中考试卷---2010年南京市数学试题及解析

南京市2010年初中毕业生学业考试
数学
注意事项：
1．本试卷共6页．满分120分．考试时间为120分钟，考生答题全部答在答题卡，答在本试卷上无效．
2．请认真核对监考教师在答题卡上所粘贴条形码的姓名、考试证号是否与本人相符合，再将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡及本试卷上．
3．答选择题必须用2B铅笔将答题卡对应的答案标号涂黑，如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡上的指定位置，在其他位置一律无效．
4．作图必须用2B铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚．
一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题
目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置
．．．．．．．上）
1． -3的倒数是（）
A．-3 B．3 C．
1
3
D．
1
3
2．计算a3·a4的结果是（）
A．a5 B．a7 C．a8 D．a12
3．如图，下列各数中，数轴上点A表示的可能是（）
A．4的算术平方根B．4的立方根
C．8的算术平方根D．8的立方根
4．甲种蔬菜保鲜适宜的温度是1℃~5℃，乙种蔬菜保鲜适宜的温度是3℃~8℃，将这两种蔬菜放在一起同时保鲜，适宜的温度是（）
A．1℃~3℃B．3℃~5℃
C．5℃~8℃D．1℃~8℃
5．如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点C的坐标是（3，4），则顶点A、B的坐标分别是（）
A．（4，0）（7，4）B．（4，0）（8，4）
C．（5，0）（7，4）D．（5，0）（8，4）
6．如图，夜晚，小亮从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的
变化而变化，那么表示y与x之间的函数关系的图象大致为（）
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡
．．．
相应位置
．．．．上）
7． -2的绝对值的结果是_____．
8．函数
1
1
y
x
=
-
中，自变量x的取值范围是_____．
9．南京地铁2号线（含东延线）、3号线南延线开通后，南京地铁总里程约为85000m，将85000用科学记数法表示为_____．
10．如图，O是直线l上一点，∠AOB=100°，则∠1+∠2=_____°．
11a≥0）的结果是_____．
12．若反比例函数的图象经过点（-2，-1），则这个函数的图象位于第_____象限．
13．甲、乙两人5次射击命中的环数如下：
甲 7 9 8 6 10
乙 7 8 9 8 8
则这两人5次射击命中的环数的平均数x甲=x乙=8，方差2s
甲_____2s
乙
．（填“＞”、“＜”或“=”）
14．如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，C为切点．若两圆的半径分别为3cm 和5cm，则AB的长为_____cm．
15．如图，点C在⊙O上，将圆心角∠AOB绕点O按逆时针方向旋转到∠A/OB/，旋转角为α（0°＜α＜180°）．若∠AOB=30°，∠BCA/=40°，则∠α=_____°．
16．如图，AB⊥BC，AB=BC=2 cm，
ºOA与»OC关于点O中心对称，则AB、BC、»CO、ºOA所围成的图形的面积是_____ cm2．
三、解答题（本大题共12小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（6分）解方程组
24,
2 5.
x y
x y
+=
+=⎧
⎨
⎩
18．（6分）计算
22
11
()
a b
a b ab
-
-÷．
19．（6分）为了估计西瓜、苹果和香蕉三种水果一个月的销售量，某水果店对这三种水果7天的销售量进行了统计，统计结果如图所示．
（1）若西瓜、苹果和香蕉的售价分别为6元/千克、8元/千克和3元/千克，则这7天销售额
．．．最大的水果品种是（）；
A．西瓜B．苹果C．香蕉
（2）估计一个月（按30天计算）该水果店可销售苹果多少千克？
20．（7分）如图，小明欲利用测角仪测量树的高度．已知他离树的水平距离BC为10m，测角仪的高度CD 为1.5m，测得树顶A的仰角为33°．求树的高度AB．
（参考数据：sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65）
21．（7分）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△ABC≌△BAD．求证：（1）OA=OB；（2）AB∥CD．
22．（7分）已知点A（1，1）在二次函数y=x2-2ax+b的图象上．
（1）用含a的代数式表示b；
（2）如果该二次函数的图象与x轴只有一个交点，求这个二次函数的图象的顶点坐标．
23．（9分）某厂为新型号电视机上市举办促销活动，顾客每购买一台该型号电视机，可获得一次抽奖机会，该项厂拟按10%设大奖，其余90%为小奖．
厂家设计的抽奖方案是：在一个不透明的盒子中，放入10黄球和90个白球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸到黄球的顾客获得大奖，摸到白球的顾客获得小奖．
（1）厂家请教了一位数学老师，他设计的抽奖方案是：在一个不透明的盒子中，放入2黄球和3个白球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出2个球，摸到的2个球都是黄球的顾客获得大奖，其余的顾客获得小奖．该抽奖方案符合厂家的设奖要求吗？请说明理由；
（2）下图是一个可以自由转动的转盘，请你交转盘分为2个扇形区域，分别涂上黄、白两种颜色，并设计抽奖方案，使其符合厂家的设奖要求．（友情提醒：1．在用文字说明和扇形的圆心角的度数．2．结合转盘简述获奖方式，不需说明理由．）
24．（8分）甲车从A地出发以60km/h的速度沿公路匀速行驶，0.5h后，乙车也从A地出发，以80km/h的速度沿该公路与甲车同向匀速行驶，求乙车出发几小时追上甲车．
请建立一次函数关系
．．．．．．．．解决上述问题．
25．（8分）如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠DAB=45°，BC∥AD，CD∥AB．
（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积（结果保留π）．
26．（8分）学习《图形的相似》后，我们可以探索两个直角三角形全等的条件所获得的经验，继续探索两个直角三角形相似的条件．
（1）“对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，两个直角三角形全等”，类似地，你可以得到“满足_____，或_____，两个直角三角形相似”；
（2）“满足斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”，类似地，你可以得到满足_____两个直角三角形相似”．请结合下列所给图形，写出已知，并完成说理过程．
已知：如图，_____．
试说明Rt△ABC∽Rt△A/B/C/．
27．（8分）某批发商以每件50元的价格购进800件T恤．第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单位应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓时单价为40元．设第二个月单价降低x元．
（1）填表（不需要化简）
（2）如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？
28．（8分）如图，正方形ABCD的边长是2，M是AD的中点．点E从点A出发，沿AB运动到点B停止．连接EM并延长交射线CD于点F，过M作EF的垂线交射线BC于点G，连接EG、FG．
（1）设AE=x时，△EGF的面积为y．求y关于x的函数关系式，并填写自变量x的取值范围；
（2）P是MG的中点，请直接写出点P运动路线的长．
南京市2010年初中数学毕业生学业考试
数学参考答案
1、【分析】由实数a（a≠0）的倒数是1
a
得-3的倒数是
1
3-
，化简得
1
3
-．
【答案】C
2、【分析】计算同底数的乘法时，需将底数保持不变，指数相加．a3·a4= a3+4=a7．
【答案】B
3、【分析】观察数轴发现：点A 在2与3之间，因此可排除选项A 和D ；再由4的立方根小于2再排除选项B ．所以本题答案选C ．
【答案】C
4、【分析】可将问题转化求不等式组15,38.x x ⎧⎨⎩
≤≤≤≤的解集，如图可得解集为3≤x ≤5；也可将问题理解为：适宜两种蔬菜放在一起同时保鲜的温度是指同时满足“1℃~5℃”与“3℃~8℃”，因此需要取这两部分温度的共同部分（即两个集合的交集）．
【答案】B
5、【分析】由点C 的坐标为（3，4）易知OC =5，结合象限得点A 的坐标为（5，0），排除选项A 、B ；进而再由BC =OA =OC =5得点B 的坐标为（8，4），从而选D ．
【答案】D
6、【分析】由生活经验知：当小亮走到路灯的正下方时，此时影长为0，因此可排除选项C 、D ；在确定答案是选项A 或B 上感觉不好下手．设小亮身高为a ，路灯C 到路面的距离为h ，点A 到路灯正下方的距离
为b ，如图，由中心投影得a y h b x y =-+，整理得a ab y x h a h a
=-+--，因此答案为A ．
【答案】A
7、【分析】由一个负数的绝对值是它的相反数得：-2的绝对值是-（-2）=2．本题也可根据“-2的绝对值表示-2的点到原点的距离为2”来求解．
【答案】2
8、【分析】由函数的意义得x -1≠0，解得x ≠1．
【答案】x ≠1
9、【分析】85000=8.5×10000=8.5×104．．
8531
【答案】8.5×104
10、【分析】观察图形得∠1+∠2+∠AOB=180°，所以∠1+∠2=180°-∠AOB=180°-100°=80°．
【答案】80
11、====4·|a| =4a．
【答案】4a
12、【分析】设该反比例函数的关系式为
k
y
x
=，根据题意得1
2
k
-=
-
，所以k=-1×（-2）=2＞0，因
此该反比例函数位于第一、三象限．
【答案】一、三
13、【分析】通过观察甲、乙两组数据发现：乙组数据为3个8，1个7、1个9；甲组数据为6、7、8、9、10各1个．因此甲组数据与平均数8离散程度较大，乙组数据与平均数8离散程度较小，所以方差
2 s 甲＞2s
乙
．本题也可通过计算方差进行比较，但是计算较繁，容易出错．
【答案】＞
14、
【分析】连接OA、OC，由切线的意义知△OAC为直角三角形，再由勾股定理得OA2=OC2+AC2，即52=32+AC2，
所以AC=4，再由垂径定理得AB=2AC=8．
【答案】8
15、【分析】根据圆心角的意义得∠BOA/=2∠BCA/=80°，所以∠α=∠AOB+∠BOA/=30°+80°
=110°．
【答案】110
16、【分析】连接AC，根据中心对称的意义，将“AB、BC、
»CO、ºOA所围成的图形的面积”转化为求直角三角形ABC的面积，由AB=BC=2 cm得S△ABC=2 cm2．
【答案】2
17、【答案】解法一：②×2，得2x +4y =10．③
③-①，得3y =6．
解这个方程得y =2．
将y =2代入①，得x =1．
所以原方程组的解为1
2x y ==⎧⎨⎩．
解法二：由①，得y =4-2x ．③
将③代入②，得x +2(4-2x )=4，
解这个方程得x =1．
将x =1代入③，得y =2．
所以原方程组的解为1
2x y ==⎧⎨⎩．
18、【答案】2211()a b a b ab --÷=()()
b a
a b a b ab ab -+-÷=()()
b a ab ab a b a b -+-g =()()a b ab ab a b a b --+-g =1()
a b -+． 19、【分析】（1）由“销售额=售价×数量”得西瓜的销售额为250×6=1500元，苹果的销售额为140×8=1120元，西瓜的销售额为400×3=1200元，因此西瓜的销售最大；（2）观察图形知该水果店7天销售的苹果为140千克，平均每天为20千克，因此一个月可销售苹果大约为20×30=600千克．
【答案】（1）A ；
（2）140÷7×30=600（千克）．
答：估计一个月该水果店可销售苹果600千克．
20、【分析】观察图形发现可过点D作DE⊥AB，构造直角三角形ADE，由tan∠ADE=AE
DE
得AE=DE·tan∠
ADE≈10×0.65=6.5，因此AB=AE+BE=AE+CD=6.5+1.5=8m．【答案】如图，过点D作DE⊥AB，垂足为E．
在Rt△ADE中，DE=BC=10，∠ADE=33°，tan∠ADE=AE DE
，
∴AE=DE·tan∠ADE≈10×0.65=6.5，
∴AB=AE+BE=AE+CD=6.5+1.5=8（m）．
答：树的高度AB约为8 m．
21、【分析】（1）欲证OA=OB，观察图形发现OA、OB在△OAB中，因此若能得到∠OAB=∠OBA，则问题得证，而∠OAB=∠OBA可由△ABC≌△BAD得到；（2）观察图形知问题AB∥CD可由∠OAB=∠OCD得到，又∠OAB=∠OBA，若∠OCD=∠ODC，再由∠COD=∠AOB结合三角形内角和是180°得到．而由条件△ABC≌△BAD可得BD=AC，又因为OA=OB，所以OC=OD，所以∠OCD=∠ODC，问题获证．
【答案】（1）∵△ABC≌△BAD，∴∠CAB=∠DBA，∴OA=OB．
（2）∵△ABC≌△BAD，∴AC=BD．
又∵OA=OB，∴∠OCD=∠ODC．
∵∠AOB=∠COD，∠CAB=
180
2
AOB
-∠
，∠ACD=
180
2
COD
-∠
，
∴∠CAB=∠ACD，∴AB∥CD．
22、【分析】（1）根据题意得1=1-2a+b，所以b=2a；（2）由题意知方程x2-2ax+b=0有两个相等的实数根，所以所以4a2-4b=0，由（1）b=2a得4a2-8a=0，解得a=0，或a=2．进而分类可求得该二次函数的图象的顶点坐标．
【答案】（1）因为点A（1，1）在二次函数y=x2-2ax+b的图象上，所以1=1-2a+b，可得b=2a．（2）根据题意，方程x2-2ax+b=0有两个相等的实数根，所以4a2-4b=4a2-8a=0，解得a=0，或a=2．
当a=0时，y=x2，这个二次函数的顶点坐标为（0，0）；
当a=2时，y=x2-4x+4，这个二次函数的顶点坐标为（2，0）．
所以，这个二次函数的顶点坐标为（0，0）或（2，0）．
23 【分析】（1）是否符合要求是指该数学老师设计的方案能否体现“10%得大奖，90%得小奖”的厂家意图，因此可将数学老师的方案用排列法或画树状图的方法得到概率．如用黄1、黄2、白1、白2、白3表示这5个球．从中任意摸出2个球，可能出现的结果有：（黄1，黄2）、（黄1，白1）、（黄1，白2）、（黄1，白3）、（黄2，白1）、（黄2，白2）、（黄2，白3）、（白1，白2）、（白1，白3）、（白2，白3），共有10种，它们出现的可能性相同．所有的结果中，满足摸到2个球都是黄球（记为事件A）的结果有1种，即（黄
1，黄2），所以P（A）=
1
10
．即顾客获得大奖的概率为10%，获得小奖的概率为90%．数学老师设计的方案
符合要求；（2）本题求解方法不唯一，画图时只需将该转盘（圆）平均分为10份，某种颜色占1份，另一种颜色占9分．顾客购买该型号电视机时获得一次转动转盘的机会，指向1份颜色获得大奖，指向9份颜色获得小奖即可．
【答案】（1）该抽奖方案符合厂家的设奖要求．
分别用黄1、黄2、白1、白2、白3表示这5个球．从中任意摸出2个球，可能出现的结果有：（黄1，黄2）、（黄1，白1）、（黄1，白2）、（黄1，白3）、（黄2，白1）、（黄2，白2）、（黄2，白3）、（白1，白2）、（白1，白3）、（白2，白3），共有10种，它们出现的可能性相同．
所有的结果中，满足摸到2个球都是黄球（记为事件A）的结果有1种，即（黄1，黄2），所以P（A）= 1
10
．即顾客获得大奖的概率为10%，获得小奖的概率为90%．
（2）本题答案不唯一，下列解法供参考．
如图，将转盘中圆心角为36°的扇形区域涂上黄色，其余的区域涂上白色．顾客每购买一台该型号电视机，可获得一次转动转盘的机会，任意转动这个转盘，当转盘停止时，指针指向黄色区域获得大奖，指向白色区域获得小奖．
24 【分析】乙车出发几小时追上甲车是指两车行驶路程相等或在平面直角坐标系两条直线交点的意义，因此设乙车出发xh后，甲、乙两车离A地的路程分别是y1km、y2km，得y1=60x+30，y2=80x．当乙车追上甲车时，y1= y2，即60x+30=80x．解得x=1.5h．
【答案】本题答案不唯一，下列解法供参考．
设乙车出发xh后，甲、乙两车离A地的路程分别是y1km、y2km．
根据题意，得y1=60（x+0.5）=60x+30，y2=80x．
当乙车追上甲车时，y1= y2，即60x+30=80x．
解这个方程得x=1.5（h）．
答：乙车出发1.5h追上甲车．
25 【分析】（1）欲判断直线CD与⊙O的位置关系，由图形可猜想其结论为相切，由条件∠DAB=45°，CD ∥AB知∠ADC=135°，再连接OD得∠ADO=45°，因此∠ODC=90°，猜想得证；（2）观察图形发现阴影部分可在梯形ODCB中求解或在平行四边形ABCD中求解，如
【答案】（1）直线CD与⊙O相切．如图，连接OD．
∵OA=OD，∠DAB=45°，∴∠ODA=45°，∴∠AOD=90°．
∵CD∥AB，∴∠ODC=∠AOD=90°，即OD⊥CD．
又∵点D在⊙O上，直线CD与⊙O相切．
（2）∵BC∥AD，CD∥AB，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=2．∴S梯形OBCD=()(12)13
222 OB CD OD
++⨯
==
g
，
∴图中阴影部分的面积为S 梯形OBCD -S 扇形OBD = 3
13212424ππ-⨯=-．
26 【分析】（1）我们知道：两个三角形只要满足两个角对应相等，则这两个三角形相似．由于两个直角三角形的中的直角相等是问题的隐含条件，因此只需再有一个锐角对应相等即可判定它们相似．类比“两直角边对应相等，两个直角三角形全等”可知“两直角对应成比例时” 两个直角三角形相似；（2）HL 是判定两个直角三角形全等的特殊方法，类比全等可得：斜边和一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似．说理时可从全等是相似的特例入手，利用参数法，设两个直角三角形对应边的比值为k ，进而转化为三角形相似的判定条件获解．
【答案】（1）一个锐角对应相等，两直角对应成比例；
（2）斜边和一条直角边对应成比例．
在Rt △ABC 和Rt △A /B /C /中，∠C =∠C /=90°，////AB
AC
A B A C =． 解法一：设////
AB AC
A B A C ==k ，则AB = k A /B /，AC = k A /C /．
在Rt △ABC 和Rt △A /B /C /中，
//BC k B C ===， ∴//////AB AC BC
A B A C B C ==，
∴Rt △ABC ∽Rt △A /B /C /．
解法二：如图，假设AB ＞A /B /，在AB 上截取AB = A /B /，过点B 作BC ⊥AC ，垂足为C ．
∵∠C =∠ACB ，∴BC ∥BC ，∴Rt △ABC ∽Rt △A /BC ，////AC AB
AC AB =．
∵AB = A /B /，∴////AC AB
AC A B =．
又∵////AB AC A B A C =，∴//AC AC =//AC A C ，∴AC =A /C /． ∵AB = A /B /，∠C =∠ACB =90°，
∴Rt △ABC ≌Rt △A /B /C /，∴Rt △ABC ∽Rt △A /B /C /
．
27 【分析】（1）由“第二个月单价降低x 元”知第二个月的单价为（80-x ），销售量为（200+10 x ）件，清仓时为总数量分别减去前面两个月的剩余量，即800-200-（200+10x ）；（2）我们销售额-成本=利润，由“获利9000元”建立方程得80×200+（80-x ）（200+10x ）+40[800-200-（200+10x ）] -50×800=9000，化简后求解．
【答案】（1）80-x ，200+10x ，800-200-（200+10x ）；
（2）根据题意，得
80×200+（80-x ）（200+10x ）+40[800-200-（200+10x ）] -50×800=9000．
整理，得x 2-20x +100=0，解这个方程得x 1= x 2=10，
当x =10时，80-x =70＞50．
答：第二个月的单价应是70元．
28 【分析】（1）欲求y 关于x 的函数关系式，即△EGF 的面积，观察图形发现S △EGF =12
EF ·MG ，由条件
AM =DM 及正方形的性质可得△AME ≌△DMF ，所以EF =2EM ，因此求出面积的关键是求出MG ．结合图形发现过点M 作MN ⊥BC ，垂足为N 可得Rt △AME ∽Rt △NMG ，进而运用相似三角形的性质得到MG 的长，问题获解；
（2）如图，P 1P 2（P 1是P 起始位置，
P 2是P 终止位置．）是点P 运动的路线，由Rt △ABM ∽Rt △P 1P 2M ，AB =2AM ，得P 1P 2=2MP 1=2．
【答案】（1）当点E 与点A 重合时，x =0，y =1
2×2×2=2；
当点E 与点A 不重合时，0＜x ≤2．
2G 1
在正方形ABCD 中，∠A =∠ADC =90°，
∴∠MDF =90°，∴∠A =∠MDF ．
∵AM =DM ，∠AMF =∠DMF ，∴△A M E ≌△DMF ，∴ME =MF ．
在Rt △AME 中，AE =x ，AM =1，ME EF =2MF
过点M 作MN ⊥BC ，垂足为N （如图）．则∠MNG =90°，∠AMN =90°，MN =AB =AD =2AM ．
∴∠AME +∠EMN =90°．
∵∠EMG =90°，∴∠GMN +∠EMN =90°，∴∠AME =∠GMN ，
∴Rt △AME ∽Rt △NMG ， ∴AM
ME NM MG =，即1
2ME MG =，
∴MG =2ME ，
∴y =12EF ·MG =1
2×x 2+2，
∴y =2x 2+2，其中0≤x ≤2．
（2）点P 运动路线的长为2．。