高中数学第7章解析几何初步7.3.1圆的标准方程学案湘教版必修3

7．3.1 圆的标准方程
[学习目标]
1．会用定义推导圆的标准方程；掌握圆的标准方程的特点． 2．会根据已知条件求圆的标准方程． 3．能准确判断点与圆的位置关系． [知识链接]
1．平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫圆． 2．确定一个圆的基本要素是圆心和半径．
3．平面上两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)间的距离公式|AB | [预习导引] 1．圆的定义
圆是在平面上到一个固定点的距离等于一个固定长度的所有的点组成的集合，这个固定的点就是圆心．这个固定的长度就是半径．
2．定理4：圆心为点(a ，b )、半径为r 的圆的方程为(x －a )2
＋(y －b )2
＝r 2
，称之为圆的标准方程．
3．圆心在原点(0，0)，半径为r 的圆的方程为x 2
＋y 2
＝r 2
． 4．点与圆的位置关系
设点P 到圆心的距离为d ，圆的半径为r ，则点与圆的位置有如表所示的对应关系.
要点一 点与圆的位置关系
例1 已知点A (1，2)不在圆C ：(x －a )2
＋(y ＋a )2
＝2a 2
的内部，求实数a 的取值范围． 解 由题意，点A 在圆C 上或圆C 的外部， ∴(1－a )2
＋(2＋a )2
≥2a 2
， ∴2a ＋5≥0，∴a ≥－5
2
，又a ≠0，
∴a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭
⎪⎫－52，0∪(0，＋∞)． 规律方法 判断点P (x 0，y 0)与圆(x －a )2
＋(y －b )2
＝r 2
的位置关系有几何法与代数法两种，对于几何法，主要是利用点与圆心的距离与半径比较大小．
对于代数法，主要是把点的坐标直接代入圆的标准方程，具体判断方法如下： ①当(x 0－a )2
＋(y 0－b )2
<r 2
时，点在圆内， ②当(x 0－a )2
＋(y 0－b )2
＝r 2
时，点在圆上， ③当(x 0－a )2
＋(y 0－b )2
>r 2
时，点在圆外．
跟踪演练1 点P (m 2
，5)与圆x 2
＋y 2
＝24的位置关系是( ) A ．在圆外 B ．在圆内 C ．在圆上 D ．不确定
答案 A
解析 把点P (m 2
，5)代入圆的方程x 2
＋y 2
＝24得m 4
＋25>24，故点P 在圆外． 要点二 求圆的标准方程
例2 求过点A (1，－1)，B (－1，1)且圆心在直线x ＋y －2＝0上的圆的方程． 解 法一 设点C 为圆心， ∵点C 在直线x ＋y －2＝0上， ∴可设点C 的坐标为(a ，2－a )． 又∵该圆经过A ，B 两点，∴|CA |＝|CB |.
∴（a －1）2
＋（2－a ＋1）2
＝（a ＋1）2
＋（2－a －1）2
， 解得a ＝1.
∴圆心坐标为C (1，1)，半径长r ＝|CA |＝2. 故所求圆的标准方程为(x －1)2
＋(y －1)2
＝4. 法二 由已知可得线段AB 的中点坐标为(0，0)，k AB ＝
1－（－1）
－1－1
＝－1，所以弦AB 的垂直
平分线的斜率为k ＝1，所以AB 的垂直平分线的方程为y －0＝1·(x －0)，即y ＝x .则圆心是直线y ＝x 与x ＋y －2＝0的交点，
由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ，x ＋y －2＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，
即圆心为(1，1)，圆的半径为（1－1）2＋[1－（－1）]2＝2， 故所求圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2
＝4.
规律方法 直接法求圆的标准方程时，一般先从确定圆的两个要素入手，即首先求出圆心坐
标和半径，然后直接写出圆的标准方程．
跟踪演练2 以两点A (－3，－1)和B (5，5)为直径端点的圆的方程是( ) A ．(x －1)2
＋(y －2)2
＝10 B ．(x －1)2＋(y －2)2
＝100 C ．(x －1)2
＋(y －2)2
＝5 D ．(x －1)2
＋(y －2)2
＝25
答案 D
解析 ∵线段AB 的中点坐标为(1，2)， ∴以AB 为直径的圆的圆心坐标为(1，2)， 半径r ＝12（5＋3）2＋（5＋1）2
＝5.
∴所求圆的方程为(x －1)2
＋(y －2)2
＝25. 要点三 圆的方程的综合应用
例3 已知圆心在x 轴上的圆C 与x 轴交于两点A (1，0)，B (5，0)， (1)求此圆的标准方程；
(2)设P (x ，y )为圆C 上任意一点，求P (x ，y )到直线x －y ＋1＝0的距离的最大值和最小值． 解 (1)由已知，得C (3，0)，
r ＝
|AB |
2
＝2， ∴所求圆的方程为(x －3)2
＋y 2
＝4. (2)圆心C 到直线x －y ＋1＝0的距离
d ＝
|3－0＋1|12
＋（－1）
2
＝2 2.
∴P 到直线的最大距离为2＋22，最小距离为22－2.
规律方法 解答此类题目经常应用圆的性质，解题过程中用数形结合的思想能有效地找到解题的捷径，即过圆心作已知直线的垂线，便于求解此题．
跟踪演练3 已知圆C ：(x －3)2
＋(y －4)2
＝1，点A (0，－1)，B (0，1)，设P 是圆C 上的动点，令d ＝|PA |2
＋|PB |2
，求d 的最大值及最小值． 解 设P (x ，y )，
则d ＝|PA |2
＋|PB |2
＝2(x 2
＋y 2
)＋2. ∵|CO |2
＝32
＋42
＝25，∴|CO |＝5， ∴(5－1)2
≤x 2
＋y 2
≤(5＋1)2
，
即16≤x 2
＋y 2≤36.∴d 的最小值为2×16＋2＝34， 最大值为2×36＋2＝74.
1．圆(x －2)2
＋(y ＋3)2
＝2的圆心和半径分别是( ) A ．(－2，3)，1 B ．(2，－3)，3 C ．(－2，3)， 2 D ．(2，－3)， 2
答案 D
解析 由圆的标准方程可得圆心坐标为(2，－3)，半径为 2. 2．以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是( ) A ．x 2
＋y 2
＝2
B ．x 2＋y 2
＝4 C ．(x －2)2
＋(y －2)2
＝8 D ．x 2
＋y 2
＝ 2
答案 B
解析 以原点为圆心，2为半径的圆，其标准方程为x 2
＋y 2
＝4.
3．已知两圆C 1：(x －5)2
＋(y －3)2
＝9和C 2：(x －2)2
＋(y ＋1)2
＝5，则两圆圆心间的距离为________． 答案 5
解析 C 1圆心为(5，3)，C 2圆心为(2，－1)，则d ＝（5－2）2
＋（3＋1）2
＝5. 4．圆的直径端点为A (2，0)，B (2，－2)，则此圆的标准方程为____． 答案 (x －2)2
＋(y ＋1)2
＝1
解析 圆心C (2，－1)，半径r ＝12（2－2）2＋（0＋2）2＝1，∴圆的标准方程为(x －2)
2
＋(y ＋1)2
＝1.
5．点(1，1)在圆(x ＋2)2
＋y 2
＝m 上，则圆的方程是________． 答案 (x ＋2)2
＋y 2
＝10
解析 因为点(1，1)在圆(x ＋2)2
＋y 2
＝m 上，故(1＋2)2
＋12
＝m ，∴m ＝10，即圆的方程为(x ＋2)2
＋y 2
＝10.
1．确定圆的方程主要方法是待定系数法，即列出关于a ，b ，r 的方程组求a ，b ，r 或直接求出圆心(a ，b )和半径r .另依据题意适时运用圆的几何性质解题可以化繁为简，提高解题效率．
2．讨论点与圆的位置关系可以从代数特征(点的坐标是否满足圆的方程)或几何特征(点到圆
心的距离与半径的关系)去考虑，其中利用几何特征较为直观、简捷.
一、基础达标
1．圆心为(1，－2)，半径为3的圆的方程是( )
A．(x＋1)2＋(y－2)2＝9 B．(x－1)2＋(y＋2)2＝3
C．(x＋1)2＋(y－2)2＝3 D．(x－1)2＋(y＋2)2＝9
答案 D
解析由题意可知，圆的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，故选D.
2．圆心为(0，4)，且过点(3，0)的圆的方程为( )
A．x2＋(y－4)2＝25 B．x2＋(y＋4)2＝25
C．(x－4)2＋y2＝25 D．(x＋4)2＋y2＝25
答案 A
解析由题意，圆的半径r＝（0－3）2＋（4－0）2＝5，则圆的方程为x2＋(y－4)2＝25. 3．与圆(x－3)2＋(y＋2)2＝4关于直线x＝－1对称的圆的方程为( )
A．(x＋5)2＋(y＋2)2＝4
B．(x－3)2＋(y＋2)2＝4
C．(x－5)2＋(y＋2)2＝4
D．(x－3)2＋y2＝4
答案 A
解析已知圆的圆心(3，－2)关于直线x＝－1的对称点为(－5，－2)，∴所求圆的方程为(x＋5)2＋(y＋2)2＝4.
4．若点(4a－1，3a＋2)不在圆(x＋1)2＋(y－2)2＝25的外部，则a的取值范围是( )
A．|a|<
5
5
B．|a|<1
C．|a|≤
5
5
D．|a|≤1
答案 D
解析由已知，得(4a)2＋(3a)2≤25.
∴a2≤1，∴|a|≤1.
5．圆心在y轴上，半径为1，且过点(1，2)的圆的方程为________．答案x2＋(y－2)2＝1
解析 设圆心(0，b )，则圆的方程为(x －0)2＋(y －b )2
＝1， 把(1，2)代入得12
＋(2－b )2
＝1，∴b ＝2. ∴圆的方程为x 2
＋(y －2)2
＝1.
6．已知点P (x ，y )在圆x 2
＋y 2
＝1上，则（x －1）2
＋（y －1）2
的最大值为________． 答案 1＋ 2 解析
（x －1）2
＋（y －1）2
的几何意义是圆上的点P (x ，y )到点(1，1)的距离，因此其
最大值为圆心(0，0)到点(1，1)的距离加半径，即为2＋1. 7．已知直线l 与圆C 相交于点P (1，0)和点Q (0，1)． (1)求圆心所在的直线方程；
(2)若圆C 的半径为1，求圆C 的方程． 解 (1)PQ 的方程为x ＋y －1＝0，
PQ 中点M ⎝
⎛⎭
⎪⎫12，12，k PQ ＝－1，所以圆心所在直线过点M ⎝
⎛⎭
⎪⎫12，1
2
，且斜率为1， 所以圆心所在的直线方程为y ＝x . (2)由条件设圆的方程为： (x －a )2
＋(y －b )2
＝1.
由圆过P ，Q 点得：⎩⎪⎨⎪⎧（1－a ）2
＋b 2
＝1，
a 2＋（1－
b ）2
＝1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0，b ＝0或⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝1，
b ＝1.
所以圆C 方程为：x 2＋y 2＝1或(x －1)2＋(y －1)2
＝1. 二、能力提升
8．已知一圆的圆心为点A (2，－3)，一条直径的端点分别在x 轴和y 轴上，则圆的方程是( )
A ．(x ＋2)2
＋(y －3)2
＝13 B ．(x －2)2
＋(y ＋3)2
＝13 C ．(x －2)2
＋(y ＋3)2
＝52 D ．(x ＋2)2
＋(y －3)2
＝52 答案 B
解析 如图，结合圆的性质可知，圆的半径r ＝（2－0）2
＋（－3－0）2
＝13.
故所求圆的方程为(x －2)2
＋(y ＋3)2
＝13.
9．若实数x ，y 满足(x ＋5)2
＋(y －12)2
＝142
，则x 2
＋y 2
的最小值为( ) A ．2 B ．1 C. 3 D. 2
答案 B
解析 由几何意义可知最小值为14－52
＋122
＝1. 10．已知实数x ，y 满足y ＝9－x 2
，则t ＝y ＋3
x ＋1
的取值范围是________． 答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－32∪⎣⎢⎡⎭
⎪⎫34，＋∞ 解析 y ＝9－x 2
表示上半圆，t 可以看作动点(x ，y )与定点(－1，－3)连线的斜率．如图：
A (－1，－3)，
B (3，0)，
C (－3，0)，
则k AB ＝34，k AC ＝－3
2，
∴t ≤－32或t ≥3
4
.
11．求圆心在直线x －2y －3＝0上，且过点A (2，－3)，B (－2，－5)的圆的标准方程． 解 法一 设点C 为圆心， ∵点C 在直线l ：x －2y －3＝0上， ∴可设点C 的坐标为(2a ＋3，a )． 又∵该圆经过A ，B 两点，∴|CA |＝|CB |. ∴（2a ＋3－2）2
＋（a ＋3）2
＝（2a ＋3＋2）2
＋（a ＋5）2
，解得a ＝－2.
∴圆心坐标为C (－1，－2)，半径r ＝10. 故所求圆的标准方程为(x ＋1)2
＋(y ＋2)2
＝10. 法二 设所求圆的标准方程为 (x －a )2
＋(y －b )2
＝r 2
，
由条件知⎩⎪⎨⎪⎧（2－a ）2
＋（－3－b ）2
＝r 2
，（－2－a ）2＋（－5－b ）2＝r 2
，a －2b －3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2，r 2＝10.
故所求圆的标准方程为(x ＋1)2
＋(y ＋2)2
＝10. 三、探究与创新
12．平面直角坐标系中有A (0，1)，B (2，1)，C (3，4)，D (－1，2)四点，这四点能否在同一个圆上？为什么？ 解 能．
设过A (0，1)，B (2，1)，C (3，4)的圆的方程为(x －a )2
＋(y －b )2
＝r 2
. 将A ，B ，C 三点的坐标分别代入得
⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋（1－b ）2＝r 2
，（2－a ）2＋（1－b ）2＝r 2
，（3－a ）2＋（4－b ）2＝r 2，
解得⎩⎨⎧a
＝1，
b ＝3，r ＝ 5.
∴圆的方程为(x －1)2
＋(y －3)2
＝5.
将D (－1，2)的坐标代入上式圆的方程左边， (－1－1)2
＋(2－3)2＝4＋1＝5， 即D 点坐标适合此圆的方程． 故A ，B ，C ，D 四点在同一圆上．
13．(1)如果实数x ，y 满足(x －2)2
＋y 2
＝3，求y x
的最大值和最小值；
(2)已知实数x ，y 满足方程x 2＋(y －1)2＝14，求（x －2）2＋（y －3）2
的取值范围．
解 (1)法一
如图，当过原点的直线l 与圆(x －2)2
＋y 2
＝3相切于上方时y x
最大，过圆心A (2，0)作切线l 的垂线交于B ，
在Rt△ABO 中，OA ＝2，AB ＝ 3. ∴切线l 的倾斜角为60°， ∴y x
的最大值为 3.
类似地容易求得y x
的最小值为－ 3. 法二 令y x
＝n ，则y ＝nx ，与(x －2)2＋y 2
＝3 联立消去y 得(1＋n 2
)x 2
－4x ＋1＝0， Δ＝(－4)2
－4(1＋n 2
)≥0，即n 2
≤3， ∴－3≤n ≤3，
即y x
的最大值、最小值分别为3，－ 3. (2)
（x －2）2
＋（y －3）2
可以看成圆上的点P (x ，y )到A (2，3)的距离．圆心C (0，1)到A (2，3)的距离为
d ＝（0－2）2＋（1－3）2＝2 2.
由图可知，圆上的点P (x ，y )到A (2，3)的距离的范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤22－12，22＋12. 所以（x －2）2
＋（y －3）2
的取值范围是
⎣⎢⎡⎦
⎥⎤22－12，22＋12.。