2022年沪科版数学八年级上《线段的垂直平分线》教案

15.2线段的垂直平分线
◇教学目标◇
【知识与技能】
1.要求学生掌握线段垂直平分线的性质定理及其逆命题,能够利用这两个定理解决问题;
2.能够证明线段垂直平分线的性质定理及其逆命题.
【过程与方法】
在探索过程中,增强协作交流,进一步发展学生的推理证明意识和能力.
【情感、态度与价值观】
通过探索、猜测、证明的过程,进一步拓展学生的推理证明的意识和能力.
◇教学重难点◇
【教学重点】
线段垂直平分线的性质定理及其逆定理.
【教学难点】
线段垂直平分线的性质定理及其逆定理的内涵和证明.
◇教学过程◇
一、情境导入
什么是线段的垂直平分线?
二、合作探究
(一)用尺规作线段的垂直平分线
已知:线段AB.求作:线段AB的垂直平分线.
作法:(1)分别以点A,B为圆心,大于AB长为半径画弧,两弧相交于点E,F.
(2)过点E,F作直线.
则直线EF就是线段AB的垂直平分线.
说明:因为直线EF与线段AB的交点就是AB的中点,所以我们也用这种方法作线段的中点.
(二)线段的垂直平分线的性质
把准备好的方方正正的纸拿出来,按照如图进行对折,并比较对折之后的折痕EB和
EB',FB和FB'的关系.
结果:EB'=EB,FB'=FB.
【归纳总结】定理:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
(三)线段的垂直平分线的判定
先找到原命题的条件和结论,把命题写成“如果……那么……”的形式,然后再写出它的逆命题,最后再对命题的形式进行整理.得出线段的垂直平分线的判定定理.
【归纳总结】定理:到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
(四)两个定理的应用
典例已知:如图,△ABC的边AB,AC的垂直平分线相交于点P.
求证:点P在BC的垂直平分线上.
[解析]连接PA,PB,PC.
∵点P在AB,AC的垂直平分线上,(已知)
∴PA=PB,PA=PC.(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等)
∴PB=PC.(等量代换)
∴点P在BC的垂直平分线上.(到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上)
【归纳总结】三角形三边的垂直平分线相交于一点,这点到三角形三个顶点的距离相等.三、板书设计
线段的垂直平分线
1.线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
2.到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
◇教学反思◇
由垂直平分线的作图过程可得到线段垂直平分线的性质定理,随后带领学生对这个定理进行严格的证明,让学生自己思考怎么写已知、求证.然后让学生说出这个命题的逆命题,并证明它是真命题,并把这个命题作为定理熟记,锻炼了学生的逻辑推理能力,培养了学生求真务实的精神.
教案二(备用)
◇教学目标◇
【知识与技能】
1.理解线段垂直平分线的性质定理及其逆命题,能够利用这两个定理解决一些问题;
2.能够证明线段垂直平分线的性质定理及其逆命题.
【过程与方法】
在探索过程中,增强协作交流,进一步发展学生的推理证明的意识和能力.
【情感、态度与价值观】
通过探索、猜测、证明的过程,进一步拓展学生的推理证明的意识和能力.
◇教学重难点◇
【教学重点】
线段垂直平分线的性质定理及其逆定理.
【教学难点】
线段垂直平分线的性质定理及其逆定理的内涵和证明.
◇教学过程◇
一、情境导入
什么是线段的垂直平分线?
二、合作探究
(一)线段垂直平分线的性质定理
问题1:怎样作出线段的垂直平分线?
方法一:通过白纸可以作出线段的垂直平分线.在一张半透明的纸上,画一条线段AA',折叠使点A与点A'重合,得到的折痕l所在的直线就是线段AA'的垂直平分线.
方法二:用尺规作图,作出线段AB的垂直平分线.
作法:(1)分别以点A,B为圆心,大于AB长为半径画弧,交于点E,F.
(2)过点E,F作直线.
则直线EF就是线段AB的垂直平分线.
问题2:为什么这样作出的直线EF,就是线段AB的垂直平分线呢?设所作直线EF交线段AB于点O.
(1)连接AE,BE,AF,BF,构造△AEF和△BEF.
由作法知△AEF≌△BEF(SSS),所以∠AEO=∠BEO(全等三角形的对应角相等).
继而可证△AEO≌△BEO(SAS),所以∠AOE=∠BOE=90°(全等三角形的对应角相
等),AO=BO(全等三角形的对应边相等),所以EF⊥AB,EF平分AB.
(2)因为直线EF与线段AB的交点就是AB的中点,所以我们也用这种方法作线段的中点.
问题3:如图MN是线段AB的垂直平分线,点P在MN上,则PA,PB有什么数量关系?
a.规范写出证明过程(略).
b.用文字语言总结出线段垂直平分线的性质定理.
【归纳总结】定理:线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
(二)线段垂直平分线性质定理的逆定理
问题4:写出上面定理的逆命题.它是真命题吗?给出证明.
说明:(1)逆命题:到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
(2)结合命题画出图形,写出已知、求证.
已知:如图,PA=PB,点P在直线MN上,
求证:MN⊥AB,MN平分AB(OA=OB).
证明略.
(3)总结得线段垂直平分线逆定理.
【归纳总结】定理:到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
(三)两个定理的应用
典例已知:如图,△ABC的边AB,AC的垂直平分线相交于点P.
求证:点P在BC的垂直平分线上.
[解析]连接PA,PB,PC,
∵点P在AB,AC的垂直平分线上,(已知)
∴PA=PB,PA=PC.(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等)
∴PB=PC.(等量代换)
∴点P在BC的垂直平分线上.(到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上)
【归纳总结】三角形三边的垂直平分线相交于一点,这点到三角形三个顶点的距离相等.三、板书设计
线段的垂直平分线
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
◇教学反思◇
本节课先复习线段垂直平分线的概念,然后用尺规作图画出垂直平分线,并让学生思索为什么用这种方法画出的就是垂直平分线,可以激发学生学习数学的兴趣,达到事半功倍的效果.
第2课时三角形中边的关系
◇教学目标◇
【知识与技能】
1.认识三角形,理解三角形的三边关系;
2.会对三角形按边分类.
【过程与方法】
经历三角形边长的数量关系的探索过程,理解三角形的三边关系.掌握判断三条线段能否构成一个三角形的方法,并运用此方法解决有关问题.
【情感、态度与价值观】
通过观察、操作、讨论等活动,培养学生的动手实践能力和语言表达能力.让学生在自主参与、合作交流的活动中,体验成功的喜悦,树立自信,激发学习数学的兴趣.
◇教学重难点◇
【教学重点】
三角形三边关系的探究和归纳.
【教学难点】
三角形三边关系的应用.
◇教学过程◇
一、情境导入
看下列实物中,有你熟悉的图形吗?
二、合作探究
在小学数学中我们学习了有关三角形的一些初步知识,现在请观察上面的屋顶框架图,并思考以下问题:
(1)你能从图中找出几个不同的三角形?这些三角形有什么共同的特点?
(2)什么叫做三角形?
(3)三角形的边可以怎么表示?
问题1:研究三角形的三条边是否相等,有多少种可能的情况?
结论:三角形中,三条边互不相等的三角形叫做不等边三角形;有两条边相等的三角形叫做等腰三角形,其中相等的两边叫做腰,第三边叫做底边,两腰的夹角叫做顶角,腰与底边的夹角叫做底角;三条边都相等的三角形叫做等边三角形.
问题2:我们以前学习过这样一个性质:两点之间的所有连线中,线段最短.那么在一个三角形中,任意两边之和与第三边的长度有怎样的关系?
结论:三角形任意两边之和大于第三边.
典例1画一个三角形,分别量出三角形的三边长度,计算出三角形的任意两边之差,并与第三边比较,你能得到什么结论?
[解析]三角形任意两边之差小于第三边.
典例2有两条长度分别为5 cm和7 cm的线段,用长度为13 cm的线段与它们能摆成三角形吗?为什么?那么换上线段的长度在什么范围内时可以组成三角形呢?
[解析]用长度为13 cm的线段与它们不能摆成三角形.因为三角形任意两边之和大于第三边.三角形第三边的取值范围是两边之差<第三边<两边之和,即第三边x的取值范围是2 cm<x<12 cm.
三、板书设计
三角形中边的关系
1.三角形按边长分类:
三角形
2.三角形中任何两边的和大于第三边,三角形中任何两边的差小于第三边.
◇教学反思◇
本节课的学习使学生认识到不是任意的三条线段都能构成三角形,并学会判断三条线段能否构成三角形,通过探讨使学生养成积极思考的习惯.。