数字信号处理实验
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y=filter(p,d,x)实现差分方程的仿真 y=conv(x,h)计算卷积 y=impz(p,d,N)求系统的冲激响应
例5：计算信号的卷积
i=0:1:49 x(n)=sin(2*pi*i/50) h1(n)=[zeros(1,10),1,zeros(1,20)];
h2(n) =[zeros(1,20),1,zeros(1,10)];
图1.1给出了卷积结果的图形，求得的结果存放在数 组c中为：{-2 -4 1 3 1 5 1 -3}。
例2用MATLAB计算差分方程的输出：
已知输入序列 ,求输出 解 MATLAB程序如下： N=41; a=[0.8 -0.44 0.36 0.22]; b=[1 0.7 -0.45 -0.6]; x=[1 zeros(1,N-1)]; k=0:1:N-1; y=filter(a,b,x); stem(k,y) xlabel('n');ylabel('幅度')
1.5
2 1
0
0.5
分析范围：[0, 2π] 分析范围：[0, π]
0.5 1 /
1.5
2 1
end
要求
验证线性卷积的线性性质 分析输出和输入之间相对位移与对应系统的h(n)之间的 关系 绘制x(n),h(n)和y(n)。给出分析结果
例4（选做）
编制程序求解下列两个系统的单
位冲激响应和阶跃响应，并绘出其图形。要求分
数字信号处理实验
实验安排
实验一 序列的基本运算 实验二 快速傅立叶变换（FFT）及其应用 实验三 IIR数字滤波器的设计
实验四 FIR数字滤波器的设计
实验一序列的基本运算
一、实验目的
1．在理论学习的基础上，通过本实验，加深对序列基本运算 的理解；
2．熟悉利用matlab软件做简单的仿真实验；
二、实验原理及内容
h3(3)=h1(n)+h2(n);
求下列信号，并画图
y1(n)=x(n)*h1(n), y2(n)=x(n)*h2(n), y3(n)=x(n)*h3(n)
要求
验证线性卷积的线性性质 分析输出和输入之间相对位移与对应系统的h(n)之间的 关系 绘制x(n),h(n)和y(n)。给出分析结果
。
1.5
1
0.5
幅度
0 -0.5 -1 0
5
10
15
20 n
25
30
35
40
图 1.2 给出了该差分方程的前41个样点的输出，即该系统的 单位脉冲响应。表达式进原理图输入。
例3 用MATLAB计算差分方程所对应 的系统函数的频率响应
解 例2差分方程所对应的系统函数为：
0.8 0.44 z 1 0.36 z 2 0.02 z 3 H ( z) 1 0.7 z 1 0.45 z 2 0.6 z 3
Exit
实验报告要求
简述实验原理，列出实验程序清单，并附上必要的程
序说明。
记录调试运行情况及所遇问题的解决方法。 记录实验结果，实验后，对结果进行分析。
实验二 快速傅立叶变换（FFT）及其应用
一、实验目的
在理论学习的基础上，通过本实验，加深对FFT的理解， 熟悉FFT子程序。
熟悉应用FFT对典型信号进行频谱分析的方法 了解应用FFT进行信号频谱分析过程中可能出现的问题 以便在实际中正确应用FFT。 熟悉应用FFT实现两个序列线性卷积的方法。 熟悉应用FFT实现两个序列相关的方法。
FFT并不是与DFT不同的另一种变换，而是为了减少
DFT运算次数的一种快速算法。它是对变换式进行一次次分 解，使其成为若干小点数的组合，从而减少运算量。常用的
FFT是以2为基数的，其长度 N=2L，它的效率高，程序简单
使用非常方便，当要变换的序列长度不等于2的整数次方 时，为了使用以2为基数的FFT，可以用末位补零的方法，
例1 用MATLAB 下列序列的离散卷积： {-2 0 1 –1 3}，{1 2 0 -1} 解 MATLAB程序如下： a=[-2 0 1 -1 3]; b=[1 2 0 -1];
c=conv(a,b);
M=length(c)-1; n=0:1:M; stem(n,c); xlabel('n'); ylabel('幅度');
二、实验原理及内容
在各种信号序列中，有限长序列信号处理占有很重要地位，对有 限长序列，我们可以使用离散Fouier变换(DFT)。 这一变换不但可以很好的反映序列的频谱特性，而且易于用快速 算法在计算机上实现，当序列x(n)的长度为N时，它的DFT定义为：
反换为：
有限长序列的DFT是其Z变换在单位圆上的等距采样，或 者是序列Fourier变换的等距采样，因此可以用于序列的谱 分析。
别用 filter、conv、impz三种函数完成，给出理
论计算结果和程序计算结果并讨论。
y[n] 0.75y[n 1] 0.125y[n 2] x[n] x[n 1] y[n] 0.25{x[n 1] x[n 2] x[n 3] x[n 4]}
理解matlab显示的相关函数中点与rxy(0)或者ryx(0)之间 的关系
分析相关函数rxy与ryx之间的关系 理解掌握max(rxy )的相对于matlab显示的相关函数中点 的位置关系与参与运算的两信号之间的时差关系 分析输出y1与y2互相关的最大值的位置place_y（相对 于中点），分析输出h1与h2互相关的最大值的位置 place_h（相对于中点） 讨论place_y与place_h的关系，可以得出怎样的结论？ 绘制各种相关函数曲线，给出分析结果
(2) 泄漏 实际中我们往往用截短的序列来近似很长 的甚至是无限长的序列，这样可以使用较短的 DFT来对信号进行频谱分析，这种截短等价于 给原信号序列乘以一个矩形窗函数，也相当于 在频域将信号的频谱和矩形窗函数的频谱卷积， 所得的频谱是原序列频谱的扩展。 泄漏不能与混叠完全分开，因为泄漏导致 频谱的扩展，从而造成混叠。为了减少泄漏的 影响，可以选择适当的窗函数使频谱的扩散减 至最小。
其FT为
0.8 0.44e j 0.36e j 2 0.02e j 3 H (e j ) 1 0.7e j 0.45e j 2 0.6e j 3
用MATLAB计算的程序如下： k=256; num=[0.8 -0.44 0.36 0.02]; den=[1 0.7 -0.45 -0.6]; w=0:pi/k:pi; h=freqz(num,den,w); subplot(2,2,1); plot(w/pi,real(h));grid title(‘实部’) xlabel('\omega/\pi');ylabel('幅度')
实部 6 4 10 6 5 4 0 2 -5 0 -10 -2
虚部
2 0 -2
0
0.5
0.5 1 / 幅度谱
1.5
2 1
Amplitude litude
幅度
幅值
4 2 0
弧度
幅 度
0
0.5
0.5 1 / 相位谱
1.5
2 1
8 6
4 3 2 0 1 -2 0 -4 -1
0
0.5
0.5 1 /
(2)观察衰减正弦序列xb(n)的时域和幅频特性，a=0.1， f=0.0625，检查谱峰出现位置是否正确，注意频谱的形状， 绘出幅频特性曲线，改变f，使f分别等于0.4375和0.5625， 观察这两种情况下，频谱的形状和谱峰出现位置，有无混叠 和泄漏现象？说明产生现象的原因。
(3)观察三角波和反三角波序列的时域和幅频特 性，用N=8点FFT分析信号序列xc(n)和xd(n)的幅 频特性，观察两者的序列形状和频谱曲线有什么 异同？绘出两序列及其幅频特性曲线。在xc(n) 和xd(n)末尾补零，用N=16点FFT分析这两个信号 的幅频特性，观察幅频特性发生了什么变化？两 情况的FFT频谱还有相同之处吗？这些变化说明 了什么？ (4)一个连续信号含两个频率分量，经采样得 x(n)=sin2π *0.125n+cos2π *(0.125+Δ f)n n=0,1……,N-1 已 知 N=16，Δ f 分 别 为 1 / 1 6 和 1/64，观察其频谱；当N=128时，Δ f不变，其结 果有何不同，为什么？
使其长度延长至2的整数次方。
(一)、在运用DFT进行频谱分析的过程中可能产生三 种误差： (1) 混叠 序列的频谱时被采样信号的周期延拓，当采样速率不 满足Nyquist定理时，就会发生频谱混叠，使得采样后的信 号序列频谱不能真实的反映原信号的频谱。 避免混叠现象的唯一方法是保证采样速率足够高，使 频谱混叠现象不致出现，即在确定采样频率之前，必须对 频谱的性质有所了解，在一般情况下，为了保证高于折叠 频率的分量不会出现，在采样前，先用低通模拟滤波器对 信号进行滤波。
用FFT可以实现两个序列的圆周卷积。在一定的条件下，可以使圆周 卷积等于线性卷积。一般情况，设两个序列的长度分别为N1和N2，要使 圆周卷积等于线性卷积的充要条件是FFT的长度 N≥N1＋N2 对于长度不足N的两个序列，分别将他们补零延长到N。 当两个序列中有一个序列比较长的时候，我们可以采用分段卷积的 方法。有两种方法： 重叠相加法。将长序列分成与短序列相仿的片段，分别用FFT对它们 作线性卷积，再将分段卷积各段重叠的部分相加构成总的卷积输出。 重叠保留法。这种方法在长序列分段时，段与段之间保留有互相重 叠的部分，在构成总的卷积输出时只需将各段线性卷积部分直接连接起 来，省掉了输出段的直接相加。
subplot(2,2,2); plot(w/pi,imag(h));grid title('虚部') xlabel('\omega/\pi');ylabel('Amplitude') subplot(2,2,3); plot(w/pi,abs(h));grid title('幅度谱') xlabel('\omega/\pi');ylabel('幅值') subplot(2,2,4); plot(w/pi,angle(h));grid title('相位谱') xlabel('\omega/\pi');ylabel('弧度')
相关结果的长度与信号长度的关系 值点判断两信号之间的相对时差
例6：利用相关运算 检测两个信号的相对时移
计算例5中y1(n)和y2(n)的互相关，根据互相关峰
计算h1(n)和h2(n)的互相关，根据峰值点位置判
断两信号之间的相对时差 对比上述两个互相关的关系，分析二者之间的关 系
要求
(三)、用周期图法(平滑周期图的平均法)对随机信号作谱分 析 实际中许多信号往往既不具有有限能量，由非周期性的。 无限能量信号的基本概念是随机过程，也就是说无限能量信 号是一随机信号。周期图法是随机信号作谱分析的一种方法， 它特别适用于用FFT直接计算功率谱的估值。 将长度为N的实平稳随机序列的样本x(n)再次分割成K段，每 段长度为L,即L=N/K。每段序列仍可表示为： xi(n)=x(n+(i-1)L)，0≤n≤L-1，1≤i≤K 但是这里在计算周期图之前，先用窗函数w(n)给每段序列 xi(n)加权，K个修正的周期图定义为
其中U表示窗口序列的能量，它等于：
在此情况下，功率谱估计量可表示为：
三、实验内容及步骤 实验中用到的信号序列： a) Gaussian序列
b) 衰减正弦序列
c) 三角波序列
反三角波序列
上机实验内容
(1)观察高斯序列的时域幅频特性，固定信号xa(n)中参数 p=8，改变q的值，使q分别等于2，4，8，观察它们的时域和 幅频特性，了解当q取不同值时，对信号序列的时域幅频特 性的影响；固定q=8，改变p，使p分别等于8，13，14，观察 参数p变化对信号序列的时域及幅频特性的影响，观察p等于 多少时，会发生明显的泄漏现象，混叠是否也随之出现？记 录实验中观察到的现象，绘出相应的时域序列和幅频特性曲 线。
DFT是对单位圆上Z变换的均匀采样，所以它不可 能将频谱视为一个连续函数，就一定意义上看，用DFT 来观察频谱就好像通过一个栅栏来观看一个图景一样， 只能在离散点上看到真实的频谱，这样就有可能发生 一些频谱的峰点或谷点被“尖桩的栅栏”所拦住，不 能别我们观察到。 减小栅栏效应的一个方法就是借助于在原序列的 末端填补一些零值，从而变动DFT的点数，这一方法 实际上是人为地改变了对真实频谱采样的点数和位置， 相当于搬动了每一根“尖桩栅栏”的位置，从而使得 频谱的峰点或谷点暴露出来。
例5：计算信号的卷积
i=0:1:49 x(n)=sin(2*pi*i/50) h1(n)=[zeros(1,10),1,zeros(1,20)];
h2(n) =[zeros(1,20),1,zeros(1,10)];
图1.1给出了卷积结果的图形，求得的结果存放在数 组c中为：{-2 -4 1 3 1 5 1 -3}。
例2用MATLAB计算差分方程的输出：
已知输入序列 ,求输出 解 MATLAB程序如下： N=41; a=[0.8 -0.44 0.36 0.22]; b=[1 0.7 -0.45 -0.6]; x=[1 zeros(1,N-1)]; k=0:1:N-1; y=filter(a,b,x); stem(k,y) xlabel('n');ylabel('幅度')
1.5
2 1
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分析范围：[0, 2π] 分析范围：[0, π]
0.5 1 /
1.5
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end
要求
验证线性卷积的线性性质 分析输出和输入之间相对位移与对应系统的h(n)之间的 关系 绘制x(n),h(n)和y(n)。给出分析结果
例4（选做）
编制程序求解下列两个系统的单
位冲激响应和阶跃响应，并绘出其图形。要求分
数字信号处理实验
实验安排
实验一 序列的基本运算 实验二 快速傅立叶变换（FFT）及其应用 实验三 IIR数字滤波器的设计
实验四 FIR数字滤波器的设计
实验一序列的基本运算
一、实验目的
1．在理论学习的基础上，通过本实验，加深对序列基本运算 的理解；
2．熟悉利用matlab软件做简单的仿真实验；
二、实验原理及内容
h3(3)=h1(n)+h2(n);
求下列信号，并画图
y1(n)=x(n)*h1(n), y2(n)=x(n)*h2(n), y3(n)=x(n)*h3(n)
要求
验证线性卷积的线性性质 分析输出和输入之间相对位移与对应系统的h(n)之间的 关系 绘制x(n),h(n)和y(n)。给出分析结果
。
1.5
1
0.5
幅度
0 -0.5 -1 0
5
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20 n
25
30
35
40
图 1.2 给出了该差分方程的前41个样点的输出，即该系统的 单位脉冲响应。表达式进原理图输入。
例3 用MATLAB计算差分方程所对应 的系统函数的频率响应
解 例2差分方程所对应的系统函数为：
0.8 0.44 z 1 0.36 z 2 0.02 z 3 H ( z) 1 0.7 z 1 0.45 z 2 0.6 z 3
Exit
实验报告要求
简述实验原理，列出实验程序清单，并附上必要的程
序说明。
记录调试运行情况及所遇问题的解决方法。 记录实验结果，实验后，对结果进行分析。
实验二 快速傅立叶变换（FFT）及其应用
一、实验目的
在理论学习的基础上，通过本实验，加深对FFT的理解， 熟悉FFT子程序。
熟悉应用FFT对典型信号进行频谱分析的方法 了解应用FFT进行信号频谱分析过程中可能出现的问题 以便在实际中正确应用FFT。 熟悉应用FFT实现两个序列线性卷积的方法。 熟悉应用FFT实现两个序列相关的方法。
FFT并不是与DFT不同的另一种变换，而是为了减少
DFT运算次数的一种快速算法。它是对变换式进行一次次分 解，使其成为若干小点数的组合，从而减少运算量。常用的
FFT是以2为基数的，其长度 N=2L，它的效率高，程序简单
使用非常方便，当要变换的序列长度不等于2的整数次方 时，为了使用以2为基数的FFT，可以用末位补零的方法，
例1 用MATLAB 下列序列的离散卷积： {-2 0 1 –1 3}，{1 2 0 -1} 解 MATLAB程序如下： a=[-2 0 1 -1 3]; b=[1 2 0 -1];
c=conv(a,b);
M=length(c)-1; n=0:1:M; stem(n,c); xlabel('n'); ylabel('幅度');
二、实验原理及内容
在各种信号序列中，有限长序列信号处理占有很重要地位，对有 限长序列，我们可以使用离散Fouier变换(DFT)。 这一变换不但可以很好的反映序列的频谱特性，而且易于用快速 算法在计算机上实现，当序列x(n)的长度为N时，它的DFT定义为：
反换为：
有限长序列的DFT是其Z变换在单位圆上的等距采样，或 者是序列Fourier变换的等距采样，因此可以用于序列的谱 分析。
别用 filter、conv、impz三种函数完成，给出理
论计算结果和程序计算结果并讨论。
y[n] 0.75y[n 1] 0.125y[n 2] x[n] x[n 1] y[n] 0.25{x[n 1] x[n 2] x[n 3] x[n 4]}
理解matlab显示的相关函数中点与rxy(0)或者ryx(0)之间 的关系
分析相关函数rxy与ryx之间的关系 理解掌握max(rxy )的相对于matlab显示的相关函数中点 的位置关系与参与运算的两信号之间的时差关系 分析输出y1与y2互相关的最大值的位置place_y（相对 于中点），分析输出h1与h2互相关的最大值的位置 place_h（相对于中点） 讨论place_y与place_h的关系，可以得出怎样的结论？ 绘制各种相关函数曲线，给出分析结果
(2) 泄漏 实际中我们往往用截短的序列来近似很长 的甚至是无限长的序列，这样可以使用较短的 DFT来对信号进行频谱分析，这种截短等价于 给原信号序列乘以一个矩形窗函数，也相当于 在频域将信号的频谱和矩形窗函数的频谱卷积， 所得的频谱是原序列频谱的扩展。 泄漏不能与混叠完全分开，因为泄漏导致 频谱的扩展，从而造成混叠。为了减少泄漏的 影响，可以选择适当的窗函数使频谱的扩散减 至最小。
其FT为
0.8 0.44e j 0.36e j 2 0.02e j 3 H (e j ) 1 0.7e j 0.45e j 2 0.6e j 3
用MATLAB计算的程序如下： k=256; num=[0.8 -0.44 0.36 0.02]; den=[1 0.7 -0.45 -0.6]; w=0:pi/k:pi; h=freqz(num,den,w); subplot(2,2,1); plot(w/pi,real(h));grid title(‘实部’) xlabel('\omega/\pi');ylabel('幅度')
实部 6 4 10 6 5 4 0 2 -5 0 -10 -2
虚部
2 0 -2
0
0.5
0.5 1 / 幅度谱
1.5
2 1
Amplitude litude
幅度
幅值
4 2 0
弧度
幅 度
0
0.5
0.5 1 / 相位谱
1.5
2 1
8 6
4 3 2 0 1 -2 0 -4 -1
0
0.5
0.5 1 /
(2)观察衰减正弦序列xb(n)的时域和幅频特性，a=0.1， f=0.0625，检查谱峰出现位置是否正确，注意频谱的形状， 绘出幅频特性曲线，改变f，使f分别等于0.4375和0.5625， 观察这两种情况下，频谱的形状和谱峰出现位置，有无混叠 和泄漏现象？说明产生现象的原因。
(3)观察三角波和反三角波序列的时域和幅频特 性，用N=8点FFT分析信号序列xc(n)和xd(n)的幅 频特性，观察两者的序列形状和频谱曲线有什么 异同？绘出两序列及其幅频特性曲线。在xc(n) 和xd(n)末尾补零，用N=16点FFT分析这两个信号 的幅频特性，观察幅频特性发生了什么变化？两 情况的FFT频谱还有相同之处吗？这些变化说明 了什么？ (4)一个连续信号含两个频率分量，经采样得 x(n)=sin2π *0.125n+cos2π *(0.125+Δ f)n n=0,1……,N-1 已 知 N=16，Δ f 分 别 为 1 / 1 6 和 1/64，观察其频谱；当N=128时，Δ f不变，其结 果有何不同，为什么？
使其长度延长至2的整数次方。
(一)、在运用DFT进行频谱分析的过程中可能产生三 种误差： (1) 混叠 序列的频谱时被采样信号的周期延拓，当采样速率不 满足Nyquist定理时，就会发生频谱混叠，使得采样后的信 号序列频谱不能真实的反映原信号的频谱。 避免混叠现象的唯一方法是保证采样速率足够高，使 频谱混叠现象不致出现，即在确定采样频率之前，必须对 频谱的性质有所了解，在一般情况下，为了保证高于折叠 频率的分量不会出现，在采样前，先用低通模拟滤波器对 信号进行滤波。
用FFT可以实现两个序列的圆周卷积。在一定的条件下，可以使圆周 卷积等于线性卷积。一般情况，设两个序列的长度分别为N1和N2，要使 圆周卷积等于线性卷积的充要条件是FFT的长度 N≥N1＋N2 对于长度不足N的两个序列，分别将他们补零延长到N。 当两个序列中有一个序列比较长的时候，我们可以采用分段卷积的 方法。有两种方法： 重叠相加法。将长序列分成与短序列相仿的片段，分别用FFT对它们 作线性卷积，再将分段卷积各段重叠的部分相加构成总的卷积输出。 重叠保留法。这种方法在长序列分段时，段与段之间保留有互相重 叠的部分，在构成总的卷积输出时只需将各段线性卷积部分直接连接起 来，省掉了输出段的直接相加。
subplot(2,2,2); plot(w/pi,imag(h));grid title('虚部') xlabel('\omega/\pi');ylabel('Amplitude') subplot(2,2,3); plot(w/pi,abs(h));grid title('幅度谱') xlabel('\omega/\pi');ylabel('幅值') subplot(2,2,4); plot(w/pi,angle(h));grid title('相位谱') xlabel('\omega/\pi');ylabel('弧度')
相关结果的长度与信号长度的关系 值点判断两信号之间的相对时差
例6：利用相关运算 检测两个信号的相对时移
计算例5中y1(n)和y2(n)的互相关，根据互相关峰
计算h1(n)和h2(n)的互相关，根据峰值点位置判
断两信号之间的相对时差 对比上述两个互相关的关系，分析二者之间的关 系
要求
(三)、用周期图法(平滑周期图的平均法)对随机信号作谱分 析 实际中许多信号往往既不具有有限能量，由非周期性的。 无限能量信号的基本概念是随机过程，也就是说无限能量信 号是一随机信号。周期图法是随机信号作谱分析的一种方法， 它特别适用于用FFT直接计算功率谱的估值。 将长度为N的实平稳随机序列的样本x(n)再次分割成K段，每 段长度为L,即L=N/K。每段序列仍可表示为： xi(n)=x(n+(i-1)L)，0≤n≤L-1，1≤i≤K 但是这里在计算周期图之前，先用窗函数w(n)给每段序列 xi(n)加权，K个修正的周期图定义为
其中U表示窗口序列的能量，它等于：
在此情况下，功率谱估计量可表示为：
三、实验内容及步骤 实验中用到的信号序列： a) Gaussian序列
b) 衰减正弦序列
c) 三角波序列
反三角波序列
上机实验内容
(1)观察高斯序列的时域幅频特性，固定信号xa(n)中参数 p=8，改变q的值，使q分别等于2，4，8，观察它们的时域和 幅频特性，了解当q取不同值时，对信号序列的时域幅频特 性的影响；固定q=8，改变p，使p分别等于8，13，14，观察 参数p变化对信号序列的时域及幅频特性的影响，观察p等于 多少时，会发生明显的泄漏现象，混叠是否也随之出现？记 录实验中观察到的现象，绘出相应的时域序列和幅频特性曲 线。
DFT是对单位圆上Z变换的均匀采样，所以它不可 能将频谱视为一个连续函数，就一定意义上看，用DFT 来观察频谱就好像通过一个栅栏来观看一个图景一样， 只能在离散点上看到真实的频谱，这样就有可能发生 一些频谱的峰点或谷点被“尖桩的栅栏”所拦住，不 能别我们观察到。 减小栅栏效应的一个方法就是借助于在原序列的 末端填补一些零值，从而变动DFT的点数，这一方法 实际上是人为地改变了对真实频谱采样的点数和位置， 相当于搬动了每一根“尖桩栅栏”的位置，从而使得 频谱的峰点或谷点暴露出来。