《线性代数与概率统计》作业题答案

《线性代数与概率统计》作业题(答案)
第一部分 单项选择题 1．
计算1122121
2x x x
x ++=
++？（A ）
A ．1
2
x x - B ．1
2
x x + C ．2
1
x
x - D ．2
1
2x
x -
2．行列式111
1
11111
D =-=--？（B ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6
3．设矩阵231123111,112011011A B -⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
，求AB =？（B ） A ．-1 B ．0 C ．1 D ．2 4．齐次线性方程组123123123
00x x x x x x x x x λλ++=⎧⎪
++=⎨⎪++=⎩有非零解，则λ=？
（A ）
A ．-1
B ．0
C ．1
D ．2
5．设⎪⎪
⎭
⎫
⎝
⎛=5090
6791A ，
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=67356300B ，求AB =？（ D ）
A ．
1041106084⎛⎫ ⎪⎝⎭
B ．
1041116280⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．1041116084⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．
1041116284⎛⎫ ⎪⎝⎭
6．设A 为m 阶方阵，B 为n 阶方阵，且
A a =,
B b =,
0A C B
⎛⎫=
⎪⎝⎭
,则C =？（ D ）
A ．(1)
m
ab
-B ．(1)n
ab - C ．(1)
n m
ab
+- D ．(1)
nm
ab
-
7．
设
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛=34
3122
321A ，求1
-A =？（D ）
A ．
13
2353
22111⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝⎭
B ．
132********-⎛⎫
⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭
C ．
1
3
2353
22111-⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭
D ．
1
3
2353
22111-⎛⎫
⎪ ⎪-- ⎪ ⎪-⎝
⎭
8．设,A B 均为n 阶可逆矩阵，则下列结论中不正确的是（ B ） A ．1
11[()]
()()T T T
AB A B ---=
B ．1
11
()A B A B ---+=+
C ．1
1()
()k k
A A --=（k 为正整数）
D ．1
1
()
(0)
n kA k A k ---=≠ （k 为正整数）
9．设矩阵m n
A ⨯的秩为r ，则下述结论正确的是（D ）
A ．A 中有一个r+1阶子式不等于零
B ．A 中任意一个r 阶子式不等于零
C ．A 中任意一个r-1阶子式不等于零
D ．A 中有一个r 阶子式不等于零 10．初等变换下求下列矩阵的秩，32
1321
317051A --⎛⎫
⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭
的秩为？（C ） A ．0B ．1 C ．2D ．3
11．写出下列随机试验的样本空间及下列事件的集合表示：掷一颗骰子，出现奇数点。

（D) A ．样本空间为{1,2,3,4,5,6}Ω=，事件“出现奇数点”为{2,4,6}
B ．样本空间为{1,3,5}Ω=，事件“出现奇数点”为{1,3,5}
C ．样本空间为{2,4,6}Ω=，事件“出现奇数点”为{1,3,5}
D ．样本空间为{1,2,3,4,5,6}Ω=，事件“出现奇数点”为{1,3,5}
12．向指定的目标连续射击四枪，用i
A 表示“第i
次射中目标”，试用i
A 表示四枪中至少有一枪击中
目标（ C ）：
A ．1
2
3
4
A A A A
B ．12341A A A A -
C ．1234
A A A A +++ D ．1
13．一批产品由8件正品和2件次品组成，从中任取3件，则这三件产品全是正品的概率为（ B ）
A ．25
B ．715
C ．8
15 D ．35
14．甲乙两人同时向目标射击，甲射中目标的概率为0.8，乙射中目标的概率是0.85，两人同时射中目标的概率为0.68，则目标被射中的概率为
（C ）
A．0.8 B．0.85 C．0.97 D．0.96
15．袋中装有4个黑球和1个白球，每次从袋中随机的摸出一个球，并换入一个黑球，继续进行，求第三次摸到黑球的概率是（D ）
A．16
125B．17
125
C．108
125
D．109
125
16．设A，B为随机事件，()0.2
P A=，()0.45
P B=，()0.15
P AB=，(|)
P A B=？（A）
A．1
6B．1
3
C．1
2
D．2
3
17．市场供应的热水瓶中，甲厂的产品占50%，乙厂的产品占30%，丙厂的产品占20%，甲厂产品的合格率为90%，乙厂产品的合格率为85%，丙厂产品的合格率为80%,从市场上任意买一个热水瓶，则买到合格品的概率为（D）
A．0.725 B．0.5 C．0.825 D．0.865
18．有三个盒子，在第一个盒子中有2个白球和1个黑球，在第二个盒子中有3个白球和1个黑球，在第三个盒子中有2个白球和2个黑球，某人任意取一个盒子，再从中任意取一个球，则取到白球的概率为（C）
A ．3136
B ．3236
C ．2336
D ．34
36
19．观察一次投篮，有两种可能结果：投中与未
投中。

令1,；
0,X ⎧=⎨⎩投中未投中.
试求X 的分布函数()F x 。

（C ）
A ．
0,0
1(),01
21,1x F x x x <⎧⎪⎪
=≤<⎨⎪>⎪⎩ B ．
0,0
1(),01
21,1
x F x x x ≤⎧⎪⎪
=<<⎨⎪≥⎪⎩
C ．0,01(),01
21,1
<⎧⎪⎪
=≤<⎨⎪≥⎪⎩x F x x x D ．
0,01(),01
21,1
x F x x x <⎧⎪⎪
=≤≤⎨⎪>⎪⎩
20．设随机变量X 的分布列为===(),1,2,3,4,515
k
P X k k ，则或===(12)P X X ？（C ）
A ．115
B ．215
C ．15
D ．4
15
第二部分 计算题
1
2311
23
1101-⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢. 解：
5 6 11 6 11 5 6
AB = 2 4 6 =－ 4 6 +(－1) 2 4 =0 -1 0 -1
2．已知行列式
2
5123714
46125
9
2
7
-----，写出元素43a 的代数余子式43A ，并求43A 的
值．
2 －5 2
解：A 43=（－1）4+3
M 43=－ －3 7 4 4 －6 2 7 4 －3 4 －3 7
=－(2 －(－5) ＋2 )=54 －6 2 4 2 4 -6
3．设11000100001
00
021A ⎡⎤⎢⎥⎢
⎥=⎢⎥⎢⎥
-⎣⎦
，求2
A .
4．求矩阵253215
854
317
42041123A
-⎡⎤⎢⎥-⎢
⎥=⎢⎥
-⎢⎥
-⎣⎦
的秩.
解：
-5
所以矩阵的秩为2
5．解线性方程组
123
123
123
31 331
590 x x x
x x x
x x x
+-=
⎧
⎪
--=
⎨
⎪+-=
⎩
.
解：对增广矩阵施以初等行变换：Â=
所以原方程无解。

6．.解齐次线性方程组
1
234
1234 123
4
1234
240
2
3450
413140
750
x x x x
x x x x
x x x x
x x x
x
--++=
⎧
⎪+
--=
⎪
⎨
--+=
⎪
⎪--+=
⎩
.
解：对系数矩阵施以初等变换：
与原方程组同解的方程组为：
1－5X3+2X4=0
2
+2X
3
-3X
4
=0
所以方程组一般的解为：
X1=5X3－2X4
X
2
=－2X
3
+3X
4
所以X1=3 X2=1 X3=1 X4=1
7．袋中有10个球，分别编有号码1到10，从中任取一球，设A={取得球
1
的号码是偶数}，B={取得球的号码是奇数}，C={取得球的号码小于5}，问下列运算表示什么事件：
（1）A+B ；（2）AB ；（3）AC ；（4）AC ；（5）B C +；（6）A-C.
答：（1）
（2）AB= 取得球号码既是奇数又是偶数
（3）取得球号码是
（5) B+C=
8．一批产品有10件，其中4件为次品，现从中任取3件，求取出的3件产品中有次品的概率。

解：（C<4.1>*C<6.2>+C<4.2>*C<6.1>+C<4.3>)/C<10.3>=5/6
9．设A ，B ，C 为三个事件，1
P(A)=P(B)=P(C)=4
，()()0P AB P BC ==，
1
()8
P AC =，求事件A ，B ，C 至少有一个发生的概率。

解：因为1
P(A)=P(B)=P(C)=4
，()()0P AB P BC ==，1()8P AC =
－（1-41-41-41+81)=8
5
10．一袋中有m 个白球，n 个黑球，无放回地抽取两次，每次取一球，求： （1）在第一次取到白球的条件下，第二次取到白球的条件概率； （2）在第一次取到黑球的条件下，第二次取到白球的条件概率。

解：用A “表示第一次取到白球”，B “表示第二次取到白球” （1）袋中原有m+n 个球，其中m 个白球。

第一次取到白球后，袋中还有m+n-1个球，其中m-1个为白球，故
P(B A)=1
1
-+-n m m
（2）袋中原有m+n 个球，其中m 个白球，第一次取到黑球后，袋中还有m+n-1个球，其中m 个为白球，故
P(B A)=1
-+n m m
11．设A ，B 是两个事件，已知()0.5P A =，()0.7P B =，()0.8P A B +=，试求：()P A B -与()P B A -。

解：由于P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)则有P(AB)=P(A)+P(B)-P(A+B)
=0.5+0.7-0.8=0.4
所以P(A-B)=P(A)-P(AB)=0.5-0.4=0.1 P(B-A)=P(B)-P(AB)=0.7-0.4=0.3
12．某工厂生产一批商品，其中一等品点
1
2
，每件一等品获利3元；二等品占13，每件二等品获利1元；次品占1
6
，每件次品亏损2元。

求任取1件商品
获利X 的数学期望()E X 与方差()D X 。

答：E （X)=-2*1/6+1*1/3+3*1/2=3/2
D(X)=(-2-1.5)^2*1/6+(1-1.5)^2*1/3+(3-1.5)^2*1/2=3.25
13.某工厂采用三种方法生产甲乙丙丁四种产品，各种方案生产每种产品的数量如下列矩阵所示：
5 9 7 47 8 9 64
6 5 7A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦甲乙丙丁
方法一
方法二
方法三
若甲乙丙丁四种产品的单位成本分别为10、12、8、15（万元），销售单位
价格分别为15、16、14、17（万元），试用矩阵运算计算用何种方法进行生产获利最大？
解：设单位成本矩阵
销售单价矩阵为
则单位利润矩阵为
从而获利矩阵为
于是可知采用第二种方法生产工厂获利最大
14．某市场零售某蔬菜，进货后第一天售出的概率为0.7，每500g 售价为10元；进货后第二天售出的概率为0.2，每500g 售价为8元；进货后第三天售
出的概率为0.1，每500g 售价为4元，求任取500g 蔬菜售价X 元的数学期望()E X 与方差()D X 。

答：X4 8 10
P0.1 0.2 0.7
E(X)=10*0.7+8*0.2+4*0.1=11.4
D(X)=(10-11.4)^2*0.7+(8-11.4)^2*0.2+(4-11.4)^2*0.1=9.16。