傅立叶级数展开 matlab

实验四 傅里叶级数
实验的目的
Matlab 语言没有直接提供求解傅立叶(Fourier)系数与级数的现成函数。

本节实验主要让学生独立编写出傅立叶(Fourier) 级数的求解函数。

进一步理解掌握利用Matlab 进行级数运算的方法和提高实验技能。

实验的基本理论与方法
1、三角函数系
,sin ,cos ,,2sin ,2cos ,sin ,cos ,1nx nx x x x x 4-7）
在区间],[ππ-上正交，即指在三角函数系4-7）中任何不同的两个函数的乘积在区间
],[ππ-上的积分等于零。

2、函数展开成傅立叶级数
设)(x f 是周期为π2的周期函数，且能展开成三角级数：
∑∞
=++=1
0)sin cos (2)(n n n nx b nx a a x f 4-8） 其实就是要求出其中的系数i a 和i b ，根据三角函数系的正交性，我们可以得到它们的
计算公式如下：
01()a f x dx πππ-=
⎰， 1()cos n a f x nxdx π
ππ-=⎰， 4-9） 1()sin n b f x nxdx πππ-=⎰，(1,2,)n =
如果公式4-9）中的积分都存在，这时它们定出的系数 ,,,110b a a 叫做函数)(x f 的傅立叶系数，将这些系数代入4-8）中，所得三角级数
∑∞
=++1
0)sin cos (2n n n nx b nx a a 4-10） 叫做函数)(x f 的傅立叶级数。

3、奇函数和偶函数的傅立叶级数
当周期为π2的奇函数)(x f 展开成傅立叶级数时，它的傅立叶系数为
⎪⎩
⎪⎨⎧====⎰ππ0),3,2,1(sin )(2)321(0 n nxdx x f b n a n n ，，， 4-11）
当周期为π2的偶函数)(x f 展开成傅立叶级数时，它的傅立叶系数为
⎪⎩⎪⎨⎧====⎰)321(0),3,2,1(cos )(20
，，，
n b n nxdx x f a n n ππ 4-12） 以上说明，如果)(x f 为奇函数，那么它的傅立叶级数是只含有正弦项的正弦级数
∑∞=1sin n n nx b
4-13）
如果)(x f 为偶函数，那么它的傅立叶级数是只含有余弦项的余弦级数
∑∞
=+1
0cos 2n n nx a a 4-14） 4、周期为2l 的周期函数的傅立叶级数
设周期为l 2的周期函数)(x f 满足收敛定理的条件，则它的傅立叶级数展开式为：
∑∞=++=10)sin cos (2)(n n n l
x n b l x n a a x f ππ 4-15） 其中系数n n b a ,为
⎪⎩
⎪⎨⎧====⎰⎰--),2,1(,sin )(1),2,1,0(,cos )(1 n dx l x n x f l b n dx l x n x f l a l l n l l n ππ 4-16） 如果)(x f 为奇函数，则有
∑∞==1sin
)(n n l
x n b x f π 4-17） 其中系数),3,2,1(sin )(20 ==⎰n dx l
x n x f l b l n π 4-18） 如果)(x f 为偶函数，则有
∑∞=+=10c o s 2)(n n l x n a a x f π 4-19） 其中系数),2,1,0(sin )(20 ==⎰n dx l
x n x f l a l n π 4-20） 实验使用的函数与命令
1、积分指令int( )；
2、矩阵的点乘积；
3、了解在设计Matlab 绘图时的图形标注函数及其功能。

实验指导
例1 求函数x x f =)(在[,]ππ-上的傅立叶级数。

解：由前文知，将一个函数()f x 展开为傅立叶级数：
∑∞
=++=1
0)sin cos (2)(n n n nx b nx a a x f 其实就是要求出其中的系数i a 和i b ，根据三角函数系的正交性，我们可以得到它们的计算
公式如下：
01()a f x dx πππ-=
⎰， 1()cos n a f x nxdx πππ-=⎰，1()sin n b f x nxdx πππ-=⎰，(1,2,)n =
这样，结合Matlab 的积分命令int( )就可以计算这些系数，从而就可以进行函数的傅立叶展开了。

下面给出Matlab 的程序，程序中先求出傅立叶系数a=(a 0,a 1, a 2,…), b =(b 1, b 2,…)，然后利用系数写出该函数的傅立叶级数。

该程序为.M 文件。

程序如下：
syms x;
k=3; % k 为需要展开的相数
f=x; % f 为需要展开的函数
a0=int(f,x,-pi,pi)/pi;
for n=1:k
a(n)=int(f*cos(n*x),x,-pi,pi)/pi; %求出傅立叶系数a=( a1, a2,…),
b(n)=int(f*sin(n*x),x,-pi,pi)/pi; %求出傅立叶系数b=(b1, b2,…)
end
for n=1:k
co(n)=cos(n*x); %傅立叶级数的余弦项
si(n)=sin(n*x); %傅立叶级数的正弦项
end
f=co.*a+si.*b;
g=0;
for n=1:k
g=f(n)+g;
end
f=a0+g %求出傅立叶级数
运行输出结果为
f =
2/3*sin(3*x)-sin(2*x)+2*sin(x) 当k 改为5，则输出结果
f =
2/5*sin(5*x)-1/2*sin(4*x)+2/3*sin(3*x)-sin(2*x)+2*sin(x)
当k 改为5，则输出结果
f =
-1/5*sin(10*x)+2/9*sin(9*x)-1/4*sin(8*x)+2/7*sin(7*x)-1/3*sin(6*x)+2/5*sin(5*x)-1/2*sin(4*x)图 4.1
+2/3*sin(3*x)-sin(2*x)+2*sin(x)
为了能够直观的展示傅立叶级数的效果，将展为3、5、10项的效果图绘制出来。

其M 文件的Matlab 代码如下，效果图为图4.1 ：
x=-pi:0.01:pi;
f3=2/3*sin(3*x)-sin(2*x)+2*sin(x);
f5=2/5*sin(5*x)-1/2*sin(4*x)+2/3*sin(3*x)-sin(2*x)+2*sin(x);
f10=-1/5*sin(10*x)+2/9*sin(9*x)-1/4*sin(8*x)+2/7*sin(7*x)-1/3*sin(6*x)+2/5*sin(5*x)-1/2*sin(4*x)+2/3*sin(3*x)-sin(2*x)+2*sin(x);
hold on
plot(x,x,'m','linewidth',2);
plot(x,f3,'r','linewidth',2);
text(2.35,1.5,'k=3\rightarrow','fontsize',14);
plot(x,f5,'-.k','linewidth',2);
text(2.0,3.1,'k=5\rightarrow','fontsize',14);
plot(x,f10,'.b');
text(2.25,3.5,'k=10\rightarrow','fontsize',14);
在实际应用中(如研究某种波动问题，热的传导，扩散问题)中，有时还需要把定义在区间[]π,0上的函数)(x f 展开成正弦级数或余弦级数。

解决方法如下：设函数)(x f 定义在区间[]π,0上并且满足收敛定理的条件，在开区间)0,(π-内补充函数)(x f 的定义，得到定义在],(ππ-上的函数)(x F ，使它在),(ππ-上成为奇函数(或偶函数)。

按这种方式拓广函数定义域的过程称为奇延拓(或偶延拓)。

然后将奇延拓(或偶延拓)后的函数展开成傅立叶级数，这个级数必定是正弦函数(或余弦函数)。

再限制x 在[]π,0上，此时)()(x f x F =，这样便得到)(x f 的正弦函数(或余弦函数)展开式。

例2 将函数1)(+=x x f 在区间[]π,0分别展开成正弦级数和余弦级数。

先求正弦级数，为此对函数)(x f 进行奇延拓。

然后，利用4-11）求出n b 代入正弦级数4-13），即可求得)(x f 正弦级数。

只要对例1 中的程序略作修改得到M 文件程序代码如下：
syms x;
k=6; % k 为需要展开的相数
f=x+1; % f 为需要展开的函数
for n=1:k
b(n)=2*int(f*sin(n*x),x,0,pi)/pi; %求出傅立叶系数b=(b1, b2,…)
end
for n=1:k
si(n)=sin(n*x); %傅立叶级数的正弦项
end
f=si.*b;
g=0;
for n=1:k
g=f(n)+g;
end
f=g %求出傅立叶级数
输出结果为
f =
-1/3*sin(6*x)+sin(5*x)*(2/5*pi+4/5)/pi-1/2*sin(4*x)+sin(3*x)*(2/3*pi+4/3)/pi-sin(2*x)+sin(x)*(2*pi+4)/pi
对于求余弦级数，为此对函数)(x f 进行奇延拓。

然后，利用4-12）求出n a 代入正弦级数4-14），即可求得)(x f 余弦级数。

同正弦级数类似，M 文件程序代码如下：
syms x;
k=6; % k 为需要展开的相数
f=x+1; % f 为需要展开的函数
a0=int(f,x,0,pi)/pi;
for n=1:k
a(n)=2*int(f*cos(n*x),x,0,pi)/pi; %求出傅立叶系数a=( a1, a2,…),
end
for n=1:k
co(n)=cos(n*x); %傅立叶级数的余弦项
end
f=co.*a;
g=0;
for n=1:k
g=f(n)+g;
end
f=a0+g %求出傅立叶级数
输出结果为
f =
(1/2*pi^2+pi)/pi-4/25*cos(5*x)/pi-4/9*cos(3*x)/pi-4*cos(x)/pi
为了能够直观的展示傅立叶级数的效果，将展为6项的正弦级数和余弦级数效果图绘制出来。

其M 文件的Matlab 代码如下，效果图为图 4.2：
x=0:0.01:pi;
fsin=-1/3*sin(6*x)+sin(5*x)*(2/5*pi+4/5)/pi-1/2*sin(4*x)+sin(3*x)*(2/3*pi+4/3)/pi-sin(2*x )+sin(x)*(2*pi+4)/pi;
fcos=(1/2*pi^2+pi)/pi-4/25*cos(5*x)/pi-4/9*cos(3*x)/pi-4*cos(x)/pi;
hold on
plot(x,x+1,'m','linewidth',1);
plot(x,fsin,'r','linewidth',2);
text(2.35,1.5,'k=3\rightarrow','fontsize',14);
plot(x,fcos,'-k','linewidth',1);
text(2.0,3.1,'k=5\rightarrow','fontsize',14);
例3 设)(x f 的周期为4的周期函数，它在)2,2[-的表达式为
)0(20,02,0)(≠⎩
⎨⎧<≤<≤-=c x c x x f 常数 将)(x f 展开成傅立叶级数。

解：该函数周期为4，即2=l ，仿照例1利用公式4-16）求出级数的系数，然后代入4-15）即可求出傅立叶级数。

M 文件的程序代码如下：
syms x;
k=6; % k 为需要展开的相数
f=x; % f 为需要展开的函数
a0=int(0,x,-2,0)/2+int(3,x,0,2)/2;
for n=1:k
a(n)=int(3*cos(n*pi*x/2),x,0,2)/2; %求出傅立叶系数a=( a1, a2,…),
b(n)=int(3*sin(n*pi*x/2),x,0,2)/2; %求出傅立叶系数b=(b1, b2,…)
end
for n=1:k
co(n)=cos(n*pi*x/2); %傅立叶级数的余弦项
si(n)=sin(n*pi*x/2); %傅立叶级数的正弦项
end
f=co.*a+si.*b;
g=0;
for n=1:k
g=f(n)+g;
end
f=a0+g %求出傅立叶级数
运行程序输出结果如下：
图 4.2
f =
1/2*c+2/5*c/pi*sin(5/2*pi*x)+2/3*c/pi*sin(3/2*pi*x)+2*c/pi*sin(1/2*pi*x)
实验内容与练习
1、下列周期函数)(x f 的周期为π2，试将)(x f 展开成傅立叶级数，如果)(x f 在
],[ππ-上的表达式为：
1）)(13)(2ππ<≤-+=x x x f ；
2）)()(ππ<≤-=x e x f x ；
3）)(3
sin
2)(ππ≤≤-=x x x f ； 4）)(2cos )(ππ<≤-=x x x f ； 5）⎩
⎨⎧≤≤<≤--=ππx x x x x f 0,0,)(； 6）⎩⎨⎧≤≤<≤-=π
πx x e x f x 0,10,)(。

3、将函数)0(2)(ππ≤≤-=x x
x f 展开成正弦级数。

4、将函数)0(2)(2π≤≤=x x x f 分别展开成正弦级数和余弦级数。

5、将周期函数21)(x x f -= )2
121(<≤-x )(x f 展开成傅立叶级数。

6、将函数)20()(2≤≤=x x x f 分别展开成正弦级数和余弦级数。