圆锥曲线复习题附答案解析

圆锥曲线复习题
1．已知抛物线C ：y 2＝4x ，点F 是C 的焦点，O 为坐标原点，过点F 的直线l 与C 相交于A ，B 两点．
（1）求向量OA →与OB →
的数量积；
（2）设FB →=λAF →，若λ∈[9，16]，求l 在y 轴上截距的取值范围．
【分析】（1设直线l 的方程与抛物线联立求出两根之和及两根之积，进而求出数量积的值；
（2）设A ，B 的坐标，由设FB →=λAF →的关系求出A ，B 的关系，代入两根之和及两根之积中可得参数m 的表达式，再由λ的取值范围求出m 的范围，进而求出直线l 在y 轴的截距的取值范围．
【解答】解：（1）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由题意可得性质的斜率不为0， 由抛物线的方程可得焦点F （1，0），
设直线l 的方程为x ＝my +1，
{x =my +1y 2=4x
，整理可得：y 2﹣4my ﹣4＝0， 所以可得y 1+y 2＝4m ，y 1y 2＝﹣4，
所以OA →•OB →=x 1x 2+y 1y 2=y 12y 2216+y 1y 2=1616−4＝﹣3， 所以向量OA →与OB →
的数量积为﹣3；
（2）由（1）可得y 1+y 2＝4m ，y 1y 2＝﹣4，
因为FB →=λAF →，所以y 2＝﹣λy 1，
代入可得{(1−λ)2y 12=16m 2−λy 12=−4m 2，所以可得4m 2=(1−λ)2λ=λ+1λ−2， 因为f （λ）＝λ+1λ−2在[9，16]为增函数，
所以4m 2∈[649，22516]，解得m ∈[−158，−43]∪[43，158
]， 所以l 在y 轴上截距−1m 的取值范围为[−34，−815]∪[815，34]． 【点评】本题考查直线与抛物线的综合及由向量的关系求点的坐标的关系，再由函数的
单调性求出参数的范围，属于中档题．
2．如图，已知抛物线y 2＝2px （p ＞0）上一点M （2，m ）到焦点F 的距离为3，直线l 与抛物线交于A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）两点，且y 1＞0，y 2＜0，OA →•OB →
=12（O 为坐标原点）．
（1）求抛物线的方程；
（2）求证：直线l 过定点．
【分析】（1）由抛物线的方程可得其准线方程，再由抛物线的性质抛物线上的点到焦点的距离等于到直线的距离和椭圆可得p 的值，进而求出抛物线的方程；
（2）设直线l 的方程，与抛物线联立求出两根之积，进而求出数量积OA →⋅OB →
的表达式，再由题意可得参数的值，证明可得直线恒过定点．
【解答】解：（1）由抛物线的方程可得准线的方程为：x =−p 2，
再由抛物线的性质：抛物线上的点到焦点的距离等于到直线的距离，
所以由题意可得2+p 2=3，解得p ＝2，
所以抛物线的方程为：y 2＝4x ；
（2）证明：设直线l 的方程为x ＝my +t ，t ＞0，
联立{x =my +t y 2=4x
，整理可得：y 2﹣4my ﹣4t ＝0， 可得：y 1y 2＝﹣4t ，x 1x 2=y 12y 2216=t 2， OA →⋅OB →
=x 1x 2+y 1y 2＝t 2﹣4t ＝12，t ＞0，
解得t ＝6，
所以直线l 的方程为：x ＝my +6，
所以直线恒过定点（6，0）．
【点评】本题考查抛物线的性质及直线与抛物线的综合，及直线恒过定点的求法，属于中档题．
3．在直角坐标系xOy 中，曲线E ：y ＝x 2+mx ﹣2与x 轴交于A ，B 两点，点C 的坐标为（0，
1）．
（1）若点B 在点A 的右边，曲线上存在一点D ，使得CD →=CA →+2CB →，求曲线E 的表达式；
（2）证明过A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．
【分析】（1）设A （x 1，0），B （x 2，0），则x 1，x 2满足x 2+mx ﹣2＝0，由韦达定理可得，x 1+x 2＝﹣m ，x 1x 2＝﹣2，
再由CD →=CA →+2CB →，点C 的坐标为（0，1），可得D 点的坐标，将D 点的坐标代入曲线E 上，即可求解．
（2）根据已知条件，分别求解BC ，AB 的中垂线方程，联立求得圆心坐标，即可求解半径r ，再结合垂径定理和勾股定理，即可求证．
【解答】解：（1）设A （x 1，0），B （x 2，0），
则x 1，x 2满足x 2+mx ﹣2＝0，
由韦达定理可得，x 1+x 2＝﹣m ，x 1x 2＝﹣2，
∵CD →=CA →+2CB →，点C 的坐标为（0，1），
∴D （x 1+2x 2，﹣2），
∵点D 在曲线E 上，
∴(x 1+2x 2)2+m(x 1+2x 2)−2=−2，
∴x 1+2x 2＝﹣m 或x 1+2x 2＝0，
当x 1+2x 2＝0时，与①联立可得，m ＝1，
当x 1+2x 2＝﹣m 时，与①联立，m 不存在，
综上所述，y ＝x 2+x ﹣2．
（2）证明：∴BC 的中点坐标为（
x 22，12）， ∴BC 的中垂线方程为y −12=x 2(x −x 22)，
由（1）可得，x 1+x 2＝﹣m ，
故AB 的中垂线方程为x =−m 2，
联立{x =−m 2y −12=x 2(x −x 22)，可得{x =−m 2y =−12
， ∴过A ，B ，C 三点的圆的圆心坐标为(−m 2，−12)，半径r =√m 2+92， 故圆在y 轴上截得的弦长为2√r 2−(m 2
)2=3，
∴即过点A ，B ，C 三点的圆在y 轴上截得的弦长为定值．
【点评】本题主要考查直线与圆锥曲线的综合应用，需要学生较强的综合能力，属于中档题．
4．设椭圆C ：x 29+y 25=1长轴的左，右顶点分别为A ，B ． （1）若P 、Q 是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线AP ，BQ 的斜率分别为k 1，k 2（k 1k 2≠0），求|k 1|+|k 2|的最小值；
（2）已知过点D （0，﹣3）的直线l 交椭圆C 于M 、N 两个不同的点，直线AM ，AN 分别交y 轴于点S 、T ，记DS →=λDO →，DT →
=μDO （O 为坐标原点），当直线1的倾斜角θ为锐角时，求λ+μ的取值范围．
【分析】（1）设点P （x 0，y 0），由椭圆的对称性可知点Q （x 0，﹣y 0），不妨令y 0＞0，利用两点间斜率公式以及点P 在椭圆上，得到|k 1|+|k 2|=103y 0，由y 0的取值范围求解即可； （2）设点M ，N 的坐标，设直线l 的方程，与椭圆的方程联立，通过△＞0求出k 的范围，表示出直线AM 和AN 的方程，求出点S 和点T 的坐标，利用向量的坐标表示，求出λ+μ，结合韦达定理进行化简，由k 的范围即可得到答案．
【解答】解：（1）设点P （x 0，y 0），由椭圆的对称性可知点Q （x 0，﹣y 0）， 不妨令y 0＞0，由题意可知A （﹣3，0），B （3，0），
所以k 1=y 0x 0+3，k 2=−y 0x 0−3
， 由题意可知，﹣3＜x 0＜3，
所以|k 1|+|k 2|=y 03+x 0+y 03−x 0=6y
09−x 02， 由点P 在椭圆上，则
x 029+y 025=1， 则9−x 02=9y 025，
所以|k 1|+|k 2|=10
3y 0，
因为0＜y 0≤√5，
所以|k 1|+|k 2|=103y 0≥2√53
， 当且仅当y 0=√5时等号成立，即|k 1|+|k 2|的最小值为
2√53； （2）当直线l 的倾斜角θ为锐角时，设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），
设直线l 的方程为y ＝kx ﹣3（k ＞0），
联立方程组{y =kx −3
x 29
+y 25=1，可得（5+9k 2）x 2﹣54kx +36＝0， 从而△＝（54k ）2﹣4×36×（5+9k 2）＞0，又k ＞0，解得k ＞23，
所以x 1+x 2=54k
9k 2+5，x 1x 2=
369k 2+5， 又直线AM 的方程是y =y 1x 1+3(x +3)， 令x ＝0，解得y =3y 1x 1+3，所以点S 为（0，3y 1x 1+3
）； 直线AN 的方程是y =3y 2x 2+3(x +3)，同理点T 为(0，3y 2x 2+3)， 所以DS →
=(0，3y 1x 1+3+3)，DT →=(0，3y 2x 2+3)，DO →=(0，3)， 因为记DS →=λDO →，DT →=μDO ，
所以3y 1
x 1+3+3=3λ，3y 2
x 2+3+3=3μ，
所以λ+μ=
y 1x 1+3+y 2x 2+3+2 =kx 1−3x 1+3+kx 2−3x 2+3
+2 =2k 1k 2+3(k−1)(x 1+x 2)−18x 1x 2+3(x 1+x 2)+9
+2 =2k⋅369k 2+5+3(k−1)⋅54k 9k 2+5−18369k 2+5+3×54k 9k 2+5+9+2 =−109×k+1(k+1)2+2 =−109×1k+1+2，
因为k ＞23，所以λ+μ∈(43，2)，
综上所述，所以λ+μ的范围是(43，2)．
【点评】本题考查了椭圆标准方程的的应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于中档题．。