2019年江苏高考数学考试说明

2019年江苏省高考说明－数学科
一、命题指导思想
2019年普通高等学校招生全国统一考试数学学科（江苏卷）命题，将依据《普通高中数学课程标准（实验）》，参照《普通高等学校招生全国统一考试大纲》，结合江苏省普通高中课程标准教学要求，按照“有利于科学选拔人才、促进学生健康发展、维护社会公平”的原则，既考查中学数学的基础知识和方法，又考查进入高等学校继续学习所必须的基本能力.试卷保持较高的信度、效度以及必要的区分度和适当的难度. 1．突出数学基础知识、基本技能、基本思想方法的考查
对数学基础知识和基本技能的考查，贴近教学实际，既注意全面，又突出重点，支撑学科知识体系的重点内容在试卷中要占有较大的比例.注重知识内在联系的考查，不刻意追求知识的覆盖面.注重对中学数学中所蕴涵的数学思想方法的考查.
2．重视数学基本能力和综合能力的考查
数学基本能力主要包括空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理这几方面的能力.
（1）空间想象能力的考查要求是：能够根据题设条件想象并作出正确的平面直观图形，能够根据平面直观图形想象出空间图形；能够正确地分析出图形中基本元素及其相互关系，并能够对空间图形进行分解和组合.
（2）抽象概括能力的考查要求是：能够通过对实例的探究,发现研究对象的本质；能够从给定的信息材料中概括出一些结论，并用于解决问题或作出新的判断.
（3）推理论证能力的考查要求是：能够根据已知的事实和已经获得的正确的数学命题，运用归纳、类比和演绎进行推理，论证某一数学命题的真假性.
（4）运算求解能力的考查要求是：能够根据法则、公式进行运算及变形；能够根据问题的条件寻找与设计合理、简捷的运算途径；能够根据要求对数据进行估计或近似计算.
（5）数据处理能力的考查要求是：能够运用基本的统计方法对数据进行整理、分析，以解决给定的实际问题.
数学综合能力的考查，主要体现为分析问题与解决问题能力的考查，要求能够综合地运用有关的知识与方法，解决较为困难的或综合性的问题.
3．注重数学的应用意识和创新意识的考查
数学的应用意识的考查要求是：能够运用所学的数学知识、思想和方法，构造适合的数学模型，将一些简单的实际问题转化为数学问题，并加以解决.
创新意识的考查要求是：能够发现问题、提出问题，综合与灵活地运用所学的数学知识和思想方法，创造性地解决问题.
二、考试内容及要求
数学试卷由必做题与附加题两部分组成.选修测试历史的考生仅需对试题中的必做题部分作答；选修测试物理的考生需对试题中必做题和附加题这两部分作答.必做题部分考查的内容是高中必修内容和选修系列1的内容；附加题部分考查的内容是选修系列2（不含选修系列1）中的内容以及选修系列4中专题4-2《矩阵与变换》、4-4《坐标系与参数方程》、4-5《不等式选讲》这4个专题的内容（考生只需选考其中两个专题）.
对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次（在下表中分别用A、B、C 表示）.
了解：要求对所列知识的含义有初步的、感性的认识，并能解决相关的简单问题.
理解：要求对所列知识有较深刻的理性认识认识，并能解决有一定综合性的问题.
掌握：要求系统地把握知识的内在联系，并能解决综合性较强的问题.
具体考查要求如下：
1．必做题部分
2．附加题部分
三、考试形式及试卷结构
（一）考试形式
闭卷、笔试，试题分必做题和附加题两部分.必做题部分满分为160分，考试时间120分钟；附加题部分满分为40分，考试时间30分钟.
（二）考试题型
1．必做题必做题部分由填空题和解答题两种题型组成.其中填空题14小题，约占70分；解答题6小题，约占90分.
2．附加题附加题部分由解答题组成，共6题.其中，必做题2小题，考查选修系列2中的内容；选做题共4小题，依次考查选修系列4中4-2、4-4、4-5这4个专题的内容，考生只须从中选2个小题作答.
填空题着重考查基础知识、基本技能和基本方法，只要求直接写出结果，不必写出计算和推理过程；解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（三）试题难易比例
必做题部分由容易题、中等题和难题组成.容易题、中等题和难题在试卷中的比例大致为4：4：2.
附加题部分由容易题、中等题和难题组成.容易题、中等题和难题在试卷中的比例大致为5：4：1.
四、典型题示例
A.必做题部分
1. 设复数i 满足(34)|43|i z i -=+（i 是虚数单位），则z 的虚部为_____ 【解析】本题主要考查复数的基本概念,基本运算.本题属容易题. 【答案】45
2. 设集合}1{},3,{},2,1{2=+==B A a a B A 若，则实数a 的值为_ 【解析】本题主要考查集合的概念、交集运算等基础知识.本题属容易题. 【答案】1.
3. 右图是一个算法流程图，则输出的k
【解析本题属容易题. 【答案】5
4. 函数ln(1)()1
x f x x +=-的定义域为
【解析】本题主要考查对数函数的单调性，本题属容易题. 【答案】(1,1)(1,)-⋃+∞
5.某棉纺厂为了解一批棉花的质量，从中 随机抽取了100根棉花纤维的长度（棉花纤 维的长度是棉花质量的重要指标），所得数 据均在区间]40,5[中，其频率分布直方图
如图所示，则在抽测的100根中，有_ _根 棉花纤维的长度小于mm 20.
【解析】本题主要考查统计中的抽样方法与总体分布的估计.本题属容易题. 【答案】由频率分布直方图观察得棉花纤维长度小于mm 20的频率为
3.0501.0501.050
4.0=⨯+⨯+⨯,故频数为301003.0=⨯.
6. 将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是______.
【解析】本题主要考察古典概型、互斥事件及其发生的概率等基础知识.本题属容易题. 【答案】
6
5
7. 已知函数)0)(2sin(cos πϕ<≤+==x x y x y 与，它们的图像有一个横坐标为3
π的交点，则ϕ的值是________.
【解析】本题主要考察特殊角的三角函数值，正弦函数、余弦函
数的图像与性质等基础知识，考察数形结合的思想，考察分析问题、解决问题的能力.本题属容易题. 【答案】6
π.
8.在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若64682,,1a a a a a 则+==的值是______.
【解析】本题主要考察等比数列的通项公式等基础知识，考察运算求解能力.本题属容易题. 【答案】4.
9.在平面直角坐标系xOy 中，双曲线13
22=-y x 的右准线与它的两条渐近线分别交于Q P ,，
其焦点是1F ，2F ，则四边形Q PF F 21的面积是______.
【解析】本题主要考察中心在坐标原点的双曲线的标准方程、渐近线、准线方程、焦点、焦距和直线与直线的交点等基础知识.本题属中等难度题.
10.如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3cm AB AD ==，
12cm AA =，则四棱锥11A BB D D -的体积为
cm 3
．
【解析】本题主要考查四棱锥的体积，考查空间想象能力 和运算能力.本题属容易题. 【答案】6.
11.设直线12
y x b =+是曲线ln (0)y x x =>的一条切线，则实数b 的值是 . 【解析】本题主要考查导数的几何意义、切线的求法.本题属中等题. 【答案】ln 21-.
12.设)(x f 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间)1,1[-上，,,1001,,|5
2
|)(<≤<≤-⎪⎩⎪⎨⎧-+=x x x a x x f 其中
R a ∈.若)2
9
()25(f f =-，则)5(a f 的值是 .
【解析】本题主要考察函数的概念、函数的性质等基础知识，考查运算求解能力.本题属中等难度题. 【答案】5
2
-
13.如图，在ABC ∆中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，4=⋅，1-=⋅，则⋅的值是 . 【解析】本题主要考查平面向量的概念、平面向量的运算以及平面向量的数量积等基础知识，考查数形结合和等价转化的思想，考查运算求解能力.本题属难题. 【答案】8
7.
14. 已知正数a b c ，，满足：4ln 53ln b c a a c c c a c b -+-≤≤≥，，则b a
的取值范围是 ． 【解析】本题主要考查代数形式的变形和转化能力，考查灵活运用有关的基础知识解决问题的能力.本题属难题.
D
A
B
C 1C 1D
1A
1B
二、解答题
15．在ABC ∆中，角c b a C B A ,,,,的对边分别为.已知.2623A B b a ===，， （1）求A cos 值； （2）求c 的值.
【解析】本题主要考查三角恒等变换、正弦定理等基础知识，考查运算求解能力. 本题属容易题. 【参考答案】
（1）在ABC ∆中，因为A B b a 2623===，，， 故由正弦定理得A A 2sin 62sin 3=，于是3
6
2sin cos sin 2=A A A . 所以3
6cos =
A . (2)由(1)得36cos =A .所以33
cos 1sin 2=-=A A .
又因为A B 2=，所以3
11cos 22cos cos 2=-==A B . 从而3
2
2cos 1sin 2=
-=B B . 在π=++∆C B A ABC 中，因为，
所以9
3
5sin cos cos sin )sin(sin =+=+=B A B A B A C . 因此由正弦定理得5sin sin ==
A
C
a c .
16．如图，在三棱锥A-BCD 中，AB ⊥AD ，BC ⊥BD ，平面ABD ⊥平面BCD ，点E 、F （E 与A 、D 不重合）分别在棱AD ，BD 上，且EF ⊥AD .
求证：（1）EF ∥平面ABC ；
（2）AD ⊥AC.
【解析】本题主要考查直线与直线、直线与平面以及平面与平面的 位置关系，考查空间想象能力和推理论证能力． 本题属容易题 【参考答案】
证明：（1）在平面ABD 内，因为AB ⊥AD ，EF AD ⊥，所以EF AB ∥. 又因为EF ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ，所以EF ∥平面ABC . （2）因为平面ABD ⊥平面BCD ， 平面ABD 平面BCD =BD ，
BC ⊂平面BCD ，BC BD ⊥，
所以BC ⊥平面ABD .
因为AD ⊂平面ABD ，所以BC ⊥AD .
又AB ⊥AD ，BC AB B =，AB ⊂平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， 所以AD ⊥平面ABC ， 又因为AC ⊂平面ABC ， 所以AD ⊥AC.
17.如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆10:＞＞22
22x y +=(a b )
a b
E 的左、右焦点分别为
F 1，F 2，离心率为12
，两准线之间的距离为
8.点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点F 1作直线PF 1的垂线l 1,过点F 2作直线PF 2的垂线l 2.
（1）求椭圆E 的标准方程；
（2）若直线l 1，l 2的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标.
【解析】本小题主要考查直线方程、直线与直线的位置关系、椭圆方程、椭圆的几何
性质等基础知 识， 考查分析问题能力和运算求解能力.本题属中等难度题. 【参考答案】（1）设椭圆的半焦距为c .
因为椭圆E 的离心率为12，两准线之间的距离为8，所以1
2c a =
，228a c =，
解得2,1a c ==
，于是
b 因此椭圆E 的标准方程是22
1
43x y +=.
（2）由（1）知，1(1,0)F -，2(1,0)F .
设00(,)P x y ，因为点P 为第一象限的点，故000,0x y >>. 当01x =时，2l 与1l 相交于1F ，与题设不符.
当01x ≠时，直线1PF 的斜率为001y x +，直线2PF 的斜率为0
01y x -.
因为11l PF ⊥，22l PF ⊥，所以直线1l 的斜率为001x y -+，直线2l 的斜率为0
01
x y --，
从而直线1l 的方程：00
1
(1)x y x y +=-
+， ①
直线2l 的方程：
00
1
(1)x y x y -=-
-. ②
由①②，解得20001,x x x y y -=-=，所以2
001(,)
x Q x y --.
因为点Q 在椭圆上，由对称性，得2
001x y y -=±，即22001x y -=或22
001x y +=. 又P 在椭圆E 上，故22
00
1
43x y +=.
由220022001143x y x y ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩
，解得00,77x y ==；22
002
2
001143x y x y ⎧+=⎪⎨+
=⎪⎩，无解.
因此点P
的坐标为.
18. 如图：为保护河上古桥OA ，规划建一座新桥BC ，同时设立一个圆形保护区，规划要求，新桥BC 与河岸AB 垂直；保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆，且古桥两端O 和A 到该圆上任一点的距离均不少于80m ，经测量，点A 位于点O 正北方向60m 处，点C 位于点O 正东方向170m 处，（OC 为河岸），4
tan 3
BCO ∠=. （1）求新桥BC 的长；
（2）当OM 多长时，圆形保护区的面积最大？
【解析】本小题主要考查直线方程、直线与圆的位置关系和解三角形等基础知识，考查建立数学模型及运用数学知识解决实际问题的能力..
【参考答案】 解法一：
如图，以O 为坐标原点，OC 所在直线为x 轴，建立平面直角坐
标系xOy .
由条件知A (0, 60)，C (170, 0)， 直线BC 的斜率k BC =－tan ∠BCO =－43
. 又因为AB ⊥BC ，所以直线AB 的斜率k AB =34
. 设点B 的坐标为(a ,b )，则k BC =
04,1703b a -=-- k AB =603
,04
b a -=-
解得a =80，b=120. 所以BC 150=. 因此新桥BC 的长是150 m.
(2)设保护区的边界圆M 的半径为r m,OM =d m,(0≤d ≤60). 由条件知，直线BC 的方程为4(170)3
y x =--，即436800x y +-= 由于圆M 与直线BC 相切，故点M (0，d )到直线BC 的距离是r ，即|3680|6803
5
5
d d
r --==. 因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m,
所以80(60)80r d r d -⎧⎨--⎩≥≥即6803805
6803(60)805d
d d d -⎧-⎪⎪⎨-⎪--⎪⎩
≥≥解得1035d ≤≤
故当d =10时,68035
d
r -=
最大，即圆面积最大. 所以当OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大. 解法二:(1)如图，延长OA , CB 交于点F .
因为tan ∠BCO =43
.所以sin ∠FCO =45
，cos ∠FCO =35
. 因为OA =60,OC =170，所以OF =OC tan ∠FCO =680
3
. CF =
850cos 3OC FCO =
∠,从而500
3
AF OF OA =-=. 因为OA ⊥OC ，所以cos ∠AFB =sin ∠FCO ==45，
又因为AB ⊥BC ，所以BF =AF cos ∠AFB ==400
3
，从而BC =CF －BF =150.
因此新桥BC 的长是150 m.
(2)设保护区的边界圆M 与BC 的切点为D ，连接MD ，则MD ⊥BC ，且MD 是圆M 的半 径，并设MD =r m ，OM =d m(0≤d ≤60). 因为OA ⊥OC ，所以sin ∠CFO =cos ∠FCO ， 故由(1)知，sin ∠CFO =
3
,6805
3
MD MD r MF OF OM d ===--所以68035d r -=
. 因为O 和A 到圆M 上任意一点的距离均不少于80 m,
所以80(60)80r d r d -⎧⎨--⎩≥≥即6803805
6803(60)805d
d d d -⎧-⎪⎪⎨-⎪--⎪⎩
≥≥解得1035d ≤≤
故当d =10时,68035
d
r -=
最大，即圆面积最大. 所以当OM = 10 m 时，圆形保护区的面积最大. 19. 设函数ax e x g ax x x f x -=-=)(,ln )(，其中a 为实数.
（1）若)(x f 在),1(+∞上是单调减函数，且)(x g 在),1(+∞上有最小值，求a 的取值范围；
（2）若)(x g 在),1(+∞-上是单调增函数，试求)(x f 的零点个数，并证明你的结论. 【解析】本题主要考查函数的单调性、最值、零点等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论等数学思想方法进行探索、分析与解决问题的能力．本题属难题． 【参考答案】解：(1)令f ′(x )＝11ax
a x
x
--=
＜0，考虑到f (x )的定义域为(0，＋∞)，故a ＞0，进而解得x ＞a －1，即f (x )在(a －1，＋∞)上是单调减函数．同理，f (x )在(0，a －1)上是单调增函数．由于f (x )在(1，＋∞)上是单调减函数，故(1，＋∞)⊆(a －1，＋∞)，从而a －1≤1，即a ≥1.令g ′(x )＝e x －a ＝0，得x ＝ln a ．当x ＜ln a 时，g ′(x )＜0；当x ＞ln a 时，g ′(x )＞0.又g (x )在(1，＋∞)上有最小值，所以ln a ＞1，即a ＞e. 综上，有a ∈(e ，＋∞)．
(2)当a ≤0时，g (x )必为单调增函数；当a ＞0时，令g ′(x )＝e x －a ＞0，解得a ＜e x ，即x ＞ln a .
因为g (x )在(－1，＋∞)上是单调增函数，类似(1)有ln a ≤－1，即0＜a ≤e －1. 结合上述两种情况，有a ≤e －1.
①当a ＝0时，由f (1)＝0以及f ′(x )＝1
x
＞0，得f (x )存在唯一的零点；
②当a ＜0时，由于f (e a )＝a －a e a ＝a (1－e a )＜0，f (1)＝－a ＞0，且函数f (x )在[e a,1]上的图象不间断，所以f (x )在(e a,1)上存在零点．
另外，当x ＞0时，f ′(x )＝1x
－a ＞0，故f (x )在(0，＋∞)上是单调增函数，所以f (x )只有一个零点．
③当0＜a ≤e －1时，令f ′(x )＝1x
－a ＝0，解得x ＝a －1.当0＜x ＜a －1时，f ′(x )＞0，当x ＞a
－1
时，f ′(x )＜0，所以，x ＝a －1是f (x )的最大值点，且最大值为f (a －1)＝－ln a －1.
当－ln a －1＝0，即a ＝e －1时，f (x )有一个零点x ＝e. 当－ln a －1＞0，即0＜a ＜e －1时，f (x )有两个零点．
实际上，对于0＜a ＜e －1，由于f (e －1)＝－1－a e －1＜0，f (a －1)＞0，且函数f (x )在[e －1，a
－1
]上的图象不间断，所以f (x )在(e －1，a －1)上存在零点．
另外，当x ∈(0，a －1)时，f ′(x )＝1
x
－a ＞0，故f (x )在(0，a －1)上是单调增函数，所以f (x )在(0，a －1)上只有一个零点．
下面考虑f (x )在(a －1，＋∞)上的情况．先证f (e a －1)＝a (a －2－e a －1)＜0.
为此，我们要证明：当x ＞e 时，e x ＞x 2.设h (x )＝e x －x 2，则h ′(x )＝e x －2x ，再设l (x )＝h ′(x )＝e x －2x ，则l ′(x )＝e x －2.
当x ＞1时，l ′(x )＝e x －2＞e －2＞0，所以l (x )＝h ′(x )在(1，＋∞)上是单调增函数．故当x ＞2时，
h ′(x )＝e x －2x ＞h ′(2)＝e 2－4＞0，
从而h (x )在(2，＋∞)上是单调增函数，进而当x ＞e 时， h (x )＝e x －x 2＞h (e)＝e e －e 2＞0.即当x ＞e 时，e x ＞x 2.
当0＜a ＜e －1，即a －1＞e 时，f (e a －1)＝a －1－a e a －1＝a (a －2－e a －1)＜0，又f (a －1)＞0，且函数f (x )在
[a －1，e a －1]上的图象不间断，所以f (x )在(a －1，e a －1)上存在零点．又当x ＞a －1时，f ′(x )＝1x
－a ＜0，故f (x )在(a －1，＋∞)上是单调减函数，所以f (x )在(a －1，＋∞)上只有一个零点．
综合①，②，③，当a ≤0或a ＝e －1时，f (x )的零点个数为1， 当 0＜a ＜e －1时，f (x )的零点个数为2.
20. 设数列{}n
a 的前n 项和为n
S ．若对任意的正整数n ，总存在正整数m ，使得n m
S a =，
则称{}n
a 是“H 数列”．
（1）若数列{}n
a 的前n 项和2()n
n S n *
=∈N ，证明：{}n
a 是“H 数列”；
（2）设{}n
a 是等差数列，其首项1
1a
=，公差0d <．若{}n a 是“H 数列”，求d 的值；
（3）证明：对任意的等差数列{}n
a ，总存在两个“H 数列”{}n
b 和{}n
c ，使得()
n
n n a
b c n *=+∈N 成立．
【解析】本题主要考查数列的概念、等差数列等基础知识，考查探究能力与推理论证
能力．本题属难题． 【参考答案】 （1）当2n ≥时，111222n n n n
n n a S S ---=-=-=
当1n =时，1
12a S ==
∴1n =时，1
1S
a =，当2n ≥时，1n n S a +=
∴{}n
a 是“H 数列” （2）1(1)(1)
22
n
n n n n S
na d n d --=+
=+ 对n *
∀∈N ，m *
∃∈N 使n
m S a =，即(1)
1(1)2
n n n d m d -+
=+- 取2n =得1(1)d m d +=-，1
2m d =+
∵0d <，∴2m <，又m *
∈N ，∴1m =，∴1d =-
（3）设{}n
a 的公差为d
令111(1)(2)n
b
a n a n a =--=-，对n *∀∈N ，11n n
b b a +-=-
1(1)()n c n a d =-+，对n *∀∈N ，11n n c c a d +-=+
则1(1)n
n n b
c a n
d a +=+-=，且{}{}n n b c ，为等差数列
{}n b 的前n 项和11(1)()2n
n n T
na a -=+
-，令1(2)n T m a =-，则(3)
22
n n m -=+ 当1n =时1m =； 当2n =时1m =；
当3n ≥时，由于n 与3n -奇偶性不同，即(3)n n -非负偶数，m *
∈N
因此对n ∀，都可找到m *
∈N ，使n
m T
b =成立，即{}n b 为“H 数列”．
{}n c 的前ｎ项和1(1)()2n n n R a d -=
+，令1(1)()n m c m a d R =-+=，则(1)12
n n m -=+ ∵对n *
∀∈N ，(1)n n -是非负偶数，∴m *
∈N 即对n *
∀∈N ，都可找到m *
∈N ，使得n
m R
c =成立，即{}n c 为“H 数列”
因此命题得证.
B ．附加题部分 1．选修24-矩阵与变换 已知矩阵1002A -⎡⎤=⎢
⎥⎣⎦，1206B ⎡⎤
=⎢⎥
⎣⎦
，求1A B -． 【解析】本题主要考查逆矩阵、矩阵的乘法，考查运算求解能力．本题属容易题． 【参考答案】 设A 的逆矩阵为a b c d ⎡⎤⎢
⎥⎣⎦，则10100201a b c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即102201a b c d --⎡⎤⎡⎤
=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
，故1a =-，0b =，0c =，12d =，从而A 的逆矩阵为110102A --⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦，所以，11012121060302A B --⎡⎤
--⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
⎣⎦
． 2．选修44-坐标系与参数方程 在极坐标中，已知圆C 经过点(
)4
P π，
，圆心为直线sin 3ρθπ⎛⎫-
= ⎪⎝
⎭
与极轴的交点，求圆
C 的极坐标方程．
【解析】本题主要考查直线和圆的极坐标方程等基础知识，考查转化问题的能力。

本题属容易题． 【参考答案】
∵圆C
圆心为直线sin 3ρθπ⎛⎫-
= ⎪⎝
⎭
与极轴的交点，
∴在sin 3ρθπ⎛⎫-
= ⎪⎝
⎭
中令=0θ，得1ρ=。

∴圆C 的圆心坐标为（1，0）。

∵圆C 经过点(
)4
P π
，
，∴圆C 的半径为
PC =。

∴圆C 经过极点。

∴圆C 的极坐标方程为=2cos ρθ。

3．选修54-不等式选讲
已知b a ,是非负实数，求证：⋅+≥+)(2233b a ab b a
【解析】本题主要考查证明不等式的基本方法. 考查推理论证能力，本题属容易题． 【参考答案】
由b a ,是非负实数，作差得
)
)())(((()()(5
5
222233b a b a a b b b b a a a b a ab b a --=-+-=+-+
当b a ≥时，,b a ≥从而,)()(55b a ≥得0))())(((55≥--b a b a 当b a <时，b a <,从而,)()(55b a <得.0))())(((5>--b a b a s 所以).(2233b a ab b a +≥+
5. 如图，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，1,21==AB AA ，点N 是BC 的中点，点M 在1CC 上，设二面角M DN A --1的大小为θ. （1）当090θ=时，求AM 的长； （2
）当cos θ=
时，求CM 的长。

【解析】本题主要考查空间向量的基础知识，考查运用空间 向量解决问题的能力．本题属中等题． 【参考答案】
建立如图所示的空间直角坐标系xyz D -。

设)20(≤≤=t t CM ，则各点的坐标为),1,0(),0,1,2
1(),2,0,1(),0,0,1(1t M N A A 所以DN )0,1,2
1(=，),,1,0(t DM =DA 1)2,0,1(=.设平面DMN 的法向量为
),,(1111z y x n =，则0,011=⋅=⋅DM n DN n ,
即0,021111=+=+tz y y x ，令11=z ,则.2,11t x t y =-= 所以)1,,2(1t t n -=是平面DMN 的一个法向量
.
设平面DN A 1的法向量为),,(2222z y x n =,则0,0212=⋅=⋅DN n DA n 即02,022222=+=+y x z x ,令12=z ,则1,222=-=y x
所以)1,1,2(2-=n 是平面DN A 1的一个法向量,从而1521+-=⋅t n n (1)因为 90=θ,所以01521=+-=⋅t n n 解得5
1=t ,从而)5
1,1,0(M 所以⋅=
++=5
51)5
1(1122AM (2)因为||1n ,152+=t 6||2=n 所以|
|||,cos 212121n n n n >=
<1
56152
++-=
t t
因为θ>=<21,n n 或θπ-,所以
661
56152±
=++-t t ,解得0=t 或2
1=t . 根据图形和(1)的结论可知2
1=t ,从而CM 的长为2
1
.
6. 已知函数0
sin ()(0)
x f x x x
=>，记()n f x 为1
()n f
x -的导数，n *∈N ．
（1）求()()1
2
2222
f
f πππ+的值； （2）证明：对任意的n *
∈N ，等式()(
)1
444n n
nf
f -πππ+成立． 【解析】本题主要考查简单的复合函数的导数、导数的运算法则及数学归纳法等基础知识。

考察探究能力及推理论证能力.本题属难题. 【参考答案】
(1)解：由已知，得102sin cos sin ()(),x x x f x f x x x x '⎛
⎫'===
- ⎪⎝⎭ 于是21223
cos sin sin 2cos 2sin ()(),x x x x x f x f x x x x x x ''⎛
⎫⎛⎫'==-=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
所以12234
216(),(),2
2f f π
ππππ=-
=-+故122()() 1.222
f f πππ
+=- (2)证明：由已知，得0
()sin ,xf x x =等式两边分别对x 求导，得0
()()cos f x xf x x '+=，
即0
1
()()cos sin()2
f x xf x x x π
+==+，类似可得 122()()sin sin()f x xf x x x π+=-=+，
2333()()cos sin()2
f x xf x x x π+=-=+， 344()()sin sin(2)f x xf x x x π+==+.
下面用数学归纳法证明等式1
()()sin()2
n n n nf
x xf x x π-+=+对所有的n ∈*N 都成立. (i)当n =1时，由上可知等式成立. (ii)假设当n =k 时等式成立, 即1
()()sin()2
k k k kf x xf x x π-+=+. 因为1
11[()()]()()()(1)()(),
k k k k k k k kf
x xf x kf x f x xf x k f x f x --+'''+=++=++ (1)[sin()]cos()()sin[]222
2
k k k k x x x x π
πππ+''+=+⋅+=+
， 所以1
(1)()()k
k k f x f
x +++(1)sin[]2
k x π
+=+
. 所以当n=k +1时,等式也成立. 综合(i),(ii)可知等式1
()()sin()2
n n n nf x xf x x π-+=+对所有的n ∈*N 都成立. 令4
x π
=，可得1
()()sin()44442
n n n nf
f πππππ-+=+(n ∈*N ).
所以1
()()4
44n n nf f ππ
π-+n ∈*N ).。