高等数学(解析几何)图形

y2
z
L
投影柱面
x2 y2 1
得交线L：
1
所求投影曲线为
x2 y2 1 z 1
x2 y2 1
x2 y2 1 .

.
z 0
.
o
.
.
x
y
z =0
2
25. 空间曲线作为投影柱面的交线(1)
2 y2 z2 4x 4z
L:

y
2

3z 2
关于xoy面:
(x,y,z) (x,y,-z)
关于x轴:
(x,y,z) (x,-y,-z)
M(x,y,z)
y
P
(x,y,-z)
关于原点:
(x,y,z) (-x,-y,-z)
.
2. 两矢量和在轴上的投影 两矢量的和在轴上的投影等于投影的和
c
B A
A´
B´
c´
u
2. 两矢量和在轴上的投影 两矢量的和在轴上的投影等于投影的和

.
1. 空间直角坐标系
八个卦限
z
0 y
x
1. 空间直角坐标系
八个卦限
z
0 y
.
x
1. 空间直角坐标系
八个卦限
点的坐标
Ⅳ
Ⅲ
z z
Ⅱ
Ⅰ
M (x,y,z)
M (x,y,z)
0
y
y
.
x
N
x
Ⅵ
Ⅷ
Ⅴ
1. 空间直角坐标系
z
坐标和点
z
(x,y,z) M
M (x,y,z)
00
y
y
x
N
x
.
1. 空间直角坐标系
（移动及转动都是等速进 行，所以z与t成正比。)
Q
当 t 从 0 2，
螺线从点P Q PQ 2b 叫螺距
.
0 t
P
x
点P在圆柱面上等速地绕z轴旋转； 同时又在平行于z轴的方向 等速地上升。 其轨迹就是圆柱螺线。
M
a
y
N
24. 空间曲线在坐标面上的投影
求曲面z 2 x2 y2 及 z x2 y2 的交线L在 xoy 平面的投影。
x 2 y 2 = 0 a2 b2 z = 0
绕 x 轴一周
.
x
z
o
y
13. 旋转锥面
两条相交直线
x 2 y 2 = 0 a2 b2 z = 0
绕 x 轴一周
得旋转锥面
.
x2 y2 z2

0
a2
b2
.
x
z
o
y
14. 旋转抛物面
抛物线
y2

x

az 0
| c | [(a b) c 0 ] (a b) c
由矢量和的平行四边形法则，
(a+b)c=(a c)+(b c)
得证
a c0
(a+b)c=(a c)+(b c)
将平行四边形一投一转
c
a+bLeabharlann bc0ab1 b1
ac
(a b) c0
bc0
a 1a 1

8x

12
z
将 其 换 成投 影 柱 面 的 交 线
y2 = – 4x ( 消去z )
0 x
y2 = – 4x
y
25. 空间曲线作为投影柱面的交线(1)
2 y2 z2 4x 4z
L:

y
2

3z 2

8x

12
将 其 换 成投 影 柱 面 的 交 线
y2+(z – 2)2 = 4 z
14 旋转抛物面
15 环面
16 椭球面
17 椭圆抛物面
18 双曲抛物面
19 双曲面的渐近锥面
20 单叶双曲面是直纹面
21 双曲抛物面是直纹面
22 一般锥面
23 空间曲线——圆柱螺线
24 空间曲线在坐标面上的投影
25 空间曲线作为投影柱面的交线(1)
26 空间曲线作为投影柱面的交线(2)
27 作出平面y=0 , z=0，3x+y =6, 3x+2y =12 和 x+y+z = 6所围成的立体图形
ab
h
c
.

b
a
4. 混合积的几何意义 | [abc] || a b c | | a b | | Pr jabc | S h V
因此，三矢 a, b, c共面 其混合积 [abc] = 0
ab
h
c
.

b
a
5. 一般柱面 F(x,y)=0
(不含z)
F(x,y)=0表示母线平行于z轴的柱面
.
或 (x2 y2 z2 R2 r 2 )2 4R2(x2 z2 )
15.环面
.
救生圈
16. 椭球面 x2 y2 z2 1 a2 b2 c2
截痕法
用z = h截曲面 用y = m截曲面 用x = n截曲面
z
c
o a
x
by
17. 椭圆抛物面
x2 y2
p2
q2
2z
z
截痕法
用z = a截曲面
用y = b截曲面
用x = c截曲面
y
0
x
17. 椭圆抛物面
x2 y2
p2
q2
2z
z
截痕法
用z = a截曲面
用y = b截曲面
用x = c截曲面
y
0
.
x
18. 双曲抛物面（马鞍面）
x2 y2
z
p2 q2
z
截痕法
用z = a截曲面
x
用y = 0截曲面
解
由
z z

2 x2
x2 y2

y2
z
得交线L：
1
x2 y2 1 z 1
o
x
.
y
24. 空间曲线在坐标面上的投影
求曲面z 2 x2 y2 及 z x2 y2 的交线L在 xoy 平面的投影。
解
由
z z

2 x2
x2 y2
x
双曲面和锥面任意接近。
z
o
y
20. 单叶双曲面是直纹面
x2 y2 z2 1
a2 b2 c2
含两个直母线系
.
直纹面在建筑学上有意义
例如，储水塔、 电视塔等建筑都 有用这种结构的。
21. 双曲抛物面是直纹面
x2 y2 z
a2 b2
含两个直母线系
22. 一般锥面
方程 F(x,y,z)= 0是 n次齐次的： 若 F (tx, ty, tz) t n F ( x, y, z). t是任意数
绕
z
轴一周
z
o
y
14. 旋转抛物面
抛物线
y2

x

az 0
绕
z
轴一周
z
.
o
y
x
14. 旋转抛物面
抛物线
y2

x

az 0
绕
z
轴一周
z 得旋转抛物面
x2 y2 z
a
.
x
.
o
y
生活中见过这个曲面吗？
14. 例
卫星接收装置
.
15.环面 圆（x R)2 y 2 r 2 (R r 0) 绕 y轴 旋转所成曲面 y
y2 = – 4x ( 消去z ) y2+(z – 2)2 = 4 (消去x )

y b

z
绕 x 轴一周
得双叶旋转双曲面
.
x2 a2

y2 z2 b2
1
x
z
0
y
.
12. 单叶旋转双曲面
上题双曲线
x2 y2

a
2

b2
1
z 0
绕 y 轴一周
y
o
a
x
12. 单叶旋转双曲面
上题双曲线
x2 y2

a
2

b2
1
z 0
绕 y 轴一周
.
z
y
o
a
x
12. 单叶旋转双曲面
上题双曲线
x2 y2

a
2

b2
1
z 0
绕 y 轴一周
得单叶旋转双曲面 . .
x2 z2 y2
1
a2
b2
z
y
o
a
x
.
13. 旋转锥面 两条相交直线
x 2 y 2 = 0 a2 b2 z = 0
绕 x 轴一周
x
o
y
13. 旋转锥面 两条相交直线
n次齐次方程 F(x,y,z)= 0 的图形是以原点为顶点的锥面；
z
准线
顶点 0
y
x
反之，以原点为顶点的锥面的方程是 n次齐次方程 F(x,y,z)= 0.
锥面是直纹面
23. 空间曲线——圆柱螺线
圆柱面 x 2 y 2 a 2
z
M(x,y,z)
x = acos t y = asin t
z = bt
证明 两矢方向: 一致；引入
|a2|= |a1|
| a

| cos(
)
2
| a | sin a c0
将矢量a一投一转（转900）， 得a2
c
c0
a
证毕

a2
a1
3. 证明矢量积的分配律:
| c | (a c 0 ) a c | c | (b c0 ) b c
28 作出曲面x2 y 2 a， 2 x2 z 2 a2 , x 0, y 0, z 0所围立体 图形
29 作出曲面 z 1 x2 y2 和 x2 y2 z 1 所围立体图形 30 平面 x a, y a, z a, x y z a 在第一卦限所围立体图形
y
.
x
10. 旋转面的方程
曲线 C
f ( y, z) 0

x

0
绕 z轴
z
旋转一周得旋转曲面 S M(x,y,z) S
P M
N (0, y1 , z1 ) .
ff (y11,,zz11))==00 .
z1 z
| y1 | MP x 2 y 2
Sz
z1 C
o
y1
y
.

x

0
绕 z轴
z
.
C
o
y
x
10. 旋转面的方程
曲线 C
f ( y, z) 0

x

0
绕 z轴
z
旋转一周得旋转曲面 S
M(x,y,z) S
f (y1, z1)=0
z1 z
| y1 | MP x 2 y 2
P M
Sz
o
N (0, y1 , z1 ) .
z1 C
y1
bc
.
a1 b1
a1 b1
(a+b)c
.
4. 混合积的几何意义 | [abc] || a b c | | a b | | Pr jabc | S h V
ab
h c
b
S=|a b| a
4. 混合积的几何意义 | [abc] || a b c | | a b | | Pr jabc | S h V
x
z
00
P
M点到原点的距离
M点到坐标面的距离
M点到坐标轴的距离
到z轴: d1 x 2 y2
到x轴: d2 z 2 y 2
d1
M (x,y,z) 到y轴: d3 x2 z2
d3
d2
Q
y
N
. . .
.
1. 空间直角坐标系
z
00
(-x,-y,-z) R
x
Q
(x,-y,-z)
x
M点的对称点
z 曲面S上每一点都满足方程；
母线
x F( x,y )=0 准线 z= 0
M (x,y,z) 0
S
y
N (x, y, 0)
点N满足方程，故点M满足方程
曲面S外的每一点都不满足方程
6. 一般柱面 F(y, z)=0
(不含x)
z 准线
F( y, z )=0
x= 0
母线 0 y
x
F(y,z)=0表示母线平行于x轴的柱面
§3 空间解析几何
主 目 录( 1— 30 )
1 空间直角坐标系
2 两矢量和在轴上的投影
3 矢量积的分配律的证明
4 混合积的几何意义
5 一般柱面 F(x,y)=0
6 一般柱面 F(y,z)=0
7 椭圆柱面
8 双曲柱面
9 抛物柱面
10 旋转面的方程
11 双叶旋转双曲面
12 单叶旋转双曲面
13 旋转锥面
Pr j AB AB
c
Pr j BC BC
B A
Pr j AC AC
A´
B´
c´
u
.
AB BC AC
.
Pr j AB Pr j BC Pr j AC
3. 证明矢量积的分配律: (a+b)c=(a c)+(b c)
引理 a c a2
7. 椭圆柱面
z
x2 y2 1
a2 b2
o
y
x
8. 双曲柱面 z
x2 z2 a2 b2 1
o
y
x
9. 抛物柱面
z
y 2 2 px
o
y x
10. 旋转面的方程
曲线 C
f ( y, z) 0

x

0
绕 z轴
z
C
o
y
10. 旋转面的方程
曲线 C
f ( y, z) 0
r
o
R
x
15.环面 圆（x R)2 y 2 r 2 (R r 0) 绕 y轴 旋转所成曲面 y
o z
x
.
15.环面 圆（x R)2 y 2 r 2 (R r 0) 绕 y轴 旋转所成曲面 y
生活中见过这个曲面吗？
o
x
.
z
环面方程
( x2 z 2 R)2 . y2 r 2
0
用x = b截曲面
y
18. 双曲抛物面（马鞍面）
x2 y2
z
p2 q2
z
截痕法
用z = a截曲面
x
用y = 0截曲面
0
用x = b截曲面
y
.
18. 双曲抛物面（马鞍面）
x2 y2
z