2012高二数学寒假作业一

PA 面ABCD, PA AB 1, AD 3 ，点 F 是 PB 的中
P
点，点 E 在边 BC 上移动。 1）点 E 为 BC 的中点时，试判断 EF 与平面 PAC 的位置
关系，并说明理由。
2）证明:无论点 E 在边 BC 的何处，都有 PE AF
A
3）当 BE 等于何值时， PA 与平面 PDE 所成角的大小为
2 m AP
AP 0,0,1，依题意得 PA 与平面 PDE 所成角为 45 ，所以sin 45 2
m AP
即
1

1 3

1

3 3
x

2
1
2 2
，解得
BE

x

3
2或BE
3
2 舍
20、解：1）抛物线的方程为 x 2 4 y
2）设 A(x1, x412 ), B(x2 , x42 2 )
过程或演算步骤．
17、 k (,2) (1,0) (0,1)
18、1）由题可知，顶点 C 的轨迹方程为 x2

y2 m
1(x 1)
（1）当 m 0 时，轨迹为焦点在 x 轴上的双曲线（除去 (1,0),(1,0) 两点）
（2）当 m 1时，轨迹为以原点为圆心，半径为 1 的圆（除去 (1,0),(1,0) 两点）
设以 A 为切点的切线的斜率为 k （ k 存在， k 不存在显然不符题意），则切线为
y
x12 4
k(x x1 ) 与 x2
4 y 联立，利用判别式为 0，则 k

x1 2
，同理以 B 为切点的切线
的斜率为
x2 2
，
于是l1 :
y
x12 4

x1 2
(x

x1
)
-----①
l2 : y x42 2
高二数学寒假作业一
一、选择题（每小题 3 分，共计 30 分）
1、使“ lgm 1 ”成立的一个充分不必要条件是（ ）
A. m (0,)
B. m 1,2
C. 0 m 10
D. m 1
2、已知平面 内有一点 M (1,1,2) ，平面 的一个法向量为 n (6,3,6) ，则下列点 P
a b 9
3 10
a b 3 2 5 = 10 .
16. 设正方体的棱长为 a , 过 B 点作直线 BN // AM 交 DA 的延长线于 N , 连 D N1, 在
D1NB 中,
BN
5 2
,
BD
1
3,
D N 213 , ∴ 1
cosD BN
1

15 15
三、解答题：（共 46分，其中 17题 10分，其他各题 12分）解答题应写出文字说明．证明
为 m(m 0) ，1）求顶点C 的轨迹.2）当 m 2 时，记顶点C 的轨迹为 ,过点 M (1,1) 能否
存在一条直线l ，使l 与曲线 交于 E, F 两点，且 M 为线段 EF 的中点，若存在求直线l 的
方程，若不存在说明理由.（12分）
19、如图，四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，
2
D5 .
到其焦点的距离为 ，双曲线
x2 a

y2
1 的左顶点为
A ,若双曲线一条渐近线与直线 AM
平行，则实数 a 等于（
）
x2 2k

y
k
2

1
1 表示双曲线，若
p
且 q 为真，求实数 k
的取值范围.（10分）
18、已知 ABC 的两个顶点 A, B 的坐标分别 (1,0),(1,0) ，且 AC, BC 所在直线的斜率之积
B. 12
C. 4 或 12
D. 6
6、已知
F1
,
F2
为椭圆
x a
2 2

y2 b2
1(a b 0) 的两个焦点，过 F 作椭圆的弦 AB ,若 AF B
2
1
的周长为 16，离心率为 23 ，则椭圆的方程为（
）
A.
x2 y2 1 43
B.
x2 y2 1 16 3
C.
x2 y2 1 16 12
z
中，
P
E, F 分别为 BC, PB 的中点，所以 EF //PC .又 EF 平面PAC ，而
PC 平面PAC ，所以 EF //平面PAC .
F
（2）（向量法）建立如图所示空间直角坐标系，则 P0,0,1, B0,1,0,
F 0, 1 , 1 , D 3,0,0.设 BE x ，则 Ex,1,0，所以
45 .（12分）
D
F
B E C
20、若抛物线 x
2 py( p

0)
的焦点与椭圆
x2 3

y2 4
1
2
的上焦点重合，
1）求抛物线方程.
2）若 AB 是过抛物线焦点的动弦，直线l1 , l2 是抛物线两条分别切于 A, B 的切线，求l1, l2 的
交点的纵坐标.（12分）
高二数学寒假作业一参考答案
（3）当 1 m 0 时，轨迹为焦点在 x 轴上的椭圆（除去 (1,0),(1,0) 两点）
（4）当 m 1 时，轨迹是焦点在 y 轴上的椭圆（除去 (1,0),(1,0) 两点）
2）不存在
19、解：（ 1） 当点 E 为 BC 的中点时， EF 与平面 PAC 平行.因为在 PBC
7、曲线 y 2 4x 关于直线 x 2 对称的曲线方程是（
）
x2 y2 1 D. 16 4
A. y 2 8 4x
B. y 2 4x 8 C. y 2 16 4x
y 4x 16
8、已知抛物线 y2 2 px( p 0) 上一点 M (1,m)(m 0)
2 2
PE

AF

x,1,1 0,

1 2
,
1 2


0 ，即无论点
E
在
BC
A xD
B y
E C
的何处都有 PE AF .
(3)
设
BE

x
,平面
PDE
的法向量为
m

p, q,1，由
m

PD

0
，得m PE 0 Nhomakorabeam
3 ,1 3
3 3
x,1
一、选择题（每小题 3 分，共计 30 分） 1、B 2、A 3、D 4、A 5、C 6、D 7、C 8、A
二、填空题（每小题 4 分，共计 24 分）
9、B 10、A
11、 2
12、 4x2
4y2 63
1( x
0)
13、以O, A 为焦点，OB 长为实轴长的双曲线
14、③
15.设向量 a 与 b 的夹角为 , 且 a (3,3),2b a (1,1) ∴ b (1,2) ，则 cos
12
B
A
C
O
E
D
中，在平面 内的是（ ）
A. P(2,3,3)
B. P(2,0,1)
C. P(4,4,0)
D. P(3,4,4)
3、椭圆 x2 my 2 1的焦点在 y 轴上，长轴长是短轴长的两倍，则 m 的值为（
）
A. 4
B. 2
1 C. 2
1 D. 4
4、若 a e1 e2 e3 , b e1 e2 e3 , c e1 e2 ， d e1 2e2 3e3 （ e1 , e2 , e3 为空间
的一个基底）且 d xa yb zc ，则 x, y, z 分别为（ ）
A. 52, 12,1
B. 52, 12,1
C.

5, 2
1 ,1 2
D. 52, 12,1
x2 5、如果双曲线 4

y2 12
1 上一点 P 到它的右焦点的距离是8 ，那么点 P 到它的左焦点的距
离是（ ） A. 4

x2 2
(x

x2
)
----②
①
x2
-②
x 1 可得
y

1 4
x1x 2
因为 AB 过焦点（0,1），所以设 AB 方程为 y 1 k1 x （ k1 存在， k1 不存在显然不符题
意），
与 x 2 4 y 联立得 x 2 4kx 4 0 ，所以 x1 x2 4 ，于是 l ,l 的交点的纵坐标为-1.