2019届高考数学二轮复习 第二部分专项二 专题四 1 第1讲 专题强化训练 Word版含解析

一、选择题

1．(2018·长沙模拟)如图是一个正方体，A，B，C为三个顶点，D是

棱的中点，则三棱锥A-BCD的正视图、俯视图是(注：选项中的上图为正

视图，下图为俯视图)()

解析：选A.正视图和俯视图中棱AD和BD均看不见，故为虚线，易知选A.

2．(2018·高考北京卷)某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为()

A．1 B．2

C．3 D．4

解析：选C.将三视图还原为直观图，几何体是底面为直角梯形，且一条侧棱和底面垂直的四棱锥，如图所示．

易知，BC∥AD，BC＝1，AD＝AB＝P A＝2，

AB⊥AD，P A⊥平面ABCD，故△P AD，△P AB为直角三角形，

因为P A⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，

所以P A⊥BC，又BC⊥AB，且P A∩AB＝A，

所以BC⊥平面P AB，又PB⊂平面P AB，所以BC⊥PB，

所以△PBC为直角三角形，容易求得PC＝3，CD＝5，PD＝22，

故△PCD不是直角三角形，故选C.

3．(2018·沈阳教学质量监测(一))如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某简单几何体的三视图，则该几何体的体积为()

A.4π3

B.8π3

C.16π3

D.32π3

解析：选A.由三视图可得该几何体为半圆锥，底面半圆的半径为2，高为2，则其体积V ＝12×1

3×π×22×2＝4π3

，故选A.

4．(2018·西安八校联考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )

A.4π3

B.5π3 C ．2＋2π

3

D ．4＋2π

3

解析：选B.由三视图可知，该几何体为一个半径为1的半球与一个底面半径为1，高为2的半圆柱组合而成的组合体，故其体积V ＝23π×13＋1

2π×12×2＝5π3

，故选B.

5．(2018·长春质量检测(一))已知矩形ABCD 的顶点都在球心为O ，半径为R 的球面上，AB ＝6，BC ＝23，且四棱锥O -ABCD 的体积为83，则R 等于( )

A ．4

B ．2 3 C.47

9

D.13

解析：选A.如图，设矩形ABCD 的中心为E ，连接OE ，EC ，由球的性质可得OE ⊥平面ABCD ，所以V O ­ABCD ＝13·OE ·S 矩形ABCD ＝1

3

×OE

×6×23＝83，所以OE ＝2，在矩形ABCD 中可得EC ＝23，则R ＝OE 2＋EC 2＝4＋12＝4，故选A.

6．(2018·南昌调研)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为( )

A.2

3 B.43 C ．2

D.83

解析：选A.由三视图可知，该几何体为三棱锥，将其放在棱长为2的正方体中，如图中三棱锥A -BCD 所示，故该几何体的体积V ＝13×1

2×1

×2×2＝2

3

.

7．(2018·辽宁五校协作体联考)如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线及粗虚线画出的是三棱锥的三视图，则此三棱锥的体积是( )

A ．8

B ．16

C ．24

D ．48

解析：选A.由三视图还原三棱锥的直观图，如图中三棱锥P ­ABC 所示，且长方体的长、宽、高分别为6，2，4，△ABC 是直角三角形，AB ⊥BC ，AB ＝2，BC ＝6，三棱锥P -ABC 的高为4，故其体积为13×

12×6×2×4＝8，故选A.

8．将一个底面半径为1，高为2的圆锥形工件切割成一个圆柱体，能切割出的圆柱的最大体积为( )

A.π27

B.8π27

C.π3

D.2π9

解析：选B.如图所示，设圆柱的半径为r ，高为x ，体积为V ，由题意可得r 1＝2－x

2，所以x ＝2－2r ，所以圆柱的体积V ＝πr 2(2－2r )＝2

π(r 2－r 3)(0<r <1)，设V (r )＝2π(r 2－r 3)(0<r <1)，则V ′(r )＝2π(2r －3r 2)，由2π(2r －3r 2

)＝0得r ＝23，所以圆柱的最大体积V max ＝2π⎣⎡⎦

⎤⎝⎛⎭⎫232－⎝⎛⎭⎫23

3＝8π

27

. 9．(2018·福州模拟)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为 ( )

A ．14

B ．10＋4 2 C.21

2

＋4 2 D.21＋32

＋4 2

解析：选D.由三视图可知，该几何体为一个直三棱柱切去一个小三棱锥后剩余的几何体，如图所示．所以该多面体的表面积S ＝2×⎝⎛⎭⎫22－12×1×1＋12×(22－12)＋12×22＋2×22＋12×3

2×(2)2＝21＋3

2

＋42，故选D. 10．(2018·太原模拟)某几何体的三视图如图所示，则该几何体中最长的棱长为( )

A ．3 3

B ．2 6

C.21 D ．2 5

解析：选B.由三视图得，该几何体是四棱锥P -ABCD ，如图所示，ABCD 为矩形，AB ＝2，BC ＝3，平面P AD ⊥平面ABCD ，过点P 作PE ⊥AD ，则PE ＝4，DE ＝2，所以CE ＝22，所以最长的棱PC ＝PE 2＋CE 2＝26，故选B.

11．(2018·南昌调研)已知三棱锥P -ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 满足AB ＝22，∠ACB ＝90°，P A 为球O 的直径且P A ＝4，则点P 到底面ABC 的距离为( )

A. 2 B ．2 2 C. 3

D ．2 3

解析：选B.取AB 的中点O 1，连接OO 1，如图，在△ABC 中，AB ＝22，∠ACB ＝90°，所以△ABC 所在小圆O 1是以AB 为直径的圆，所以O 1A ＝2，且OO 1⊥AO 1，又球O 的直径P A ＝4，所以OA ＝2，所以OO 1＝OA 2－O 1A 2＝2，且OO 1⊥底面ABC ，所以点P 到平面ABC 的距离为2OO 1＝2 2.

12．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为( )

A.334

B.233

C.324

D.32

解析：选A.记该正方体为ABCD -A ′B ′C ′D ′，正方体的每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，即共点的三条棱A ′A ，A ′B ′，A ′D ′与平面α所成的角都相等．如图，连接AB ′，AD ′，B ′D ′，因为三棱锥A ′­AB ′D ′是正三棱锥，所以A ′A ，A ′B ′，A ′D ′与平面AB ′D ′所成的角都相等．分别取C ′D ′，B ′C ′，BB ′，AB ，AD ，DD ′的中点E ，F ，G ，H ，I ，J ，连接EF ，FG ，GH ，IH ，IJ ，JE ，

易得E ，F ，G ，H ，I ，J 六点共面，平面EFGHIJ 与平面AB ′D ′平行，且截正方体所得截面的面积最大．又EF ＝FG ＝GH ＝IH ＝IJ ＝JE ＝22，所以该正六边形的面积为6×34×

⎝⎛⎭⎫222＝334，所以α截此正方体所得截面面积的最大值为33

4

，故选A.

二、填空题

13．(2018·洛阳第一次联考)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．