(汇总3份试卷)2019年天津市九年级上学期数学期末预测试题

九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
1．如图，在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作EF⊥AC交BC于点E，交AD于点F，连接AE、CF．则四边形AECF是( )
A．梯形B．矩形C．菱形D．正方形
【答案】C
【详解】∵在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，
∴AO=CO，∠AFO=∠CEO，
∵在△AFO和△CEO中，∠AFO=∠CEO，∠ FOA=∠EOC，AO=CO，
∴△AFO≌△CEO（AAS），
∴FO=EO，
∴四边形AECF平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴平行四边形AECF是菱形，
故选C.
2．从甲、乙、丙、丁四人中选一人参加诗词大会比赛，经过三轮初赛，他们的平均成绩都是86分，方差如下表，你认为派谁去参赛更合适（）
选手甲乙丙丁
方差 1.5 2.6 3.5 3.68
A．甲B．乙C．丙D．丁
【答案】A
【分析】根据方差的意义即可得．
【详解】方差越小，表示成绩波动性越小、越稳定
观察表格可知，甲的方差最小，则派甲去参赛更合适
故选：A．
【点睛】
本题考查了方差的意义，掌握理解方差的意义是解题关键．
3．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据中心对称图形的定义：旋转180度之后与自身重合称为中心对称，轴对称是折叠后能够与自身完全重合称为轴对称，根据定义去解题.
【详解】解：A、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；
D、既是中心对称图形又是轴对称图形，故本选项正确．故选：D．
【点睛】
本题考查的是中心对称图形和轴对称图形的定义.
4．下列图形：①国旗上的五角星，②有一个角为60°的等腰三角形，③一个半径为π的圆，④两条对角线
互相垂直平分的四边形，⑤函数y＝1
x
的图象，其中既是轴对称又是中心对称的图形有（）
A．有1个B．有2个C．有3个D．有4个【答案】C
【分析】根据中心对称图形和轴对称图形的定义可得答案．
【详解】解：①国旗上的五角星，是轴对称图形，不是中心对称图形；
②有一个角为60°的等腰三角形，是轴对称图形，是中心对称图形；
③一个半径为π的圆，是轴对称图形，是中心对称图形；
④两条对角线互相垂直平分的四边形，是轴对称图形，是中心对称图形；
⑤函数y＝1
x
的图象，不是轴对称图形，是中心对称图形；
既是轴对称又是中心对称的图形有3个，
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，以及反比例函数图象和线段垂直平分线，关键是掌握轴对称图形和中心对称图形定义．
5．在同一时刻，两根长度不等的竿子置于阳光之下，而它们的影长相等，那么这两根竿子的相对位置是（）
A．两根都垂直于地面 B．两根平行斜插在地上C．两根不平行D．两根平行倒在地上
【答案】C
【分析】在不同时刻，同一物体的影子方向和大小可能不同，不同时刻物体在太阳光下的影子的大小在变，方向也在变，依此进行分析.
【详解】在同一时刻，两根竿子置于阳光下，但看到他们的影长相等，那么这两根竿子的顶部到地面的垂直距离相等，而竿子长度不等，故两根竿子不平行，故答案选择C. 【点睛】
本题考查投影的相关知识，解决此题的关键是掌握平行投影的特点.
6．在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，5AC =，12BC =，则cos B 的值为（ ） A ．
1213
B ．
1312
C ．
135
D ．
513
【答案】A
【分析】根据勾股定理求出AB ，根据余弦的定义计算即可．
【详解】由勾股定理得，13AB ==，
则12
13
BC cosB AC =
=， 故选：A ． 【点睛】
本题考查的是锐角三角函数的定义，掌握锐角A 的邻边b 与斜边c 的比叫做∠A 的余弦是解题的关键． 7．在直角坐标系xoy 中，点()1,2A -关于坐标原点的对称点的坐标为（ ）
A ．(1
2)--， B ． ()2,1- C ．()1,2 D ．()1,2-
【答案】D
【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征：横、纵坐标都相反，进行判断即可． 【详解】点A(－1，2)关于原点的对称点的坐标为(1，－2)． 故选：D ． 【点睛】
本题考查点的坐标特征，熟记特殊点的坐标特征是关键． 8．若一元二次方程kx 2﹣3x ﹣9
4
＝0有实数根，则实数k 的取值范围是（ ） A ．k ＝﹣1 B ．k ≥﹣1且k ≠0
C ．k ＞﹣1且k ≠0
D ．k ≤﹣1且k ≠0
【答案】B
【分析】根据一元二次方程根的判别式△＝9+9k ≥0即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：△＝9+9k ≥0， ∴k ≥﹣1， ∵k ≠0，
∴k ≥﹣1且k ≠0， 故选：B ． 【点睛】
本题考查了根据一元二次方程根的情况求方程中的参数，解题的关键是熟知一元二次方程根的判别式的应用．
9．如图是由三个边长分别为6、9、x 的正方形所组成的图形，若直线AB 将它分成面积相等的两部分，则x 的值是（ ）
A ．1或9
B ．3或5
C ．4或6
D ．3或6
【答案】D
【解析】以AB 为对角线将图形补成长方形，由已知可得缺失的两部分面积相同，即3×6=x×(9-x)，解得x=3或x=6，故选D.
【点睛】本题考查了正方形的性质，图形的面积的计算，准确地区分和识别图形是解题的关键． 10．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度，以点C 为位似中心，在网格中画
111A B C △，使111A B C △与
ABC 位似，且111A B C △与ABC 的位似比为2:1，则点1B 的坐标可以为
（ ）
A ．()3,2-
B ．()4,0
C ．(5,1)-
D ．()5,0
【答案】B
【解析】利用位似性质和网格特点，延长CA 到A 1，使CA 1=2CA ，延长CB 到B 1，使CB 1=2CB ，则△A 1B 1C 1满足条件；或延长AC 到A 1，使CA 1=2CA ，延长BC 到B 1，使CB 1=2CB ，则△A 1B 1C 1也满足条件，然后写出点B 1的坐标．
【详解】解：由图可知，点B 的坐标为（3，-2），
如图，以点C 为位似中心，在网格中画△A 1B 1C 1，使△A 1B 1C 1与△ABC 位似，且△A 1B 1C 1与△ABC 的位似比为2:1，
则点B 1的坐标为（4，0）或（-8，0），位于题目图中网格点内的是（4,0）， 故选：B ．
【点睛】
本题考查了位似变换及坐标与图形的知识，解题的关键是根据两图形的位似比画出图形，注意有两种情况． 11．已知反比例函数2
y x
=-，则下列结论正确的是（ ） A ．点(1，2)在它的图象上 B ．其图象分别位于第一、三象限 C ．y 随x 的增大而减小
D ．如果点()P m n ,在它的图象上，则点(),Q n m 也在它的图象上 【答案】D
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征以及反比例函数的性质解答即可． 【详解】解：∵20k =-<
∴图象在二、四象限，y 随x 的增大而增大，选项A 、B 、C 错误； ∵点()P m n ,在函数的图象上， ∴mn 2=-
∵点(),Q n m 横纵坐标的乘积2nm mn ==- ∴则点(),Q n m 也在函数的图象上，选项D 正确． 故选：D ． 【点睛】
本题考查的知识点是反比例函数的的性质，掌握反比例函数图象的特征及其性质是解此题的关键． 12．如图，点A ，B 分别在反比例函数1
y x =(0)x >，a y x =(0)x <的图象上．若OA OB ⊥，2OB OA
=，则a 的值为（ ）
A ．4-
B ．4
C ．2-
D ．2
【答案】A
【分析】分别过点A 作AC ⊥x 轴于C ，过点B 作BD ⊥x 轴于D ，根据点A 所在的图象可设点A 的坐标
为（1
,x x ），根据相似三角形的判定证出△BDO ∽△OCA ，列出比例式即可求出点B 的坐标，然后代入a y x
=
中即可求出a 的值．
【详解】解：分别过点A 作AC ⊥x 轴于C ，过点B 作BD ⊥x 轴于D ，
∵点A 在反比例函数1
y x
=
(0)x >， 设点A 的坐标为（1
,x x ），则OC=x ，AC=1x
，
∴∠BDO=∠OCA=90° ∵OA OB ⊥
∴∠BOD ＋∠AOC=180°－∠AOB=90°，∠OAC ＋∠AOC=90° ∴∠BOD=∠OAC ∴△BDO ∽△OCA
∴
2OD BD OB
AC OC OA
=== 解得：OD=2AC=2
x
，BD=2OC=2x ，
∵点B 在第二象限
∴点B 的坐标为（2
,2x x
-）
将点B 坐标代入a
y x
=中，解得4a =- 故选A ． 【点睛】
此题考查的是求反比例函数解析式相似三角形的判定及性质，掌握用待定系数法求反比例函数的解析式和构造相似三角形的方法是解决此题的关键． 二、填空题（本题包括8个小题）
13．如图，若点P 在反比例函数y ＝﹣3
x
（x ＜0）的图象上，过点P 作PM ⊥x 轴于点M ，PN ⊥y 轴于点N ，则矩形PMON 的面积为_____．
【答案】1
【分析】设PN ＝a ，PM ＝b ，根据P 点在第二象限得P （﹣a ，b ），根据矩形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：设PN ＝a ，PM ＝b ， ∵P 点在第二象限， ∴P （﹣a ，b ），代入y ＝3
x
中，得 k ＝﹣ab ＝﹣1，
∴矩形PMON 的面积＝PN•PM ＝ab ＝1， 故答案为：1． 【点睛】
本题考查了反比例函数的几何意义，即S 矩形PMON =K
14．钟表的轴心到分钟针端的长为5,cm 那么经过40分钟，分针针端转过的弧长是_________________cm . 【答案】
203
π 【分析】钟表的分针经过40分钟转过的角度是240︒，即圆心角是240︒，半径是5cm ，弧长公式是
180
n r
l π=
，代入就可以求出弧长． 【详解】解：圆心角的度数是：40
36024060
︒⨯=︒， 弧长是
2405201803
cm ππ
⋅=．
【点睛】
本题考查了求弧长，正确记忆弧长公式，掌握钟面角是解题的关键． 15．数据8，9，10，11，12的方差等于______. 【答案】2
【分析】根据方差的公式计算即可.
【详解】这组数据的平均数为
89101112
105
++++=
∴这组数据的方差为()()()()()2
2
2
2
2
81091010101110121025
S -+-+-+-+-=
=
故答案为2. 【点睛】
此题主要考查方差的计算，牢记公式是解题关键.
16．在一个不透明的盒子里装有黑、白两种颜色的球共50只，这些球除颜色外其余完全相同．随机摸出一只球记下颜色后放回，不断重复上述实验，统计数据如下：
共有白球___________只． 【答案】30
【分析】根据利用频率估计概率得到摸到白球的概率为60%，然后根据概率公式计算n 的值． 【详解】白球的个数=5060%30⨯=只 故答案为：30 【点睛】
本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率
17．已知线段AB=4，点P 是线段AB 的黄金分割点，且AP ＜BP ，那么AP 的长为_____．
【答案】（6﹣cm ．
【解析】根据黄金分割点的定义和AP ＜BP 得出AB ，代入数据即可得出BP 的长度． 【详解】解：由于P 为线段AB=4的黄金分割点，且AP ＜BP ，
则BP=
1
2
×4=（）cm ．
∴AP=4-BP=6-
故答案为：(6-． 【点评】
本题考查了黄金分割．应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的
35
2
，较长的线段=原线段
的
1
2
．
18．抛物线y=3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是____．
【答案】y=3（x﹣1）2﹣2
【分析】根据图象向下平移减，向右平移减，即可得答案．
【详解】抛物线y=3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，
所得到的抛物线是y=3（x-1）2-2，
故答案为y=3（x-1）2-2.
【点睛】
本题考查了二次函数图象与几何变换，解题的关键是用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
三、解答题（本题包括8个小题）
19．在数学活动课上，同学们用一根长为1米的细绳围矩形．
(1)小明围出了一个面积为600cm2的矩形，请你算一算，她围成的矩形的长和宽各是多少？
(2)小颖想用这根细绳围成一个面积尽可能大的矩形，请你用所学过的知识帮他分析应该怎么围，并求出最大面积.
【答案】（1）20cm，30cm；（2）用这根细绳围成一个边长为25㎝的正方形时，其面积最大，最大面积是6252
cm
【分析】（1）已知细绳长是1米，则已知围成的矩形的周长是1米，设她围成的矩形的一边长为xcm，则相邻的边长是50-xcm．根据矩形的面积公式，即可列出方程，求解；
（2）设围成矩形的一边长为xcm，面积为ycm2，根据矩形面积公式就可以表示成边长x的函数，根据函数的性质即可求解．
【详解】解：（1）设矩形的长为x㎝,则宽为1002
2
x
-
=（50-x)㎝
根据题意，得x（50-x)=600
整理，得x2－50x＋600=0
解得x1=20，x2 =30
∴他围成的矩形的长为30㎝，宽为20㎝.
（2）设围成的矩形的一边长为m㎝时，矩形面积为y㎝2,则有y=m（50-m)
=50m-m2
=-(m2-50m)
=-(m2-50m+252-252)
=-(m-25)2＋625
∴当m=25㎝时，y 有最大值625㎝．
20．已知一次函数y 1=ax+b 的图象与反比例函数y 2=的图象相交于A 、B 两点，坐标分别为（—2，4）、
（4，—2）．
（1）求两个函数的解析式； （2）求△AOB 的面积；
（3）直线AB 上是否存在一点P （A 除外），使△ABO 与以B ﹑P 、O 为顶点的三角形相似？若存在，直接写出顶点P 的坐标． 【答案】（1）y=-x+2 ，y=8x -
；（2）AOB 的面积为6；（3）（73，1
3
-）． 【详解】（1）将点（－2，4）、（4，－2）代入y 1=ax+b ，得24
42k b k b -+=⎧⎨+=-⎩
，解得：12k b =-⎧⎨=⎩，
∴y=-x+2 ，
将点（－2，4）代入y 2=k
x
，得k ＝－8， ∴y=8x
-
； （2）在y=-x+2中，当y ＝0时，x ＝2， 所以一次函数与x 轴交点是（2，0）， 故△AOB 的面积为=
11
2422622
⨯⨯+⨯⨯=； （3）∵OA ＝OB 222425+= ∴△OAB 是等腰三角形， ∵△ABO 与△BPO 相似， ∴△BPO 也是等腰三角形，
故只有一种情况，即P 在OB 的垂直平分线上， 设P （x ，-x+2） 则2
2
2
2
24
22x x
x x ，
解得：73
x =
， ∴顶点P 的坐标为（
73，13
-）.
21．如图，四边形ABCD 内接于O ，对角线AC 为O 的直径，过点C 作AC 的垂线交AD 的延长线于点E ，过点D 作O 的切线，交EC 于点F ．
（1）求证：EF FC =；
（2）填空：
①当ACD ∠的度数为 时，四边形ODFC 为正方形；
②若4=AD ，2DC =，则四边形ABCD 的最大面积是 ．
【答案】（1）证明见解析；（2）①45︒；②1．
【分析】
(1)根据已知条件得到CE 是O 的切线．根据切线的性质得到DF=CF,由圆周角定理得到∠ADC=10°，于是得到结论;
(2)①连接OD,根据圆周角定理和正方形的判定定理即可得到结论;
②根据圆周角定理得到∠ADC=∠ABC=10°，根据勾股定理得到22AC AD CD 25,=+= 根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】（1）证明：∵AC 是O 的直径，CE AC ⊥， ∴CE 是O 的切线．
又∵DF 是O 的切线，且交CE 于点F ， ∴DF CF =，
∴CDF DCF ∠=∠，
∵AC 是O 的直径，
∴90ADC ∠=︒，
∴90∠+∠=︒DCF E ，90∠+∠=︒CDF EDF ，
∴E EDF ∠=∠，
∴DF EF =，
∴EF FC =．
(2)解:①当∠ACD 的度数为45°时，四边形ODFC 为正方形;
理由:连接OD,
∵AC 为O 的直径,
∴∠ADC=10°,
∵∠ACD=45° ,
∴∠DAC=45°,
∴∠DOC=10° ,
∴∠DOC=∠ODF=∠OCF=10°, ．
∵OD=OC,
∴四边形ODFC为正方形;
故答案为：45°
②四边形ABCD的最大面积是1 ,
理由: ∵AC为O的直径,
∴∠ADC=∠ABC=10°,
∵AD=4，DC=2 ,
∴22
AC AD CD25,
=+=,
∴要使四边形ABCD的面积最大，则△ABC的面积最大, ∴当△ABC是等腰直角三角形时，△ABC的面积最大，
∴四边形ABCD的最大面积：11
422559 22
⨯⨯+⨯⨯=
故答案为：1
【点睛】
本题以圆为载体，考查了圆的切线的性质、平行线的判定、平行四边形的性质、直角三角形全等的判定和45°角的直角三角形的性质，涉及的知识点多，熟练掌握相关知识是解题的关键．
22．2018年非洲猪瘟疫情暴发后，专家预测，2019年我市猪肉售价将逐月上涨，每千克猪肉的售价y1（元）与月份x（1≤x≤12，且x为整数）之间满足一次函数关系，如下表所示．每千克猪肉的成本y2（元）与月份x（1≤x≤12，且x为整数）之间满足二次函数关系，且3月份每千克猪肉的成本全年最低，为9元，如图所示．
月份x … 3 4 5 6 …
售价y1/元…12 14 16 18 …
（1）求y1与x之间的函数关系式．
（2）求y2与x之间的函数关系式．
（3）设销售每千克猪肉所获得的利润为w（元），求w与x之间的函数关系式，哪个月份销售每千克猪肉所第获得的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】（1）y 1＝2x+6；（2）y 2＝14x 2﹣32x+454；（3）w ＝﹣14
x 2+72x ﹣214，1月份销售每千克猪肉所第获得的利润最大，最大利润是11元1．
【分析】（1）设1y 与x 之间的函数关系式为1y kx b =+，将（3，12）（4，14）代入1y 解方程组即可得到结论；
（2）由题意得到抛物线的顶点坐标为（3，9），设2y 与x 之间的函数关系式为：2y ＝239a x -+（），将
（5，10）代入2y ＝239a x -+（）得2539a -+（）＝10，解方程即可得到结论；
（3）由题意得到w ＝1y −2y ＝2x ＋6−
142x ＋32x−454＝−14
2x ＋72x−214，根据二次函数的性质即可得到结论． 【详解】（1）设y 1与x 之间的函数关系式为y 1＝kx+b ，
将（3，12）（4，14）代入y 1得，312414k b k b +=⎧⎨+=⎩
， 解得：26k b =⎧⎨=⎩
， ∴y 1与x 之间的函数关系式为：y 1＝2x+6；
（2）由题意得，抛物线的顶点坐标为（3，9），
∴设y 2与x 之间的函数关系式为：y 2＝a （x ﹣3）2+9，
将（5，10）代入y 2＝a （x ﹣3）2+9得a （5﹣3）2+9＝10，
解得：a ＝
14， ∴y 2＝14（x ﹣3）2+9＝14
x 2﹣32x+454； （3）由题意得，w ＝y 1﹣y 2＝2x+6﹣14x 2+32x ﹣454＝﹣14
x 2+72x ﹣214， ∵﹣14
＜0， ∴w 由最大值，
∴当x ＝﹣2b a ＝﹣7
2124⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭
＝1时，w 最大＝﹣14×12+72×1﹣214＝1． 【点睛】
本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握待定系数求函数解析式、由相等关系得出利润的函数解析式、利用二次函数的图象与性质是解题的关键．
23．如图，已知AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上，点E 在⊙O 外，∠EAC=∠D=60°．
（1）求∠ABC 的度数；
（2）求证：AE是⊙O的切线；（3）当BC=4时，求劣弧AC的长．
【答案】（1）60°;(2)证明略;(3)8 3π
【分析】（1）根据∠ABC与∠D都是劣弧AC所对的圆周角，利用圆周角定理可证出∠ABC=∠D=60°；（2）根据AB是⊙O的直径，利用直径所对的圆周角是直角得到∠ACB=90°，结合∠ABC=60°求得∠BAC=30°，从而推出∠BAE=90°，即OA⊥AE，可得AE是⊙O的切线；
（3）连结OC，证出△OBC是等边三角形，算出∠BOC=60°且⊙O的半径等于4，可得劣弧AC所对的圆心角∠AOC=120°，再由弧长公式加以计算，可得劣弧AC的长．
【详解】（1）∵∠ABC与∠D都是弧AC所对的圆周角，
∴∠ABC=∠D=60°；
（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∴∠BAC=30°，
∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°，
即BA⊥AE，
∴AE是⊙O的切线；
（3）如图，连接OC，
∵OB=OC，∠ABC=60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴OB=BC=4，∠BOC=60°，
∴∠AOC=120°，
∴劣弧AC的长为120
180R
π
=1204
180
π
=
8
3
π
．
【点睛】
本题考查了切线长定理及弧长公式，熟练掌握定理及公式是解题的关键.
24．如图，在平面直角坐标系中，点B在x轴上，∠ABO＝90°，AB＝BO，直线y＝﹣3x﹣4与反比例函
数y ＝()0k x x
<交于点A ，交y 轴于C 点． （1）求k 的值；
（2）点D 与点O 关于AB 对称，连接AD 、CD ，证明△ACD 是直角三角形；
（3）在（2）的条件下，点E 在反比例函数图象上，若S △OCE ＝S △OCD ，求点E 的坐标．
【答案】（1）-4；（2）见解析；（3）点E 的坐标为（﹣4，1）．
【分析】（1）根据一次函数图象上点的坐标特征求出点A 的坐标，利用待定系数法求出k ；
（2）先求出点D 的坐标，求出∠ADB=45°，∠ODC=45°，从而得解；
（3）设出点E 的坐标，根据三角形的面积公式解答．
【详解】（1）设点B 的坐标为（a ，0），
∵∠ABO ＝90°，AB ＝BO ，
∴点A 的坐标为（a ，﹣a ），
∵点A 在直线y ＝﹣3x ﹣4上，
∴﹣a ＝﹣3a ﹣4，
解得，a ＝﹣2，
即点A 的坐标为（﹣2，2），
∵点A 在反比例函数y ＝
k x
上， ∴k ＝﹣4；
（2）∵点D 与点O 关于AB 对称，
∴点D 的坐标为（﹣4，0）
∴OD ＝4，
∴DB ＝BA ＝2，
则∠ADB ＝45°，
∵直线y ＝﹣3x ﹣4交y 轴于C 点，
∴点C 的坐标为（0，﹣4），
∴OD ＝OC ，
∴∠ODC ＝45°，
∴∠ADC ＝∠ADB+∠ODC ＝90°，
即△ACD是直角三角形；
（3）设点E的坐标为（m，﹣4
m
），
∵S△OCE＝S△OCD，
∴1
2×4×4＝
1
2
×4×（﹣m），
解得，m＝﹣4，
∴﹣4
m
=1，
∴点E的坐标为（﹣4，1）．
【点睛】
本题考查的是反比例函数与几何的综合题，掌握待定系数法求反比例函数解析式是解题的关键．
25．如图，某防洪堤坝长300米，其背水坡的坡角∠ABC=62°，坡面长度AB=25米（图为横截面），为了使堤坝更加牢固，一施工队欲改变堤坝的坡面，使得加固后坡面的坡角∠ADB=50°
（1）求此时应将坝底向外拓宽多少米？（结果保留到0.01米）
（2）完成这项工程需要土石多少立方米？（参考数据：sin62°≈0.88，cos62°≈0.47，tan50°≈1.20）
【答案】（1）应将坝底向外拓宽大约6.58米；（2）21714立方米
【分析】（1）过A点作AE⊥CD于E．在Rt△ABE中，根据三角函数可得AE，BE，在Rt△ADE中，根据三角函数可得DE，再根据DB=DE-BE即可求解；
（2）用△ABD的面积乘以坝长即为所需的土石的体积．
【详解】解：（1）过A点作AE⊥CD于E．
在Rt△ABE中，∠ABE=62°．
∴AE=AB•sin62°≈25×0.88=22米，
BE=AB•cos62°≈25×0.47=11.75米，
在Rt△ADE中，∠ADB=50°，
∴DE=tan 50
AE ︒=18.33米， ∴DB=DE-BE≈6.58米．
故此时应将坝底向外拓宽大约6.58米．
（2）6.58×22×
12
×300=21714立方米． 【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，两个直角三角形有公共的直角边，先求出公共边的解决此类题目的基本出发点．
26．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，BA ＝BC ，BD 平分∠ABC ．
（1）求证：四边形ABCD 是菱形；
（2）过点D 作DE ⊥BD ，交BC 的延长线于点E ，若BC ＝5，BD ＝8，求四边形ABED 的周长．
【答案】（1）详见解析；（2）1.
【分析】（1）根据平行线的性质得到∠ADB ＝∠CBD ，根据角平分线定义得到∠ABD ＝∠CBD ，等量代换得到∠ADB ＝∠ABD ，根据等腰三角形的判定定理得到AD ＝AB ，根据菱形的判定即可得到结论；
（2）由垂直的定义得到∠BDE ＝90°，等量代换得到∠CDE ＝∠E ，根据等腰三角形的判定得到CD ＝CE ＝BC ，根据勾股定理得到DE 22BE BD -6，于是得到结论．
【详解】（1）证明：∵AD ∥BC ，
∴∠ADB ＝∠CBD ，
∵BD 平分∠ABC ，
∴∠ABD ＝∠CBD ，
∴∠ADB ＝∠ABD ，
∴AD ＝AB ，
∵BA ＝BC ，
∴AD ＝BC ，
∴四边形ABCD 是平行四边形，
∵BA ＝BC ，
∴四边形ABCD 是菱形；
（2）解：∵DE ⊥BD ，
∴∠BDE＝90°，
∴∠DBC+∠E＝∠BDC+∠CDE＝90°，
∵CB＝CD，
∴∠DBC＝∠BDC，
∴∠CDE＝∠E，
∴CD＝CE＝BC，
∴BE＝2BC＝10，
∵BD＝8，
∴DE＝22
BE BD
-＝6，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝BC＝5，
∴四边形ABED的周长＝AD+AB+BE+DE＝1．
【点睛】
本题考查了菱形的判定和性质，角平分线定义，平行线的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
27．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD⊥DC于D，且AC平分∠DAB．延长DC交AB的延长线于点P．
（1）求证：PC2＝PA•PB；
（2）若3AC＝4BC，⊙O的直径为7，求线段PC的长．
【答案】（1）见解析；（2）PC＝1．
【分析】（1）证明△PAC∽△PCB，可得PC PA
PB PC
=，即可证明PC2=PA•PB；
（2）若3AC=4BC，则
4
3
PC
PB
=，由（1）可求线段PC的长．
【详解】（1）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
∵AD⊥DC于D，且AC平分∠DAB，
∴∠PDA=90°，∠DAC=∠BAC．
∵∠PCA=∠PDA+∠DAC，∠PBC=∠ACB+∠BAC，∴∠PCA=∠PBC．
∵∠BPC=∠CPA，
∴△PAC∽△PCB，
∴PC PA AC PB PC CB
==，
∴PC2=PA•PB；（2）∵3AC=4BC，
∴
4
3 PC AC
PB CB
==．
设PC=4k，则PB=3k，PA=3k+7，
∴(4k)2=3k(3k+7)，
∴k=3或k=0(舍去)，
∴PC=1．
【点睛】
本题考查了三角形相似的判定与性质，圆周角定理，解一元二次方程等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．
九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）
173π 四个实数，任取一个数是无理数的概率为( ) A ．14 B ．12 C ．34 D ．1
【答案】B
【分析】先求出无理数的个数，再根据概率公式即可得出结论；
【详解】∵共有4π共2种情况， ∴任取一个数是无理数的概率21=42P =
； 故选B.
【点睛】
本题主要考查了概率公式，无理数，掌握概率公式，无理数是解题的关键.
2．下列运算正确的是（ ）
A ．()222a b a b +=+
B ．325a a a =
C ．632a a a ÷=
D ．235a b ab +=
【答案】B
【分析】
根据完全平方公式、同底数幂乘法、同底数幂除法、合并同类项法则逐一进行分析判断即可．
【详解】
因为()2222a b a b ab +=++，所以选项A 错误； 325a a a =，所以B 选项正确；
633a a a ÷=，故选项C 错误；
因为2a 与3b 不是同类项，不能合并，故选项D 错误，
故选B ．
【点睛】
本题考查了整式的运算，涉及了完全平方公式、同底数幂乘除法等，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键．
3．下面是一位美术爱好者利用网格图设计的几个英文字母的图形，你认为其中是中心对称图形，但不是轴对称图形的是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】B
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【详解】解：A 、是轴对称图形，不是中心对称图形；
B 、不是轴对称图形，是中心对称图形；
C 、是轴对称图形，也是中心对称图形；
D 、不是轴对称图形，也不是中心对称图形．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合．
4．遵义市脱贫攻坚工作中农村危房改造惠及百万余人，2008年以来全市累计实施农村危房改造40.37万户，其中的数据40.37万用科学记数法表示为（ ）
A ．34.03710⨯
B ．54.03710⨯
C ．440.3710⨯
D ．3403.710⨯
【答案】B
【分析】科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n 是正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．
【详解】解：根据科学记数法的定义：40.37万=54.03710⨯
故选：B.
【点睛】
此题考查的是科学记数法,掌握科学记数法的定义是解决此题的关键.
5． 如图，把一个直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1＝50°，则∠2＝（ ）
A ．20°
B ．30°
C ．40°
D ．50°
【答案】C 【分析】由两直线平行，同位角相等，可求得∠3的度数，然后求得∠2的度数．
【详解】
∵∠1=50°，
∴∠3=∠1=50°，
∴∠2=90°−50°=40°.
故选C.
【点睛】
本题主要考查平行线的性质，熟悉掌握性质是关键.
6．抛物线y＝（x﹣1）2﹣2 的顶点是（）
A．（1，﹣2）B．（﹣1，2）C．（1，2）D．（﹣1，﹣2）
【答案】A
【分析】根据顶点式的坐标特点直接写出顶点坐标即可解决．
【详解】解：∵y＝（x﹣1）2﹣2是抛物线解析式的顶点式，
根据顶点式的坐标特点可知，顶点坐标为（1，﹣2）．
故选：A．
【点睛】
本题考查了顶点式，解决本题的关键是正确理解二次函数顶点式中顶点坐标的表示方法.
7．将分别标有“走”“向”“伟”“大”“复”“兴”汉字的小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外完全相同，每次摸球前先搅匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“复兴”的概率是（）
A．1
6
B．
1
15
C．
1
8
D．
1
12
【答案】B
【分析】根据题意列表得出所有等情况数和两次摸出的球上的汉字是“复”“兴”的情况数，再根据概率公式即可得出答案．
【详解】解：根据题意画图如下：
共有30种等情况数，其中两次摸出的球上的汉字是“复”“兴”的有2种，
则随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字组成“复兴”的概率是21 3015
；
故选：B．
【点睛】
此题考查了树状图法或列表法求概率．树状图法适合两步或两步以上完成的事件；列表法适合两步完成的事件，解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
8．函数y=ax2+1与
a
y
x
=（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）
A．B． C． D．
【答案】B
【解析】试题分析：分a＞0和a＜0两种情况讨论：
当a＞0时，y=ax2+1开口向上，顶点坐标为（0，1）；
a
y
x
=位于第一、三象限，没有选项图象符合；
当a＜0时，y=ax2+1开口向下，顶点坐标为（0，1）；
a
y
x
=位于第二、四象限，B选项图象符合．
故选B．
考点：1.二次函数和反比例函数的图象和性质；2.分类思想的应用．
9．某市计划争取“全面改薄”专项资金120 000 000元，用于改造农村义务教育薄弱学校100所数据120 000 000用科学记数法表示为（）
A．12×108B．1.2×108C．1.2×109D．0.12×109
【答案】B
【解析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是
正数；当原数的绝对值＜1时，n 是负数．
【详解】120 000 000＝1.2×108，
故选：B ．
【点睛】
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a ×10n 的形式，其中1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．
10．一元二次方程220x x a -+=有实数解的条件( )
A ．1a ≥
B ．1a ≤
C ．1a >
D ．1a <
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的根的判别式240b ac ∆=-≥即可得．
【详解】一元二次方程220x x a -+=有实数解
则2(2)410a ∆=--⨯⋅≥，即440a -≥
解得1a ≤
故选：B ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟记根的判别式是解题关键．对于一般形式20(a 0)++=≠ax bx c 有：（1）当240b ac ∆=->时，方程有两个不相等的实数根；（2）当
240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根；
（3）当240b ac ∆=-<时，方程没有实数根． 11．某公司为调动职工工作积极性，向工会代言人提供了两个加薪方案，要求他从中选择：
方案一：是12个月后，在年薪20000元的基础上每年提高500元（第一年年薪20000元）；
方案二：是6个月后，在半年薪10000元的基础上每半年提高125元（第6个月末发薪水10000元）； 但不管是选哪一种方案，公司都是每半年发一次工资，如果你是工会代言人，认为哪种方案对员工更有利？（ ）
A ．方案一
B ．方案二
C ．两种方案一样
D ．工龄短的选方案一，工龄长的选方案二
【答案】B
【分析】根据题意分别计算出方案一和方案二的第n 年的年收入，进行大小比较，从而得出选项.
【详解】解：第n 年：
方案一： 12个月后，在年薪20000元的基础上每年提高500元，
第一年：20000元。