高考数学压轴解答题专项练(四)

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压轴解答题专项练(四) 解析几何(二)

1．(2015·南昌模拟)已知抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ，过F 的直线l 交抛物线C 于点A ，B ，当直线l 的倾斜角是45°时，AB 的中垂线交y 轴于点Q (0，5)．

(1)求p 的值；

(2)以AB 为直径的圆交x 轴于点M ，N ，记劣弧MN ︵的长度为S ，当直线l 绕F 旋转时，

求S |AB |

的最大值． 2．(2015·濮阳模拟)如图，已知椭圆C ：x 24

＋y 2＝1，A 、B 是四条直线x ＝±2，y ＝±1所围成的矩形的两个顶点．

(1)设P 是椭圆C 上任意一点，若

＝m ＋n ，求证：动点Q (m ，n )在定圆上运动，并求出定圆的方程；

(2)若M 、N 是椭圆C 上两个动点，且直线OM 、ON 的斜率之积等于直线OA 、OB 的斜率之积，试探求△OMN 的面积是否为定值，说明理由．

3．(2015·开封模拟)已知点P 是圆F 1：(x ＋1)2＋y 2＝16上任意一点(F 1是圆心)，点F 2与点F 1关于原点对称．线段PF 2的中垂线m 分别与PF 1、PF 2交于M 、N 两点．

(1)求点M 的轨迹C 的方程；

(2)直线l 经过F 2，与抛物线y 2＝4x 交于A 1，A 2两点，与C 交于B 1，B 2两点．当以B 1B 2为直径的圆经过F 1时，求|A 1A 2|.

4．(2015·开封模拟)已知圆的方程为x 2＋y 2＝4，过点M (2，4)作圆的两条切线，切点分

别为A 1、A 2，直线A 1A 2恰好经过椭圆C 1：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点和上顶点． (1)求直线A 1A 2的方程及椭圆C 1的方程；

(2)椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率，求椭圆C 2的方程；

(3)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，

＝2，求直线AB 的方程．

答案

1． 解：(1)抛物线C ：x 2＝2py (p ＞0)的焦点为F ⎝⎛⎭

⎫0，p 2， 当l 的倾斜角为45°时，l 的方程为y ＝x ＋p 2

， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，

由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋p 2，x 2＝2py ，

得x 2－2px －p 2＝0， x 1＋x 2＝2p ，y 1＋y 2＝x 1＋x 2＋p ＝3p ，得AB 中点为D ⎝⎛⎭

⎫p ，32p ， AB 中垂线为y －32

p ＝－(x －p )， 把x ＝0代入得y ＝52

p ＝5. ∴p ＝2.

(2)设l 的方程为y ＝kx ＋1，代入x 2＝4y 得x 2－4kx －4＝0，

|AB |＝y 1＋y 2＋2＝k (x 1＋x 2)＋4＝4k 2＋4，

AB 中点为D (2k ，2k 2＋1)，

令∠MDN ＝2α，S ＝2α·12

|AB |＝α·|AB |， ∴S |AB |＝α， D 到x 轴的距离|DE |＝2k 2＋1，

cos α＝|DE |12

|AB |＝2k 2＋12k 2＋2， 当k 2＝0时cos α取最小值12，α取得最大值为π3

. 故S |AB |的最大值为π3

. 2．解：(1)证明：易求A (2，1)，B (－2，1)．

设P (x 0，y 0)，则x 204＋y 20＝1.由＝m ＋n ，得⎩

⎪⎨⎪⎧x 0＝2（m －n ），y 0＝m ＋n ，

所以4（m －n ）24＋(m ＋n )2＝1，故点Q (m ，n )在定圆x 2＋y 2＝12

上． (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则y 1y 2x 1x 2＝－14

. 平方得x 21x 22＝16y 21y 22＝(4－x 21)(4－x 22)，即x 21＋x 22＝4.

因为直线MN 的方程为(x 2－x 1)y －(y 2－y 1)x ＋x 1y 2－x 2y 1＝0， 所以O 到直线MN 的距离为d ＝|x 1y 2－x 2y 1|

（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1）2， 所以△OMN 的面积S ＝12|MN |·d ＝12

|x 1y 2－x 2y 1| ＝12x 21y 22＋x 22y 21

－2x 1x 2y 1y 2 ＝12

x 21⎝⎛⎭⎫1－x 224＋x 22⎝⎛⎭⎫1－x 214＋12x 21x 22＝12x 21＋x 22＝1. 故△OMN 的面积为定值1.

3．解：(1)由题意得，F 1(－1，0)，F 2(1，0)，圆F 1的半径为4，且|MF 2|＝|MP |， 从而|MF 1|＋|MF 2|＝|MF 1|＋|MP |＝|PF 1|＝4＞|F 1F 2|，

∴点M 的轨迹是以F 1，F 2为焦点的椭圆，

其中长轴2a ＝4，得到a ＝2，焦距2c ＝2，

则短半轴b ＝3，

椭圆方程为：x 24＋y 2

3

＝1. (2)当直线l 与x 轴垂直时，B 1⎝⎛⎭⎫1，32，B 2⎝

⎛⎭⎫1，－32， 又F 1(－1，0)，

此时·≠0，所以以B 1B 2为直径的圆不经过F 1，不满足条件． 当直线l 不与x 轴垂直时，设l ：y ＝k (x －1)，

由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k （x －1），x 24＋y 23＝1，

得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0， 因为焦点在椭圆内部，所以恒有两个交点．

设B 1(x 1，y 1)，B 2(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝8k 2

3＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2， 因为以B 1B 2为直径的圆经过F 1，所以·＝0，又F 1(－1，0)， 所以(－1－x 1)(－1－x 2)＋y 1y 2＝0，即(1＋k 2)x 1x 2＋(1－k 2)(x 1＋x 2)＋1＋k 2＝0，

所以解得k 2＝97

，