博弈论(本科)

博弈论
第一节、基本概念
1、定义：
是描述和研究行为者之间策略相互依存和相互作用的决策理论。

2、基本类型：
（1）静态与动态
（2）完全信息与不完全信息
3、基本要素：
参与者；策略；支付矩阵；顺序；概率。

第二节、基本的博弈策略
一、占优策略（静态、完全信息）
无论其他参与者采取什么策略，某参与者唯一的最优策略。

注意：不论是同时选择，还是先后选择，均衡结果是相同的。

不常见。

二、纳什均衡：
如果给定其他参与者的最优策略，某参与者的最优策略。

1、单一的纳什均衡（静态、完全信息）
海滩定位博弈（动态、完全信息）
2、两个纳什均衡（动态、完全信息）
3、经典模型与应用
智猪博弈：大股东与小股东；大户与散户；大企业与小企业等。

斗鸡博弈（两个纳什均衡）：抢占市场；夫妻矛盾；两军对垒等。

三、最大最小策略：
最大化最小所得的策略。

（静态、不完全信息）
第一、保守，而非利润最大化。

第二、对对手的“完全理性”或“完全信息”缺乏信心。

第三、对手的错误选择将给自己造成严重后果。

案例：两厂商决策是否研发新产品，厂商1目前具有竞争优势。

（2）厂商1如何最大化预期收益：
1无法确定2是否投资，但知道2不投资的可能性只有10%，1是否投资？
投资的预期收益：0.1×（-100）+0.9×20 = 8
不投资的预期收益：0.1×0+0.9×（-10）= -9
1应该投资。

如果1认为2不投资的可能性是30%，1是否投资？
投资的预期收益：0.3×（-100）+0.7×20 = -16
不投资的预期收益：0.3×0+0.7×（-10）= -7
1不应该投资。

四、混合策略（动态、不完全信息）
纯策略：参与者有一确定的最优策略。

混合策略：不存在确定的最优策略，参与者根据各种结果出现的概率，以一定的概率随机选择各种策略。

零和博弈
每个人都想猜透对方的策略，而又不想让对方猜透自己的策略。

只能统一对待。

流浪汉只有在政府不救济时才会找工作。

（1）政府的最优策略：
政府不可以选择救济或不救济的纯策略，因为流浪汉相应的策略使政府的效用降低。

政府应以某一概率选择救济(p)或不救济(1-p)，使流浪汉找工作和游荡的预期效用相同。

p×2+(1-p)×1 = p×3+(1-p)×0
p=0.5
当政府救济与否的概率都是0.5时（混合策略），则流浪汉
找工作的预期效用：0.5×2+0.5×1=1.5；
游荡的预期效用：0.5×3+0.5×0=1.5；
流浪汉找工作或游荡（纯策略），或者以任何概率选择找工作和游荡（混合策略）的预期效用都一样。

这是政府的最优策略。

因为，如果救济的概率大于不救济的概率，流浪汉游荡的预期效用大于找工作的预期效用，流浪汉会选择游荡（纯策略），政府也就要选择不救济（纯策略），流浪汉又找工作，政府又救济……，不能达成市场均衡。

反之亦然。

（2）流浪汉的最优策略：
流浪汉不可以选择找工作或游荡的纯策略，这会使政府选择相应的救济或不救济的纯策略使流浪汉的效用降低。

流浪汉应以某一概率选择工作（r）或游荡（1-r）,使政府救济和不救济的预期效用相同。

r×3+(1-r)×(-1)=r×(-1)+(1-r)×0
r=0.2
当流浪汉找工作的概率是0.2，游荡的概率是0.8时，则政府
救济的预期效用：0.2×3+0.8×（-1）= -0.2；
不救济的预期效用：0.2×（-1）+ 0.8×0 = -0.2；
政府救济或不救济（纯策略），或者以任何概率选择救济和不救济（混合策略）的预期效用都一样。

这是流浪汉的最优策略。

因为，如果找工作的概率大于0.2，政府救济的预期效用会大于不救济，政府会选择救济（纯策略），流浪汉又会游荡，政府又不救济……，不能形成均衡。

反之亦然。

（3）纳什均衡：
政府与流浪汉博弈的最终结果是：政府以0.5的概率选择救济，以0.5的概率选择不救济；流浪汉以0.2的概率选择找工作，以0.8的概率选择游荡。

如果最初的策略组合不是这样，博弈的最终结果应该如此。

例如，政府救济的概率最初是0.2，则流浪汉 找工作的预期效用：0.2×2+0.8×1=1.2； 游荡的预期效用：0.2×3+0.8×0=0.6；
流浪汉找工作的预期效用大于游荡的预期效用，流浪汉是否一定找工作呢？流浪汉如果一定找工作，则政府就会救济，流浪汉又会选择游荡，政府又会不救济，……。

流浪汉应选择某一概率的混合策略，使政府救济与否的期望效用相同。

政府又会根据流浪汉的混合策略调整自己救济与否的概率，使流浪汉找工作与否的期望效用相同，……。

双方反复调整，最终达成上述的均衡结果。

应用领域：税收检查与偷税；交通检查与违章；环保检查与排污等。

综合案例：
（2）纳什均衡；
（3）机器厂的最大最小策略；
（4）如果炼钢厂及时交货的可能性是90%，机器厂是否全部购买？ （5）如果是70%呢？
（6）混合策略中的纳什均衡。

第三节、合作与非合作博弈
——从1元钱竞拍游戏谈起
一、囚犯困境（静态）
非合作博弈（坦白、坦白）
——双方的优势策略，也是最大最小策略 ——最差的结局
——个人理性与团体理性的冲突，对“看不见手原理”的挑战。

合作博弈（不坦白、不坦白） ——双方最好的结局 ——合作需要条件。

二、合作的不稳定性（静态）
——不合作是协议双方的优势策略。

卡特尔协议中的欺骗行为
三、重复博弈（动态）
一次性静态博弈的结果是不合作，原因是利己的动机和欺骗行为不会受到惩罚。

重复博弈可以导致合作的结果，前提是双方都采取以牙还牙（针锋相对）策略。

1、无限次重复博弈
在“针锋相对”策略的前提下可以实现长期合作，博弈的均衡解是（合作、合作）。

例如，商家与消费者之间的博弈。

诚信的重要性，也是一种生产要素。

2、 有限次重复博弈
次数确定的有限次博弈的均衡解是（不合作、不合作）。

不能确定次数的有限次博弈相当于无限次博弈，合作的解是可以存在的。

四、讨价还价策略 （静态、完全信息）
第四节、策略举措(威胁与承诺)
通过自己的策略来影响对手的行为，使对手做出有利于自己的选择。

一、无威胁的策略举措
例如: 自己首先提高价格，希望对手也提高价格，实现双赢。

该举措有风险，实行的前提是该举措能低成本撤销。

二、有威胁的策略举措
1、不可信的威胁
进入与抵制（1）万美元
2、可信的威胁
第一，改变支付矩阵
在位者威胁进入者，将通过降价和扩大生产规模来抵制进入。

如对方不进入，该扩张是不必要的，会减少200万利润。

如对方进入，该扩张可抵制对方，保持利润水平不变。

第二，限制性定价——低成本信号。

短期内会降低利润，但如果抵制成功，可增加垄断下的长期利润。

第三，在业内形成敢作敢为、不计成本的“非理性”声誉。

思考：台海危机
第五节、序列博弈（动态）
一、先占策略
在许多场合，率先行动的一方具有很大优势。

例如：斯塔克尔伯格模型，勃兰特模型，卡特尔（垄断）。

如果不可能率先行动，可以向对方发出可信的威胁。

昂贵的宣传、定购原材料、甚至开始出售产品订单等。

案例：政府对垄断的扶持
（1）、政府不干预下的支付矩阵
（2）、政府扶持下的支付矩阵
二、博弈树
三、反向归纳（有限次博弈）
习题1
（2）国家台如果要打击对手可以如何行动，它的代价与风险是什么？
地方台如何避免？
（3）如果国家台可以率先行动，做出博弈树。

习题2
厂商1和2分别决策生产产品A 或B ，根据支付矩阵回答下列问题，并解释原因。

（1
（2）该博弈是否有纳什均衡？
（3）纳什均衡是否最好的结果，如何通过讨价还价实现双赢？（4）如果双方都采用极大化极小策略，结果是什么？
（5）如果厂商1可以首先决策，做出博弈树。