高考数学最新真题专题解析—函数的图象及性质

高考数学最新真题专题解析—函数的图象及性质
考向一 由函数图像求解析式
【母题来源】2022年高考全国乙卷（文科）
【母题题文】如图是下列四个函数中的某个函数在区间[3,3]-的大致图像，则该函数是（ ）
A. 3231x x y x -+=+
B. 321x x y x -=+
C. 22cos 1x x y x =+
D.
22sin 1
x y x =+ 【答案】A
【试题解析】设()321
x x f x x -=+，则()10f =，故排除B; 设()22cos 1x x h x x =
+，当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，0cos 1x <<，所以()222cos 2111x x x h x x x =<≤++，故排除C;
设()22sin 1x g x x =+，则()2sin 33010g =>，故排除D.故选：A. 【命题意图】本类题主要考查函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、对称性、周期性等规律性质，属于中档题目.
【命题方向】这类试题命题形式主要有由函数的性质及解析式选图，试题难度不大，多为中低档题，函数图像是历年高考的热点，其重点是基本初等函数的图像以及函数的性质在图像上的直观体现．
常见的命题角度有：
（1）由函数的图像来研究函数的性质；（2）由函数图像求解析式；（3）由解析式判断大致图像．
【得分要点】
函数图象的识辨可从以下方面入手：
(1) 从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．
(2) 从函数的单调性，判断图象的变化趋势．
(3) 从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
(4) 从函数的周期性，判断图像的循环往复.
(5) 从函数的特征点，排除不合要求的图象．
考向二 由解析式判断图像
【母题来源】2022年高考全国乙卷（文科）
【母题题文】函数()33cos x x y x -=-在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
的图象大致为（ ） A. B. C. D.
【答案】A
【试题解析】令()()33cos ,,22x x f x x x ππ-⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣
⎦， 则()()()()()3
3cos 33cos x x x x f x x x f x ---=--=--=-，所以()f x 为奇函数，排除BD ；
又当0,2x π⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭
时，330,cos 0x x x -->>，所以()0f x >，排除C.故选：A. 【命题意图】本类题主要考查函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、对称性、周期性等规律性质，属于中档题目.
【命题方向】这类试题命题形式主要有由函数的性质及解析式选图，试题难度不大，多为中低档题，函数图像是历年高考的热点，其重点是基本初等函数的图像以及函数的性质在图像上的直观体现．
常见的命题角度有：
（1）由函数的图像来研究函数的性质；（2）由函数图像求解析式；（3）由解析式判断大致图像．
【得分要点】
函数图象的识辨可从以下方面入手：
（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． （2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势．
（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
（4）从函数的周期性，判断图像的循环往复.
（5）从函数的特征点，排除不合要求的图象．
真题汇总及解析
1．函数()22cos6x x y x -=-的图像大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用排除法求解，先判断函数的奇偶性，再利用函数的变化情况判断即可
【详解】
定义域为R ，
因为()()()22cos(6)22cos6()x x x x f x x x f x ---=--=--=-，
所以函数为奇函数，所以排除AB ， 当012x π
<<时，062x π
<<，则cos60x >，
因为当012x π<<
时，220x x -->，所以当012x π<<时，()22cos60x x y x -=->，所以排除
D ，
故选：C 2．从函数y x =，2y x ，2x y -=，sin y x =，cos y x =中任选两个函数，记为()f x 和()g x ，若()()()h x f x g x =+或()()()h x f x g x =-的图象如图所示，则()h x =（ ）
A ．2sin x x -
B ．cos x x +
C ．2sin x x -+
D ．cos x x -
【答案】C
【解析】
【分析】 根据图象可知函数()h x 过定点(0,1)，当0x <时()1h x >，为减函数；当0x >时()0h x >或()0h x <交替出现，结合排除法和选项中函数的图象与性质，即可得出结果.
【详解】
由图象可知，函数()h x 过定点(0,1)，
当0x <时，()1h x >，为减函数；
当0x >时，()0h x >或()0h x <交替出现.
若2()sin h x x x =-，则()00h =，不符合题意，故A 错误；
若()cos h x x x =+，则(0)1h =，即函数()h x 过定点(0,1)，
又1cos 1x -≤≤，当1x <-时，()cos 0h x x x =+<，不符合题意，故B 错误；
若()cos h x x x =-，则(0)1h =-，不符合题意，故D 错误.
故选：C
3．函数()2cos sin ln 2cos x f x x x
-=⋅+的部分图象大致为（ ） A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】
【分析】
先判断函数的奇偶性得函数为奇函数，进而排除AB 选项，再根据0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时的函数符号排除D 选项得答案.
【详解】
解：由题意可知，函数()f x 的定义域为R ，
因为2cos()2cos ()sin()ln sin ln ()2cos()2cos x x f x x x f x x x
----=-=-⋅=-+-+， 所以()f x 为奇函数，图象关于原点对称，排除选项A ，B ；
当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭
时，sin 0,2cos 2cos 0x x x >+>->，所以2cos 012cos x x -<<+， 所以2cos ()sin ln
02cos x f x x x
-=⋅<+，排除D. 故选：C.
4．已知R α∈，则函数()e x x f x α
=的图象不可能是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
【答案】C
【分析】 令12α=、2α=、1α=-，结合导数研究()f x 的单调性及值域判断可能的图象，即可得答案.
【详解】 当12α=时，()e x x f x =且0x ≥，则12()e x x f x x
-'=， 所以1(0,)2上 ()0f x '>，()f x 递增；1(,)2+∞上 ()0f x '<，()f x 递减，且(0)0f =， 所以A 图象可能；
当2α=时，2()0e
x x f x =≥且R x ∈，则(2)()e x x x f x '-=， 所以(,0)-∞上()0f x '<，()f x 递减，
(0,2)上 ()0f x '>，()f x 递增，(2,)+∞上 ()0f x '<，()f x 递减，
所以B 图象可能；
当1α=-时，1()e x
f x x =且0x ≠，则21()e x x f x x +'=-， 所以(,1)-∞-上()0f x '>，()f x 递增，(1,0)-上 ()0f x '<，()f x 递减，(0,)+∞上 ()0f x '>，()f x 递增，
又0x <时()0f x <，而0x >时()0f x >，
所以D 图象可能；
综上，排除A 、B 、D.
故选：C
5．函数()2222x x
x x f x -+=+的部分图象大致是（ ） A ． B ． C ． D ．
【答案】B
【分析】
先判断()f x 的奇偶性，可排除A ，再由单调性、特值点排除选项C 、D ，即可得出答案.
【详解】
函数的定义域为R ，因为()()2222x x x x f x f x -+-==+，所以()f x 是偶函数，排除选项A ；当x →+∞时，考虑到22y x x =+和22x x y -=+的变化速度，知x →+∞时，()0f x →，故排除选项C ，D ．
故选：B ．
6．函数()22x f x x -=⋅在区间[]22-,
上的图象可能是（ ） A ． B ．
C ．
D ．
【答案】C
【解析】
【分析】
首先判断函数的奇偶性，再根据特殊值判断即可；
【详解】
解：∵()()22
x f x x f x --=⋅=，∴()f x 是偶函数，函数图象关于y 轴对称，排除A ，B 选项；
∵()()122f f ==，∴()f x 在[0,2]上不单调，排除D 选项．
故选：C
7．下图中的函数图象所对应的解析式可能是（ ）
A ．112x y -=-
B ．112x
y =-- C ．12x y -=-
D ．21x y =--
【答案】A
【解析】
【分析】 根据函数图象的对称性、奇偶性、单调性以及特殊点，利用排除法即可求解.
【详解】
解：根据图象可知，函数关于1x =对称，且当1x =时，1y =-，故排除B 、D 两项； 当1x >时，函数图象单调递增，无限接近于0，对于C 项，当1x >时，12
x y -=-单调递减，
故排除C 项.
故选：A.
8．函数()x b f x a -=的图像如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是（ ）
A ．1a >，0b <
B ．1a >，0b >
C ．01a <<，0b >
D ．01a <<，0b <
【答案】D
【解析】
【分析】 由函数的单调性得到a 的范围，再根据函数图像平移关系分析得到b 的范围.
【详解】
由函数()x b f x a -=的图像可知，函数()x b f x a -=在定义域上单调递减，01a ∴<<，排除AB 选项；
分析可知：
函数()x b f x a -=图像是由x y a =向左平移所得，0b ∴->，0b ∴<.故D 选项正确. 故选：D
9．已知函数()f x ax b =+的图象如图所示，则函数()x g x a b =+的图象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【解析】
【分析】
由函数()f x ax b =+的图象可得1a >，1b <-，从而可得()x g x a b =+的大致图象．
【详解】
由()f x ax b =+的图象可得(0)1f b =<-，(1)0f a b =+>，
所以1a >，1b <-，
故函数()x g x a b =+为增函数，相对x y a =向下平移大于1个单位
故选：B
10．设函数f (x )＝2x ，则如图所示的函数图象对应的函数解析式是（ ）
A ．y ＝f (|x ）
B ．y ＝－|f (x )| ）
C ．y ＝－f (－|x ）
D ．y ＝f (－|x ）
【答案】C
【解析】 由题意结合指数函数的图象及函数图象的变换可得函数图象对应的函数解析式，即可得解.
【详解】
由图象可知函数图象对应的函数解析式是||2x y -=-，
所以函数图象对应的函数解析式是y ＝－f (－|x |).
故选：C .
【点睛】
本题考查了指数函数的图象及函数图象变换的应用，属于基础题.
11．函数()cos f x x x =的图像大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据函数奇偶性的概念可知()()f x f x -=-，即函数()f x 为奇函数，排除选项D ；再利用三角函数的性质排除BC 即得.
【详解】
()cos()cos ()f x x x x x f x -=--=-=-，
∴函数()f x 为奇函数，排除选项D ； 当(0,)2
x π
∈时，0x >，0cos 1x <<， 0()f x x ∴<<，排除选项BC ． 故选：A ．
12．下列各个函数图像所对应的函数解析式序号为（ ）
①||()e sin x f x x = ②()ln ||=-g x x x ③2()sin =t x x x ④2e ()x
h x x =
A ．④②①③
B ．②④①③
C ．②④③①
D ．④②③①
【答案】A
【解析】
【分析】
先通过函数定义域和奇偶性进行判断，再利用导数对①求导，求其在()0,π上的最大值．
【详解】
()f x ，()t x 的定义域为R ，()g x ，()h x 的定义域为{}|0x x ≠
2e ()0x
h x x =>在定义域内恒成立，则前两个对应函数分别为④②
当()0,πx ∈时，则()e sin x f x x =
()π()e sin cos 2e sin 4x x f x x x x ⎛⎫'=+=+ ⎪⎝⎭，令()0f x '>，则3
0π4x <<
()f x 在3
0,π4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在3
π,π4⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，则3
π
432
()(π)e 542f x f ≤=>
①对应的为第三个函数
故选：A ．。