为:
10
in 2 l x sin2x . d n c y 二sin ~
IL 乙 10 5
OM 为余弦线，有向 AT 为正切线.
选项C, D错误；故选A .
3
-(
2018天津理)将函数心心茅的图象向右平移10个单位长度，所得图象对应的函
3 .【答案】A
【解析】由函数图象平移变换的性质可知:
则函数的单调递增区间满足： 2k n-n < 2x^2k n n k Z ,
2 2v ; 即 k n x _kn k Z ,
4
4
f
令k =1可得一个单调递增区间为
',
］4 4」
函数的单调递减区间满足： 2k n n _ 2x_2k n 匕Z ，即k n — _ x_k n k 三Z
2 2 4 4
令k =1可得一个单调递减区间为 ,|5n ,7
n 〔故选A .
IL 4 4
2 2
4. (2018全国新课标i 文) 已知函数f x =2cos x-sin x 2，则(
)
A . f(x )的最小正周期为 n 最大值为3
B . f (x )的最小正周期为 n 最大值为4
C . f(x )的最小正周期为2n 最大值为3
D . f (x )的最小正周期为2冗，最大值为4
4、答案：B
解答：f (x)二 2cos 2 x 「(1「cos 2 x) 2 二 3cos 2 x 1 -最小正周期为兀，最大值为4
5. (2018全国新课标n 文) 若f(x)二cosx-si nx 在［0, a ］是减函数，则a 的最大值是(
)
" n _ n
3 n
A .
B .
C .
D . n
4 2 4
5•【答案】C L f 咒 \ n 【解析】因为 f x 二 cosx —si nx 二 2 cos I x ，所以由 0 • 2k ： x^-~ 2^: , k - Z
I 4丿 4 得二 2^<^1- 2^：, k ，Z ，因此［0,a ：
-,- , 0：：：a •，从而a 的最大值为 止，
数( )
(A)在区间［聖，竺］上单调递增
4 4 (C) 在区间［5，—］上单调递增
4 2
(B)在区间［——，二］上单调递减
4 3兀
(D) 在区间［一，2二］上单
f y =sin
2x
n 的图象向右平移
丄个单位长度之后的解析式为: 10
y =sin
2x
喘 n -in2x ，
4 4144」 4 4故选C.
8.答案：C
sin x
.故选C.
二、填空
1. （ 2018北京理）设函数f （x ）
冗
= cos( x )『> 0)，若 f (x)乞
6 n f （）对任意的实数x 都成立，则 4
3的最小值为 ___________ .
2
1.【答案】-
3 【解析】 Qu n 对任意的实数x 都成立，所以f n 取最大值,
2
2
6. (2018全国新课标n 理) n
B .-
2
n
A.-
4
6 .【答案】A 若f （x ）=cosx -sinx 在［-a, a ］是减函数，则 a 的最大值是（ ）
3n C.—
4
【解析】因为 所以由0・2k
- f Ji) f x =cosx_sinx= .2cosix _ ,
I 4丿 3 x 才 _ 2k 二，
k 三 Z 得一才 2k 二 x 2k 二 k 三 Z ,
因此 Iv,a ]u i-n
,-3n
"
'4 4」
,.-a :::a,—a _ -n ,
4
a±, 4
n
.0 ::: a ，从而a
的最大值为
4
n
，故选A . 4
7. （2018全国新课标川文、理）
若 sin :-= 则 cos2> 二()
7.答案：B
解答: 7 B.-
9
2
2
cos2
： =1-2s in
冷故选B.
8. （2018全国新课标川文） 函数f （x ）
坦吟的最小正周期为（
1 ta n x
31
B.—
2
C .二
解答: f(x) tanx cosx
1 tan
2 x
.2
1
cos x
sinxcosx =5^ xcosx =」sin 2x ，二 f (x)的周期
2 — 2 2
sin x cos x
• ' ■ =8k k Z , Q门-0 ,-当k =0时，■■取最小值为一•
3 3
2. （2018江苏）已知函数y=sin （2x 「）（
）的图象关于直线 x 对称，则「的值是 2
2 3
▲. 2.
【答案】-n
6
【解析】由题意可得sini 2 n 二1，所以—n
k n ,
（3
丿
3
2
k n k Z ，因为
，所以k=0，二
6 2 2 6
3.
（2018全国新课标I 文） 已知角的顶点为坐标原点，始边与
,B 2, b , 且 cos 2:
B-T
3. 答案：B
4.(2018全国新课标I 理)已知函数f(x)=2sinx 十sin2x ，则f(x )的最小值是 _______________________ 4. 答案： (3)
2
解答:f(x) =2sinx sin2x ，•. f(x)最小正周期为 T =2二，•.
f '(x) = 2(cosx cos2x) =2(2cos 2 x cosx T)，令 f '(x) = 0，即 2cos 2 x cosx -1 = 0，
1 、
cosx = ~ j 或 cos x = -1.
r 1
n 5
•••当cos 二一，为函数的极小值点，即X 二一或X 二一二，
2 3 3
当 cosx = T, x = _：
5
3厂 兀 3厂，
• f (3 ')一2f (一)= 2， f (0) = f (一：)= 0， f (二)=o • f (x)最小值为- 一 V 一 .
x 轴的非负半轴重合，终边上
2、5
解答：由cos2 : 2
二 2cos :- -1 3可得
2
cos :- 1 ，化简可
2
tan 二■ 1
得 tan
5
; 5 时 a -b =—;当 tana 5
当 tan
二
5
吕时，仍有此结果.
三，即a=三,b 二注，此 5 5 5 已知tan （
5 •【答案】
3
2
【解析】
「 5兀
tan :
I 丿 1 +tana tan =
4
tan 「- tan
4
ta n
* —
1
丄，解方程得 5
5 二 1 tan 二
3
tan 、； 2 6 • （2018全国新课标n 理） 1
6 •【答案】-―
2
【解析】Qsin 二亠cos ： =1 , 已知 sin a ■ cos 3 二
1, cos a sin 3 = 0 ,贝U sin( a B)=
2 2 1「sin ：「亠［cos 1 , 因此 sin (a + P )=sin a cos B +coso (sin
11 2 1 2 111
cos 1 sin
1 •
2 2
4
4 4
2
7• (2018全国新课标川理) 函数f (x ) = cos.”3x+ n 在〔0 ,冗］的零点个数为 _____________ •
' * I 6丿 7 •答案：3
i
i k
解答：由 f(x) =cos(3x • —) =0，有 3x k 「「一(k ・Z)，解得 x
，由
6
6
2
3 9
k 兀
ji
得 k 可取 0,1,2 ,••• f(x)=cos(3x —)在［0,二］上有 3 个零点•
三、解答题
1 • （2018北京文）已知函数f x 二sin
2 x
3 sin xcosx •
n
1 •!答案】(1) n ；( 2) n
3
【解析】(1) f x
」—cos2x
3sin 2x 二 3
sin 2x 2
1
1 :: \
cos2x sin 2x —— 2 2 所以f x 的最小正周期为
(2)由(1 )知 f x 二sin 2x 「■n
,
I 6)2 ，所以 2x —n -5n ,2m —
6 ］ 6
因为 X E J-n , m
IL 3
要使得
f
（x ）在上的最大值为I ，即昭%〕在匸討上的最大值为1 •
所以
2m
十n ，即m _n 所以m
的最小值为n
2. (2018上海)设常数 R ，函数 f(x )二 asin2x • 2cos?(
1 )若f(x )为偶函数，求a 的值；
(2)若〔匚〕、、3 1，求方程f(x ) = 1- .2在区间［「，门上的解。

4
5
13 19
—=—工x 古—氏 24
24
24
I ：知识点】三角函数的图像与性战
【考査链力］运算求解能71
析1 (1). liiKa 数可知川-巧"＜巧魯2叭
(2)^ f ) = A /3 +1 =>a = */3
f
区個1卜工才j 上解fj 、-= -¥兀兀二-二T, A- - £
占"t
Jfc"T
11
3. (2018江苏)已知:■, '■为锐角, (1) 求 COS 2、£ 的值； 3.【答案】(
“ -氏；
(2)
(2)
_2
11
4 ,丄冉、
v5
tan , cos(: -):
3
求tan (:--)的值.
【解析】(1)因为tan ：
3
tan : sin :
，
所以sin ■■ 4 cos ：. 3
cos: 9 2
，因此，cos2「- 2co^ 1 = 25
(2)因为〉，为锐角，所以很亠卩三〔0, n . 又因为 cos ： 二-羊，所以 sin ： = ,1 _cos 2
： = — ^4 5，
- 5 24 7
_2
11 . 因为 sin 2
j ■ cos^ =1，所以 2
cos -■
7
25
5
因此 tan -
- -2 .因为 tan 〉=-，所以 tan2 2tan 2
3
1 -tan a tan
2 -tan i 卅亠，i 1 tan 2 ： tan [:;
因此，tan :- - : =tan [2〉-
:
=
T,X=—
24
(1)连结PO 并延长交MN 于H ，则PH _MN ，所以OH =10. 过 O 作 OE _ BC 于 E ，贝U OE //MN ，所以.COE 二二， 故OE =40cos^， EC =40sin^，
则矩形 ABCD 的面积为 2 40cosr 40sin v 10 = 800 4sin vcosj COST ，
1
△ CDP 的面积为 3 2 40cos v 40 -40si nv -1600 cos ： -si n )cosv .
过N 作GN _ MN ，分别交圆弧和OE 的延长线于G 和K ,则G^ KN =10 . 令.GOK = “0，则 sin ® 二1，如 0,n . 4 I 6丿
所以si nr 的取值范围是 -,1 .
IL 4
（2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 4:3 ,
设甲的单位面积的年产值为4k ，乙的单位面积的年产值为3k k 0 , 则年总产值为 4k 800 4sin vcosv cos ： 3k 1600 cos ： - sin vcosr =8000k sin vcosv COST ，)咕才.
-n
设 f (日)=sin 日 cos 日 + cos 日，朕 i60 — t
「2丿
贝U f
- cos 2 v - sin 2 J - sin - - - 2sin 2 sin -1 二一 2sin )-1 sin ) 1 .
令f ，=0，得，当▼
%n 时，f ，＞0,所以fr 为增函数；
6
I 6丿
当厂n , n 时，f ，＜0，所以fr 为减函数,
16 2丿 因此，当二=才时，f 二取到最大值.
5 . （ 2018浙江）已知角a 的顶点与原点 O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点 P
/ 3
4
（
7，-
4）.
；
（2）
当八尹能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.
7C
当"；0,f
寸，才能作出满足条件的矩形ABCD ,
4.[答案】（1）匸,1
[4丿
（I）求sin （a+ n）的值；
5
(H)若角 B 满足sin ( a + 3)
二一，求cos 3的值.
13
4
.答案：(1) _ ；( 2)
5
56 十 16 或—.
65
65
4
解答: (2)
(1) sin (f 实)= -曲一宁
:=(：；亠 I-') - 1 •，二 COS ： = COS[(、； ,
sin (:亠，) cosC 「)=上
13
又 sin
12
①当
COS (
黒亠
cos:
.嗟(_勻色
4 -3^2^ = _56
13
5
13
5 65 65
12
②当COS (r ：时，
13
cos ： =cos (卅亠『Jcos 二" sin(x 亠 F)sin :
=(
嗟)<—)-(-4)』
13 5
13
5
65
n
6 (2018天津文)在厶ABC 中，内角 A , B , C 所对的边分别为 a,b,c .已知bsinA=acos(B -— ). 6
(I )求教B 的大小；
(H)设 a=2, c=3，求 b 和 si n(2A - B)的值.
6 •【答案】(1) B ; (2) b=
7 , sin 2A -B ；=^ .
3
14
【解析】(1 )在厶ABC 中，由正弦定理 — b
，可得bsi nA=asi nB , sin A sin B
厂 \ 厂 血、 JJJ 、
又由 bs in A =acos B -一:
，得 a si n B =acos B 一一 ，即 si n B = cos B - 一 ,
I 6丿 I 6丿 I 6丿
可得tanB = .3 .又因为B 三[0,二，可得B =~ .
3
(2)在△ ABC 中，由余弦定理及 a=2 ,c=3 , B ，有 b^ = a 2 c 2 - 2accosB = 7 ,故 b = 7 .由
3
bsin A =acos B -
I 6丿
因此 sin2A =2sin Acos^ =4_3 , cos2A = 2cos 2 A -1 =丄.
7
7
4. (2018江苏)某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆 O 的一段圆弧MPN ( P 为此圆弧 的中点)和线段 MN 构成.已知圆O 的半径为40米，点P 到MN 的距离为50米.现规划在此农 田上修建两个温室大棚，大棚I 内的地块形状为矩形 ABCD ，大棚H 内的地块形状为 △ CDP ，要 求A,B 均在线段MN 上，C,D 均在圆弧上•设 OC 与MN 所成的角为二
(1) 用二分别表示矩形 ABCD 和厶CDP 的面积，并确定 sin 的取值范围；
(2) 若大棚I 内种植甲种蔬菜，大棚n 内种植乙种蔬菜， 且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 4:3 •求当二为
何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.
4 3 1 1
3 3 3 所以，sin 2A-B 二sin 2AcosB —cos2Asin B
7
2 7
2
14
；3
2
,可得 sin A=—^ .因为 a cc ，故 cosA =—^ .
J 7 V 7。